专题02 实数（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材湘教版

专题02 实数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平方根的性质及其应用 题型02 立方根的性质及其应用 题型03 算术平方根与立方根的综合应用 题型04 实数的分类与性质判断 题型05 实数与数轴 题型06 实数的简单运算与估算 题型07 实数的规律探究与简单应用 题型08 新定义下的实数运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平方根 1. 能准确区分“平方根”与“算术平方根”。 2. 能根据定义求一个非负数的平方根和算术平方根。 3. 掌握算术平方根“”的双重非负性（a≥0，≥0）。 高频基础考点。常以选择题、填空题形式直接考查概念辨析和简单求值。易错点在于混淆平方根与算术平方根，以及忽略= |a|中的绝对值。 立方根 1. 理解立方根的唯一性（任何实数都有且只有一个立方根）。 2. 能熟练求任意实数的立方根，掌握 = -的性质。 中频考点。常与平方根对比考查，题型以填空、选择为主。易错点在于将平方根的性质错误迁移到立方根上，或求负数的立方根时符号出错。 无理数 1. 能依据定义（无限不循环小数）准确识别无理数。 2. 掌握常见无理数的形式（如π、开方开不尽的数、有规律但不循环的小数）。 核心概念考点。常以选择题形式出现，用于判断实数分类。易错点在于误认为所有带根号的数都是无理数（如=2是有理数）。 实数的性质 1. 理解实数与数轴上的点一一对应关系。 2. 掌握实数的相反数、绝对值的意义，与有理数性质一致。 基础兼综合考点。“一一对应”性质是理解实数在数轴上位置和进行估算的基础，常渗透在其他题型中。单独考查时多为简单判断或填空。 实数的混合运算 1. 掌握运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 2. 能熟练进行含绝对值、算术平方根、立方根的混合运算。 关键能力考点，分值占比高。常以计算题形式出现，是考查运算准确性和熟练度的核心。易错点集中在符号处理、运算顺序和近似值取舍上。 实数的大小比较 1. 能利用数轴、绝对值或平方的方法比较两个实数的大小。 2. 掌握估算无理数大致范围的方法（找相邻的完全平方数）。 中频考点。题型包括填空、选择和简单解答。常与数轴结合，或要求比较含根号的无理数与有理数的大小。 实数与数轴 1. 能在数轴上表示无理数（如）的近似位置。 2. 能根据数轴上点的位置，写出其对应的实数或进行相关计算。 数形结合难点。常作为中档解答题出现，考查几何构造（勾股定理）和代数运算的结合。是区分学生综合应用能力的重要题型。 知识点01 平方根与算术平方根 定义：若 x² = a (a ≥ 0)，则 x 叫做 a 的平方根。正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作 ；0的算术平方根是0。 核心要点： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 具有双重非负性：a ≥ 0 且 ≥ 0。 = |a|。 易错点：混淆平方根与算术平方根；忽略算术平方根的非负性；计算 时漏掉绝对值。 知识点02 立方根 定义：若 x³ = a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 。 核心要点： 任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 = 。 易错点：混淆立方根与平方根的性质；求负数的立方根时符号出错。 知识点03 实数 定义与分类：有理数和无理数统称为实数。无理数是无限不循环小数（如π，等）。 核心要点： 实数与数轴上的点一一对应。 实数的相反数、绝对值意义与有理数相同。 可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，且有理数的运算律在实数范围内依然适用。开方运算与乘方运算是同级运算。 易错点：对无理数概念理解不清（误认为带根号的数就是无理数）；实数运算时，忽略运算顺序，特别是开方与乘除的先后。 题型一 平方根的性质及其应用 解｜题｜技｜巧 紧扣定义，看到“平方根”考虑正负两个值（除0外），看到“算术平方根”只取非负值。 易｜错｜点｜拨 混淆“平方根”与“算术平方根” 忽略“双重非负性”，特别是被开方数非负 【典例1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）下列说法中正确的是（   ） A．任何数的平方根有两个 B．一个正数的平方根的平方就是这个数 C．只有正数才有平方根 D．不是正数，没有平方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的基本概念，根据平方根的定义逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：A、正数的平方根有两个，负数没有平方根，的平方根为，故原说法不正确； B、一个正数的平方根的平方就是这个数，故原说法正确； C、也有平方根，故原说法不正确； D、不是正数，但有平方根，故原说法不正确． 【变式1】（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 【变式2】（23-24八年级下·北京·期中）若，则_____，_____． 【答案】 【分析】根据算术平方根与绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此列方程求解和的值． 【详解】解：因为算术平方根，绝对值，且， ∴，即，解得； ，即，解得． 【变式3】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）已知，先化简，再求值． 【答案】，9 【分析】先根据平方、算术平方根的非负性，得出，，再根据完全平方公式和平方差公式，将原式进行化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ，且，， ，， ，， ，． ， 当，时， 原式． 题型二 立方根的性质及其应用 解｜题｜技｜巧 易｜错｜点｜拨 【典例1】（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 则， 解得； （2）解： ， ， 则， 解得． 【变式1】（12-13八年级上·福建泉州·期末）计算_________． 【答案】 4 【分析】本题考查立方根的运算，先依据立方根的定义求出的值，再进行有理数的符号运算即可求解． 【详解】解：根据立方根的定义，由于， 因此， 则． 故答案为：4． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·期中）立方根为的数是__________，的平方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根及平方根，利用立方根和平方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以立方根为的数是， ，9平方根是， 故答案为：，． 题型三 算术平方根与立方根的综合应用 解｜题｜技｜巧 题型一：混合运算与化简 · 题型特征：算式中同时包含算术平方根、立方根、绝对值、乘方等运算。 · 解题技巧： 1. 公式优先：识别并应用关键公式。看到 立刻写为 |a|；看到 直接写为 a。 2. 确定符号：对于 = |a|，必须根据已知条件或数轴判断 a 的正负，再去绝对值。 3. 运算顺序：严格遵循运算顺序：括号 → 乘方、开方 → 乘除 → 加减。开方（包括平方根和立方根）与乘方是同级运算。 题型二：基于定义的方程与代数式求值 题型特征：已知某式的算术平方根或立方根的值，求原式或相关代数式的值；或两者结合。 解题技巧： 1. 逆向思维： · 若 = B (B≥0)，则 A = B²。 · 若 = D，则 C = D³。 2. 建立方程（组）：当算术平方根和立方根条件同时给出时，分别列出方程，联立求解。 题型三：非负数性质的综合应用（重点） 题型特征：算式呈现为“算术平方根 + 绝对值 + 平方（或立方根）”的形式等于0，或隐含此结构。 解题技巧： 1. 识别非负数：算术平方根（，要求A≥0）、绝对值（|B|）、完全平方（C²）的结果都是非负数。注意：立方根（）的结果不一定是非负数，不能直接用于此性质。 2. 列方程组：若 + |B| + C² = 0，则必有 A=0, B=0, C=0。 易｜错｜点｜拨 概念混淆：将立方根性质误用于平方根，或反之。 符号处理错误：在化简 √(a²) 时，忽略对 a 正负的讨论。 运算顺序错误：在混合运算中错误合并开方运算。 在综合题中顾此失彼：只注意到题目中的一个条件，忽略另一个。 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【答案】(1)，或（答案不唯一） (2)，（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义是解题的关键． （1）根据，都是整数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可； （2）根据，都是分数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可． 【详解】（1）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 当时，则， ，则， 则符合题意， 故，或（答案不唯一） （2）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 故，（答案不唯一） 【变式1】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】本题主要考查平方根、立方根和算术平方根的计算，掌握平方根，立方根和算术平方根的计算方法是解题的关键． 根据的平方根是可得，根据的立方根是可得，将m和n代入求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴ 解得， ∵的立方根是， ∴ 将，代入得，， ∴， ∴的算术平方根为4． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 题型四 实数的分类与性质判断 解｜题｜技｜巧 依据定义分类，注意π及开方开不尽的数（如）是无理数，但=2是有理数。利用“一一对应”理解实数与数轴关系。 【典例1】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤0，⑥ 整数：____________； 负分数：____________； 无理数：____________． 【答案】③⑤；②④；①⑥ 【分析】本题考查实数的分类（整数、负分数、无理数），解题的关键是明确各类数的定义，逐一分析每个数的类型． 先分别判断每个实数的类型，再按整数、负分数、无理数的类别归类． 【详解】解：先分析每个实数： ①：是无限不循环小数，属于无理数；②：是负分数； ③：是整数；④：可化为负分数，属于负分数； ⑤0：是整数；⑥是无理数，故是无限不循环小数，属于无理数． 因此：整数：③⑤；负分数：②④；无理数：①⑥． 【典例2】（25-26八年级上·山东济南·月考）已知m，n是有理数，且，的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 【变式1】（24-25七年级上·山西吕梁·月考）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______（填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了实数的四则运算，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键． 根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【详解】解：“四则操作”的结果为3，故①正确； ∵， ∴对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是，故②正确； ∵，， ∴对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的不是，故③错误； 综上所述，说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 【答案】；； 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数是有理数和无理数的统称，有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数叫做无理数．根据整数、有理数、无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，故不是整数，是有理数； ，是整数，也是有理数； 是有限小数，是有理数， 是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数； ，是整数，也是有理数； 是整数，也是有理数； （每两个之间多一个）是无限不循环小数，故是无理数； 是分数，故是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数． 综上，属于整数的有：； 属于有理数的有：； 属于无理数的有：． 故答案为：；；． 题型五 实数与数轴 解｜题｜技｜巧 数轴上点的位置可估算其代表的无理数大小，反之，已知无理数可在数轴上通过几何构造（如勾股定理）近似表示其点。 【典例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，借助数轴可以得到，，，．在这四个数中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了实数，解题的关键是掌握实数的性质，利用无理数的定义解答． 【详解】解：在，，，这四个数中，无理数有，，，共计3个， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）折叠数轴，若对应的点与3对应的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是______，则对应的点与数______对应的点重合． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了数轴上的翻折，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 折痕为对称轴，与3的中点即为折痕与数轴的交点；点关于折痕对称，利用对称点公式求解． 【详解】解：折叠后重合的点关于折痕对称，折痕与数轴的交点为对称中心． 与3的中点为， 所以折痕交点表示的数是1． 设点的对称点为，则， 即． 对于点， 其对称点为． 故与重合， 故答案为：1，． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【答案】图见解析， 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，先化简各数，确定无理数的范围，进而在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在数轴上表示各数如图： 由数轴可知：． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 题型六 实数的简单运算与估算 解｜题｜技｜巧 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。估算时，将被开方数置于两个连续完全平方数之间。 【典例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）①实数与数轴上的点一一对应；②近似数万精确到百分位；③立方根是它本身的数是0，1；④对于任意一个实数，都可以用表示它的倒数；⑤任何无理数都是无限小数；⑥小明的身高约为米，则他身高的准确值的范围是米米．以上正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的性质，近似数等，根据定义和性质逐个判断即可． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，正确； ②近似数万表示36100，精确到百位，而非百分位，错误； ③立方根是它本身的数有0、1、，错误； ④当时，没有倒数，错误； ⑤无理数是无限不循环小数，因此都是无限小数，正确； ⑥近似数米精确到十分位，准确值a的范围为米米，正确． ∴ 正确陈述为①、⑤、⑥，共3个． 故选：B 【典例2】（25-26七年级下·福建福州·期中）计算： 【答案】 【分析】先计算立方根、绝对值、平方根，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读理解：大家知道是无限不循环小数，而，于是可用来表示的小数部分．请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知，其中是整数，且，求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先得到的范围，即可得出答案； （2）先得到的范围，对已知式子进行变形，求解出，的值，再代入到代数式中求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是； （2）解：， ， ， ， 的整数部分是，小数部分是， 的整数部分是，小数部分是， ，， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 【变式3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的综合运算，涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简、负整数指数幂四个考点，解题关键是分别根据各考点的运算法则化简每一项，再按实数加减运算法则合并计算．先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，再分母有理化，然后合并即可． 【详解】解： ． 题型七 实数的规律探究与简单应用 解｜题｜技｜巧 观察相邻项或间隔项之间的算术关系（和、差、积、商）或与序号n的关系。有时需将数进行适当变形（如分母有理化）以发现规律。 【典例1】（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先把每一项利用平方差公式因式分解，进一步约分化简再计算.此题重点考查学生对数字类规律的探索能力，会化简寻找规律是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴, ∴, 则． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，2的差倒数为，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算的值______． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是写出前几个数，得到存在的规律． 先把前 4 个数求出来， 再分析各数之间存在的规律， 即可求解． 【详解】解：， ，，，， 则该数列以这三个数循环出现， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键． 观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 题型八 新定义下的实数运算 解｜题｜技｜巧 第一步：精读定义，理解规则（最关键的一步） · 技巧：逐字逐句阅读，用笔圈出关键词。明确： 1. 运算对象：是几个数参与运算？通常是两个（二元运算）。 2. 运算顺序：新运算符号左右两边的数，哪个是“第一操作数”，哪个是“第二操作数”？顺序是否可交换？ 第二步：类比转化，代入计算 · 技巧：将新运算符号看作一个“函数关系”或“计算公式”。计算时，严格按照定义，将具体数值代入对应位置。 易错点防范：特别注意运算顺序。 · 技巧：当出现如 ( (x ※ y) ※ z ) 或 ( x ※ (y ※ z) ) 时，必须遵循 “先算括号内” 的原则。先根据定义算出内层新运算的结果，再将此结果作为新的操作数，与另一个数进行外层的新运算。 第四步：方程思想（已知结果，反求参数或未知数） · 技巧：当题目给出如“已知 ( x ※ 4 = 10 )，求 ( x )”这类条件时，将新定义运算转化为关于 ( x ) 的方程。 第五步：验证运算律（谨慎判断） · 技巧：若要判断是否满足交换律 ( a ※ b = b ※ a )，只需按定义分别计算左右两边，看是否恒等。判断结合律 ( (a ※ b) ※ c = a ※ (b ※ c) ) 方法类似。绝大多数新定义运算不满足这些律。 · 交换律。 易｜错｜点｜拨 错误理解定义，张冠李戴 忽略定义中的隐藏条件（最常见失分点） 混淆运算顺序，先入为主 错误示例：定义 ( a § b = 2a + 3b )，求 ( 1 § 2 § 3 ) 时，错误地从左往右计算：先算 ( 1§2=8 )，再算 ( 8§3=25 )。 0. 正确理解：新运算符号“§”的优先级并未定义。若无括号，表达式“( 1 § 2 § 3 )”本身是模糊的、无意义的。题目若出现，一定会通过括号明确运算顺序，如 ( (1 § 2) § 3 ) 或 ( 1 § (2 § 3) )。 0. 防范策略：新运算没有默认的优先级和结合性！ 必须严格依赖括号来确定计算顺序。若无括号，则表达式不成立。 在复杂题中遗忘“新定义”本质，套用旧律 错误示例：在求解涉及新运算的方程或化简时，不自觉地对新运算符号使用分配律、结合律等。 0. 防范策略：时刻提醒自己“这是一个全新的规则”，除非经过证明，否则绝不能假设它满足任何已知的运算律。每一步转化都必须严格基于题目给出的定义。 求解方程后不检验 0. 错误示例：由新定义转化得到的方程，解出未知数后，未代入原定义检验是否满足隐藏条件（如分母非零）。 0. 防范策略：养成习惯，将方程的解代回原定义式或题目条件中，验证其合理性和有效性。 【典例1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 【变式1】（25-26六年级上·上海·期中）如果规定，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及分数的混合运算．根据新定义的算法计算即可． 【详解】解：由题意知， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文加密，接收方由密文明文解密已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，⋯z依次对应26，25，24，（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题主要考查了新定义运算、实数加减运算、数轴、相反数的定义．掌握新定义运算规则及实数加减法运算法则是解题的关键，同时，需注意“分类讨论”思想的运用． （1）根据新定义运算公式将，代入定义公式进行加减运算即可； （2）根据数轴上两点间的距离及相反数的定义求解出，的值，然后，根据定义公式及“分类讨论”思想的运用，依次计算出运算结果即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7， ， 或． 是的相反数，且， ． 当时，， ， 当时，， ． 综上所述，的值为或 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算括号内的平方，再进行开方运算． 【详解】解：． 2．已知，，那么约为______． 【答案】21.54 【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点每向左（向右）移动3个数位，立方根向左（向右）移动1个数位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．的绝对值是__________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运算乘方，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先运算立方根，算术平方根，以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．求式子中x的值： 【答案】 【分析】根据题意整理得到，再利用平方根性质求解，即可解题． 【详解】解： ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列说法：是的平方根任何实数不是有理数就是无理数两个无理数的和还是无理数无理数都是无限小数，其中正确的说法有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据算术平方根、平方根、实数的分类、无理数的概念与性质，逐一分析每个说法的正误即可． 【详解】解：①、∵， ∴①错误； ②、∵，而的平方根是， ∴是的平方根， ∴②正确； ③、根据实数的定义：实数分为有理数和无理数两类，不存在其他情况， ∴③正确； ④、如和都是无理数，但，是有理数， ∴④错误； ⑤、根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，属于无限小数， ∴⑤正确； 综上，正确的有②③⑤． 故选：B． 2．数学探究社团的团徽是如图所示的“赵爽弦图”图案，其中四边形是正方形．已知该图案的面积为，设，，则整数n的值为________． 【答案】6 【分析】根据题意得，由可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴， 又， ∴． 3．对于a，b有，如．根据定义的新运算，计算：的值______． 【答案】 【分析】直接利用已知运算公式计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 4．如果是的算术平方根，是的立方根．试求：的平方根． 【答案】 【分析】先根据算术平方根和立方根的定义列出方程组关于a、b的二元一次方程组，求得a、b的值，再代入A、B求出结果，进而得到的平方根． 【详解】解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴ 解得 ∴，， ∴， ∴的平方根为． 5．把下列各数分别填入相应的集合中： （相邻两个3之间的0逐次加1），，． (1)整数集合：{___________…}； (2)正分数集合：{___________…}； (3)负有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…}； (5)非负整数集合：{___________…}． 【答案】(1)0，，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）； (5)0，， 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、化简多重符号，再根据整数的定义作答即可； （2）正分数是大于0的分数，可以是有限小数或无限循环小数，据此即可解答； （3）负有理数是小于0的有理数，包括负整数和负分数，据此即可解答； （4）根据无理数的定义（无限不循环小数）作答即可； （5）非负整数包括正整数和0，据此即可解答． 【详解】（1）解：整数集合：{0，，，；…}； （2）正分数集合：{，，；…}； （3）负有理数集合：{，，；…}； （4）无理数集合：{，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）；…}； （5）非负整数集合：{0，，…}． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是． 2．设为非负实数，记为不大于的最大整数．若，，则的各位数字之和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据新定义，推导得到x和的范围，联立不等式得到n满足的条件，计算出n后求各位数字之和即可． 【详解】解：∵，为非负实数， ∴为非负整数，， ∵，且， ∴， 将同乘正整数，得， ∴，且， ∵，不满足条件， ，，满足条件， ，不满足条件， ∴， ∴的各位数字之和为． 3．郧阳中学校舍区重新铺设步道，提供的地砖是完全相同的小长方形（如图1），现向同学们征集图形设计，刘同学设计出一个大长方形和一个正方形（如图2、图3），其中所拼正方形中间留下一个小正方形的空白，如果所拼图形中空白的小正方形边长等于，依据题意，学校所提供地砖长宽、的值依次为_________． 【答案】 【分析】根据图形的面积不变，构造两个等式求解即可． 【详解】解：根据图2，得，整理，得； 根据图3，得，整理，得， 故， 解得，（舍去）； 故 故． 4．一个四位自然数，若百位数比千位的2倍多1，则称为“倍多一”数，将这个四位自然数的十位与百位交换得到的新四位数记为，规定，例如3721，，是“倍多一”数，． (1)请判断2521，4853是不是“倍多一”数，请说明理由，若是，请求出对应值． (2)已知是“倍多一”数，其个位数字大于2，将其个位数字的5倍记为，个位数字与1的差记为，若，求出符合条件的． 【答案】(1)2521是“倍多一”数，；4853不是“倍多一”数 (2)1396、3716、4936 【分析】（1）根据“倍多一”数的定义判断即可； （2）设“倍多一”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，并表示出及，再根据要求列出，由，，，且、、都是整数，判断出，再根据取值判断出满足题意的和即可． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴2521是“倍多一”数，． 当时， ∵， ∴4853不是“倍多一”数． （2）解：设“倍多一”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则为， 为， ， ， 由题得，， 若， 即， ，，，且、、都是整数， 则为整数， 为整数， ， ， 或， 或， 若，则满足条件的、有， 此时，； 若，则满足条件的、有和， 此时，， 或， 综上所述，符合条件的有1396、3716、4936． 5．【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图是线段的“好点”，且，则_____． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，3，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是_____个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 【答案】（1）2；（2）①9；②或；③或 【分析】本题主要考查了新定义下的线段关系，线段的和差，实数和数轴，两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据新定义求出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）①根据两点之间的距离公式进行求解即可； ②根据“好点”定义分两种情况进行讨论即可； ③求出秒后点和点表示的数，表示出和的长度，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）根据“好点”定义得， ，， ∴， 故答案为：2； （2）①点，之间的距离为， 故答案为：9； ②当时， ； 当时， ； 综上，或； （3）秒后点表示的数为，点表示的数为， ，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平方根的性质及其应用 题型02 立方根的性质及其应用 题型03 算术平方根与立方根的综合应用 题型04 实数的分类与性质判断 题型05 实数与数轴 题型06 实数的简单运算与估算 题型07 实数的规律探究与简单应用 题型08 新定义下的实数运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平方根 1. 能准确区分“平方根”与“算术平方根”。 2. 能根据定义求一个非负数的平方根和算术平方根。 3. 掌握算术平方根“”的双重非负性（a≥0，≥0）。 高频基础考点。常以选择题、填空题形式直接考查概念辨析和简单求值。易错点在于混淆平方根与算术平方根，以及忽略= |a|中的绝对值。 立方根 1. 理解立方根的唯一性（任何实数都有且只有一个立方根）。 2. 能熟练求任意实数的立方根，掌握 = -的性质。 中频考点。常与平方根对比考查，题型以填空、选择为主。易错点在于将平方根的性质错误迁移到立方根上，或求负数的立方根时符号出错。 无理数 1. 能依据定义（无限不循环小数）准确识别无理数。 2. 掌握常见无理数的形式（如π、开方开不尽的数、有规律但不循环的小数）。 核心概念考点。常以选择题形式出现，用于判断实数分类。易错点在于误认为所有带根号的数都是无理数（如=2是有理数）。 实数的性质 1. 理解实数与数轴上的点一一对应关系。 2. 掌握实数的相反数、绝对值的意义，与有理数性质一致。 基础兼综合考点。“一一对应”性质是理解实数在数轴上位置和进行估算的基础，常渗透在其他题型中。单独考查时多为简单判断或填空。 实数的混合运算 1. 掌握运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 2. 能熟练进行含绝对值、算术平方根、立方根的混合运算。 关键能力考点，分值占比高。常以计算题形式出现，是考查运算准确性和熟练度的核心。易错点集中在符号处理、运算顺序和近似值取舍上。 实数的大小比较 1. 能利用数轴、绝对值或平方的方法比较两个实数的大小。 2. 掌握估算无理数大致范围的方法（找相邻的完全平方数）。 中频考点。题型包括填空、选择和简单解答。常与数轴结合，或要求比较含根号的无理数与有理数的大小。 实数与数轴 1. 能在数轴上表示无理数（如）的近似位置。 2. 能根据数轴上点的位置，写出其对应的实数或进行相关计算。 数形结合难点。常作为中档解答题出现，考查几何构造（勾股定理）和代数运算的结合。是区分学生综合应用能力的重要题型。 知识点01 平方根与算术平方根 定义：若 x² = a (a ≥ 0)，则 x 叫做 a 的平方根。正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作 ；0的算术平方根是0。 核心要点： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 具有双重非负性：a ≥ 0 且 ≥ 0。 = |a|。 易错点：混淆平方根与算术平方根；忽略算术平方根的非负性；计算 时漏掉绝对值。 知识点02 立方根 定义：若 x³ = a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 。 核心要点： 任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 = 。 易错点：混淆立方根与平方根的性质；求负数的立方根时符号出错。 知识点03 实数 定义与分类：有理数和无理数统称为实数。无理数是无限不循环小数（如π，等）。 核心要点： 实数与数轴上的点一一对应。 实数的相反数、绝对值意义与有理数相同。 可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，且有理数的运算律在实数范围内依然适用。开方运算与乘方运算是同级运算。 易错点：对无理数概念理解不清（误认为带根号的数就是无理数）；实数运算时，忽略运算顺序，特别是开方与乘除的先后。 题型一 平方根的性质及其应用 解｜题｜技｜巧 紧扣定义，看到“平方根”考虑正负两个值（除0外），看到“算术平方根”只取非负值。 易｜错｜点｜拨 混淆“平方根”与“算术平方根” 忽略“双重非负性”，特别是被开方数非负 【典例1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）下列说法中正确的是（   ） A．任何数的平方根有两个 B．一个正数的平方根的平方就是这个数 C．只有正数才有平方根 D．不是正数，没有平方根 【变式1】（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【变式2】（23-24八年级下·北京·期中）若，则_____，_____． 【变式3】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）已知，先化简，再求值． 题型二 立方根的性质及其应用 解｜题｜技｜巧 易｜错｜点｜拨 【典例1】（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式1】（12-13八年级上·福建泉州·期末）计算_________． 【变式2】（25-26八年级上·四川达州·期中）立方根为的数是__________，的平方根是__________． 题型三 算术平方根与立方根的综合应用 解｜题｜技｜巧 题型一：混合运算与化简 · 题型特征：算式中同时包含算术平方根、立方根、绝对值、乘方等运算。 · 解题技巧： 1. 公式优先：识别并应用关键公式。看到 立刻写为 |a|；看到 直接写为 a。 2. 确定符号：对于 = |a|，必须根据已知条件或数轴判断 a 的正负，再去绝对值。 3. 运算顺序：严格遵循运算顺序：括号 → 乘方、开方 → 乘除 → 加减。开方（包括平方根和立方根）与乘方是同级运算。 题型二：基于定义的方程与代数式求值 题型特征：已知某式的算术平方根或立方根的值，求原式或相关代数式的值；或两者结合。 解题技巧： 1. 逆向思维： · 若 = B (B≥0)，则 A = B²。 · 若 = D，则 C = D³。 2. 建立方程（组）：当算术平方根和立方根条件同时给出时，分别列出方程，联立求解。 题型三：非负数性质的综合应用（重点） 题型特征：算式呈现为“算术平方根 + 绝对值 + 平方（或立方根）”的形式等于0，或隐含此结构。 解题技巧： 1. 识别非负数：算术平方根（，要求A≥0）、绝对值（|B|）、完全平方（C²）的结果都是非负数。注意：立方根（）的结果不一定是非负数，不能直接用于此性质。 2. 列方程组：若 + |B| + C² = 0，则必有 A=0, B=0, C=0。 易｜错｜点｜拨 概念混淆：将立方根性质误用于平方根，或反之。 符号处理错误：在化简 √(a²) 时，忽略对 a 正负的讨论。 运算顺序错误：在混合运算中错误合并开方运算。 在综合题中顾此失彼：只注意到题目中的一个条件，忽略另一个。 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 题型四 实数的分类与性质判断 解｜题｜技｜巧 依据定义分类，注意π及开方开不尽的数（如）是无理数，但=2是有理数。利用“一一对应”理解实数与数轴关系。 【典例1】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤0，⑥ 整数：____________； 负分数：____________； 无理数：____________． 【典例2】（25-26八年级上·山东济南·月考）已知m，n是有理数，且，的值为_______． 【变式1】（24-25七年级上·山西吕梁·月考）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______（填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 题型五 实数与数轴 解｜题｜技｜巧 数轴上点的位置可估算其代表的无理数大小，反之，已知无理数可在数轴上通过几何构造（如勾股定理）近似表示其点。 【典例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，借助数轴可以得到，，，．在这四个数中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）折叠数轴，若对应的点与3对应的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是______，则对应的点与数______对应的点重合． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 题型六 实数的简单运算与估算 解｜题｜技｜巧 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。估算时，将被开方数置于两个连续完全平方数之间。 【典例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）①实数与数轴上的点一一对应；②近似数万精确到百分位；③立方根是它本身的数是0，1；④对于任意一个实数，都可以用表示它的倒数；⑤任何无理数都是无限小数；⑥小明的身高约为米，则他身高的准确值的范围是米米．以上正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（25-26七年级下·福建福州·期中）计算： 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读理解：大家知道是无限不循环小数，而，于是可用来表示的小数部分．请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知，其中是整数，且，求代数式的值． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）计算： 【变式3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 题型七 实数的规律探究与简单应用 解｜题｜技｜巧 观察相邻项或间隔项之间的算术关系（和、差、积、商）或与序号n的关系。有时需将数进行适当变形（如分母有理化）以发现规律。 【典例1】（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）则_______． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，2的差倒数为，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算的值______． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【变式3】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 题型八 新定义下的实数运算 解｜题｜技｜巧 第一步：精读定义，理解规则（最关键的一步） · 技巧：逐字逐句阅读，用笔圈出关键词。明确： 1. 运算对象：是几个数参与运算？通常是两个（二元运算）。 2. 运算顺序：新运算符号左右两边的数，哪个是“第一操作数”，哪个是“第二操作数”？顺序是否可交换？ 第二步：类比转化，代入计算 · 技巧：将新运算符号看作一个“函数关系”或“计算公式”。计算时，严格按照定义，将具体数值代入对应位置。 易错点防范：特别注意运算顺序。 · 技巧：当出现如 ( (x ※ y) ※ z ) 或 ( x ※ (y ※ z) ) 时，必须遵循 “先算括号内” 的原则。先根据定义算出内层新运算的结果，再将此结果作为新的操作数，与另一个数进行外层的新运算。 第四步：方程思想（已知结果，反求参数或未知数） · 技巧：当题目给出如“已知 ( x ※ 4 = 10 )，求 ( x )”这类条件时，将新定义运算转化为关于 ( x ) 的方程。 第五步：验证运算律（谨慎判断） · 技巧：若要判断是否满足交换律 ( a ※ b = b ※ a )，只需按定义分别计算左右两边，看是否恒等。判断结合律 ( (a ※ b) ※ c = a ※ (b ※ c) ) 方法类似。绝大多数新定义运算不满足这些律。 · 交换律。 易｜错｜点｜拨 错误理解定义，张冠李戴 忽略定义中的隐藏条件（最常见失分点） 混淆运算顺序，先入为主 错误示例：定义 ( a § b = 2a + 3b )，求 ( 1 § 2 § 3 ) 时，错误地从左往右计算：先算 ( 1§2=8 )，再算 ( 8§3=25 )。 0. 正确理解：新运算符号“§”的优先级并未定义。若无括号，表达式“( 1 § 2 § 3 )”本身是模糊的、无意义的。题目若出现，一定会通过括号明确运算顺序，如 ( (1 § 2) § 3 ) 或 ( 1 § (2 § 3) )。 0. 防范策略：新运算没有默认的优先级和结合性！ 必须严格依赖括号来确定计算顺序。若无括号，则表达式不成立。 在复杂题中遗忘“新定义”本质，套用旧律 错误示例：在求解涉及新运算的方程或化简时，不自觉地对新运算符号使用分配律、结合律等。 0. 防范策略：时刻提醒自己“这是一个全新的规则”，除非经过证明，否则绝不能假设它满足任何已知的运算律。每一步转化都必须严格基于题目给出的定义。 求解方程后不检验 0. 错误示例：由新定义转化得到的方程，解出未知数后，未代入原定义检验是否满足隐藏条件（如分母非零）。 0. 防范策略：养成习惯，将方程的解代回原定义式或题目条件中，验证其合理性和有效性。 【典例1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【变式1】（25-26六年级上·上海·期中）如果规定，那么________． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文加密，接收方由密文明文解密已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，⋯z依次对应26，25，24，（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，那么约为______． 3．的绝对值是__________． 4．计算： (1)； (2)． 5．求式子中x的值： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列说法：是的平方根任何实数不是有理数就是无理数两个无理数的和还是无理数无理数都是无限小数，其中正确的说法有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．数学探究社团的团徽是如图所示的“赵爽弦图”图案，其中四边形是正方形．已知该图案的面积为，设，，则整数n的值为________． 3．对于a，b有，如．根据定义的新运算，计算：的值______． 4．如果是的算术平方根，是的立方根．试求：的平方根． 5．把下列各数分别填入相应的集合中： （相邻两个3之间的0逐次加1），，． (1)整数集合：{___________…}； (2)正分数集合：{___________…}； (3)负有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…}； (5)非负整数集合：{___________…}． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 2．设为非负实数，记为不大于的最大整数．若，，则的各位数字之和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．郧阳中学校舍区重新铺设步道，提供的地砖是完全相同的小长方形（如图1），现向同学们征集图形设计，刘同学设计出一个大长方形和一个正方形（如图2、图3），其中所拼正方形中间留下一个小正方形的空白，如果所拼图形中空白的小正方形边长等于，依据题意，学校所提供地砖长宽、的值依次为_________． 4．一个四位自然数，若百位数比千位的2倍多1，则称为“倍多一”数，将这个四位自然数的十位与百位交换得到的新四位数记为，规定，例如3721，，是“倍多一”数，． (1)请判断2521，4853是不是“倍多一”数，请说明理由，若是，请求出对应值． (2)已知是“倍多一”数，其个位数字大于2，将其个位数字的5倍记为，个位数字与1的差记为，若，求出符合条件的． 5．【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图是线段的“好点”，且，则_____． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，3，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是_____个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $