数学二模模拟卷（湖南长沙专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A：是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C：不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．据统计，某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过13700000个．数字13700000用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，其表示形式为，其中，为整数，正确确定和的值是解答本题的关键．由即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．下列计算正确的是（  ） A．a2+a3=a5 B． C．（x2）3=x5 D．m5÷m3=m2 【答案】D 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、a2与a3不是同类项，无法计算，故此选项错误； B、3-=2，故此选项错误； C、（x2）3=x6，故此选项错误； D、m5÷m3=m2，正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．下列事件中，为必然事件的是(    ) A．购买一张彩票，一定中奖． B．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球． C．抛掷一枚硬币，正面向上． D．打开电视，正在播放广告． 【答案】B 【分析】根据必然事件的定义“在一定条件下，必然出现的事情”，判断即可． 【详解】解：A、C、D都是可能发生，可能不发生，属于不确定事件，B选项是肯定发生的， 故选：B． 【点睛】本题考查事件发生的可能性大小，熟记必然事件的定义是解题关键． 5．某物体如图所示，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体左视图是： 故选：． 6．已知点是点关于x轴对称的对称点，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，判断点所在的象限，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵点是点关于x轴对称的对称点， ∴点的坐标为， ∴点所在的象限是第二象限， 故选：B． 7．如图，已知直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置（）其中点，分别落在直线、上． 若， 则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，先利用平角的定义求出的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．八卦图最早出自伏羲根据燧人氏造设的《河图洛书》所创．如图，八卦各有三爻，“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，每一卦由三根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中至少有2根“”的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了概率公式、古典概率问题，从八卦中任选一卦，基本事件总数，这一卦中至少有2根“”的基本事件个数，根据概率公式计算即可．熟练掌握概率公式是关键． 【详解】 解：从八卦中任选一卦，基本事件总数，这一卦中至少有2根“”的基本事件个数， ∴这一卦中至少有2根“”的概率是， 故选：B． 9．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，，，求得，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵一次函数与反比例函数的交点， ∴，，即， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， 当时，， ∴B选项中的图象符合题意． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共8分） 11．因式分解：8a3﹣2ab2=_____． 【答案】2a（2a+b）（2a﹣b）． 【分析】首先提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：8a3-2ab2=2a（4a2-b2） =2a（2a+b）（2a-b）． 故答案为：2a（2a+b）（2a-b）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 12．甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 【答案】丙 【分析】本题考查方差．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，．， ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 13．若圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面展开图的面积为_____cm2． 【答案】15 【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算. 【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm ∴圆锥的母线长 ∴圆锥的侧面展开图的面积 故填：. 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 14．如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为_____． 【答案】15 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，基本作图-作线段垂直平分线等知识点．由含30度角的直角三角形的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长是． 【详解】解：，， ， 由题意知：D在线段的垂直平分线上， ， 的周长． 故答案为：15． 15．如图，在中，，点、、分别是、、的中点，若，则的长______ 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，再根据三角形中位线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵在中，是的中点， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 16．年“湘超联赛”极大激发了湖南人民的足球热情，常规赛中全省共有个队进行单循环比赛，每场比赛胜队积分，败队积分，平局时两队各积分，常规赛结束以后，总积分最高的个队进入下一轮的淘汰赛，如果总积分相同，还要按净胜球等排序，若年常规赛规则不变，长沙队想要保证进入淘汰赛，则长沙队至少要积多少分？针对该问题，甲，乙，丙，丁四位同学进行了以下讨论： 甲：一共进行了场比赛，我们需要考虑最理想的情况，假设每一场都分出胜负，可以让前名积分相同，并且积分尽可能低一点． 乙：不仅要考虑前名，还要让第名的积分尽可能高一点，可以先考虑和前名积分一样，这样个队尽可能平分个胜场，积分就能保证进入前八名． 丙：前个队不可能包揽全部个胜场，比如后面个队之间的比赛胜场． 丁：刚刚都是理想情况下的分析，还要验证一下能不能实现． 结合四位同学的讨论，长沙队至少要积______分，才能保证进入淘汰赛． 【答案】 【分析】要保证长沙队进入前名，需考虑最坏情况，即让第名的积分达到最大可能值，若长沙队积分高于该最大积分即可保证晋级，最坏情况为前名均击败后名，且前名内部积分平均分配，使第名积分最高即可求解． 【详解】解：支球队单循环比赛，总比赛场数为， 若所有比赛均分出胜负，每场产生个胜场，总胜场为， 要使前名积分尽可能高且平均，所有比赛分出胜负，则： ① 后支球队内部共有场比赛，总胜场为，全部为后支球队获得； ②前支球队对阵后支球队共场比赛，前支球队全部获胜，每队在此得到分，共获得个胜场； ③ 前支球队内部共有场比赛，总胜场为，平均分给支球队，每队获得个胜场，每队在此得到分； 因此每支前球队总积分为，总胜场为，符合总胜场要求，该情况成立，说明支球队可以同时积分，所以分无法保证进入前， 若长沙队积分，若存在支球队积分不低于分，则每队至少需要个胜场，总胜场至少为，矛盾，因此不可能存在支球队积分不低于分，故分一定可以保证进入前， 所以长沙队至少要积分，才能保证进入淘汰赛． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 18．（6分）化简求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先计算括号内的代数式，然后化除为乘进行化简，最后代入求值．本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先把代数式化简，然后再代入求值． 【详解】解：原式 ， 把代入， 原式． 19．（6分）近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得调查的人数，用乘以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用样本估计总体，用3000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案； （2）求出B组和D组的人数，补全条形统计图即可； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，调查的人数为（人）， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是． 估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有（人）． 故答案为：；． （2）组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：甲，乙，乙，甲，共2种， 甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 20．（8分）如图，是等腰直角三角形，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为17 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理： （1）由是等腰直角三角形，，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，，所以，则． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点C在的延长线上，点F在线段上， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为17． 21．（8分）6月是吃小龙虾的月份，长沙市马王堆批发市场某批发商原计划以每千克36元的单价对外批发销售小龙虾．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克25元． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某夜宵摊准备到该批发商处购买50千克小龙虾做成油爆虾和香辣虾两种产品进行销售：每份产品标准是1千克，油爆虾每份盈利12元，香辣虾每份盈利22元，请问该摊主至少卖多少份香辣虾才能盈利超过800元？ 【答案】(1)平均每次下调的百分率约为； (2)该摊主至少卖21份香辣虾才能盈利超过800元． 【分析】（1）设平均每次下调的百分率为，根据某批发商原计划以每千克36元的单价对外批发销售小龙虾，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克25元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该摊主卖份香辣虾，则卖份油爆虾，根据盈利超过800元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程及列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：平均每次下调的百分率约为； （2）解：设该摊主卖份香辣虾，则卖份油爆虾， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为21， 答：该摊主至少卖21份香辣虾才能盈利超过800元． 22．（9分）学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为米． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到米） (2)若将梯子底端放在距离墙面米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题．参考数据： ） 【答案】(1)使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面 (2)图见解析，小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方 【分析】（1）在中，，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）在中，，解直角三角形求出的度数和的长，再用的长加上小东的身高，再与3米比较即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，当时，安全攀爬的高度最大 如图所示，在中，， ． ． 答：使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面． （2）解：如图所示，根据题意，得在中，， ， ， ∴此时满足； 在中，， （米）． ， ∴小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方． 23．（9分）如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为 【详解】【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积. 【详解】（1）如图，连接OC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∵∠BCD=∠BAC， ∴∠BCD=∠OCA， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90° ∴∠OCD=90° ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线 （2）设⊙O的半径为r， ∴AB=2r， ∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴OD=2r，∠COB=60° ∴r+2=2r， ∴r=2，∠AOC=120° ∴BC=2， ∴由勾股定理可知：AC=2， 易求S△AOC=×2×1= S扇形OAC=， ∴阴影部分面积为. 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 24．（10分）我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“旗开得胜”函数． (1)已知二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，填空： ① ；②若，则 ；③ ； (2)若二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，且互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，求二次函数的解析式； (3)已知二次函数与互为“旗开得胜”函数，的顶点为 E，与轴交于点F，轴，直线与图象交于A、B两点，与的图象交于 C、D两点，若线段、、可构成以为斜边的直角三角形，假设该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的值． 【答案】(1)；1；0 (2)或 (3) 【分析】（1）由题意得，两个二次函数图象关于原点对称，分析得出两个图象的开口方向、对称轴、与轴的交点之间的关系，即可求解； （2）二次函数的“旗开得胜”函数为，联立两个函数整理得到，根据两个二次函数图象有且只有一个交点，计算得到，根据二次函数的图象与性质得到顶点坐标为，其“旗开得胜”函数的顶点坐标为，代入到反比例函数可得，再根据等腰直角三角形的性质求出的值，进而求出的值，即可得到二次函数的解析式； （3）根据二次函数的性质求出、的坐标，由轴，得到，，联立二次函数与直线，利用一元二次方程根与系数的关系求出，同理可得，再利用勾股定理列出等式求出的值，得出直角三角形三边长，再利用直角三角形的外接圆和内切圆半径公式即可求解． 【详解】（1）解：关于原点对称的两个二次函数图象开口方向相反，两个图象的对称轴关于轴对称，两个图象与轴的交点关于原点对称， 二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数， 两个二次函数图象关于原点对称， ，，， 解得：，， ， ， 综上所述，，，． 故答案为：；1；0． （2）解：二次函数的“旗开得胜”函数为， 联立， 整理得：， 互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点， ， ， ， 二次函数为，其“旗开得胜”函数为， 令，则， 解得：，， 二次函数图象与轴两个交点间的距离为， 二次函数， 二次函数的顶点坐标为， 其“旗开得胜”函数的顶点坐标为， 其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上， ， ， 二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形， 顶点到轴的距离等于图象与轴两个交点间的距离的一半， ， 解得：或， 当时，，无解，舍去； 当时，，解得，此时二次函数的解析式为或； 当，，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，二次函数的解析式为或． （3）解：由题意得，， 令，则， ， ， ， 轴， ， ， ， 联立，则， 直线与图象交于A、B两点， ，， ， 同理可得，， 线段、、可构成以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：， ，，， ，，， 该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为， ，， ． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、关于原点对称的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、三角形的外接圆与内切圆、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，对学生综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 25．（10分）综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； (2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； (3)【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）延长分别交、于点、，根据题意证明，得到，，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （2）令与交于点，延长分别交、于点、，证明，得到，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （3）连接，利用勾股定理求出，，分两种情况讨论：①当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同（2）理可证，，则，再结合勾股定理列方程求解即可；②当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同①理求解即可． 【详解】（1）解：如图2，延长分别交、于点、， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即； （2）解：成立，证明如下： 如图3，令与交于点，延长分别交、于点、， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ①如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同（2）理可证，， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； ②如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同①理可得，，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； 综上可知，的长为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D B A B A B C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．2a（2a+b）（2a﹣b） 12．丙 13．15 14．15 15．6 16．28 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【解析】（1）解： （2分） （4分） ．（6分） 18．（6分） 【解析】解：原式 （2分） ，（4分） 把代入， 原式．（6分） 19．（6分） 【解析】（1）解：由题意得，调查的人数为（人）， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是． 估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有（人）． 故答案为：；．（2分） （2）组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． （4分） （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：甲，乙，乙，甲，共2种， （5分） 甲和乙两名学生同时被选中的概率为．（6分） 20．（8分） 【解析】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，（2分） ∵点C在的延长线上，点F在线段上， ∴，（3分） 在和中， ， ∴．（4分） （2）解：由（1）得， ∴，（5分） ∵，， ∴，（6分） ∴， ∴的长为17．（8分） 21．（8分） 【解析】（1）解：设平均每次下调的百分率为， 根据题意得：，（2分） 解得：，（不符合题意，舍去），（3分） 答：平均每次下调的百分率约为；（4分） （2）解：设该摊主卖份香辣虾，则卖份油爆虾， 根据题意得：，（5分） 解得：，（6分） 为正整数， 的最小值为21，（7分） 答：该摊主至少卖21份香辣虾才能盈利超过800元．（8分） 22．（9分） 【解析】（1）解：根据题意可知，当时，安全攀爬的高度最大 如图所示，在中，， ． ． （2分） 答：使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面．（3分） （2）解：如图所示，根据题意，得在中，， （5分） ， ， ∴此时满足；（6分） 在中，， （米）．（7分） ，（8分） ∴小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方．（9分） 23．（9分） 【解析】（1）如图，连接OC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∵∠BCD=∠BAC， ∴∠BCD=∠OCA，（2分） ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90° ∴∠OCD=90°（3分） ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线（4分） （2）设⊙O的半径为r， ∴AB=2r， ∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴OD=2r，∠COB=60° ∴r+2=2r，（6分） ∴r=2，∠AOC=120° ∴BC=2，（7分） ∴由勾股定理可知：AC=2， 易求S△AOC=×2×1= S扇形OAC=，（8分） ∴阴影部分面积为.（9分） 24．（10分） 【解析】（1）解：关于原点对称的两个二次函数图象开口方向相反，两个图象的对称轴关于轴对称，两个图象与轴的交点关于原点对称， 二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数， 两个二次函数图象关于原点对称， ，，， 解得：，， ， ， 综上所述，，，． 故答案为：；1；0．（3分） （2）解：二次函数的“旗开得胜”函数为， 联立， 整理得：，（4分） 互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点， ， ， ， 二次函数为，其“旗开得胜”函数为， 令，则， 解得：，， 二次函数图象与轴两个交点间的距离为， 二次函数， 二次函数的顶点坐标为， 其“旗开得胜”函数的顶点坐标为， 其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上， ， ，（5分） 二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形， 顶点到轴的距离等于图象与轴两个交点间的距离的一半， ， 解得：或， 当时，，无解，舍去； 当时，，解得，此时二次函数的解析式为或； 当，，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，二次函数的解析式为或．（6分） （3）解：由题意得，， 令，则， ， ， ， 轴， ， ， ，（7分） 联立，则， 直线与图象交于A、B两点， ，， ，（8分） 同理可得，， 线段、、可构成以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：，（9分） ，，， ，，， 该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为， ，， ．（10分） 25．（10分） 【解析】（1）解：如图2，延长分别交、于点、， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，（1分） ， ， ，即；（2分） （2）解：成立，证明如下：（3分） 如图3，令与交于点，延长分别交、于点、， 四边形是矩形， ， ， ， ，（4分） ， ， ， ， ， ，即；（5分） （3）解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ，（6分） ①如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同（2）理可证，， ， ， ，（7分） 由（2）可知，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）；（8分） ②如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同①理可得，，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）；（9分） 综上可知，的长为或．（10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 13 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 个人数 24 18 B 12 963 40% D 15% A BCD类别 学生对国产AI大模型DeepSeek应用场景的了解情况 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(9分) D B 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) ■ ■ 陆 品 ■ c 盘 (k0) 兹 100000000000000000 oooooo0000000000 IIIII2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B][CI1[D1 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 12. 13 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 个人数 242118 B 12 A 96 40% 0 5% A B C D类别 学生对国产AI大模型DeepSeek)应用场景的了解情况 20.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(9分) D B 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) . 威 ■ 密 ■ ■ d (30) 玉 11111I0II 0000000 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．据统计，某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过13700000个．数字13700000用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（  ） A．a2+a3=a5 B． C．（x2）3=x5 D．m5÷m3=m2 4．下列事件中，为必然事件的是(    ) A．购买一张彩票，一定中奖． B．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球． C．抛掷一枚硬币，正面向上． D．打开电视，正在播放广告． 5．某物体如图所示，其左视图是（   ） A． B． C． D． 6．已知点是点关于x轴对称的对称点，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，已知直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置（）其中点，分别落在直线、上． 若， 则等于（    ） A． B． C． D． 8．八卦图最早出自伏羲根据燧人氏造设的《河图洛书》所创．如图，八卦各有三爻，“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，每一卦由三根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中至少有2根“”的概率是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 10．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共8分） 11．因式分解：8a3﹣2ab2=_____． 12．甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 13．若圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面展开图的面积为_____cm2． 14．如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为_____． 15．如图，在中，，点、、分别是、、的中点，若，则的长______ 16．年“湘超联赛”极大激发了湖南人民的足球热情，常规赛中全省共有个队进行单循环比赛，每场比赛胜队积分，败队积分，平局时两队各积分，常规赛结束以后，总积分最高的个队进入下一轮的淘汰赛，如果总积分相同，还要按净胜球等排序，若年常规赛规则不变，长沙队想要保证进入淘汰赛，则长沙队至少要积多少分？针对该问题，甲，乙，丙，丁四位同学进行了以下讨论： 甲：一共进行了场比赛，我们需要考虑最理想的情况，假设每一场都分出胜负，可以让前名积分相同，并且积分尽可能低一点． 乙：不仅要考虑前名，还要让第名的积分尽可能高一点，可以先考虑和前名积分一样，这样个队尽可能平分个胜场，积分就能保证进入前八名． 丙：前个队不可能包揽全部个胜场，比如后面个队之间的比赛胜场． 丁：刚刚都是理想情况下的分析，还要验证一下能不能实现． 结合四位同学的讨论，长沙队至少要积______分，才能保证进入淘汰赛． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）化简求值：，其中． 19．（6分）近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 20．（8分）如图，是等腰直角三角形，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（8分）6月是吃小龙虾的月份，长沙市马王堆批发市场某批发商原计划以每千克36元的单价对外批发销售小龙虾．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克25元． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某夜宵摊准备到该批发商处购买50千克小龙虾做成油爆虾和香辣虾两种产品进行销售：每份产品标准是1千克，油爆虾每份盈利12元，香辣虾每份盈利22元，请问该摊主至少卖多少份香辣虾才能盈利超过800元？ 22．（9分）学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为米． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到米） (2)若将梯子底端放在距离墙面米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题．参考数据： ） 23．（9分）如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积． 24．（10分）我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“旗开得胜”函数． (1)已知二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，填空： ① ；②若，则 ；③ ； (2)若二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，且互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，求二次函数的解析式； (3)已知二次函数与互为“旗开得胜”函数，的顶点为 E，与轴交于点F，轴，直线与图象交于A、B两点，与的图象交于 C、D两点，若线段、、可构成以为斜边的直角三角形，假设该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的值． 25．（10分）综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； (2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； (3)【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．据统计，某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过13700000个．数字13700000用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（  ） A．a2+a3=a5 B． C．（x2）3=x5 D．m5÷m3=m2 4．下列事件中，为必然事件的是(    ) A．购买一张彩票，一定中奖． B．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球． C．抛掷一枚硬币，正面向上． D．打开电视，正在播放广告． 5．某物体如图所示，其左视图是（   ） A． B． C． D． 6．已知点是点关于x轴对称的对称点，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，已知直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置（）其中点，分别落在直线、上． 若， 则等于（    ） A． B． C． D． 8．八卦图最早出自伏羲根据燧人氏造设的《河图洛书》所创．如图，八卦各有三爻，“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，每一卦由三根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中至少有2根“”的概率是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 10．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共8分） 11．因式分解：8a3﹣2ab2=_____． 12．甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 13．若圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面展开图的面积为_____cm2． 14．如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为_____． 15．如图，在中，，点、、分别是、、的中点，若，则的长______ 16．年“湘超联赛”极大激发了湖南人民的足球热情，常规赛中全省共有个队进行单循环比赛，每场比赛胜队积分，败队积分，平局时两队各积分，常规赛结束以后，总积分最高的个队进入下一轮的淘汰赛，如果总积分相同，还要按净胜球等排序，若年常规赛规则不变，长沙队想要保证进入淘汰赛，则长沙队至少要积多少分？针对该问题，甲，乙，丙，丁四位同学进行了以下讨论： 甲：一共进行了场比赛，我们需要考虑最理想的情况，假设每一场都分出胜负，可以让前名积分相同，并且积分尽可能低一点． 乙：不仅要考虑前名，还要让第名的积分尽可能高一点，可以先考虑和前名积分一样，这样个队尽可能平分个胜场，积分就能保证进入前八名． 丙：前个队不可能包揽全部个胜场，比如后面个队之间的比赛胜场． 丁：刚刚都是理想情况下的分析，还要验证一下能不能实现． 结合四位同学的讨论，长沙队至少要积______分，才能保证进入淘汰赛． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）化简求值：，其中． 19．（6分）近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 20．（8分）如图，是等腰直角三角形，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（8分）6月是吃小龙虾的月份，长沙市马王堆批发市场某批发商原计划以每千克36元的单价对外批发销售小龙虾．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克25元． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某夜宵摊准备到该批发商处购买50千克小龙虾做成油爆虾和香辣虾两种产品进行销售：每份产品标准是1千克，油爆虾每份盈利12元，香辣虾每份盈利22元，请问该摊主至少卖多少份香辣虾才能盈利超过800元？ 22．（9分）学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为米． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到米） (2)若将梯子底端放在距离墙面米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题．参考数据： ） 23．（9分）如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积． 24．（10分）我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“旗开得胜”函数． (1)已知二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，填空： ① ；②若，则 ；③ ； (2)若二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，且互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，求二次函数的解析式； (3)已知二次函数与互为“旗开得胜”函数，的顶点为 E，与轴交于点F，轴，直线与图象交于A、B两点，与的图象交于 C、D两点，若线段、、可构成以为斜边的直角三角形，假设该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的值． 25．（10分）综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； (2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； (3)【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $