同学们，今天我们来讲利用泰勒的公式解决不等式相关的问问题，主要是来解这个不等式或者是证明不等式。泰勒公式我们这是高等数学的东西，在我们高中阶段是属于超纲的内容。那么什么是泰勒公式呢？就是如果FX在X0处的某一个小的领域内，也就是说在X0的附近，如果说有定义，而且具有N加一阶的导数，那么在X0异于X0的任意一个点的话，它至少存在一个点QC使得它满足题目中这样一个关系式。这个关系式我给大家来写一下，就是FX等于FX0加上一个F1撇X0去乘以X减去X0，所以这是一阶导，我们再写一个二阶导，就再加上二的阶层，所以下方是二的阶层分支。F1撇X0就是X导函数对应的在X0处对应的导函数值，所以这个位置是两撇。如果说是第二，第三个是就是二阶导，然后再乘以X减去X0的平方加到最后。如果说第N加一个是展开之后，它我们写成N的基层分支分解的X力，再乘以X减去X0的N次方，再加上RNX。一般来说这个RNX，你像那个我们就称之为一个鱼。像你像这个鱼像有这样几类，最典型的有一个叫做拉格朗日余项，这个鱼还有佩洛佩洛亚鱼。像我们看这个余项，我们其中这个RNX这个式子，我们可以写一下，它就是N加一阶的N加一的阶层上面对它就是N加一阶。导函数在QC处对应的函数值再乘以X减去一个X0的N减1次方，这个就是它一般来说我们可以放松把它放掉。既然是这样的话，如果说我们就令X0等于0，这里面我们就得到一个非常特殊的一个公式，这个公式叫麦克劳林公式，我们称作麦克辽宁公司。好，现在我们把它代进去，即这个FX那么就等于F0，加上一个F1撇零乘以X减X0就是X多少次方，那就是X的1次方。那么第三项就变成二的积分，二分之F2撇0，然后X的平方。好，然后到第N加一个式子，那肯定就是N的阶乘分之FN就是对于它求N阶导对应的零的函数值。然后XN次方后面再加上一个余项，这样的话我们来举几个特殊的例子，你比如说我们的E的X次幂，这个是很常见的E的X次幂。如果FX等于E的X次幂的时候，它不管你是求几阶导，它对应的N阶导函数，解析式也是依然X幂。那这样的话我按照刚才这个展开，我的EX幂就可以写成F01的0次方，它就是一加上。大家发现没有，只要把零带去这个F1撇零也是一一乘以X那就是一加X那么第三项就是二的阶乘分之X平方，一直加到这个N的阶乘分之X的N次方，继续加，一直可以累加下去，无限下去这个公式我们如果用连加号来写的话，就是西格玛N等于零到正的无穷大，然后N的阶乘分之XN次方，这是得了一个四。那么下面我给大家来介绍几个常见的麦克劳宁公司展开了，有可能考试的时候可以用上了，你们想做笔记就可以做笔记。比如说这个第一类，是这个是非常常见，我们就不再叙述。第一个一减X分之。如果我们按照刚才的式子公式展开之后，它就是一加X加上X平方，一直加到XN次方，一直加下去。它是等于西格马N从零到这个无穷大X的N次方。一般来说这个X范围它是属于-1到1的这是第一个公式。第二个公式就是一加X分之一，那么它就等于一减X加X方减X3次方，一直加到负一的N次方，X的N次方再加上去，后面那个连接号我就不再写了，大家注意核心的东西，你们就记我这个画横线的这几个是你用这种推导剂更好，对吧？这个X范围仍然是属于这个X范围仍然是属于-1到1的，这是第二个。那么第三个式子，我们就看了一个对数的，这个对数的就是一加X这个整理之后这样，我们直接用西格马写，就是省空间，就是N从零到这个无穷大。N加一分之负一的N次方，然后乘以X的N加1次方。其中这个X它是属于-1到1的。同样第四个式子，注意第四个式子，我们记得两个三角的，一个是正弦的sine x它就等于西格马N从零到正的无穷大，负一的N次方去乘以X的2N加1次方去除以2N加一的计算，这个X可以属于全体实数。同样第五个是我们再看一下这个余弦的cosine x那么它就等于西格马N从零到正的无穷大。然后负一的N次方去乘以2N的阶乘分之这个X的2N次方，这个X是属于好的，大概是这几个常规的，我们记一下就可以了，下面我们看后面的后面我们看这个比较大小，就是我们可以利用这个公式展开应求就可以了。你们做这种题的时候，如果说能记得这个结果，直接套那比较快。比如说这个公司的背景，我们看它都是取的4分之1都是取的4分之1，我们直接运算就可以了。比如说你这个cosine x按照刚才的公式cosine x它就应该等于一减去2的阶乘分之X平方，加上四的阶乘分之X的4次方，减去6的阶乘分之X的6次方。有同学说老师那4分之1算六十太复杂了，确确实实很复杂。我们一般来说算三项就差不多了。你比如说这个所以这个cosine 4分之1我们算三项，那就是一减第二项，我们算算的时候就是32分之1，第三项带进去，算的就是61 44分之1，这个大概约等于0.96891276。但大家看这个数，只要你不用算那么多位，算个接近算了，一般小数点后三位到四位就够了。我这是用计算器算的，所以说给大家写全了。你们实际在下面手算数无需这么精确。可能两位就可以了也可能三位。如果你可以先算两展开两步用放缩做，如果两步看不出来，你就再加一步。你比如说我们这个Q三四分之1 1减32分之一，就是32分之31。三十一它已经大于明显是大于这个明显是大于A了，你后面就不要比了。大家能听懂这个意思就可以。然后我们再看一下这个sine x sine x这个展开式刚才我们说了，它就等于X减去三的阶乘分之X的3次方，加上五的阶乘分之X的5次方。也其实看三项就够了，我们不需要看那么多。所以我们再看四倍的sine 4分之1，那就等于4乘以里面带就是4分之1减去384分之一，然后再加上这个用计算器算的话，是1 22880分之1。还是那句话，你考试的时候没有办法了，把4乘进来。你看这个四算进来之后，估算就可以了，不需要算的很小数。如果你要是真用计算器算的话，考试也不让带，对不对？我们平时练的时候可以看一下，有时候它也是一种解题思路。所以说今天给大家讲的这个方法也是一种途径，但不是主流的方法，我其实是不是特别推荐的。但是为什么讲这个专项呢？因为很多老师也在讲这个泰勒展开式，他还是有点用处的。我们还是说一下，所以说最后算出来这个答案，很明显选的是A这道题所以说只要记公式无脑计算就可以了。好，那么关于他的公司我们就讲到这里，感谢您的收看，下期视频我们继续将导出相关的问题。