精品解析：山东青岛市第三十九中学2025-2026学年下学期八年级数学学情自测

八年级下数学检测（1） 一、单选题（3分×8=24分） 1. 在中，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理可得：，即，利用三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、三角形面积公式等知识，掌握勾股定理的逆定理判断出是直角三角形是解题关键． 2. 在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理（三角形内角和为），分别计算每个条件下三角形的最大内角，若最大内角为，则该三角形为直角三角形． 【详解】解：根据三角形内角和定理得，逐个判断： ①∵ ∴， 得，是直角三角形，①符合条件； ②设 ∵， 解得 ∴，是直角三角形，②符合条件； ③∵ ∴， 解得 ∴，不是直角三角形，③不符合条件； ④设，由得 ∵， 解得 ∴，是直角三角形，④符合条件； ⑤设，由得 ∵， 解得 ∴，是直角三角形，⑤符合条件， 综上，符合条件的共个． 3. 下列命题中真命题是（ ） A. 用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于” B. 三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等 C. 等腰三角形的高线、角平分线、中线重合 D. 三角形的外角等于它的两个内角之和 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形的三个内角都小于”，故A选项是假命题，不符合题意； B、三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等，故B选项是真命题，符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C选项是假命题，不符合题意； D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D选项是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题，反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 4. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，需分两种情况讨论，即已知的内角为顶角或底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为的性质求解顶角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， ①当的角为等腰三角形的顶角时， ∴该等腰三角形的顶角为， ②当的角为等腰三角形的底角时， ∴顶角 ， 综上，这个等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 5. 如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒， 组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质，由得出，再结合三角形外角的定义及性质得出，由计算得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数有（ ） ①是的平分线； ②； ③点在的垂直平分线上； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图--基本作图，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： 利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含的直角三角形三边的关系得到，则，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：如图， ①根据作图的过程可知，是的平分线．故①正确； ②∵在中，，， ∴． 又∵是的平分线， ∴， ∴，即．故②正确； ③∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上．故③正确； ④∵在直角中，， ∴，又， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选：D． 7. 如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 点在的平分线上 C. D. 若，点到的距离为，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 结合平行线的性质以及角平分线的定义得，则，故；连接，过点分别作，结合角平线定理可得，进而可证，得到即可；运用三角形内角和得；结合角平分线的性质以及三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A是正确的，不符合题意； 连接，过点分别作，如图所示： ∵中，和的平分线交于点D， ， ， 又， ， ， ∴平分， 故B是正确的，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C是错误的，符合题意； ∵点D到的距离为n， ∴， 则 故D是正确的，不符合题意； 故选：C ． 8. 如图，在中，，是腰上的高，与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的定义，三角形内角和定理，直角三角形的性质，由题意可得，根据等腰三角形的定义可得，利用直角三角形的性质可得，由三角形内角和定理得到，进而求出，化简即可得到结论． 【详解】解：∵是腰上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（3分×9=27分） 9. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 【答案】 ##24度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式及等腰三角形的判定与性质，先根据多边形的内角和公式算出每个正五边形和正六边形的内角，再得出的度数，再求证是等腰三角形，最后根据三角形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角：， 且，， 正六边形每个内角：，且，， 由此可得，是等腰三角形． ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 11. 如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据四边形内角和为360度和平角的定义，则由角平分线的定义可得从而求出的度数，运用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别平分和且相交于点P， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 12. 如图，在等腰三角形中，，，交于点D， 则的长为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先根据等腰三角形的性质得到，再根据直角三角形的性质得到，，利用三角形的外角性质和等角对等边证得，进而利用线段的和与差列方程求解即可． 【详解】解：在等腰三角形中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为______． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到为的垂直平分线． 根据作法可得，再由垂直平分线的画法可得为的垂直平分线，由此可得，再根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D， ∴， ∵以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：28 ． 14. 如图，在中，，，，有一动点E自点A向点B以的速度运动，动点F自点B向点C以的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发．出发______s时，为等边三角形；出发______s时，为直角三角形． 【答案】 ①. 5 ②. 3或7.5 【解析】 【分析】（1）设时间为x，表示出、、，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得； （2）分两种情况：①时，即可知，依据列方程求解可得；②时，知，依据列方程求解可得． 【详解】解：设出发时，是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴当时，是等边三角形， ∴，解得， ∴出发时，是等边三角形； 设出发时，是直角三角形， 此时分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∴， 即，解得； ②当， ∵， ∴， ∴， 即，解得， 综上所述，出发或时，是直角三角形． 15. 如图，在中，，点D在边上，点F在边上，过点D作，垂足是E，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点D作，交边于点M，若M是的中点，，则．其中正确的是 ________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据已知，选择适当的方法，逐一计算判断即可． 【详解】解：①在中，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故结论①正确； ②设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确； ③不妨假设是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据已知条件，无法判定是等边三角形， ∴假设是错误的． 故结论③不正确． ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 16. 如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键． 先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解． 【详解】解：过C作于F，交于，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 即当点三点共线，且时，的最小值为的长， ∴， 即当取得最小值时，． 故答案为：． 三、尺规作图（6分×2=12分） 17. 已知：，求作：，使得点D、E在线段上（均不与点B、C重合），且，． 【答案】 如图所示，即为所求 即为所求 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图的相关知识．解题的关键在于利用尺规作图的基本方法，先以A为圆心，长为半径画弧，与相交得到点E，再作出于D，即，从而确定． 【详解】略 18. 已知：中，求作一点P，使得点P到A、C两点的距离相等，并且到、的距离相等． 【答案】 如图即为所求， 【解析】 【分析】明确点是线段的垂直平分线与的角平分线的交点． 【详解】解：点P到A、C两点的距离相等， 点在线段的垂直平分线上， 点P到、的距离相等， 点在的角平分线上， 点是线段的垂直平分线与的角平分线的交点， 如图即为所求． 四、解答题 19. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 20. 如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：，，， ． 于点，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先通过线段和差关系证明，根据平行线的性质结合证明，进而证明，最后根据全等三角形的对应角相等即可得证； （2）先通过线段和差关系求解，的长，在中，由勾股定理求解的长，证明，得到的长，以及，在中，由勾股定理求解的长，进而根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 21. 【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． （1）【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则______； ②若，则与之间的数量关系是______； （2）【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数为______． 【答案】（1）①② （2） 证明：，， ， ， 由（1）同理可得， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据对顶角性质，以及三角形内角和定理分析求解，即可解题； ②由①知，结合，即可推出与之间的数量关系； （2）结合垂直的性质，对顶角性质，三角形内角和定理推出，进而结合全等三角形判定定理，即可证明； （3）设，由折叠的性质可知，，结合等腰三角形性质进而推出，，根据为等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，分别列方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：①， ， ， 若，则； ② 若，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， 由折叠的性质可知，， ，， ，， ， 为等腰三角形， 当时， 有， 解得； 当时， 有， 解得； 当时， 有，无解，即该情况不存在； 综上所述，的度数为或． 22. 如图，在中，，为直线上一动点（不与点，重合），在的右侧作，使得，，连接． （1）当在线段上时，易证，判定全等的理由是______． （2）请判断点在何处时，，并说明理由． （3）当时，若中最小角为，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2） 点在的中点时，，理由如下： ，， 平分， ， ， 平分， ， ， 当点在的中点时，； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据即可证明； （2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ①如图1，当点在线段上时，若， 则； ②如图2，点在的延长线上，； ③如图3，点在的延长线上，此时，； ④如图4，， 综上所述，满足条件的的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下数学检测（1） 一、单选题（3分×8=24分） 1. 在中，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 下列命题中真命题是（ ） A. 用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于” B. 三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等 C. 等腰三角形的高线、角平分线、中线重合 D. 三角形的外角等于它的两个内角之和 4. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒， 组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数有（ ） ①是的平分线； ②； ③点在的垂直平分线上； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 点在的平分线上 C. D. 若，点到的距离为，则 8. 如图，在中，，是腰上的高，与的关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3分×9=27分） 9. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 10. 在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 11. 如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________． 12. 如图，在等腰三角形中，，，交于点D， 则的长为__________________． 13. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为______． 14. 如图，在中，，，，有一动点E自点A向点B以的速度运动，动点F自点B向点C以的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发．出发______s时，为等边三角形；出发______s时，为直角三角形． 15. 如图，在中，，点D在边上，点F在边上，过点D作，垂足是E，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点D作，交边于点M，若M是的中点，，则．其中正确的是 ________． 16. 如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 三、尺规作图（6分×2=12分） 17. 已知：，求作：，使得点D、E在线段上（均不与点B、C重合），且，． 18. 已知：中，求作一点P，使得点P到A、C两点的距离相等，并且到、的距离相等． 四、解答题 19. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 20. 如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 21. 【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． （1）【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则______； ②若，则与之间的数量关系是______； （2）【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数为______． 22. 如图，在中，，为直线上一动点（不与点，重合），在的右侧作，使得，，连接． （1）当在线段上时，易证，判定全等的理由是______． （2）请判断点在何处时，，并说明理由． （3）当时，若中最小角为，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $