专题01 整式的乘法（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）七年级数学下学期新教材湘教版

清单01 整式的乘法（21个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法:同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：(m,n都是正整数) 推广：(m,n,...,p都是正整数) 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 2.同底数幂的乘法的逆运算: 清单02 幂的乘方 1.幂的乘方:底数不变，指数相乘. 即：(m,n都是正整数) 推广：(m,n,p都是正整数) 2.幂的乘方的逆运算:(m,n都是正整数) 清单03 单项式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘. 清单04 多项式的乘法 1.单项式乘多项式:单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的每一项，再把所有的积相加. 2.多项式乘多项式:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 方法总结：整式的乘法既满足交换律、结合律，又满足乘法对加法的分配律. 清单05 平方差公式 1.平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 式子表示：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 2. 平方差公式的几何意义 如图：将边长为a的大正方形剪去一个边 长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪 开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼 成如右图。 可利用计算剩余面积的方式进行解释。 （1）左图的剩余面积为：a2－b2 。 （2）拼接后的面积为：(a＋b)(a－b) 。 结论：由于剪拼后的图形的面积相等，可以解释平方差公式的正确性。 清单06 完全平方公式 1.完全平方公式 文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 式子表示： 2.完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的平方的和加上这两项的 两倍。注意每一项都包含前面的符号。 巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。 3.完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 4.完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 【考点题型一】同底数幂相乘（） 【例1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.已知，则的值是（    ） A．9 B．27 C． D． 【变式1-2】.计算： ． 【变式1-3】.计算： ． 【考点题型二】同底数幂乘法的逆用（） 【例2】若 ，，则的值为 ． 【变式2-1】.已知，，求的值为 ． 【变式2-2】.若，，则 ． 【考点题型三】幂的乘方运算（） 【例3】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．计算 ． 【考点题型四】幂的乘方的逆用（） 【例4】若，则的结果是 ． 【变式4-1】已知，则 ． 【考点题型五】积的乘方运算（） 【例5】.计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】..计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】.计算： ． 【变式5-4】.已知，则 ． 【考点题型六】积的乘方的逆用（） 【例6】计算的结果为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式6-1】..已知，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 【变式6-2】.若，，则（   ） A．108 B．54 C．36 D．31 【变式6-3】解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 【考点题型七】与幂的运算相关的大小比较（） 【例7】已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】.已知 ，则a、b、c、d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】.已知，则有（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】.在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【考点题型八】单项式的乘法（） 【例8】若单项式和的积为，则的值为（   ） A．2 B．30 C． D．15 【变式8-1】.长方形的长为，宽为，则它的面积为 ． 【变式8-2】.计算： ． 【考点题型九】多项式的乘法（） 【例9】计算： ． 【变式9-1】.若，则的值为 ． 【变式9-2】.计算： ． 【变式9-3】.计算：． 【考点题型十】整式乘法与加减法的混合运算（） 【例10】计算： ． 【变式10-1】.计算： (1)； (2)． 【变式10-2】.计算： (1) (2) (3) 【变式10-3】.已知多项式，A与B的乘积中不含有x项，常数项是， (1)求m，n的值． (2)求的值． 【考点题型十一】整式乘法的化简求值（） 【例11】如果，那么代数式的值为 ． 【变式11-1】.先化简，再求值：，其中． 【变式11-2】.先化简，再求值，其中，． 【变式11-3】.先化简，再求值：，其中． 【变式11-4】.先化简，再求值：，其中． 【考点题型十二】整式乘法中的“不含”问题（） 【例12】若的展开式中不含项，则常数a的值为（   ） A．0 B．3 C．2 D． 【变式12-1】.已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D．3 【变式12-2】.若的积中不含的一次项，则 ． 【考点题型十三】利用整式乘法解决几何图形问题（） 【例13】在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 ．（用a、b的代数式表示） 【变式13-1】.如图，长方形的长，宽分别为米，米，，满足，一动点从出发以米/秒的速度沿运动，另一动点从出发以米/秒的速度沿运动，设、同时出发，运动的时间为． (1)求、的值； (2)用含的式子表示的面积（写出推理过程）． 【变式13-2】.通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得； ②当时，类似上述过程进行割补，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形，此时． 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； (2)【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【变式13-3】.在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ； (2)如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； (3)如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值． 【变式13-4】.如图，哈市恒祥城小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，开发商计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式） (2)若，求出当时绿化的总面积； (3)在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程．已知甲队每小时绿化14平方米，甲队先单独绿化5小时，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过15小时，则乙队每小时至少绿化多少平方米？ 【考点题型十四】 整式乘法的规律探究题（） 【例14】请你计算：猜想的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】.观察下列等式：，，，，利用你发现的规律回答：若，则的值是 ． 【变式14-2】.如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 【变式14-3】.探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几 ． 【变式14-4】.阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究： ； (2)知识运用： ① ； ②利用上述规律计算： ． 【考点题型十五】运用平方差公式进行运算（） 【例15】利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【变式15-1】.计算： (1)； (2)． 【变式15-2】.先化简，再求值：，其中． 【变式15-3】.先化简，再求值：，其中． 【考点题型十六】运用完全平方公式进行运算（） 【例16】计算： (1) (2) 【变式16-1】.计算： (1) (2) 【变式16-2】.计算： (1) (2) 【考点题型十七】 乘法公式化简求值（） 【例17】先化简，再求值： ，其中，． 【变式17-1】.先化简，再求值：，其中． 【变式17-2】.先化简，再求值：，其中． 【变式17-3】.化简求值：，其中 【考点题型十八】 巧用乘法公式计算（） 【例18】已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】.已知，则（   ） A．4 B．10 C．16 D．20 【变式18-2】.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【变式18-3】.利用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【考点题型十九】运用乘法公式说理（） 【例19】已知多项式的值为7． (1)求的值； (2)证明：． 【变式19-1】.把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如，①用配方法分解因式：．原式 ．②利用配方法求最小值：求最小值．解：．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： ． (2)将变形为的形式，并求出的最小值． (3)若M，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【变式19-2】.先阅读下面的内容，再解决问题， 已知，求m，n的值． 解：等式可变形为，即， 因为，，所以，，所以，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： (1)已知a，b分别是长方形的长、宽，且满足，则长方形的面积为______． (2)求代数式的最小值，并求出此时a的值． (3)请比较多项式与的大小，并说明理由． 【考点题型二十】 运用乘法公式解决几何图形问题（） 【例20】如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】.图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【变式20-2】.如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)通过观察图1和图2中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是______；（用含a，b的等式表示） (2)应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，求的值． 【变式20-3】.数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．          【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：________________． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片________张，乙种纸片________张，丙种纸片________张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为x，y，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【变式20-4】.【问题情境】 阅读：若x满足，求的值． 解：设，则．因为，所以． 请仿照上述方法解决下面的问题： 【问题发现】 （1）若x满足，求的值； 【类比探究】 （2）若x满足，求的值； 【拓展延伸】 （3）如下图，正方形的边长为，长方形的面积为200，四边形和四边形都是正方形，是长方形．求四边形的面积． 【考点题型二十一】与整式乘法有关的新定义问题（） 【例21】规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ． 【变式21-1】.定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 【变式21-2】.对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【变式21-3】.阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似 ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭 (1)填空：① ；② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【变式21-4】.定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)若多项式，． 证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； 求多项式的最小值； (2)因为可得到：，即这是重要的基本不等式；，（当时，且是定值时，有最小值是），若，求的最小值，并求出此时的值． 【提升训练】 一、单选题 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列式子，不能利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．如图是某小区的一块长方形区域，该区域的一边长为，另一边长为，中间是半径为的圆形喷泉池，社区计划将喷泉池以外的部分设计为花池，则花池的面积可表示为（    ） A． B． C． D． 5．若，，为整数，则的值不可能是（   ） A． B．4 C．8 D．11 6．如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．李明在教材第83页的教学活动探索发现，如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第个正方形多（　　）个小正方形？ A． B． C． D． 8．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（　　） A． B． C． D． 9．已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 10．已知整式（均为整数，），且． 下列说法： ①若，则的值可能为30； ②存在，，，，均为非零的整式的平方； ③若（）均为正整数，则最大值为768． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．计算的结果为 ． 12．公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 13．已知，，则 ． 14．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 15．已知中不含的二次项，则 ． 16．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中介绍了已知长方形的长与宽之差为，面积为，求宽的方法：①设长方形的宽为，则长为，可得；②用四个宽为，长为的长方形拼成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形；③用两种方式表示大正方形的面积，开平方求出宽．根据以上方法，表示的几何意义是 ，的值用含，的式子表示为 ． 17．已知，，则的值等于 ． 18．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 三、解答题 19．先化简，再求值：，其中，． 20．阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式．类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式的方法进行运算． 如：． 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式乘多项式，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： （1）先把多项式与分别按字母x的次数从高到低排列． （2）用多项式中的常数项3去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐． （3）再用多项式中的一次项2x去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐． （4）最后把两次乘得的结果与相加得． （5）写出结果： 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（   ） A．数形结合思想    B．类比思想    C．分类讨论思想    D．转化思想 任务二：请用列竖式方法计算： 21．问题呈现 （1）分别计算图1、2中阴影部分的面积． 知识应用 （2）某公园是长为米，宽为米的长方形，规划部门计划在其内部修建一座边长为米的正方形雕像，左右两边修两条宽为a米的长方形道路，剩余的阴影部分种植草坪进行绿化，尺寸如图3所示． ①求绿化的面积； ②若，种植草坪的价格为30元/平方米，问绿化应投入的资金是多少元？ 22．观察下列各式： ； ； ； …… 不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的______倍． (2)设偶数为，试说明比大7的数与的平方差能被7整除． 23．（1）已知实数 ，，代数式 ，求该代数式的最小值及取到最小值时，的值； （2）已知实数，，，代数式 ，求该代数式的最小值及取到最小值时，，的值． 24．定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 25．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有_____（填序号） ①；②；③；④ (2)直接写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为4的单项式，使该单项式是对称式； (3)若关于，的代数式为对称式，求的值； (4)在（3）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 26．阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． (3)运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 整式的乘法（21个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法:同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：(m,n都是正整数) 推广：(m,n,...,p都是正整数) 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 2.同底数幂的乘法的逆运算: 清单02 幂的乘方 1.幂的乘方:底数不变，指数相乘. 即：(m,n都是正整数) 推广：(m,n,p都是正整数) 2.幂的乘方的逆运算:(m,n都是正整数) 清单03 单项式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘. 清单04 多项式的乘法 1.单项式乘多项式:单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的每一项，再把所有的积相加. 2.多项式乘多项式:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 方法总结：整式的乘法既满足交换律、结合律，又满足乘法对加法的分配律. 清单05 平方差公式 1.平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 式子表示：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 2. 平方差公式的几何意义 如图：将边长为a的大正方形剪去一个边 长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪 开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼 成如右图。 可利用计算剩余面积的方式进行解释。 （1）左图的剩余面积为：a2－b2 。 （2）拼接后的面积为：(a＋b)(a－b) 。 结论：由于剪拼后的图形的面积相等，可以解释平方差公式的正确性。 清单06 完全平方公式 1.完全平方公式 文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 式子表示： 2.完全平方公式的式子特点： ：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的平方的和加上这两项的 两倍。注意每一项都包含前面的符号。 巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。 3.完全平方公式的几何背景： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到： 。 4.完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴ 【考点题型一】同底数幂相乘（） 【例1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．先利用乘方变为同底数幂的乘法，再计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式1-1】.已知，则的值是（    ） A．9 B．27 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则结合整体代入法，进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-2】.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，即可得出结果． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式1-3】.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【考点题型二】同底数幂乘法的逆用（） 【例2】若 ，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，代数式求值等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则的逆用公式是解题的关键：． 由同底数幂的乘法法则的逆用公式即可直接得出答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【变式2-1】.已知，，求的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，根据代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：40． 【变式2-2】.若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法逆用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【考点题型三】幂的乘方运算（） 【例3】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题关键，根据幂的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式3-1】．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂运算，准确计算是解题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算； 【详解】解：， 故答案为：． 【考点题型四】幂的乘方的逆用（） 【例4】若，则的结果是 ． 【答案】256/ 【分析】本题考查了同底数幂乘法以及幂的乘方的逆用，根据计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：256 【变式4-1】已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．由可得，再根据同底数幂的乘法法则以及逆用幂的乘方运算法则把所求式子变形求解即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：16． 【考点题型五】积的乘方运算（） 【例5】.计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是积的乘方运算，直接利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式5-1】..计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式5-2】.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的乘方，积的乘方运算，根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B 【变式5-3】.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．根据积的乘方等于各因数乘方的积求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式5-4】.已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方的逆运算．根据积的乘方和幂的乘方的逆运算即可计算求值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【考点题型六】积的乘方的逆用（） 【例6】计算的结果为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方和同底数幂相乘，逆用积的乘方法则和同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式6-1】..已知，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是非负数的性质，有理数的乘方，积的乘方，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解： ， ，， 解得，， ． 故选：C． 【变式6-2】.若，，则（   ） A．108 B．54 C．36 D．31 【答案】A 【分析】此题考查同底数幂乘法法则，幂的乘方计算，根据同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则计算解答，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵若，， ∴， 故选：A． 【变式6-3】解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) 【分析】本题考查的是有理数乘方的法则，积的乘方逆用法则，解答此题的关键是根据（1）中各数的特点找出规律，再根据此规律进行解答． （1）根据有理数的乘方的定义解答即可； （2）根据（1）中的各数的值找出规律即可解答； （3）根据（2）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴， ③∵， ∴； （2）解：由（1）可猜想∶， 归纳得出公式∶； （3）解： ． 【考点题型七】与幂的运算相关的大小比较（） 【例7】已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，先根据幂的乘方化成底指数相同的幂，再进行比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 【变式7-1】.已知 ，则a、b、c、d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】解：，，，， ∴． 故选：B． 【变式7-2】.已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．逆用幂的乘方法则变形即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ∴． 故选：D． 【变式7-3】.在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型八】单项式的乘法（） 【例8】若单项式和的积为，则的值为（   ） A．2 B．30 C． D．15 【答案】D 【分析】本题考查单项式与单项式相乘问题，先按单项式乘以单项式的法则计算，再比较结果利用相同字母的指数相等构造等式，求出再求的值即可． 【详解】单项式和的积为， ， ， ， ． 故选择：D． 【变式8-1】.长方形的长为，宽为，则它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式的应用，根据面积等于长乘宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴它的面积为：， 故答案为：． 【变式8-2】.计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【考点题型九】多项式的乘法（） 【例9】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式9-1】.若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式乘法的应用，解题的关键是熟知整式的乘法法则．先利用整式的乘法展开，再利用等式的性质即可求出、，再进行求解． 【详解】解： ，， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【变式9-2】.计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式．熟练掌握单项式乘多项式的法则，是解决问题的关键．先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式9-3】.计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式， 根据单项式乘以多项式等于用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加即可． 【详解】解：原式． 【考点题型十】整式乘法与加减法的混合运算（） 【例10】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据平方差公式和积的乘方计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解；， 故答案为：． 【变式10-1】.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式则计算即可； （2）原式根据完全平方公式和平方差公式将括号展开后再合并即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式10-2】.计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】该题主要考查了整式的乘法，解题的关键是掌握整式乘法运算法则． （1）根据单项式乘多项式法则计算即可． （2）先计算多项式乘多项式，再合并即可． （3）先计算多项式乘多项式和完全平方公式，再合并即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式10-3】.已知多项式，A与B的乘积中不含有x项，常数项是， (1)求m，n的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为，列方程即可得到答案； （2）把代入利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵A与B的乘积中不含有x项，常数项是， ∴， ∴， 把，代入，解得：， 故，； （2）根据（1）可知，， ∴， ． 【考点题型十一】整式乘法的化简求值（） 【例11】如果，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，运算后整体代入求解是关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 故答案为：． 【变式11-1】.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算中的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．根据整式的混合运算法则化简，再代入值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【变式11-2】.先化简，再求值，其中，． 【答案】；6 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法混合运算法则进行化简，然后再代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， ． 【变式11-3】.先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据多项式乘法运算法则进行化简计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 【变式11-4】.先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【考点题型十二】整式乘法中的“不含”问题（） 【例12】若的展开式中不含项，则常数a的值为（   ） A．0 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0． 根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值． 【详解】 ∵的展开式中不含项， ∴ ∴． 故选：B． 【变式12-1】.已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式不含的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： ， 多项式与的乘积展开式中不含的一次项， ， ． 故选：C． 【变式12-2】.若的积中不含的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，据此先得到展开式，结合“不含的一次项”，得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 因为的展开式中不含的一次项， 所以， 则， 故答案为：． 【考点题型十三】利用整式乘法解决几何图形问题（） 【例13】在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 ．（用a、b的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故答案为：． 【变式13-1】.如图，长方形的长，宽分别为米，米，，满足，一动点从出发以米/秒的速度沿运动，另一动点从出发以米/秒的速度沿运动，设、同时出发，运动的时间为． (1)求、的值； (2)用含的式子表示的面积（写出推理过程）． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）由绝对值非负性即可得解； （2）分三种情况分析：、、，结合不同时间点、点的运动情况即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：且， 解得：，； （2）解：当时，在上，在上，（米）． 则；． 当时，在上，在上，， ∴， 则； 当时，和都在上，在的左边，，， 则，． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查的知识点是绝对值非负性、列代数式、整式的乘法、整式的加减，解题关键是根据点、点的运动情况分时段讨论． 【变式13-2】.通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是20，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是________．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为_________的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、25、满足的等量关系是______________，从而可得； ②当时，类似上述过程进行割补，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形，此时． 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； (2)【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)①，，；②详见解析，③详见解析 (2)的最大值为49 【分析】本题主要考查了多项式的乘法、以及多项式的乘法的几何运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． (1)根据等面积问题即可得出答案； (2)根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值． 【详解】（1）解： ， 长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积=大正方形面积-小正方形面积， ， 故答案为：，，； ②当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， ③当时，该长方形为边长是5的正方形，此时， 综上分析，周长是20的长方形的最大面积是25； （2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， 的最大值为49． 【变式13-3】.在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ； (2)如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； (3)如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值． 【答案】(1) (2)见详解（画图不唯一）： (3)20 【分析】此题考查的是几何图形面积与多项式的乘法，数形结合是解题的关键． （1）由图中大矩形的面积=中间的各图片的面积的和，就可得出代数式； （2）面积为，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a，b的长方形使用5次，依此即可求解； （3）根据正方形面积，正方形面积,可得等式，根据，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，如下图： ； 故答案为：； （2）解：； 画图不唯一，画图正确即可，如下图： （3）解：由图4可知， ∴ ． 【变式13-4】.如图，哈市恒祥城小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，开发商计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式） (2)若，求出当时绿化的总面积； (3)在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程．已知甲队每小时绿化14平方米，甲队先单独绿化5小时，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过15小时，则乙队每小时至少绿化多少平方米？ 【答案】(1) (2) (3)13 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论； （2）把代入（1）的代数式即可得到结论； （3）设乙队每小时至少绿化，根据题意列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：绿化的总面积为 （平方米）； （2）解：将代入， （平方米）； （3）解：设乙队每小时至少绿化， 要求总工作时间不超过15小时，故合作完成部分不得超过小时， 故甲单独工作， 剩余， 故， 解得． 答：则乙队每小时至少绿化平方米． 【考点题型十四】 整式乘法的规律探究题（） 【例14】请你计算：猜想的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算中的规律问题，先分别计算和，再根据计算结果总结规律即可求解，掌握多项式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 猜想：， 故选：． 【变式14-1】.观察下列等式：，，，，利用你发现的规律回答：若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，观察题目给出的一系列等式得到一般性规律，化简已知等式左边求出的值，代入原式计算即可得到结果，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【变式14-2】.如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用，正确发现一般规律是解题关键．先根据已知等式找出规律，再设等式左边三个数分别为，则，，据此求出的值即可得． 【详解】解：由第1个等式可知，，，， 由第2个等式可知，，，， 由第3个等式可知，，，， 由第4个等式可知，，，， 设等式左边三个数分别为， 则，， 所以被隐藏的两位数是， 故答案为：70． 【变式14-3】.探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，找出规律是解题的关键．给等式乘以从而可知，然后找出的尾数规律从而得到答案． 【详解】解：， ，，，，，， ． 故的尾数是4.． 故的值的个位数是3． 【变式14-4】.阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究： ； (2)知识运用： ① ； ②利用上述规律计算： ． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了多项式乘多项式，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题． （1）根据探索材料找到规律直接写出答案； （2）①把代入（1）中的等式进行求值即可； ②把，代入（1）中式子计算即可． 【详解】（1）解：∵① ② ③ ④ ∴， 故答案为：； （2）①解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②解：把，代入中可得：， ∴， ∴． 【考点题型十五】运用平方差公式进行运算（） 【例15】利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）将看作一个整体，利用平方差公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； 本题主要考查平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式15-1】.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式． （1）利用平方差公式进行计算，然后合并同类项即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式15-2】.先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】此题考查了平方差公式，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算平方差公式，多项式乘以多项式，然后计算加减，然后代数求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式15-3】.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【考点题型十六】运用完全平方公式进行运算（） 【例16】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，完全平方公式和多项式乘以多项式等计算： （1）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式16-1】.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用单项式乘以单项式，以及幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果； （2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式16-2】.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了积的乘方，幂的乘方运算法则以及单项式乘以单项式和乘法公式等知识，熟练掌握相关公式是解题关键． （1）利用幂的乘方，积的乘方运算法则计算即可； （2）利用平方差公式以及完全平方公式得出即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点题型十七】 乘法公式化简求值（） 【例17】先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和完全平方公式是解题关键．先计算完全平方公式、平方差公式，再计算括号内的整式加减，然后计算整式的除法，最后将a，b的值代入计算即可得． 【详解】解： ∵， ∴原式． 【变式17-1】.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解； ， 当时，原式． 【变式17-2】.先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式乘法运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式17-3】.化简求值：，其中 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【考点题型十八】 巧用乘法公式计算（） 【例18】已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据题意巧妙构造，再利用完全平方公式展开，合并同类项后即可得到答案． 【详解】解：已知， 则， 那么， 整理得：， 则， 故选：B． 【变式18-1】.已知，则（   ） A．4 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用；根据已知条件，利用平方差公式求出的值，再由完全平方公式即可求得结果． 【详解】解：， ， 即， ∵， ， ． 故选：B． 【变式18-2】.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1)3 (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是式子变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是3． （2）解：， ∵， ∴， ∴的最大值是5． 【变式18-3】.利用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式解答即可； （2）根据平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【考点题型十九】运用乘法公式说理（） 【例19】已知多项式的值为7． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式，整式的四则混合运算，代数式求值等知识点，熟练掌握完全平方公式及整式的四则混合运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可得出答案； （2）由（1）得，，代入式子化简即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）证明：， ，， ． 【变式19-1】.把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如，①用配方法分解因式：．原式 ．②利用配方法求最小值：求最小值．解：．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： ． (2)将变形为的形式，并求出的最小值． (3)若M，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)16，4 (2)，原式有最小值 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式： （1）根据完全平方公式的特点求解即可； （2）仿照题意配方求解即可； （3）利用作差法求出即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：16；4； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即． 【变式19-2】.先阅读下面的内容，再解决问题， 已知，求m，n的值． 解：等式可变形为，即， 因为，，所以，，所以，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： (1)已知a，b分别是长方形的长、宽，且满足，则长方形的面积为______． (2)求代数式的最小值，并求出此时a的值． (3)请比较多项式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)代数式的最小值为5， (3) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，平方的非负性，整式的加减运算．理解题意，掌握“配方法”是解题关键． （1）根据题意可将变形为，结合非负数的性质可求出，，在计算长方形面积即可； （2）可变形为，根据平方的非负性可求出，即得出答案； （3）用代数式减去，并整理得：．根据平方的非负性可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即． ∵，， ∴，， 解得：，， ∴长方形的面积为． 故答案为：12； （2）解： ． ∵， ∴， ∴代数式的最小值为5，此时，即； （3）解： ． ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型二十】 运用乘法公式解决几何图形问题（） 【例20】如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案． 【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为，右边一幅图阴影部分面积为， ∵两幅图阴影部分面积相等， ∴， 故选：D． 【变式20-1】.图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查整式乘法与图形面积的关系， （1）根据图示中图形的边长的关系即可求解； （2）根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）分别算出、，即可求解； （4）根据（3）中的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得，图2中阴影部分的正方形的边长等于：， 故答案为：； （2）解：图2中阴影部分的面积表示如下： 方法一：；方法二：； 故答案为：，； （3）解：、， ∴， 故答案为：； （4）解：由（3）可得，， ∴，且， ∴ ． 【变式20-2】.如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)通过观察图1和图2中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是______；（用含a，b的等式表示） (2)应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式和完全平方公式进行计算，本题熟练掌握平方差公式是关键． （1）分别根据面积公式进行计算，根据图1的面积=图2的面积列式即可； （2）①利用平方差公式和完全平方公式进行计算，即可得到计算结果；②先将化为，由得到，再代入求解． 【详解】（1）解：原阴影面积，拼剪后的阴影面积， 得到的公式为：； 故答案为； （2）解：①； ②∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式20-3】.数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．          【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：________________． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片________张，乙种纸片________张，丙种纸片________张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为x，y，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察发现：；操作探究：1，2，3；拓展延伸：10 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景和变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 观察发现：根据图（2）的面积边长为的正方形的面积一个边长为的正方形的面积一个边长为的正方形面积个长为，宽为的长方形面积，列出算式即可； 操作探究：利用多项式乘多项式法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； 拓展延伸：先根据已知条件可知，然后根据已知条件为完全平方公式，求出，最后根据阴影部分的面积边长是的正方形面积边长是的正方形的面积 的面积 的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】观察发现： 解：观察图形可知：图（2）的面积为：，还可以表示为：， 正确的等式为：， 故答案为：； 操作探究： 解： ， 需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张， 故答案为：1，2，3； 拓展延伸： 解：，，， ， ， ， ， ， 整理得， ， 或（不合题意，舍去）， 阴影部分的面积 ． 【变式20-4】.【问题情境】 阅读：若x满足，求的值． 解：设，则．因为，所以． 请仿照上述方法解决下面的问题： 【问题发现】 （1）若x满足，求的值； 【类比探究】 （2）若x满足，求的值； 【拓展延伸】 （3）如下图，正方形的边长为，长方形的面积为200，四边形和四边形都是正方形，是长方形．求四边形的面积． 【答案】（1），（1），（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，对完全平方公式变形求值，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）由题意，得，则，设，则，所以设，则，那么． 【详解】解：（1）设． 因为， 所以原式 ； （2）设， 则． 因为， 所以， 所以， 即； （3）由题意，得， 则． 设， 则． 因为四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形， 所以设， 所以， 所以． 【考点题型二十一】与整式乘法有关的新定义问题（） 【例21】规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查新定义、幂的运算，根据新定义得出，，，进而可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 【变式21-1】.定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，多项式乘多项式法则，数字类规律，解答本题的关键是明确题意，发现相邻几个数相加的和的规律． （1）根据定义即可分别求得结果； （2）首先根据多项式乘多项式法则去括号，再根据定义及有理数的加减进行运算，即可求得结果； （3）首先根据复数的定义计算，找到规律，再根据规律进行运算，即可求得结果． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：，，，，，，，，…， 每4个为一循环，且， ， ． 【变式21-2】.对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是自定义下的整式的加减乘除混合运算，以及解方程组，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列式，然后再计算乘法，后算加减即可； （2）根据题意列出方程组，再解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， 得：， 解得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式21-3】.阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似 ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭 (1)填空：① ；② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①5；② (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字的变化，正确理解题意、熟练应用乘法公式是关键． （1）按照定义及乘法公式计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求的式子求解即可； （3）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，4个一组找到规律，从而可得答案． 【详解】（1）解：①原式， ②原式． 故答案为：①5；②； （2）∵，是的共轭复数， ∴，， ∴； （3）由条件可知：，即， ∴，， 解得：，， ∴， ∵， 有2024个加数，， ∴，则， ∴． 【变式21-4】.定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)若多项式，． 证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； 求多项式的最小值； (2)因为可得到：，即这是重要的基本不等式；，（当时，且是定值时，有最小值是），若，求的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)见解析； ； (2)最小值为，或． 【分析】（）根据配方法的定义配方，由平方具有非负性，即可得证； 将配方成，即可确定最小值； （ ）根据，（当时，且是定值时，有最小值是），即可确定S最小值，然后解方程即可求出的值； 本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握知识点的应用． 【详解】（1）证明：∵， ∴多项式的值一定恒为正数； ②解： ， ∴最小值为； （2）解：， ∴最小值为，此时有， ∴， ∴， ∴或． 【提升训练】 一、单选题 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法的法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方逆用，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．根据同底数幂的乘法，逆用幂的乘方，可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 3．下列式子，不能利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：．根据平方差公式和完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A、，可以用平方差公式计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式计算，不符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，符合题意； D、，可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：C． 4．如图是某小区的一块长方形区域，该区域的一边长为，另一边长为，中间是半径为的圆形喷泉池，社区计划将喷泉池以外的部分设计为花池，则花池的面积可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，用长方形的面积减去圆的面积，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 5．若，，为整数，则的值不可能是（   ） A． B．4 C．8 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法．根据多项式的乘法法则把等号右边化简，可得、，然后对a、b的值讨论可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴、， ∵，为整数，， 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则． 观察四个选项，的值不可能是8， 故选：C． 6．如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 设，，根据，得，根据完全平方公式求解的值，进而求解； 【详解】解：设，， ，， ，． 根据，得， ， ， 又， ， 即阴影部分的面积为． 故选：B 7．李明在教材第83页的教学活动探索发现，如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第个正方形多（　　）个小正方形？ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小正方形个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 拼第1个正方形需要的小正方形个数为：； 拼第2个正方形需要的小正方形个数为：； 拼第3个正方形需要的小正方形个数为：； …， 所以拼第n个正方形需要的小正方形个数为个， 则， 即拼第n个正方形比第个正方形多个正方形． 故选：D． 8．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律：先计算，然后再计算所给式子即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴原式． 故选：B． 9．已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将变形化为，即可得到，求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 10．已知整式（均为整数，），且． 下列说法： ①若，则的值可能为30； ②存在，，，，均为非零的整式的平方； ③若（）均为正整数，则最大值为768． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用．由题意得，，据此逐项判断即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：①， ， 又， ，， 为整数， 、、、、的值可以为、、0、1、16， ， 的值可能为30，故①正确； ②根据，，， 当中有一个为时，有一个式子必须是，这与均为整数不符合， 则得组合必须是， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为负数，不符合题意， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为2，不是整式的平方，不符合题意， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为6，不是整式的平方，不符合题意， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为8，不是整式的平方，不符合题意， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为10，不是整式的平方，不符合题意， 当前四个式子为时，此时最后一个式子为12，不是整式的平方，不符合题意， 不存在、、、、均为非零的整式的平方，故②错误； ③，（）均为正整数， 若要最大，应该尽可能都相等， 则当，时，取最大值，最大值为，故③正确； 综上，正确的个数是2， 故选：C． 二、填空题 11．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键； 根据积的乘方运算法则计算即可求解； 【详解】解：； 故答案为： 12．公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．用改变后的花坛的面积减去改变前的面积，计算即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， 这个花坛的面积将增加： ． 故答案为：． 13．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式变形代入求值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 14．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：2． 15．已知中不含的二次项，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式．首先利用单项式乘以多项式去括号，进而得出的系数为0，进而求出答案． 【详解】解： ， ∵中不含x的二次项， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中介绍了已知长方形的长与宽之差为，面积为，求宽的方法：①设长方形的宽为，则长为，可得；②用四个宽为，长为的长方形拼成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形；③用两种方式表示大正方形的面积，开平方求出宽．根据以上方法，表示的几何意义是 ，的值用含，的式子表示为 ． 【答案】 大正方形的面积 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义，解题的关键是掌握完全平方公式．根据题意用两种方式表示大正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形的面积为：或， ， ， 表示的几何意义是大正方形的面积， ， ， ， 故答案为：大正方形的面积，． 17．已知，，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握“完全平方公式：”是解题关键．利用完全平方公式求出，，的平方和，然后代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法以及对新定义求和符号的理解与运用知识点，解题的关键是根据求和符号的运算规则将式子展开并化简，再通过对比系数求出m、n的值． 首先，我们需要理解题目中给出的求和符号＂＂以及如何展开求和表达式．接着，通过已知条件列出方程，求解出未知数和的值，最后计算的值． 【详解】由知， 即， 故答案为：． 三、解答题 19．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握乘法公式是解题关键． 先利用平方差公式、单项式乘多项式进行化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入，得：原式． 20．阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式．类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式的方法进行运算． 如：． 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式乘多项式，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： （1）先把多项式与分别按字母x的次数从高到低排列． （2）用多项式中的常数项3去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐． （3）再用多项式中的一次项2x去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐． （4）最后把两次乘得的结果与相加得． （5）写出结果： 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（   ） A．数形结合思想    B．类比思想    C．分类讨论思想    D．转化思想 任务二：请用列竖式方法计算： 【答案】任务一：B；任务二：； 【分析】本题考查了多项式的乘法，解题关键是：掌握多项式乘多项式的运算规则． 任务一：找到两种乘法之间的共同点，是类比思想； 任务二：根据多项式乘以多项式的竖式乘法，即可求解； 【详解】解：任务一：根据由多项式乘以单项式的项式乘法到多项式乘以多项式的竖式乘法，是类比思想， 故选：B； 任务二： 列竖式如下： 故； 21．问题呈现 （1）分别计算图1、2中阴影部分的面积． 知识应用 （2）某公园是长为米，宽为米的长方形，规划部门计划在其内部修建一座边长为米的正方形雕像，左右两边修两条宽为a米的长方形道路，剩余的阴影部分种植草坪进行绿化，尺寸如图3所示． ①求绿化的面积； ②若，种植草坪的价格为30元/平方米，问绿化应投入的资金是多少元？ 【答案】（1）图1：；图2：；（2）①绿化的面积为平方米；②180000元 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，完全平方公式的应用，熟练的利用图形面积差列出正确的运算式是解本题的关键． （1）根据长方形面积公式列式计算即可； （2）①根据图形的面积之差列式：，再计算即可； ②代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 阴影部分的面积为 ； 如图2， 阴影部分的面积为 ； （2）①由题意可得： 平方米； 答：绿化的面积为平方米； ②若，种植草坪的价格为30元/平方米， ∴绿化应投入的资金是： 元． 22．观察下列各式： ； ； ； …… 不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的______倍． (2)设偶数为，试说明比大7的数与的平方差能被7整除． 【答案】(1)27 (2)见解析 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）根据“比大7的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， 即的结果是3的27倍， 故答案为：27； （2）解：偶数为，比大7的数为， ∴， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与的平方差能被7整除． 23．（1）已知实数 ，，代数式 ，求该代数式的最小值及取到最小值时，的值； （2）已知实数，，，代数式 ，求该代数式的最小值及取到最小值时，，的值． 【答案】（1），时，代数式有最小值为0；（2） 时，代数式有最小值． 【分析】本题主要考查了配方法求解代数式的最值问题，熟练掌握完全平方公式和平方的非负性是解题关键． （1）将原式变形为，再利用平方的非负性即可求解； （2）多次利用完全平方公式将原式变形，再利用平方的非负性即可求解． 【详解】解：（1）原式 ， 当，时， 即，时，代数式有最小值为0； （2）令， 则原式 ，， 当时，代数式有最小值． 24．定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算代入求解即可； （2）根据新定义得到，再根据同底数幂的乘法得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：． 25．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母，的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有_____（填序号） ①；②；③；④ (2)直接写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为4的单项式，使该单项式是对称式； (3)若关于，的代数式为对称式，求的值； (4)在（3）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 【答案】(1)①②④ (2) (3) (4) 【分析】本题是新定义问题，主要考查的是整式的运算和完全平方公式的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据对称式的含义即可做出判断； （2）根据对称式的含义即可求解； （3）根据对称式的含义即可求解； （4）由（2）可得，再根据，通过，即可求解得到的值； 【详解】（1）解：①， ∵， ∴是对称式； ②， ∵， ∴是对称式； ③， ∵， ∴不是对称式； ④， ∵， ∴是对称式； 综上所述：对称式有①②④， 故答案为：①②④； （2）解：由题意得：， 故是对称式； （3）解：∵是对称式， ∴，， 即， 解得：， 故答案为：； （4）解：由（2）得，即可化简为：， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：； 26．阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． (3)运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 【答案】(1)六，15 (2)①；② (3)星期三 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，，从而得出答案；②写出的展开项，从而算得的系数； （3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1 展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1 展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1 故答案为：六，15； （2）解：① 故答案为：； ②，理由如下： 展开后共项， 第一项是： 第二项是： 第三项是： 第四项是： 故答案为：； （3）解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为 从星期二往后数天是星期三， 答案为：是星期三． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$