好，同学们，今天我们来讲含三角的导数这个问题。这里提醒我相信很多同学非常期待这类题型的。怎么去解？你像这个长三角的结合的题目很多，你想考的单调性，你点的个数正不等式等也是经常出现的。我们今天这个篇幅，我们首先来看一下，有一个经典中的经典秘籍，非常的典型，主要涉及到单调性和零点个数的问题，也是非常爱考的。大家可以将视频暂停5到10分钟做一做，看能不能有突破口。尤其是第二问。我们首先把第一问解决一下，这个第一问是讨论单调性。讨论这个单调性，首先我们先对这个函数求导。X减二分之派求导是一乘以cosine x加上X减二分之派乘以cosine XX求导就是负的sine x我们可以写成减去X减二分之派去乘上一个CX好，还是属于零到派。我们先观察一下，对于零到派上的话，这个cosine x是有正有负，而sine x是很正的。但是X减2派是有正有负的，就是从二分之派出1分之2。我们先观察一下这个，且我们写个且F1撇二分之派，我们会发现这个带进去之后发现刚好为零了。如果为零的话，我们就从零处一分为二，从二分之派处一分为二。我们首先来看一下，当零小于X小于二分之派的时候，这个很明显cosine x它是大于零的，而X减二分之派是一个负值。所以说X减二分之派倍的sine x它肯定是一个小于0，这个一减，所以F撇X它肯定就是一个大于零的。所以FX它在0到20到2分之派，这个零可以带B级。它是一个单调递增的函数。当X大于二分之。派小于。等于派的时候，那么这个时候cosine x明显是一个负值，cosine x是一个负值，而sine x使用是正值，X减二分之派倍的sine x它肯定是一个正值。这一减可以得出这个导函数它就是一个负值。导函数是负值，那就说明了这个FX在二分之派到派上，它是一个单调递减的。我们看是先增后减，这样的话我这个单调性就已经求完了。所以说中长期。FX在0到2分之派上是单调递增，二分之派到派上是单调递减。好，这个第一问我们就求完了，我们看第二问，判断FX在二分之派到2分之3派上的零点的个数。我们要做这道题之前，首先我们已经分析了零到派上的这个单调性，我们可以把其中的一段的草图可以先把它画出来。首先我们把这个区间的端点，我们把它求一下，先看。F0。区间端点F0再去就是负二分之派乘以Q乘以0就是一再加上个一，很明显它是小于零的F2分之派。当然人家研究的是从二分之派开始的，所以说我们这里面求F2分之派就可以了。这个F2分之派代进去cosine，二分之派就是0 0加1，就是一，明显是大于零的。而F派你看F派，那么F派就等于派减它合成派就是负一，那就是负派加1，明显是小于零的。这样的话我们可以画一个大致的草图，这个是二分之派，二分之派这个是派，这个是2分之3派的位置，它是先正后负，而且是单调递减的。这样的话就可以存在一个理念。又因为FX在二分之派到派上，很明显它是在递减的，所以存在一个唯一的一个理念存在。我就。直接就写，FX在二分之派到派上存在。唯10点，这就是零点存在性定理。我们先解决一个零点再说，然后我们再看一下，当X属于派到2分之3派的时候。当然了，我们可以先观察到F2分之3派。这个F2分之3派我们把它带进来看一下，F2分之3派减就等于2分之3派，减出来就是派乘以cosine，二分之派就是零，再加一就等于一，它又跑上去了，那他中间是不是单递增的呢？这里面我们恐怕要再涉及到二阶导去研究，为什么呢？因为大家可以发现，我们这个一阶导，你如果说是在派到2分之3派之内，派到2分之3派这个范围，可以看一下余弦函数图像。那这个是余弦，这个是派，这个绕上来是2分之3派，它是个负值，这个前面它是个负值，而派到2分之3派上这个也是负值，这是正值有正一正减一负是正式不确定的。所以说我们。干脆涉及到二级的，我们就立GX等于F1撇X然后把这个F1撇X就不再抄了。然后我们对这个二阶导就相当于导函数的导数，我们听不到求导之后cosine x求导是负的sine X。减去一去乘以sine x好，再减去X减二分之派乘以cosine x好，我们把这个式化简一下，就等于负二倍的CX减去。X减二分之。派去乘以cosine x好，我们画画完了，大家看一下，在派到2分之3派的时候，我们知道此时很明显sine x小于零的，sine x小于0。而且X减二分之派乘以cosine x我们的这个是正值，这个是负值，一定是负，它也是一个小于零的值。那你这两个都是小于0，这前面都是有一个负号，所以你这个GPX它肯定是一个大于零的。是这就说明GX等于FPX它在这个。是等号。等号它在派到2分之3派上。等着地震。那这样的话我们研究一下区间的端点，又因为。G2分之. 派和G应该是从派X就是G派G派G派的话我们带进去，那就是cosine派减去派减二分之派就是二分之派乘以sine派。Sine派我们就是零，cosine派就是等于负一小于0，同理G2分之3派就是等于派大于0，所以说存在一个引力点，X0属于派到2分之3派，使得。GX0等于0。这样的话我们可以画一个草图看一下。你比如说这个图像它是这样的那你这个位置是派这个位置是2分之3派，G派是一个负值，这个相当于导函数的图像，GX就是F1撇XGX是超出这个是X0，这就说明FX它应该是先解或者X0有最小值，而派出去是一个负值。所以说我们刚才接了这边的这个图像，你比如说这个是X0派到X0是减的，S0到2分之派有增的。所以说这边我们再看F2分之派是一个一，它是个正值。刚才这个位置我们已经求出来了，所以我们只后面直接写步骤就可以了。所以当X属于这个派到X. 0时。很明显GX等于F1撇X小于0，此时FX单调递减。当X属于X0到2分之3派时，这个时候的GX。等于F1撇X大于FX单调递增，而且所以FX在派到2分之3派上存在。唯一的lily。中上值注意，一定要把这个F2分之3派大于零交代一下，也是用0.33定理，而且这个零点它一定是位于S0到2分之3派之间。好，那么。最后。再答一下，函数FX在二分之派到2分之3派上有两个力量。好，今天关于含三角的导数综合问题，我们就讲到这里。感谢您的收看，下期视频我们再见。