专题02 实数（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版

专题02 实数 算术平方根 1.定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.算术平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 求一个数的算术平方根 【例1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）4的算术平方根是（   ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义；如果一个数x的平方等于，那么数x叫做a的平方根，可以表示为，其中正的平方根叫做a的算术平方根，据此可得答案． 【详解】解：∵算术平方根为非负数，且， ∴4的算术平方根是2， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）6的算术平方根是（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，据此即可求得答案． 【详解】解：6的算术平方根是， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·安徽六安·期中）的算术平方根是（  ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根即可． 【详解】解：∵，4的算术平方根是2； ∴的算术平方根是2； 故选：A． 利用算术平方根的非负性解题 【例2】（24-25七年级下·广东湛江·期中）若，为实数，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方，代数式求值，解题的关键是确定和的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，确定和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·广西·期中）若，但的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质，求出，，是解题的关键．根据非负数的性质，算术平方根和平方数均非负，它们的和为0时，各部分均为0，由此解出a和b的值，再求和即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）若实数、满足，则的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根以及绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由非负数的性质可知，均为非负数，它们的和为0时，必须各自为0,由此可解出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，或 则或， 故选：D 【变式3】（24-25七年级下·广西梧州·期中）若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，方程的思想，算术平方根的应用，关键是求出、的值． 根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ∴， 的算术平方根为2， 故选A． 与算术平方根有关的规律探索题 【例3】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（    ） A．0.161 B．0.508 C．16.1 D．50.8 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的变化规律，正确找出一般规律是解题关键．通过观察表格数据，发现当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位，据此规律求解即可得． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系． 根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左或向右移动1个位数”可知答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，根据题意找到规律，即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第8行共有个数，末尾数为， ∴第8行11个数也为倒数第6个数，即． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·月考）根据以下表格里的数据： 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，被开方数的小数点向右每移动两位，开方的结果的小数点向右移动一位，被开方数的小数点向左每移动两位，开方的结果的小数点向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：A． 求一个数的平方根 【例4】（24-25七年级下·广西梧州·期中）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】4的平方根是． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）36的平方根是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握若一个数x的平方等于a，则x叫做a的平方根成为解题的关键． 根据平方根的定义（一个正数的平方根有两个，互为相反数）求解即可． 【详解】解：∵， ∴36的平方根是． 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·月考）的算术平方根的平方根（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根、平方根，根据算术平方根与平方根的定义计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根为， ∴的算术平方根的平方根为， 故选：A． 【变式3】（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或5 C．或1 D．1或5 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，平方根，代数式求值，先根据确定a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解： ，， ，， ， ，或， 当，时，， 当，时，， 的值为或， 故选A． 已知一个数的平方根，求这个数 【例5】（24-25七年级下·广东惠州·期中）一个正数的平方根分别是与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平方根，一元一次方程，熟练掌握概念是解题的关键． （）根据平方根的概念列出方程，然后解方程即可； （）把代入即可求解． 【详解】（1）解：∵正数的平方根分别是与， ∴， 解得：； （2）解：把代入， ∴正数． 【变式1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解． 【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 解得： 将代入，得： 因此，这个正数为． 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某正数的两个不同的平方根分别为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．根据正数的平方根有两个，且互为相反数，即可求出a的值． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别为， ∴， 解得：， 故选：A． 利用平方根解方程 【例6】（24-25七年级下·青海海西·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】先求出的值，再根据平方根的定义解答； 把看作一个整体，利用平方根的定义解答即可． 本题考查了利用平方根的定义求未知数的值，熟记概念是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解： 或， 解得或． 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·期中）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程，根据平方根的定义可得，即可求解． 【详解】解： ∴， 解得：或． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）求下列式中的值： 【答案】或 【分析】先将方程两边同时除以，得到的值，再根据平方根的定义，对开平方，得到的值，最后求解 ．本题主要考查了平方根的定义及应用，熟练掌握平方根的定义，即若（），则是解题的关键． 【详解】解： 或 【变式3】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义解答即可； （2）先把方程变形为，然后根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， 所以，． （2）解：， ， ， 所以，． 求一个数的立方根 【例7】（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）的立方根为（ ） A． B． C． D．没有立方根 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据立方根，即可解答． 【详解】解：的立方根是． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念及求一个数的立方根，需根据各选项逐一判断正误． 【详解】解：A. 1的立方根是1，故正确； B. 的立方根是；故正确； C. 的立方根是；故正确； D. 125的立方根是；故错误； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·山西朔州·期中）若，，则（   ） A．14.64 B．146.4 C．31.55 D．315.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根， 通过观察已知数值与待求数值的关系，利用立方根的性质进行分解计算． 【详解】解： 因为，， 所以 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若，则的值为（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义，解方程即可． 【详解】解：， ∴； 故选A． 平方根和立方根的综合应用 【例8】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求、的值； (2)直接写出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根、一元一次方程，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是3， ，， 解得：，． （2）解：， ， 的平方根是． 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义列出关于，的方程，解方程，即可求解； （2）将、代入，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的立方根是， ， 解得:． （2）解：当时， ，                       所以的平方根是． 【变式3】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 无理数定义 【例9】（24-25七年级下·天津·期中）在实数，，，，（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可知，在实数，，，，（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有，，（相邻两个1之间依次多个0），共3个． 【变式1】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是无理数，，，是有理数 【变式2】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在（每两个5之间依次增加1）中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查无理数的概念，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 3.14159是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 含有无理数π，属于无理数； 0.515115111...（每两个5之间依次增加1）是无限不循环小数，属于无理数． 无理数有、、0.515115111... （每两个5之间依次增加1），共3个． 故选：C． 无理数的大小估算 【例10】（24-25七年级下·广东惠州·期中）估计的值（   ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算．根据，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值应在3和4之间， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若整数满足，则等于（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的取值范围，解题的关键是熟练掌握确定二次根式取值范围的方法． 分别判断出和的取值范围，然后确定的取值范围即可． 【详解】解：∵，即， ，即， ，即， ∴，即 ∴， 故选：B． 无理数整数部分的有关计算 【例11】（25-26七年级上·北京·期中）如果的整数部分是a，小数部分是b，那么=______． 【答案】8 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出的范围，进而得到的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． ∴． 故答案为：8． 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知的小数部分为，的小数部分为，则____________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及不等式的性质，得到，，是解答本题的关键．由，可得，，则m和n的值可求，则问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴小数部分为，的小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【变式2】（23-24七年级下·福建莆田·月考）若的小数部分为a，的整数部分为，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键． 根据，，确定a，b的值代入计算即可解题． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 实数与数轴 【例12】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为__________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，实数与数轴，先求出正方形的边长，进而根据两点间的距离求出点E所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵顶点A在数轴上表示的数为， ∴点E所表示的数为； 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）数轴上点A表示的数为，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，则点B所表示的数_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上点的移动规律是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律得到点对应的数即可． 【详解】解：∵点表示的数为，将点沿数轴向右平移个单位长度到达点， ∴点表示的数为． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为______． 【答案】/ 【分析】本题考查开平方，实数与数轴，正方形的面积，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键．根据正方形的面积公式求得边的长，即为的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， ∴（负值舍）， 由作图可知， ∵顶点在数轴上，且表示的数为1， ∴点到原点的距离为， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），，则点E表示的数为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的右侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，且点E在点A的右侧， ∴E点所表示的数为． 故答案为：． 实数的大小比较 【例13】（24-25七年级下·广西南宁·期中）比较下列两个数的大小：______． 【答案】 【分析】本题考查无理数比较大小，由，可得，即可求解；掌握无理数大小比较方法是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期中）比较大小：______5（填或）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，比较出两个数的平方的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）比较大小：__________6；__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据，可得；根据可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：；． 实数的混合运算 【例14】（24-25七年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 【变式1】（24-25七年级下·吉林白山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先乘方，求算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·广东汕头·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算（含绝对值、立方根、平方根、有理数的乘方），解题的关键是正确化简各部分运算项后再进行加减运算． 先化简为，计算、、，再将这些结果进行加减运算． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25七年级下·广东江门·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值，算术平方根，立方根，有理数的乘方进行计算． 【详解】解： ． 程序设计与实数运算 【例15】（24-25七年级下·山东滨州·月考）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、算术平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并掌握相关运算法则是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：输入，则，然后，然后得到，然后得到， ∴输出的数为， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）如图，有一个数值转化器，当输入的x运行3次后，输出的y是，则输入的数x为____． 【答案】81 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，流程图和无理数，根据题意，逆推，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：81． 实数的实际应用 【例16】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 【变式1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）现有一张面积为的长方形纸片，它的长与宽的比为． (1)求长方形纸片的长和宽； (2)要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由． 【答案】(1)长方形纸片的长和宽分别为， (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根，是解题的关键： （1）设长为，宽为，根据面积公式进行求解即可； （2）求出正方形的边长与长方形的宽进行比较即可． 【详解】（1）解：设长为，宽为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴长方形纸片的长和宽分别为，； （2）解：不能，理由如下： 由题意，正方形的边长为：， ∵， ∴不能裁剪出来． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期中）某小区有一块面积为的正方形空地，开发商计划在此空地上建一个面积为的长方形花坛，使长方形的长是宽的2倍．请你通过计算说明开发商能否实现这个愿望？ 【答案】开发商不能实现这个愿望，过程见解析． 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，合理列出代数式是解题的关键． 利用面积公式列式运算即可． 【详解】解：设长方形花坛的宽为m，则长为m.依题意，得：， ∴， ∵， ∴，， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴开发商不能实现这个愿望， 答：开发商不能实现这个愿望． 概念混淆类（根源：定义记混） 1.错：​=±4因：把算术平方根当成平方根；只带根号默认非负 2.错：带根号都是无理数因：不懂开得尽方（​,​）是有理数 3.错：负数能开平方因：忽略平方根前提a≥0，分不清平方 / 立方区别 公式乱用类（根源：不看前提） 1.错：​=a 因：漏掉绝对值，没考虑 a 是负数 2.错：随便给负数套 因：无视被开方数必须≥0 的硬性条件 3.错：平方根、立方根符号乱套 因：没记住：平方有正负，立方跟原数符号一致 审题粗心类（根源：看题不仔细） 1.问 “平方根” 只写一个正数因：审题漏关键词，把两道题混为一道 2.估算题直接乱写整数部分因：不会夹逼法，凭感觉猜 3.分不清整数部分、小数部分因：不懂无理数拆分逻辑 综合解题类（根源：不会判断正负） 数轴 + 根号 + 绝对值化简出错因：不会先判断字母正负，直接去根号、去绝对值 相反数、绝对值、倒数混搭算错因：以为实数和有理数完全一样，忽略带根号要先化简 分类速判技巧 看小数：有限 / 循环→有理数；不循环→无理数 看根号：开得尽→有理；开不尽→无理 看π：含 π 且消不掉→无理数 平方根 / 算术平方根 秒区分 1.单独√a：只取非负（算术根） 2.问 “一个数的平方根”：必带 **±** 3.根号前无字 = 正；有 ± 才是两个根 公式直接套（不踩坑） 1. → 前提：a≥0 2.=∣a∣ → 负数也要加绝对值 3. → 不用绝对值，正负原样留 符号口诀 平方拒负数，立方全收纳；根号外面看符号，根号内部不能负。 估算秒杀（夹逼法） 找相邻整数平方：如 ，4²=16，5²=25 定范围：4＜＜5 → 整数部分 4，小数部分−4 化简万能步骤 1 先判正负 → 2 去绝对值 → 3 去根号 → 4 合并计算 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 算术平方根 1.定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.算术平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 求一个数的算术平方根 【例1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）4的算术平方根是（   ） A． B．3 C．1 D．2 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）6的算术平方根是（   ） A． B． C． D．6 【变式2】（23-24八年级下·安徽六安·期中）的算术平方根是（  ） A．2 B． C．4 D．8 利用算术平方根的非负性解题 【例2】（24-25七年级下·广东湛江·期中）若，为实数，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·广西·期中）若，但的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）若实数、满足，则的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或 【变式3】（24-25七年级下·广西梧州·期中）若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 与算术平方根有关的规律探索题 【例3】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（    ） A．0.161 B．0.508 C．16.1 D．50.8 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·月考）根据以下表格里的数据： 则（   ） A． B． C． D． 求一个数的平方根 【例4】（24-25七年级下·广西梧州·期中）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）36的平方根是（    ） A． B． C．6 D． 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·月考）的算术平方根的平方根（　　） A． B． C．2 D． 【变式3】（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或5 C．或1 D．1或5 已知一个数的平方根，求这个数 【例5】（24-25七年级下·广东惠州·期中）一个正数的平方根分别是与． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．9 B． C．3 D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某正数的两个不同的平方根分别为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 利用平方根解方程 【例6】（24-25七年级下·青海海西·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·期中）解方程：． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）求下列式中的值： 【变式3】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）解下列方程： (1)； (2)． 求一个数的立方根 【例7】（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）的立方根为（ ） A． B． C． D．没有立方根 【变式1】（24-25七年级下·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【变式2】（24-25七年级下·山西朔州·期中）若，，则（   ） A．14.64 B．146.4 C．31.55 D．315.5 【变式3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若，则的值为（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 平方根和立方根的综合应用 【例8】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求、的值； (2)直接写出的平方根． 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式3】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 无理数定义 【例9】（24-25七年级下·天津·期中）在实数，，，，（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在（每两个5之间依次增加1）中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 无理数的大小估算 【例10】（24-25七年级下·广东惠州·期中）估计的值（   ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若整数满足，则等于（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 无理数整数部分的有关计算 【例11】（25-26七年级上·北京·期中）如果的整数部分是a，小数部分是b，那么=______． 【变式1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知的小数部分为，的小数部分为，则____________． 【变式2】（23-24七年级下·福建莆田·月考）若的小数部分为a，的整数部分为，则的值为__________． 实数与数轴 【例12】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为__________． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）数轴上点A表示的数为，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，则点B所表示的数_____． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为______． 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），，则点E表示的数为________． 实数的大小比较 【例13】（24-25七年级下·广西南宁·期中）比较下列两个数的大小：______． 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期中）比较大小：______5（填或）． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）比较大小：__________6；__________． 实数的混合运算 【例14】（24-25七年级下·北京·期中）计算： 【变式1】（24-25七年级下·吉林白山·期中）计算：． 【变式2】（24-25七年级下·广东汕头·月考）计算： 【变式3】（24-25七年级下·广东江门·期中）计算：． 程序设计与实数运算 【例15】（24-25七年级下·山东滨州·月考）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是______． 【变式1】（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为_______． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）如图，有一个数值转化器，当输入的x运行3次后，输出的y是，则输入的数x为____． 实数的实际应用 【例16】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【变式1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）现有一张面积为的长方形纸片，它的长与宽的比为． (1)求长方形纸片的长和宽； (2)要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期中）某小区有一块面积为的正方形空地，开发商计划在此空地上建一个面积为的长方形花坛，使长方形的长是宽的2倍．请你通过计算说明开发商能否实现这个愿望？ 概念混淆类（根源：定义记混） 1.错：​=±4因：把算术平方根当成平方根；只带根号默认非负 2.错：带根号都是无理数因：不懂开得尽方（​,​）是有理数 3.错：负数能开平方因：忽略平方根前提a≥0，分不清平方 / 立方区别 公式乱用类（根源：不看前提） 1.错：​=a 因：漏掉绝对值，没考虑 a 是负数 2.错：随便给负数套 因：无视被开方数必须≥0 的硬性条件 3.错：平方根、立方根符号乱套 因：没记住：平方有正负，立方跟原数符号一致 审题粗心类（根源：看题不仔细） 1.问 “平方根” 只写一个正数因：审题漏关键词，把两道题混为一道 2.估算题直接乱写整数部分因：不会夹逼法，凭感觉猜 3.分不清整数部分、小数部分因：不懂无理数拆分逻辑 综合解题类（根源：不会判断正负） 数轴 + 根号 + 绝对值化简出错因：不会先判断字母正负，直接去根号、去绝对值 相反数、绝对值、倒数混搭算错因：以为实数和有理数完全一样，忽略带根号要先化简 分类速判技巧 看小数：有限 / 循环→有理数；不循环→无理数 看根号：开得尽→有理；开不尽→无理 看π：含 π 且消不掉→无理数 平方根 / 算术平方根 秒区分 1.单独√a：只取非负（算术根） 2.问 “一个数的平方根”：必带 **±** 3.根号前无字 = 正；有 ± 才是两个根 公式直接套（不踩坑） 1. → 前提：a≥0 2.=∣a∣ → 负数也要加绝对值 3. → 不用绝对值，正负原样留 符号口诀 平方拒负数，立方全收纳；根号外面看符号，根号内部不能负。 估算秒杀（夹逼法） 找相邻整数平方：如 ，4²=16，5²=25 定范围：4＜＜5 → 整数部分 4，小数部分−4 化简万能步骤 1 先判正负 → 2 去绝对值 → 3 去根号 → 4 合并计算 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $