第八章实数综合测试卷2025-2026学年人教版 七年级数学下册

第八章实数综合测试卷 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.4 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数），据此判断各选项即可． 【详解】解：∵有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数； ∴A选项，-4是整数，属于有理数； B选项，，2是整数，属于有理数； C选项，是开立方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； D选项，0.4是有限小数，属于有理数； 故选：C． 2．（本题3分）下列数既不是正数，也不是负数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类，掌握实数的分类方式是解题关键． 实数分为正实数、0和负实数，根据分类判断即可． 【详解】实数分为正实数、0和负实数， 故既不是正数也不是负数的数为0， 故选：A． 3．（本题3分）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴可知：，即可求解． 【详解】解：由数轴可知：， 故A、B错误； ∴，， 故C错误；D正确； 故选：D 4．（本题3分）若（是整数），则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，利用完全平方数确定的取值范围，进而求出整数的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， 又∵（是整数）， ∴， 故选：B． 5．（本题3分）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】先利用平方法估算的取值范围，由此可得取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题关键． 6．（本题3分）在，，，，，，（相邻两个8之间依次多一个1）中，有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数、无理数的定义以及算术平方根，熟知有理数的定义和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数的定义、平方根无理数的概念判断求解即可． 【详解】解：则有理数有：，，，， ； 无理数有： ，（相邻两个8之间依次多一个1） 综上，有理数的个数有5个． 故选：C． 7．（本题3分）对于实数 a，b，定义运算“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x＋1）#3＝2的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题根据题目所给新定义将方程（x＋1）#3＝2变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：根据题意得（x＋1）#3＝2可以变形为： ， 提公因式可得： ， 化简得： ， ， ， 根据根的判别式可知该方程有两个不等的实数根． 故选D． 【点睛】本题主要考查新定义运算，将新定义方程化为一元二次方程的一般形式，根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根． 8．（本题3分）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识， 首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可． 【详解】∵，是一对“互助数” ∴ 去分母得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， ∴ ∴或 ∴或 ∴解得或 但当时，，，不符合题意， 所以或， ∴p的值可以为． 故选：A． 9．（本题3分）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将均计算6次幂，通过比较6次幂的大小，结合负数的绝对值越大，数越小的性质，确定的大小关系． 本题考查了实数的大小比较，掌握通过偶次幂将负数转化为正数比较，结合负数的绝对值越大，数越小是解题的关键． 【详解】解：将整理为：， ， ， 分别计算6次幂： ； ； 比较6次幂的大小：， 即， ∵均为负数，负数的偶次幂越大，原数的绝对值越大，数越小 ∴． 故选：B． 10．（本题3分）对于实数，用表示这三个实数中最小的实数．如，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，一次函数的图象和性质，首先分别联立求出三个函数的交点，求的最大值，需找到使三个函数的最小值最大，最大值出现在函数交点处． 【详解】解：设，解得， 此时，第三个函数值为， ， 故， 设，解得， 此时，第一个函数值为， ， 故， 设，解得， 此时，第三个函数值为， ， 故， ∵ ∴最大值为． 故选：C． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）的立方根是______． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键；因此此题可直接进行求解． 【详解】解：的立方根是； 故答案为． 12．（本题3分）在实数π、、、中，无理数有____________个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有含π的数，开不尽方的数，有规律但是不循环的数．据此逐个判断即可． 【详解】解：π是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 综上：无理数有2个， 故答案为：2． 13．（本题3分）在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ___________；无理数有 ___________．（填写序号） 【答案】 ⑥⑧ ①⑤⑦ 【分析】根据实数的分类及定义即可求得答案． 本题考查实数的分类及定义，无理数是指无限不循环小数，大于等于0的整数为非负整数；必须熟练掌握． 【详解】解：， 非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦； 故答案为：⑥⑧；①⑤⑦． 14．（本题3分）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________． 【答案】 【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和． 【详解】由题意规律可得：． ∵ ∴， ∵， ∴ ． ． ． …… ∴． 故． 令 ②-①，得 ∴= 故答案为：． 【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键． 15．（本题3分）一个三位数m，将m的百位数字和十位数字相加，所得数的个位数字放在m之后，得到的四位数称为m的“卧虎藏龙数”n，将m的“卧虎藏龙数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数，把四个新的三位数的和与3的商记为．例如：，，的“卧虎藏龙数”n是，将的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：，则，则______；若一个三位数（且），它的“卧虎藏龙数”n能被整除，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题属于新定义题目，理解新定义概念，掌握整式加减的运算法则是解题关键． （1）根据概念进行计算即可求解； （2）将变形为然后结合概念表示出的“卧虎藏龙数”，并结合整除的概念及的取值范围分析其最值． 【详解】解：（1）， ∴的“卧虎藏龙数”是， 将的“卧虎藏龙数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数为：， ∴， 故答案为：． （2）， 百位数字和十位数字相加得：， 当时， 的“卧虎藏龙数”为： ， ∵在千位， ∴对的大小影响较大， ∴应取更大值， 由是个三位数， 则， ∴， 即最大取， ∵时，的“卧虎藏龙数”能被整除， 则能被整除， ∴ ， 当时， ∴要最大取8时，只能取， 此时一定小于， ∴ ∴的“卧虎藏龙数”为， ， 即的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的性质化简即可； （2）被开方数化成假分数，再利用算术平方根的性质化简即可； （3）利用算术平方根的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键． 17．（本题9分）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了实数的混合运算及运用平方根解方程，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简绝对值与平方根运算求解即可； （2）根据平方根的意义运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， 解得：． 18．（本题9分）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）． ． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”符号连接起来即可． 【详解】解：， ∴用数轴表示如下： 用“<”连接：． 19．（本题9分）已知与的小数部分分别是和，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，根据无理数的估算，求出和的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为：． 20．（本题9分）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为． (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)这些铁栅栏够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，实数比较大小： （1）先求出原正方形场地的边长，进而求出其周长即可； （2）设新长方形场地的长和宽分别为，根据长方形面积公式得到方程，解方程得到新长方形场地的长和宽分别为，则新长方形场地的周长为，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵原来正方形场地的面积为， ∴原来正方形场地的边长为， ∴原来正方形场地的周长为； （2）解：这些铁栅栏够用，理由见解析 设新长方形场地的长和宽分别为， 由题意得：， ∴（负值舍去）， ∴新长方形场地的长和宽分别为， ∴新长方形场地的周长为， ∵， ∴， ∵， ∴这些铁栅栏够用． 21．（本题10分）（1）如图，面积为的正方形纸片，它的边长是　 　． （2）在该正方形纸片中沿着边的方向，裁出如图所示长和宽之比为的长方形（阴影），长方形纸片的面积能达到吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）不能 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形面积和算术平方根的定义求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据长方形面积和算术平方根的定义求出x，即可解答． 【详解】解：（1）设正方形的边长为， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， 即正方形的边长为， 故答案为：； （2）设长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， ∵， ∴， 即长方形的边长为， ∵， ∴不能． 22．（本题10分）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 23．（本题11分）定义：两个数位相同的自然数，如果将一个自然数的各数字逆向排列后变成另一个自然数（可以等于它本身），那么我们把这样的两个自然数互称为“逆数”．例如：456、73、88的“逆数”分别是654、37、88 （1）求证：任意三位数与其“逆数”之差一定能被99整除； （2）设两位数减去其“逆数”所得的差是一个完全平方数．求出满足条件的所有两位数的个数． （词义解读（1）一个数的逆数可以等于它本身，比如88的逆数也是88；（2）三位数中a表示百位数字，b表示十位数字，c表示个位数字；两位数中x表示十位数字，y表示个位数字；（3）完全平方数：如，，……，我们称0、1、4……叫完全平方数．） 【答案】（1）见解析；（2）22个 【分析】（1）先求出M的“逆数”，进而求差，即可得出结论； （2）先求出N的“逆数”，进而求差，最后用完全平方数得出x-y=0或x-y=1或x-y=4，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：∵三位数M=的“逆数”为， ∴三位数M=与其“逆数”之差为-=100a+10b+c-（100c+10b+a）=99a-99c=99（a-c）， ∵a，c是三位数的个位和百位数字， ∴a-c为整数， ∴99（a-c）能被99整除， 即任意三位数M=与其“逆数”之差一定能被99整除； （2）解：∵两位数N=的“逆数”为， ∴两位数N=减去其“逆数”所得的差是-=10x+y-（10y+x）=9（x-y）， ∵两位数N=减去其“逆数”所得的差是一个完全平方数，且3²=9， ∴（x-y）是完全平方数， ∵x，y是两位数N=的十位和个位数字， ∴1≤x≤9，1≤x≤9， ∴0≤x-y≤8， ∴x-y=0或x-y=1或x-y=4， 当x-y=0时，共有9对x，y的值， 当x-y=1时，共有8对x，y的值， 当x-y=4时，共有5对x，y的值， 即满足条件的两位数有9+8+5=22（个）． 【点睛】此题主要考查了新定义“逆数”，整除问题，完全平方数，求出M，N的逆数是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章实数综合测试卷 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.4 2．（本题3分）下列数既不是正数，也不是负数的是（   ） A．0 B． C． D． 3．（本题3分）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若（是整数），则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．无法确定 5．（本题3分）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．（本题3分）在，，，，，，（相邻两个8之间依次多一个1）中，有理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（本题3分）对于实数 a，b，定义运算“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x＋1）#3＝2的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 8．（本题3分）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 9．（本题3分）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）对于实数，用表示这三个实数中最小的实数．如，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）的立方根是______． 12．（本题3分）在实数π、、、中，无理数有____________个． 13．（本题3分）在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ___________；无理数有 ___________．（填写序号） 14．（本题3分）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________． 15．（本题3分）一个三位数m，将m的百位数字和十位数字相加，所得数的个位数字放在m之后，得到的四位数称为m的“卧虎藏龙数”n，将m的“卧虎藏龙数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数，把四个新的三位数的和与3的商记为．例如：，，的“卧虎藏龙数”n是，将的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：，则，则______；若一个三位数（且），它的“卧虎藏龙数”n能被整除，则的最大值为______． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）化简： (1) (2) (3) 17．（本题9分）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（本题9分）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）． ． 19．（本题9分）已知与的小数部分分别是和，求的平方根． 20．（本题9分）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为． (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 21．（本题10分）（1）如图，面积为的正方形纸片，它的边长是　 　． （2）在该正方形纸片中沿着边的方向，裁出如图所示长和宽之比为的长方形（阴影），长方形纸片的面积能达到吗？请说明理由． 22．（本题10分）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 23．（本题11分）定义：两个数位相同的自然数，如果将一个自然数的各数字逆向排列后变成另一个自然数（可以等于它本身），那么我们把这样的两个自然数互称为“逆数”．例如：456、73、88的“逆数”分别是654、37、88 （1）求证：任意三位数与其“逆数”之差一定能被99整除； （2）设两位数减去其“逆数”所得的差是一个完全平方数．求出满足条件的所有两位数的个数． （词义解读（1）一个数的逆数可以等于它本身，比如88的逆数也是88；（2）三位数中a表示百位数字，b表示十位数字，c表示个位数字；两位数中x表示十位数字，y表示个位数字；（3）完全平方数：如，，……，我们称0、1、4……叫完全平方数．） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $