专题04 二元一次的方程组（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版

专题04 二元一次的方程组 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 题型1 二元一次方程(组)的定义 ．【例1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列等式中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 【详解】解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意； B、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·月考）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程，逐一分析各选项，即可作答． 【详解】A. 化简后为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的条件； B. 含有两个未知数x和y，且次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的条件； C. 中y出现在分母，属于分式方程，不符合二元一次方程的条件； D. 中为二次项，导致未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程的条件； 故选：B 【变式2】（22-23七年级下·重庆江津·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据二元一次方程的定义，方程需满足两个未知数的次数均为1，且系数不为零； 【详解】1. 系数条件：方程中的系数为，需满足，即， 2. 次数条件：的指数为，需满足，解得，即或， 3. 排除矛盾：当时，的系数为0，方程退化为关于的一元一次方程，不符合“二元”条件，故舍去， 4. 验证唯一解：当时，的系数为，y的指数为，方程化为，符合二元一次方程的定义， 综上，， 故选：B； 【例2】（24-25七年级下·广东珠海·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组，根据二元一次方程组的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程组的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、方程组含有三个未知数（、、），故不符合题意； B、方程组含有两个未知数（、），且每个方程均为一次方程，符合题意； C、第一个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意； D、第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，掌握其定义是解题的关键． 二元一次方程组的定义，需满足：①两个方程均为整式方程；②共含两个未知数；③每个方程的次数均为1．本题根据定义逐一分析选项即可． 【详解】A．第二个方程含，次数为2，不符合； B．第二个方程含，次数为2，不符合； C．第一个方程化简为，第二个方程为，均为二元一次方程，符合； D．第一个方程含，非整式方程，不符合． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河北唐山·月考）有下列方程组：①②③④其中二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方程组的定义，即含有两个未知数且每一个方程都是二元一次方程，判断解答即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③是二元一次方程组，符合题意； ④不是二元一次方程组，不符合题意． ∴二元一次方程组有①②③，共3个． 故选C． 题型2 二元一次方程的解 【例3】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知是方程的解，那么(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可求解． 【详解】解：将代入，得 解得： 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知是方程的一组解，那么a的值是（    ） A．1 B．−1 C．3 D．−3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．根据能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解，将方程的解代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，则“用含的代数式表示”的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解 将x看做已知数，解关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：移项得， 系数化为一得：， 故选：C 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（   ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解应用，正确列出二元一次方程并确定其解的情况成为解题的关键． 设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据题意列出方程并求解满足条件的正整数解，然后统计解的个数即可解答． 【详解】解：设甲种奖品购买x件，乙种奖品购买y件， 由题意得： 将方程变形为： 要求y为正整数，即必须能被3整除且结果大于等于1． 依次代入x的正整数值验证： 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件． 其他x值代入后y均不为整数或小于1． 因此共有3种购买方案． 故选B． 题型3 解二元一次方程组 【例4】（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）， 由②得，③， 把③代入①得，， 解得， 把代入②得，， ∴方程组的解是； （2）， 得，， 解得， 把代入①得，， 解得 ∴方程组的解是． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法（加减消元法、代入消元法），熟练掌握消元法将二元方程转化为一元方程求解是解题的关键． （1）用加减消元法，将两个方程相加消去，先求，再代入求； （2）把代入另一个方程，先求，再代入求． 【详解】（1）解：， ① + ②得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 题型4 二元一次方程组的特殊解法 【例5】（24-25七年级下·广东广州·月考）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，正确理解题中消元的方法是解题的关键； （1）仿照题中消元方法解方程组即可； （2）根据（1）所求代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 得：，即③， 得：④， 得：， 把代入③得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：当时，． 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）【注重阅读理解】 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由，得． 把代入，得，解得． 把代入，得． 原方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，把方程变形可得：，整体代入方程消去未知数，可得：，再把代入方程求出的值即可． 【详解】解：， 由可得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为． 【变式2】（23-24七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、y的二元一次方程组的解为，求关于、n的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可． 【详解】（1）设， 则原方程组可化为 ∴， 解之得； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解之得， ∴， 解之得． 题型5二元一次方程组的错解复原问题 【例6】（24-25七年级下·河南南阳·月考）甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，，． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①，得， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②，得， 得， 即，． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知关于的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错，解得．求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 首先根据题意列出关于a，b的方程，再进行求解即可求得a，b的值． 【详解】解：将代入得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴，． 【变式2】（24-25七年级下·河南开封·期末）小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组，小明得出的答案是，小文得出的答案是．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的看错了，根据上述信息，请求出字母的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．因为小明是正确的，可将小明的答案代入原方程组，得出c的值和a与b的关系，又小文做错的原因是他把c看错了，可将小文的结果代入第一个式子，从而解出a、b、c的值，从而求解． 【详解】解：由题意知： ， 又∵小文做错的原因是他把c看错了， ∴与a、b无关． 故， ∴， 解得：． 【变式3】（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为．若按正确的a、b计算，求出原方程组的正确的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把甲的解代入②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，把a与b的值代入方程组，求出解即可． 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即方程组为：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 即原方程组的解为：． 题型6 构造二元一次方程组求解 【例7】（24-25七年级下·河南南阳·期末）在等式中，当，；当，；则当时，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值．根据当，；当，，列出方程组，求出k，b的值，得到等式，再把代入即可求值． 【详解】解：∵当，；当，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，． 故答案为： 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则的值为________；的值为________． 4 3 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组． 由题意得解出x，y的值，即可解答． 【详解】解：由题意得 ， 即， ∴，． 故答案为，． 【变式2】（23-24七年级下·河南安阳·期末）对，定义一种新运算▲，规定：（其中，均为非零常数），例如：．已知．则________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，理解新运算的定义是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴ 故答案为： ． 【变式3】（23-24七年级下·江苏南通·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“互助点”，例如：点的一对“互助点”是点与，若点Q的一对“互助点”之一为，则点Q的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组，设点，根据新定义列方程组求解即可． 【详解】设点， ∵点Q的一个“互助点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例8】（2024八年级上·全国·专题练习）若方程的解满足，则__________． 【答案】2025 【分析】本题考查解二元一次方程组，将方程组的两个方程相加得，化简可得，又由得到，求解即可解答． 【详解】解：方程组两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由与互为相反数，得，代入原方程组，得到关于和的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 将代入方程组得： 化简得： ， 得：， 解得： 故答案为． 【变式2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）已知关于，的方程组，的解满足，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解一元一次方程和解二元一次方程组，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键． 解关于，的二元一次方程组，代入另一个方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：解方程组 由得， 代入①得， 解得，， 代入得，， 解得，， 由得， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为_______． 【答案】3或4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，利用加减消元法可得原方程组的解为，再根据“二倍解方程组”的定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组是“二倍解方程组”， ∴或， ∴或， 解得或， 故答案为：3或4． 题型8 方程组相同解问题 【例9】（23-24七年级下·山东德州·月考）与有相同的解，则______，______． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了同解方程组．先求出两个方程组的公共解，即解方程组和，得到，；然后将，代入和，得到关于，的方程组，解之即可． 【详解】解：解方程组，得． 将，代入和， 得． 解此方程组，相加得，； 代入 得， ． 故答案为：；． 【变式1】（22-23七年级下·江苏·单元测试）已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先通过对所求方程组进行变形，利用整体代换，结合已知方程组的解来求解即可． 【详解】解：可化为： 方程组的解是， 中 解得： 方程组的解是 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·河南安阳·月考）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，设，，即可得，解方程组即可求解，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的换元法求解，解题的关键是通过换元将新方程组转化为已知解的方程组形式． 通过设，，把关于m、n的方程组转化为已知解的关于x、y 的方程组，再解关于m、n的方程组得到答案． 【详解】解：令，， 则关于m、n 的方程组可转化为， 已知原方程组的解是， ∴可得，解得． 故答案为：． 题型9 方案问题 【例10】（24-25七年级下·云南昆明·期中）某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； (2)有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆 【分析】本题考查了二元一次方程与二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生；根据等量关系：用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意得，根据m、n为正整数求出其整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生； 由题意得：， 解得：； 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得， 则； 由于m、n为正整数，且n只能是4的倍数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当n为大于16的4的倍数时，不符合题意； 故有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）果园丰收一批苹果共150吨，现需运往市销售．在运输中，有甲、乙、丙三种车型选择，每种车型的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车都满载）： 车型 甲 乙 丙 运载量/（吨/辆） 6 10 12 运费/（元/辆） 450 600 700 (1)若全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元，问分别需要甲、乙两种车型各多少量？ (2)考虑到实际情况，为使费用最节省，该果园决定三种车型同时参与运送，已知它们的总和是15辆，请求出当这三种车型分别安排多少辆时，总费用最低，此时的费用是多少？ 【答案】(1)需要5辆甲种车型，12辆乙种车型； (2)安排1辆甲种车型，12辆乙种车型，2辆丙种车型时，总费用最低，此时的费用是9050元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设需要x辆甲种车型，y辆乙种车型，根据“全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排m辆甲种车型，n辆乙种车型，则安排辆丙种车型，根据安排的三种车型一次可运送150吨苹果，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为正整数，可得出各派车方案，再求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设需要x辆甲种车型，y辆乙种车型， 根据题意得：， 解得：． 答：需要5辆甲种车型，12辆乙种车型； （2）设安排m辆甲种车型，n辆乙种车型，则安排辆丙种车型， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n，均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种派车方案， 方案1：安排4辆甲种车型，3辆乙种车型，8辆丙种车型，总费用为（元）； 方案2：安排3辆甲种车型，6辆乙种车型，6辆丙种车型，总费用为（元）； 方案3：安排2辆甲种车型，9辆乙种车型，4辆丙种车型，总费用为（元）； 方案4：安排1辆甲种车型，12辆乙种车型，2辆丙种车型，总费用为（元）． ∵， ∴安排1辆甲种车型，12辆乙种车型，2辆丙种车型时，总费用最低，此时的费用是9050元． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； (2)①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型 【分析】（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型， 根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案； 【详解】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意，得 ， 解得 ， 即A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； （2）解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，得 ， 则， ∵a，b均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，， 故所有购买方案如下：①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，有理数四则混合计算的实际应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．         素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【答案】任务一：9，3；2，6；任务二：240张；任务三：需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张 【分析】本题考查二元一次方程组的应用， 任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成张学生椅； 任务三：设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，可得：，解方程组可得答案． 【详解】解：任务一： 设一张该板材裁切靠背张，坐垫张， 根据题意得：， ， ，为非负整数， 或或， 方法二：裁切靠背张和坐垫张； 方法三：裁切靠背张和坐垫张； 故答案为：，；，；                任务二： （张），， 该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅； 任务三： 设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张， 根据题意得： 解得：               （张）， 需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张． 题型10 分配问题 【例11】（23-24七年级下·山东淄博·期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？ 【答案】144套 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设用来制盒身的铁皮为张，用来制盒底的铁皮为张，根据每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．列出方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：设用来制盒身的铁皮为张，用来制盒底的铁皮为张，根据题意， 得 解得 答：可以恰好配成144套罐头盒. 【变式1】（21-22七年级下·广西桂林·月考）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖） (1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张； (2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可以做成甲乙两种小盒各40个，80个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数加法的实际应用： （1）分别求出1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片即可得到答案； （2）设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片， ∴制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片7张，正方形纸片3张， 故答案为：7；3； （2）解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各40个，80个． 【变式2】（24-25八年级上·江西抚州·期末）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】(1)大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元 (2)3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 根据题意得：，解得： 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）解：根据题意得： 元 答：该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需3360元． 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【答案】用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设用木料做桌面，木料做桌腿，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设用木料做桌面，木料做桌腿，由题意，得： 解得． （张）． 答：用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌． 题型11 销售经济问题 【例12】（24-25七年级下·河北唐山·月考）学校图书馆购买一批图书，发现有两种套装书特别适合学生阅读，一套是革命家故事丛书，共册；一套是青少年科普读物丛书，共册．若购买套革命家故事丛书，套青少年科普读物丛书共需元；若购买套革命家故事丛书，3套青少年科普读物丛书共需元．若学校预算元，能否购买一套革命家故事丛书和一套青少年科普读物丛书？ 【答案】学校预算元，不能各购买一套丛书． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设购买一套革命家故事丛书需要元，购买一套青少年科普读物丛书需要元，由题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设购买一套革命家故事丛书需要元，购买一套青少年科普读物丛书需要元， 由题意得：， 解得：， 所以， 因为， 所以若学校预算元，不能各购买一套丛书， 答：若学校预算元，不能各购买一套丛书． 【变式1】（24-25七年级下·福建厦门·月考）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A、B两种材质的围棋每套的售价． (2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，则商店销售完这30套围棋所得最大利润是______． 【答案】(1)A、B两种材质的围棋每套的售价分别为250元、210元 (2)1300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设A、B两种材质的围棋每套的售价分别为元、元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设A种材质的围棋采购套，则B种材质的围棋采购套，根据题意列出一元一次不等式，求出，表示出利润，计算即可得解． 【详解】（1）解：设A、B两种材质的围棋每套的售价分别为元、元， 由题意可得：， 解得：， 故A、B两种材质的围棋每套的售价分别为250元、210元； （2）解：设A种材质的围棋采购套，则B种材质的围棋采购套， 由题意可得：， 解得， 商店销售完这30套围棋所得利润为， ∵， ∴当时，利润最大为， 故商店销售完这30套围棋所得最大利润是元． 【变式2】（24-25七年级下·吉林·期末）小红家水果店花费500元从水果批发市场批发了香蕉和苹果共110千克，其中香蕉的批发价为4元/千克，苹果的批发价为5元/千克． (1)香蕉和苹果各批发多少千克？ (2)若小红家水果店香蕉的零售价为6元/千克，苹果的零售价为8元/千克，则卖完这些香蕉和苹果能赚多少钱？ 【答案】(1)香蕉批发50千克，苹果批发60千克 (2)卖完这些香蕉和苹果能赚280元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用， （1）设香蕉批发千克，苹果批发千克，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）根据（1）的结论，根据售价减去进价乘以销量，即可求解． 【详解】（1）设香蕉批发千克，苹果批发千克，根据题意，得 解得 答：香蕉批发50千克，苹果批发60千克． （2）（元）． 答：卖完这些香蕉和苹果能赚280元． 【变式3】（24-25七年级下·河南新乡·期末）五一劳动节到了，某中学打算去花店购买鲜花为学校的保洁阿姨送上一份节日祝福．已知买2束康乃馨和6束玫瑰共花费670元，并且每束康乃馨比玫瑰便宜25元． (1)求每束康乃馨和玫瑰的售价． (2)花店里搞活动，有两种促销方案： 方案①：五束康乃馨和五束玫瑰为一套餐，套餐打八折； 方案②：消费满990减100，满1990减200． 两种方案不能同时参与．学校打算购买14束康乃馨和12束玫瑰，请问如何购买更划算？ 【答案】(1)每束康乃馨的售价为65元，每束玫瑰的售价为90元 (2)选择方案①购买更划算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设每束康乃馨的售价为x元，每束玫瑰的售价为y元，根据买2束康乃馨和6束玫瑰共花费670元，并且每束康乃馨比玫瑰便宜25元，列出二元一次方程组求解； （2）利用总价=单价×数量，结合花店给出的促销方案，可求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）设每束康乃馨的售价为x元，每束玫瑰的售价为y元，根据题意得： 解得：， 答：每束康乃馨的售价为65元，每束玫瑰的售价为90元； （2）选择方案①所需费用为（元）； ∵（元）， ∴选择方案②所需费用为（元）． ∵， ∴选择方案①购买更划算． 题型12 几何问题 【例13】（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 【答案】当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A种积木的高度是，种积木的高度是，根据图②所示的立体图形列出方程组并解答，再由可得答案． 【详解】解：设A种积木的高度是，种积木的高度是． 根据题意，得， 解得， ． 故当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是． 【变式1】（24-25七年级上·安徽安庆·月考）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【答案】小长方形花坛的长为，宽为 【分析】设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为． 根据题意，得     解得 答：小长方形花坛的长为，宽为． 【变式2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图1，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图1），求图中阴影部分的面积．小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去8个小长方形的面积得到阴影部分的面积．请按照小许的思路完成上述问题． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形的关系得到，求出，即可求出阴影面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， ， 解得， ∴阴影部分的面积为 ． 【变式3】（2024·广东潮州·一模）【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    【答案】这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为， 依题意得：， ，得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴方程组的解为， 答：这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为． 题型13 古代问题 【例14】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈五千四百；人出三百，盈四百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余5400钱；每人出300钱，会剩余400钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题． 【答案】共50人合伙买金，金价为14600钱 【分析】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识．设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余5400钱；每人出300钱，会剩余400钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设共x人合伙买金，金价为y钱， 依题意得：， 解得：． 答：共50人合伙买金，金价为14600钱． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 【答案】绳长尺，竿长尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，竿长尺， 根据题意得： 解得： 答：绳长尺，竿长尺． 【变式2】（24-25七年级下·重庆垫江·期末）阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数的系数，且图5所表示的方程组中的值为，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【答案】 （1）两个方程分别为，，公共解为， （2）1 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据“算筹图”利用图3、图4列方程组成方程组，利用加减消元法解二元一次方程组； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是，根据图5列二元一次方程组，把代入解方程组求出值即可． 【详解】（1）解：由图3得，①， 由图4得，②， 将这两个方程组成方程组得，， 将②得，， 得，， 解得， 将代入②得，， 解得， 这个方程组的解是：， 即这两个方程的公共解是，； （2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为，， 由题意可知，， 将代入①得，，解得：， 将，代入②得，，解得：， 被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是1． 【变式3】（23-24八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    【答案】小和尚有75人，大和尚有25人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：小和尚有75人，大和尚有25人． 题型14 其他问题 【例15】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某物流公司用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货吨；用3辆A型车和4辆B型车装满货物一次可运货吨．现有吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？ (2)若A型车每辆每次需租金元，B型车每辆每次需租金元．请选出最省钱的租车方案，并求出此时的租车费用． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货3吨，4吨 (2)最省钱的方案是租用A型车9辆，B型车1辆，租车费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． （1）设1辆A型车装满货物一次运吨，1辆型车装满货物一次运吨，根据题意列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意的得到，结合均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次运吨，1辆型车装满货物一次运吨， 由题意得， 解得， 所以1辆A型车和1辆型车都装满货物一次分别可运货3吨，4吨； （2）解：由题意得：， ∴满足方程的整数解为，，， ∵租车费用， ∴三种费用分别为元，元，元． 所以最省钱的方案是租用A型车9辆，B型车1辆，租车费用为元． 【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明是一个热爱研究的孩子，在阅读了《乌鸦喝水》的故事后，想研究物体对水位的影响，于是用小球模拟了乌鸦喝水的场景，根据图中信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高_____cm，放入一个大球水面升高_____cm； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)2，3 (2)大球6个，小球4个 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，解答时理解图的含义是解答本题的关键． （1）水面升高量除以球的个数即可求解； （2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到，列出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：， ； 答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； （2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有 解得：， 答：应放入大球4个，小球6个． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，某工厂与两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买原料运回工厂，制成产品运到地．已知公路的运价为元/（吨），铁路的运价为元/（吨）． (1)设一批原料有吨，生产成的产品有吨．填写下表（结果用含的代数式表示）； 地 地 公路运费（元） ____________ 铁路运费（元） ____________ ____________ (2)第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从地运回工厂运费67500元，制成产品运到地运费39000元．求的值． (3)工厂从地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往地的价格为每吨8000元．因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨？与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了？ 【答案】(1)，， (2)，． (3)第二批货物的原料是60吨，成品率提高了 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组是解题的关键． （1）根据题意分别用表示即可； （2）根据“第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从地运回工厂运费67500元，制成产品运到地运费39000元．”列出方程组，即可求解； （3）设第二批货物的原料有吨，产品有吨，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意填写表格如下： 地 地 公路运费（元） 铁路运费（元） （2）解：由题意得：， 解得：． （3）解：设第二批货物的原料有吨，产品有吨，由题意得： ， 解得：， ∵第一批成品率： 第二批成品率： ∴第二批成品率提高了． 答：第二批货物的原料是60吨，成品率提高了． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．接水的过程中，为了接到较适合饮用的温开水，先接温水秒，再接开水秒，整个过程不计热量损失．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为： 开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接满一杯的水，如果他先接温水16秒，则再接开水的时间为______秒； (2)在（1）的条件下，求甲同学接的这杯水的温度； (3)乙同学要接一杯且水温为的温开水，直接写出、的值． 【答案】(1)12 (2) (3)的值为60，的值为32 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；二元一次方程组． （1）利用再接开水的时间 (接水的总体积温水的流速接温水的时间)开水的流速，可求出再接开水的时间， （2）设所接的这杯水的温度是，根据开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； (3)根据乙同学所接水的体积及温度，可列出关于必的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（秒）， 故答案为：； （2）解：设所接的这杯水的温度是， 由题意可得：， 解得：， ∴再接开水的时间为秒，所接的这杯水的温度是 ； （3）解：由题意可得：， 解得：， ∴的值为，的值为； 计算类错误（最多） 1.加减消元：同减异加记反，符号崩盘 2.等式扩倍：只乘未知数，常数项漏乘 3.去分母 / 括号：漏项、正负变号错 4.求出一解，忘记回代求第二个解 方法选择错误 1.系数 ±1 硬用加减，浪费时间还错 2.系数成倍数不用加减，盲目代入复杂化 概念混淆错误 1.分不清：二元一次方程无数解 / 方程组唯一解 2.误把单个方程的解，当成方程组的解 应用题专属错因 1.找不齐两组等量关系，只列一个方程 2.配套 / 行程题：比例、顺水逆水、路程关系理解错 3.接设元卡死，不会用间接设元 答题规范失分 1.不检验、不写答句 2.含参题漏分类讨论，取值范围不写 选法速判 （1）系数有 ±1 →优先代入消元。 （2）同未知数成倍数 →优先加减消元 （3）含分数/小数 →先去分母、化整数再算. 代入消元三 （1）变:把系数 +1的项，单独放一边 （2）代:整体塞进另一个方程，消元 （3）求:先算一个，再回代求第二个 加减消元口诀 （1）同系数，相减;异系数，相加 （2）扩倍要全员乘:未知数+常数，一个不漏 化简秒杀 （1）小数方程组:全体 x10、x100 化成整数 （2）分数方程组:两边同乘最小公分母，去分母 应用题抓分 （1）必找两句等量关系，列两个方程 （2）行程:路程=速度x时间;顺水加水流，逆水减水流 （3）配套:按比例列等式(如 1桌面配 4 桌腿) （4）难列式一换间接设元 避坑收尾 （1）算出两解必回原方程检验 （2）含参题:无解/无数解，看系数比例 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次的方程组 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 题型1 二元一次方程(组)的定义 ．【例1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列等式中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·月考）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·重庆江津·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【例2】（24-25七年级下·广东珠海·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北唐山·月考）有下列方程组：①②③④其中二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 二元一次方程的解 【例3】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知是方程的解，那么(    ) A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知是方程的一组解，那么a的值是（    ） A．1 B．−1 C．3 D．−3 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，则“用含的代数式表示”的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（   ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 题型3 解二元一次方程组 【例4】（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）解方程组 (1) (2) 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1) (2) 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 题型4 二元一次方程组的特殊解法 【例5】（24-25七年级下·广东广州·月考）先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的值． 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）【注重阅读理解】 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由，得． 把代入，得，解得． 把代入，得． 原方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【变式2】（23-24七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、y的二元一次方程组的解为，求关于、n的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 题型5二元一次方程组的错解复原问题 【例6】（24-25七年级下·河南南阳·月考）甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知关于的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错，解得．求的值． 【变式2】（24-25七年级下·河南开封·期末）小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组，小明得出的答案是，小文得出的答案是．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的看错了，根据上述信息，请求出字母的值． 【变式3】（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为．若按正确的a、b计算，求出原方程组的正确的解． 题型6 构造二元一次方程组求解 【例7】（24-25七年级下·河南南阳·期末）在等式中，当，；当，；则当时，的值为______． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个的表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方．如下，这是一个三阶幻方，则的值为________；的值为________． 4 3 【变式2】（23-24七年级下·河南安阳·期末）对，定义一种新运算▲，规定：（其中，均为非零常数），例如：．已知．则________． 【变式3】（23-24七年级下·江苏南通·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“互助点”，例如：点的一对“互助点”是点与，若点Q的一对“互助点”之一为，则点Q的坐标为__________． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例8】（2024八年级上·全国·专题练习）若方程的解满足，则__________． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值_______． 【变式2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）已知关于，的方程组，的解满足，则的值为___________． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为_______． 题型8 方程组相同解问题 【例9】（23-24七年级下·山东德州·月考）与有相同的解，则______，______． 【变式1】（22-23七年级下·江苏·单元测试）已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是_____． 【变式2】（24-25七年级下·河南安阳·月考）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____． 【变式3】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________． 题型9 方案问题 【例10】（24-25七年级下·云南昆明·期中）某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）果园丰收一批苹果共150吨，现需运往市销售．在运输中，有甲、乙、丙三种车型选择，每种车型的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车都满载）： 车型 甲 乙 丙 运载量/（吨/辆） 6 10 12 运费/（元/辆） 450 600 700 (1)若全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元，问分别需要甲、乙两种车型各多少量？ (2)考虑到实际情况，为使费用最节省，该果园决定三种车型同时参与运送，已知它们的总和是15辆，请求出当这三种车型分别安排多少辆时，总费用最低，此时的费用是多少？ 【变式2】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．         素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 题型10 分配问题 【例11】（23-24七年级下·山东淄博·期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？ 【变式1】（21-22七年级下·广西桂林·月考）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖） (1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张； (2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 【变式2】（24-25八年级上·江西抚州·期末）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 题型11 销售经济问题 【例12】（24-25七年级下·河北唐山·月考）学校图书馆购买一批图书，发现有两种套装书特别适合学生阅读，一套是革命家故事丛书，共册；一套是青少年科普读物丛书，共册．若购买套革命家故事丛书，套青少年科普读物丛书共需元；若购买套革命家故事丛书，3套青少年科普读物丛书共需元．若学校预算元，能否购买一套革命家故事丛书和一套青少年科普读物丛书？ 【变式1】（24-25七年级下·福建厦门·月考）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A、B两种材质的围棋每套的售价． (2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，则商店销售完这30套围棋所得最大利润是______． 【变式2】（24-25七年级下·吉林·期末）小红家水果店花费500元从水果批发市场批发了香蕉和苹果共110千克，其中香蕉的批发价为4元/千克，苹果的批发价为5元/千克． (1)香蕉和苹果各批发多少千克？ (2)若小红家水果店香蕉的零售价为6元/千克，苹果的零售价为8元/千克，则卖完这些香蕉和苹果能赚多少钱？ 【变式3】（24-25七年级下·河南新乡·期末）五一劳动节到了，某中学打算去花店购买鲜花为学校的保洁阿姨送上一份节日祝福．已知买2束康乃馨和6束玫瑰共花费670元，并且每束康乃馨比玫瑰便宜25元． (1)求每束康乃馨和玫瑰的售价． (2)花店里搞活动，有两种促销方案： 方案①：五束康乃馨和五束玫瑰为一套餐，套餐打八折； 方案②：消费满990减100，满1990减200． 两种方案不能同时参与．学校打算购买14束康乃馨和12束玫瑰，请问如何购买更划算？ 题型12 几何问题 【例13】（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 【变式1】（24-25七年级上·安徽安庆·月考）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【变式2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图1，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图1），求图中阴影部分的面积．小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去8个小长方形的面积得到阴影部分的面积．请按照小许的思路完成上述问题． 【变式3】（2024·广东潮州·一模）【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    题型13 古代问题 【例14】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈五千四百；人出三百，盈四百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余5400钱；每人出300钱，会剩余400钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 【变式2】（24-25七年级下·重庆垫江·期末）阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数的系数，且图5所表示的方程组中的值为，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【变式3】（23-24八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    题型14 其他问题 【例15】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某物流公司用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货吨；用3辆A型车和4辆B型车装满货物一次可运货吨．现有吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？ (2)若A型车每辆每次需租金元，B型车每辆每次需租金元．请选出最省钱的租车方案，并求出此时的租车费用． 【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明是一个热爱研究的孩子，在阅读了《乌鸦喝水》的故事后，想研究物体对水位的影响，于是用小球模拟了乌鸦喝水的场景，根据图中信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高_____cm，放入一个大球水面升高_____cm； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，某工厂与两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买原料运回工厂，制成产品运到地．已知公路的运价为元/（吨），铁路的运价为元/（吨）． (1)设一批原料有吨，生产成的产品有吨．填写下表（结果用含的代数式表示）； 地 地 公路运费（元） ____________ 铁路运费（元） ____________ ____________ (2)第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从地运回工厂运费67500元，制成产品运到地运费39000元．求的值． (3)工厂从地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往地的价格为每吨8000元．因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨？与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了？ 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．接水的过程中，为了接到较适合饮用的温开水，先接温水秒，再接开水秒，整个过程不计热量损失．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为： 开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接满一杯的水，如果他先接温水16秒，则再接开水的时间为______秒； (2)在（1）的条件下，求甲同学接的这杯水的温度； (3)乙同学要接一杯且水温为的温开水，直接写出、的值． 计算类错误（最多） 1.加减消元：同减异加记反，符号崩盘 2.等式扩倍：只乘未知数，常数项漏乘 3.去分母 / 括号：漏项、正负变号错 4.求出一解，忘记回代求第二个解 方法选择错误 1.系数 ±1 硬用加减，浪费时间还错 2.系数成倍数不用加减，盲目代入复杂化 概念混淆错误 1.分不清：二元一次方程无数解 / 方程组唯一解 2.误把单个方程的解，当成方程组的解 应用题专属错因 1.找不齐两组等量关系，只列一个方程 2.配套 / 行程题：比例、顺水逆水、路程关系理解错 3.接设元卡死，不会用间接设元 答题规范失分 1.不检验、不写答句 2.含参题漏分类讨论，取值范围不写 选法速判 （1）系数有 ±1 →优先代入消元。 （2）同未知数成倍数 →优先加减消元 （3）含分数/小数 →先去分母、化整数再算. 代入消元三 （1）变:把系数 +1的项，单独放一边 （2）代:整体塞进另一个方程，消元 （3）求:先算一个，再回代求第二个 加减消元口诀 （1）同系数，相减;异系数，相加 （2）扩倍要全员乘:未知数+常数，一个不漏 化简秒杀 （1）小数方程组:全体 x10、x100 化成整数 （2）分数方程组:两边同乘最小公分母，去分母 应用题抓分 （1）必找两句等量关系，列两个方程 （2）行程:路程=速度x时间;顺水加水流，逆水减水流 （3）配套:按比例列等式(如 1桌面配 4 桌腿) （4）难列式一换间接设元 避坑收尾 （1）算出两解必回原方程检验 （2）含参题:无解/无数解，看系数比例 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $