这一期我们来讲函数与数列不等式的综合问题。我们知道数列不等式难度很大，如果用导数结合的话，往往他会在第一问有提示。如果没有提示，大家注意找根据数列不等式的特点要进行放松，往往需要拆分放出来之后再求和。我们先看一下这样一道题，大家可以试着先做一下。首先我们把第一问给解决掉，这个第一问比较的相对比较简单，它基本上是送分的。我们看如何来证明FX是零到2分之1之间的值。我们先看这个FX大于零怎么证，这是第一问。我们看啊要证FX大于。零指序正，注意。等价变形，只序正。我们把两边同时乘以X倍的E的X减，你看你证明左边比右边大，只要证明X小于E的这个X次幂减一就可以了。所以说只需证明零小于X小于E的X次幂减1。那现在我们显然的我们现在来构造一个就是一项构造，我们现在就立GX等于E的X次幂减一减X只要证明它是大于零的就可以了。我们对它求导。EX求导。就是E的X次幂减一求导就是零，然后减X求导就是负一，这个明显是大于零的。因为X是大于0，E的X方就大于一，所以GX在。零到正的。无穷大上是单调递增的，所以GX那么就大于G0。而且大家发现没有，把这个零带进去，这个G0就是0。既然GX大于0，所以E的X减一就大于X，所以就等价于FX等于0，这个就证完了这是左半部分，我们看右半部分。同样我们的矫正FX小于2分之1成立，两边同时还是一样画，持续证等价证明。这个旁边的数写我在这旁边写，你想你要证明X分之一减去E的X次幂减1分之1小于2分之1。我们把这个两边同时乘以二倍的X2倍的X乘以EX减B那就是二倍的E的X减1减X，那么小于X倍的E的X次方减一这样来写。然后我们把这个式子把它整理一下，我们只需证明X减二倍的，所以这有个二倍EX和X倍的EX合并，有一个X减二倍的E的X次。幂加上。X加上二大于0，这是等价于证明。然后我们令这个函数为一个新函数HX跟前面的套路。是一样的。这是构造，那么则研究它的真理性。这个求导也非常的简单。这里面大家看求完导之后，并不能看出它的零点是什么。我们就干脆再你再求一次导，我们就令MX等于HX，H撇X，则MPX就是它的二阶导。二阶导我们求一下之后，那么这个就等于X倍的EX很明显是大于零的，它在大于。零。它的恒星力量，所以我这个MX一定是很大于。M0，这个。M0就是等于HP0，把一撇零带去，大家发现没有？它就是零，它就是零。就等价于。GHPX，它是恒大于零的。这就说明原函数。HX. 在零到正的无穷大小，它是单调递增的，所以AHX它就大于AH0，而这个A是零的。但你算了方向它也是零，所以我们就证完了，所以说这个FX就小于2分之1。好，所以最终的这个结果就是零小于FX小于2分之1乘以。这个第一问就讲到这里，然后我们再看一下第二问。第二问我们来观察一下这个式子，这个式子我们在证的时候可以这样来进行。我们先看一下这个左边，左边大家注意观察你这中间的每一项。实际上这个题就要用到烙印X和X加2分之2X这样一个是去证就可以了。原因大家注意分析，你们在分析的时候主要是要找哪个东西呢？主要是想用这样一个式子，就是出现这个出这个一定是累加之后的结果，就等价于证明lin n加一减去ln n要大于2N加1分之2。你们看这个左边的，这个是里面是它，我要证明这个是成立。我们把这个化简一下，N加一除以N那就是N分之，N加一就是老人一加N分之1，大于谁呢？大于2N加1分之1。但是我们为了出现N分之一，我们把分子分母同时除以N那就是N分之2。除以2加上一个N分之一，就把它整理变形一下，然后再定N分之一为X那么这个就等价于ln 1加X要大于2加X分之2X，大家发现没有？我就这样来证，我们就看这个事实是不是成立的。下面我们来做差一项构造一个函数，所以说这个第二问我们先立，比如说RX等于ln x加1，我主要是左边一讲，右边的好多的有一些题的套路都是通用的，就是2XX大于0。我们对这个函数求导，第一个求导就是X加1分之1减去这个分式函数。很简单，大家直接把这个根据除法的求导法则化解。把这个再通过分化简一下，这个就是X加一去乘以X加2的平方分之X方，这个是恒大于零的。这就说明RX它是在零到正无穷大。上是单帧。所以RX就大于R0。有没有发现把这个耳钉带进去，它就是零了。这样所以当X大于零的时候，我们会有ln x加1，就大于X加。2分之2X. 这跟刚才一样，我们现在就令这个X等于AN分之一格，就是把刚才我们分析的式子把它抄一下就行了。等于ln 1加N分之一，那么就大于N分之2去除以N分之一加上2，那么就等于2除以2 0加1好，这个一般的。普通形式。记lin n加一减去一个ln n不就大于2N加1分之2。所以我们看N取一的时候，其实就是ln 2减去ln 1，那么不就大于2乘1对吧？它就变成一这个2乘1加1分之2，那么这个logo 3减ln 2，那么就大于2乘2加1分之2，以此类推，我们就写到这个烙印，N加一减去NN就应该大于2N加1分之2。雷加德就是不认识，我们看啊相加的，那么左边我们累加之后，就是烙印N加一定是大于西格玛。可以从一到。N然后后面里面写可以写2K加1分之2提升。这是左边，我们看右边的，右边大家这个非常常规，你看也是一样的，这里面用N分之1比，所以说我们就用第一问左边那个是啊又因为当X大于零的分析思路是一样的，我们构造这样一个函数。这个就不用证了，前面刚才已经证过了，它是大于X加1，我们就直接令X等于N分之一，会有E的N分之一次幂就大于N这个一加N分之一，两边图是N次方，所以说E就大于一加N分之一的。知道两边同时在取对数，所以ln e就大于ln 1加N分之一的N次方，这个就等于N倍的ln 1加N分之一。继续整理，lin一就是一，所以N分之一就大于ln 1加N分之一。这个一通。分就是N分之N加1，那这不就是烙印N加一减去一个等于N成立。所以说我们继续写，比如说1分之11就大于ln 2减lin一二分之1那么就大于ln 3减ln 2。好。一直写。到这个N分之一，那么就大于烙印N加一减去一个烙印N我们看这个，所以李加德。左边就是西格马K从一到NK分之一。右边我们整理完了之后，就是log n加一减去ln一就是等于2N加一好这个就整完了。行，那么今天关于这个数列不等式，大家主要是有一个重要的分析思路。就是看你把它累加之前的地推项跟后面的那个递推项进行比较就可以了，从而可以构造出来，这是也是一个小难点。好，今天这个数列不等式的小题型我们就讲到这里。