同学们，我们今天来讲原函数与导函数的共同问题。什么是原函数和导函数的共同问题呢？就是在题目中出现了。F. X与FPX的代数式或者是不等式的形式。那么如果出现了关于FX和F1撇X的不等式或者是等式的形式的话，一般来说需要构造函数去解。今天我们讲的这个题是一个压轴题，难度很大。大家可以将视频暂停五分钟做一做，看有没有解题的一个突破口。好，我们可以看一下这道题，先告诉我们的是一X次幂乘以F撇X加上二倍的FX等于根号X大家看这个就是原函数和导函数的共存共存的一个关系式。而且告诉我们有一个2分之1对的函数值已经告诉我们了，若对于任意的正数AB都属于都有这样一个不等式成立，那么求X范围。一般来说碰到这样一个不等式，我们首先要想的是把右端化成一个FCCC的形式，利用单调性来去F这是一个非常常规的思路。那么这道题需要构造，构造的时候大家看一下，关于这个里面是一个加法，而且有一个二倍。所以此时我们要构造一个层级的形式，乘积的形式又有一的X次幂，所以说肯定跟一的X次幂有关。而且如果跟一的X次幂有关，求导之后会出现二倍的关系。我们不妨大胆的去尝试一下这样一个函数，就是GX等于E的2X次幂去乘以FX那么有同学说老师我要是乘以2X这样去构造？有些题目是可以的，但是这道题是不行的。这道题我们是必须构造成这样一种形式，才可以跟题目中的这个共存的关系式是相挂钩的。我们看一旦构造GX等于一的2X次幂乘以FX，我们对这样一个式子两边同时就是对原来的这个式子两边同时乘以E的X次幂。原式可化为。E的2X次幂去乘以F1撇X加上一个两倍的FX一定是等于E的X次幂乘以根号X可以得到这样一个式子。得到这个式子之后，我们对GX求导，我们可以看一下这个GPX，很明这个求导的过程我就不再写了。我们直接求完之后，它的结果就是一的2的X. 次。幂乘以F1撇X再加上一个二倍的FX。这个刚好是等于一的X次幂去乘以根号X，这个导函数我们已经解出来了，我现在研究的是FX性质，所以说我们由刚才构造的这个函数来反解FX所以说这个FX就等于E的2X次幂分之GX这样把它解出来，解出来之后，然后我们再重新求导，所以则有F1撇X有它的导函数等于分母的平方。分子GPS乘以E的2X次幂，我们减去GX乘以E的2X幂，求导就是两倍的E的2X次幂。把这个化简整理一下之后，就等于GPX减去二倍的GX去除以E的2X次幂。好，然后再把这个GPX等于E的X次幂乘以根号X代进来，那么它就等于E的X次幂乘以根号X减去两倍的GX然后再除以E的X次幂。现在我们令这个分子这个整体函数为HX重新相当于求二阶导分子的函数的这个二阶导就是进一步研究它的单调性，现在把它构造成HX然后我们再重新研究HX它的性质，我们就对HX进行求导，A一求X求导，它就等于E的X次幂乘以根号X加上一个根号X求导就是2分之1乘以X的-2分之1次方，再乘上一个E的50次幂。好，然后我们把这个式子整理化简一下。通分化简的结果就是两倍根号X分之一的X次幂，再乘以一个一减2X大家发现没有？这个HA处它有一个极值点是2分之1，所以the . HX. 在零到2分之1上会有导函数，大于0HX就是单调递增了。在2分之1到正的无穷大上，导函数很明显是小于零的，HX是单调递减的那这样的话HX就有一个最大值，它一定是小于等于H2分之1。把H2分之1求出来，这个结果就是。根号E乘以二分之根号2减去2乘以一再乘以两倍根二亿分之一，两倍根一，这个根根号可以打长一点，这个是刚好算出来是等于0，所以就是等价于一阶导函数，它是小于等于零的。好，这样的话我们把导函数它是一个很负的这样一个非常重要的一个条件推导出来了。所以NE取XFX，它在零到正无穷大上等的第一。算到这一步之后，我们再看再看这个不等式的业务端。这个式子又因为A方E方分之一加上一个64倍的。B方分。之一，再加上8分之1B。8分之1B我们把这个8分之1B听好了，我们把它拆成两个16分之1B出来。当然了这个题或者大家注意，直接把第一项用进步的是放缩，它大于等于二倍的根号下A方B方分之一去乘以64B方分之一，再加上一个八分之AB这是第一步变形。这个算完之后我们把它开出来，64开个8就是8EAB。分之二我们再加上一个8分之1B然后再用一次基本不等式，这个一定是大于等于二倍根号下两个一乘积，那就是八方一AB分之2AB整理出来之后，这个化简之后就是二倍根号2E分之一，这个刚好是等于谁呢？这个刚好是等于F2分之1。所以我们。只需。满足当然取等的条件。大家注意第一次取等和第二次取等于这个条件可以同时满足的。这个我们也可以把它算出来，也就是A方B方分之一等于64，B方分之一等于16分之1B这个可以算出来它是成立的。那么最后我们可以只要写到F只要满足F4的X次幂减2的X次幂，再减去2分之3，只要小于这个F2分之1即可。注意，这个刚好就是F2分之1，最后再解这个指数不等式，根据它是单调递减，所以说我们只需要满足四的X次幂减去2的X次幂减2分之3，大于2分之1即可。解这个关于2X幂的不等式，我们可以算出2的X次幂减2去乘以2的X次幂加一大于0。因为2X次幂是恒大于零的，所以说我们只需要满足2X次幂减二大于0就可以了。且这个指数不等式很明显可以推出X是大于一的，那么这个答案选的就是D，今天这样一个题目实际上难度还是比较大的。就如主要是第一个是构造这个函数难度比较大。第二个是大家注意在求了一阶导之后，你要重新构造一个函数HX再求二阶导。然后后面这涉及到不等式的恒成立问题，也有一些小难度，要用近不等式来求最值。好，今天关于原函数与导航的共同问题我们就讲到这里。感谢您的收看，下期视频我们再见。