专题03 平面直角坐标系（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版

专题03 平面直角坐标系 平面直角坐标 1.基本概念 平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴，取向右方向为正方向；纵轴为y轴，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2.四个象限 x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3.点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4.象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 判断点所在象限 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据各象限内的点坐标的符号特征：在第四象限即可解答． 【详解】解： ，， 点所在的象限是第四象限， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键；根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负），判断点的坐标符号即可确定所在象限． 【详解】解：点位于第一象限； 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限的判断，掌握各象限点的坐标符号是解题关键；根据第二象限点的特征：横坐标为负，纵坐标为正判断即可． 【详解】解：第二象限的点满足且， 选项A：，，，在第一象限； 选项B：，，，在第三象限； 选项C：，，，在第二象限； 选项D：：，，在轴上，不属于任何象限； 故选C． 【变式3】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点；由点在第二象限，可得，；再计算点的坐标符号，判断所在象限． 【详解】解：因为点在第二象限， 所以， ，则； 又因为； 所以点的横坐标为负，纵坐标为负，点在第三象限． 故选B． 求点到坐标轴的距离 【例2】（24-25七年级下·吉林白山·期中）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第二象限点的横坐标为负、纵坐标为正，即可求解． 【详解】解：设点坐标为， ∵点到轴的距离为3， ∴； ∵点到轴的距离为1， ∴； 又∵点P在第二象限， ∴． ∴． ∴点的坐标为． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，据此求解即可． 【详解】∵点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值， ∴距离为． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·江西赣州·期中）第三象限内的点到轴的距离是7，到轴的距离是8，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：第三象限的点到轴的距离是7，到轴的距离是8， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标为． 故选：A． 【变式3】（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）已知点P坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据点到两坐标轴距离相等的性质，可知点的横、纵坐标的绝对值相等，由此分两种情况（横纵坐标相等、横纵坐标互为相反数）列方程求解的值，进而得到点的坐标．本题主要考查点的坐标性质，熟练掌握“点到两坐标轴距离相等时，横、纵坐标的绝对值相等，分相等和互为相反数两种情况讨论”是解题的关键． 【详解】解：情况一：横、纵坐标相等 横、纵坐标相等时， 移项可得，即 解得． 把代入点坐标，，，此时点坐标为． 情况二：横、纵坐标互为相反数 横、纵坐标互为相反数时， 去括号得，合并同类项得 移项得，解得． 把代入点坐标，，，此时点坐标为． 综上，点的坐标是或． 故选：C ． 坐标与图形综合 【例3】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，长方形放置在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，c是4的算术平方根．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路运动一周． (1)_______，_______，_______，点D的坐标为_______； (2)当点P运动4秒时，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，当点P到x轴的距离为1个单位长度时，求点P运动的时间； (4)若点Q在y轴上，且的面积为6，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)；2；2； (2) (3)秒或秒 (4)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一个数的算术平方根，非负数的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义可求出c，再利用非负性的性质可得a、b，据此求出A、C坐标，再由长方形的性质可得D的坐标； （2）根据（1）所求可得，求出点P运动4秒的路程，可确定点P运动4秒时，点P在上，且与点C的距离为，据此可得答案； （3）在移动过程中，当点到轴的距离为1个单位长度时，点在线段或线段上，据此讨论求解即可； （4）设，根据三角形面积计算公式额快递，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵c是4的算术平方根， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由长方形的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵点P运动4秒， ∴点P运动的路程为， ∴点P运动4秒时，点P在上，且与点C的距离为， ∴点P的坐标为； （3）解：解：在移动过程中，当点到轴的距离为1个单位长度时，点在线段或线段上， 当点在线段时，； 当点在线段时， 点移动的时间为秒或秒； （4）解；设， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴或， ∴点Q的坐标为或． 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，其中在的左侧且，点的坐标为．    (1)求的值及； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 【答案】(1)， (2)的坐标为或 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标与三角形面积计算，掌握点的坐标与各线段长的关系是解决此题的关键． （1）已知、在轴上且在左侧，，利用轴上两点间距离公式（两点横坐标之差的绝对值 ），由，可得，解此方程求出的值；再根据三角形面积公式，以为底，点到轴距离为高，计算面积 ． （2）设，先表示出的长度，根据求出的值，再利用三角形面积公式列出关于的方程，求解方程得到的值，进而确定的坐标 ． 【详解】（1）∵，且在左侧，， ∴，即， 解得． ∵在轴上，长度为，点到轴的距离就是中边上的高，高为． ∴ ； （2）解：设的坐标为，则． ∵，， ∴． 以为底，高为点到轴的距离， ． 即， 化简得． 则或． 当时，； 当时，． ∴的坐标为或． 【变式2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，，，其中a，b，c满足关系式 (1)求a，b，c的值， (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，当P，A，C三点在一条直线上时，求出此时P的坐标 【答案】(1)2；3；4 (2) (3) 【分析】（1）先根据非负数的性质求得a、b的值，再代入即可求出c的值； （2）利用割补法求出四边形的面积即可； （3）过点P作轴于点D，根据，，列出关于m的方程，解方程求出m的值即可． 【详解】（1）∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，，， ∴，， ∵，点P在第二象限， ∴， ∴ ． （3）解：过点P作轴于点D，如图所示： ∵P，A，C三点在一条直线上， ∴， 又∵ ， ∴， 解得：， ∴此时P的坐标． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形面积的计算，由三角形面积和四边形面积相等着手，三角形面积很容易得到，从而得到m的值． 【变式3】（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，连接，，． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点是坐标轴上的一点，若（和分别指三角形和三角形形的面积），请求出满足条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据线段的和差关系求出的长即可得到答案； （2）先求出的长，进而求出三角形的面积，则可得到，再分点P在x轴上和点P在y轴上两点情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解；∵，，， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ； ①当点在轴上时，设 则 或 点坐标为或． ②当点在轴上时，设 则 或 点坐标为或． 综上得，满足条件的点坐标为或或或． 实际问题中用坐标表示位置 【例4】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 【答案】(1)图见解析 (2)体育场坐标，市场，超市坐标 (3)图见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出两个点的坐标； （3）根据坐标系分别标A，B的位置，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场坐标，市场，超市坐标． （3）解：如图所示，点A，B即为所求． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）某主题公园打造了五大主题景区．如图所示的是某些主题景区的分布示意图(图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对B主题景区和C主题景区的位置做出如下描述： 小珂：“B主题景区的坐标是．” 妈妈：“C主题景区位于坐标原点的西北方向．” 小珂和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出A主题景区的坐标：_______． (2)若D主题景区的坐标为，E主题景区的坐标为，请在坐标系中用点D、E表示这两个主题景区的位置． (3)如果一个单位长度代表米，请你用方向和距离描述E主题景区相对于C主题景区的大致位置． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)E主题景区位于C主题景区的正南方向，距离C主题景区米的地方 【分析】本题考查了平面直角坐标系的相关知识点，正确建立平面直角坐标系是解题关键． （1）根据B主题景区的坐标即可建立平面直角坐标系； （2）根据坐标即可求解； （3）由图即可求解； 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图， 由图可知：A主题景区的坐标为； （2）解：如图所示： （3）解：E主题景区位于C主题景区的正南方向，距离C主题景区米的地方． 【变式2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)请你画出该学校平面示意图所在的平面直角坐标系； (2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (3)小明同学发现从旗杆到图书馆行走的方向和距离正好与他从宿舍楼到报告厅行走的方向和距离相同，请你在图中标出报告厅的位置，并写出报告厅位置的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)图见详解， 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标的表示方法，坐标确定位置，画出正确的平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据点的坐标进行建立平面直角坐标系即可； （2）根据坐标系和网格结合点的坐标进行标注即可； （3）根据平移的性质确定报告厅的位置和坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示； （2）解：办公楼和教学楼位置如图所示； （3）解：报告厅位置如图所示， 从旗杆到图书馆可以看作，点先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度， 宿舍楼的坐标为，根据平移的性质得，报告厅的位置坐标为． 【变式3】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“马”位于点，“车”位于点． (1)请根据题意，画出平面直角坐标系，并写出炮对应的点坐标； (2)如果“马”再走一步到达第二象限，写出“马”所有可能出现的新位置对应的点坐标．（按照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“”或“”的对角线行走） 【答案】(1)画图见解析，炮的坐标 (2) 【分析】本题考查的是建立坐标系，根据位置确定点的坐标； （1）根据棋子“马”位于点，“车”位于点，确定坐标原点与坐标轴即可得到坐标系，再结合炮的位置可得其坐标； （2）先画“马”再走一步到达第二象限的位置，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵棋子“马”位于点，“车”位于点， ∴画图如下： ∴炮的坐标； （2）解：“马”再走一步到达第二象限，“马”所有可能出现的新位置如图所示： 此时点坐标为：． 用方向角和距离确定物体的位置 【例5】（24-25七年级下·福建南平·期中）如图所示，海岛相对于船只的位置，下列描述正确的是（   ） A．南偏西， B．南偏东， C．北偏东， D．北偏西， 【答案】C 【分析】本题主要考查了方向角，掌握方向角的描述方法成为解答本题的关键．根据以正北、正南方向和船只为基准，然后来描述海岛相对于船只的位置即可． 【详解】解：海岛在船只的北偏东方向，距离的位置． 故选C． 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，小明从学校出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的是（   ） A．向南偏西行走600米 B．向南偏东行走400米 C．向北偏东行走600米 D．向北偏西行走400米 【答案】A 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置．依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息即可进行解答． 【详解】解：以学校为观测点，根据图形中的角度标识，小明从学校出发去少年宫的方向是南偏西， 由图可知，比例尺为1个单位长度代表200米，从学校到少年宫有3个单位长度， 所以距离为米， 综上，小明从学校出发去少年宫的行走路线是向南偏西行走600米． 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，两地相距60km，用方向和距离描述处相对于处的位置，正确的是（   ） A．南偏东，60km B．南偏东，60km C．北偏西，60km D．北偏东，60km 【答案】A 【分析】本题考查了用方向与距离描述物体的位置，位置表示是先说方向再说距离，以南或北的方向作为方向角的始边；据此即可表示出处相对于处的位置． 【详解】解：如图，方向是南偏东，角度为，距离是60km， 即处相对于处的位置为南偏东，60km； 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）根据下列表述，能够确定位置的是（   ） A．淮南在合肥市的西北方向上 B．从学校出发走2千米正好到达小蕊家 C．小莹坐在横店影城的第二排 D．春晖中学位于北纬，东经 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．根据坐标的定义，确定一个位置需要两个数据，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：选项A：淮南在合肥市的西北方向上，没有明确具体位置，故本选项错误； 选项B：从学校出发走2千米正好到达小蕊家，没有明确具体位置，故本选项错误； 选项C：小莹坐在横店影城的第二排，没有明确具体位置，故本选项错误； 选项D：春晖中学位于北纬，东经，这是唯一的，故本选项正确． 故选：D． 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例6】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，所得到的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标平移规律，熟练掌握坐标平移规律是解题的关键．根据左减右加平移原则计算即可． 【详解】解：将点向右平移2个单位后，纵坐标不变，横坐标加上2．所得点的坐标是，即． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解∶∵点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B． ∴点B的坐标为，即， 故答案为∶ ． 【变式2】（23-24八年级上·广西梧州·月考）在平面直角坐标系中，有一点，若将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得坐标为_______． 【答案】 【分析】直接利用平移中点坐标的变化规律求解即可． 【详解】解：点，若在平面直角坐标系先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则点在平移后的坐标系中的坐标是，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中点坐标的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式3】（24-25七年级下·广东肇庆·期中）平面直角坐标系内，将点向左平移1个单位得到点B，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标平面内点的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将点向左平移1个单位得到点B，则点B的坐标是． 故选：B． 已知图形的平移求点的坐标 【例7】（24-25七年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点B的对应点的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用点的平移变化规律求解即可． 本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 【详解】解：由条件可知：线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·广东惠州·期中）将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 根据点A平移至点C的坐标变化得出平移的方向和距离，然后再把点B按照这个方向和距离进行平移即可得出点D的坐标． 【详解】解：∵点的对应点为， ∴横坐标加5，纵坐标加2， ∴点A向右平移5各单位，向上平移2个单位得到点C， ∴点向右平移5各单位，向上平移2个单位得到点D， ∴点D的坐标为， 即 故选A 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（    ） A．8 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．由题意可得线段先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到线段，于是可求出、的值，然后计算即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，，若将线段平移至， 线段先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到线段， ，， ． 故选：B． 【变式3】（23-24七年级下·重庆长寿·期末）如图，线段两端点的坐标分别为，，若将线段向右平移1个单位后，点A，B的对应点的坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了坐标与图形变化-平移，解答的关键是熟记平移的点的坐标变化规律：上加下减，左减右加．根据平移的点的坐标变化规律求解即可． 【详解】解：∵将线段向右平移1个单位，，， ∴点A的对应点的坐标是，即， 点B的对应点的坐标是，即， 故选：D． 坐标系中的平移 【例8】（24-25七年级下·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，，则点的坐标为______． 【答案】或． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标． 线段轴，A、B两点横坐标相等，又，B点在A点上边或者下边，根据距离确定B点坐标． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两点的横坐标相同， 又， ∴B点纵坐标为：或， ∴B点的坐标为：或． 故答案为：或． 【变式1】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知点，，若，且轴，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，点的平移，根据轴，则点的纵坐标与点的横坐标相同，然后由即可求出点的坐标，解题的关键是正确理解与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，与轴平行的直线上所有点的横坐标相同． 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标与点的横坐标相同， ∵， ∴点的坐标是或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）已知轴，，且，则点的坐标为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与点的坐标特征，熟记平行于轴上点的横坐标相等是解题的关键．根据平行于轴上点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的上方与下方两种情况列式计算即可得解． 【详解】解：∵轴，， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为，或， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 点坐标规律探索 【例9】（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，，按此作法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为奇数的点在第三象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为奇数的点在第三象限， ，，，， ∴， 当， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点．将长方形沿轴无滑动的向右滚动，经过第1次滚动，点对应点记为；经过第2次滚动，点对应点记为；……；以此类推，经过第2025次滚动，点对应的坐标为__________． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定长方形的边长，分析滚动过程中坐标的变化规律，找出循环周期，再根据周期计算第次滚动后点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中图形滚动的坐标变化规律，熟练掌握找循环周期及根据周期计算坐标的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，． 第一次滚动后，的坐标为； 第二次滚动后，的坐标为； 第三次滚动后，的坐标为； 第四次滚动后，的坐标为 ． 观察可得滚动周期为，每滚动次，横坐标增加，纵坐标按循环． ，即经过个完整周期后，再滚动次． 一个周期横坐标增加，个周期横坐标增加 ． 初始，经过个周期后对应点横坐标为 ，再滚动次（第一次滚动规律），横坐标变为，纵坐标为 ． 所以的坐标为． 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，…依图中所示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标变化的规律，根据所给信息寻求规律是解题的关键．观察坐标的值和变化的情况，找出规律后求解即可． 【详解】解：∵，，，， ，，，，， 观察可知：每4个点为一组， 点，，，． ， 点的纵坐标是0，横坐标是， 点的坐标为． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，平面直角坐标系中有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺序按图中“”方向排列，即．根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据规律得出从第二个点开始，每3个点为一组求解是解题的关键，也是本题的难点． 从第二个点开始，每3个点为一组，第奇数组第一个点在y轴，第三个点在x轴，第二个点为相应的横坐表和纵坐标，第偶数组，第一个点在x轴，第三个点在y轴，第二个点为相应的横坐表和纵坐标，用，根据商的情况确定点的位置和坐标即可． 【详解】解：∵， ∴第2025个点是第675组的第二个点， ∴坐标为． 故选A． 【变式4】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，则点第次跳动至点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查规律型点的坐标，解题的关键在于理解题意找到规律，根据题意找到直角坐标系中的点的规律即可得到答案． 【详解】解：设第次跳动至点， ，，，，，，，，，⋯ ∴，，，， ∵， ∴，即， 故选：D． 概念类错误（根源：基础记混） 1.坐标写反 (x、y 颠倒) 归因：没牢记「先横后纵」，看错有序数对顺序。 2.坐标轴上的点算进象限 归因：不懂规则 ——x 轴、y 轴上的点，不属于任何象限。 3.象限符号记乱 归因：没背熟逆时针分区，一四象限正负搞混。 距离类错误（根源：漏绝对值） 1.到 x 轴 /y 轴距离不带绝对值 归因：不知道距离是非负数，直接抄 x、y 原值，负数保留出错。 口诀：到 x 轴看 | y|，到 y 轴看 | x|。 2.横竖线判断错 归因：分不清「同 x 竖线、同 y 横线」，算边长乱减。 平移类错误（根源：加减方向搞反） 1.左右平移：左右减、搞反 归因：没固化口诀 ——左右改 x：左减右加。 2.上下平移：上下减记反 归因：画图少，感觉乱改 y。 进阶大题易错（根源：不会判正负） 1.含参数坐标，不会根据象限判正负 归因：没养成先标 x 正 / 负、y 正 / 负再做题的习惯。 2.角平分线题：x=y、x=−y 用错 归因：一三、二四平分线关系式记混。 识图速判技巧 看坐标：先横后纵 (x 在前，y 在后) 判象限：右上 (+,+)、左上 (-,+)、左下 (-,-)、右下 (+,-) 坐标轴点：x 轴看 y=0，y 轴看 x=0，不入象限 距离秒杀口诀 到 x 轴距离 = |y| 到 y 轴距离 = |x| 同 x 竖线、同 y 横线，直接大数减小数算边长 平移万能公式 左右移→改 x：左减右加 上下移→改 y：下减上加例：点右移 2、上移 3 → (x+2, y+3) 特殊线速记 一三象限角平分线：x=y 二四象限角平分线：x=−y 大题解题套路 1.给坐标求面积：找横竖底高，用割补法 2.含字母参数：先看象限定正负，再列式计算 3.数轴 + 坐标综合：先标正负，再去绝对值 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系 平面直角坐标 1.基本概念 平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴，取向右方向为正方向；纵轴为y轴，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2.四个象限 x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3.点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4.象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 判断点所在象限 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 求点到坐标轴的距离 【例2】（24-25七年级下·吉林白山·期中）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式2】（23-24七年级下·江西赣州·期中）第三象限内的点到轴的距离是7，到轴的距离是8，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）已知点P坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 坐标与图形综合 【例3】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，长方形放置在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，c是4的算术平方根．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路运动一周． (1)_______，_______，_______，点D的坐标为_______； (2)当点P运动4秒时，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，当点P到x轴的距离为1个单位长度时，求点P运动的时间； (4)若点Q在y轴上，且的面积为6，直接写出点Q的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，其中在的左侧且，点的坐标为．    (1)求的值及； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 【变式2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知三点，，，其中a，b，c满足关系式 (1)求a，b，c的值， (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，当P，A，C三点在一条直线上时，求出此时P的坐标 【变式3】（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，连接，，． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点是坐标轴上的一点，若（和分别指三角形和三角形形的面积），请求出满足条件的点坐标． 实际问题中用坐标表示位置 【例4】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）某主题公园打造了五大主题景区．如图所示的是某些主题景区的分布示意图(图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对B主题景区和C主题景区的位置做出如下描述： 小珂：“B主题景区的坐标是．” 妈妈：“C主题景区位于坐标原点的西北方向．” 小珂和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出A主题景区的坐标：_______． (2)若D主题景区的坐标为，E主题景区的坐标为，请在坐标系中用点D、E表示这两个主题景区的位置． (3)如果一个单位长度代表米，请你用方向和距离描述E主题景区相对于C主题景区的大致位置． 【变式2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)请你画出该学校平面示意图所在的平面直角坐标系； (2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (3)小明同学发现从旗杆到图书馆行走的方向和距离正好与他从宿舍楼到报告厅行走的方向和距离相同，请你在图中标出报告厅的位置，并写出报告厅位置的坐标． 【变式3】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“马”位于点，“车”位于点． (1)请根据题意，画出平面直角坐标系，并写出炮对应的点坐标； (2)如果“马”再走一步到达第二象限，写出“马”所有可能出现的新位置对应的点坐标．（按照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“”或“”的对角线行走） 用方向角和距离确定物体的位置 【例5】（24-25七年级下·福建南平·期中）如图所示，海岛相对于船只的位置，下列描述正确的是（   ） A．南偏西， B．南偏东， C．北偏东， D．北偏西， 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，小明从学校出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的是（   ） A．向南偏西行走600米 B．向南偏东行走400米 C．向北偏东行走600米 D．向北偏西行走400米 【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，两地相距60km，用方向和距离描述处相对于处的位置，正确的是（   ） A．南偏东，60km B．南偏东，60km C．北偏西，60km D．北偏东，60km 【变式3】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）根据下列表述，能够确定位置的是（   ） A．淮南在合肥市的西北方向上 B．从学校出发走2千米正好到达小蕊家 C．小莹坐在横店影城的第二排 D．春晖中学位于北纬，东经 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例6】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，所得到的对应点的坐标为______． 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为_________． 【变式2】（23-24八年级上·广西梧州·月考）在平面直角坐标系中，有一点，若将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得坐标为_______． 【变式3】（24-25七年级下·广东肇庆·期中）平面直角坐标系内，将点向左平移1个单位得到点B，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 已知图形的平移求点的坐标 【例7】（24-25七年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点B的对应点的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·广东惠州·期中）将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（    ） A．8 B．4 C． D．6 【变式3】（23-24七年级下·重庆长寿·期末）如图，线段两端点的坐标分别为，，若将线段向右平移1个单位后，点A，B的对应点的坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 坐标系中的平移 【例8】（24-25七年级下·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，，则点的坐标为______． 【变式1】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知点，，若，且轴，则点的坐标是______． 【变式2】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）已知轴，，且，则点的坐标为_____． 点坐标规律探索 【例9】（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，，按此作法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点．将长方形沿轴无滑动的向右滚动，经过第1次滚动，点对应点记为；经过第2次滚动，点对应点记为；……；以此类推，经过第2025次滚动，点对应的坐标为__________． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，…依图中所示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，平面直角坐标系中有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺序按图中“”方向排列，即．根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，则点第次跳动至点的坐标是（  ） A． B． C． D． 概念类错误（根源：基础记混） 1.坐标写反 (x、y 颠倒) 归因：没牢记「先横后纵」，看错有序数对顺序。 2.坐标轴上的点算进象限 归因：不懂规则 ——x 轴、y 轴上的点，不属于任何象限。 3.象限符号记乱 归因：没背熟逆时针分区，一四象限正负搞混。 距离类错误（根源：漏绝对值） 1.到 x 轴 /y 轴距离不带绝对值 归因：不知道距离是非负数，直接抄 x、y 原值，负数保留出错。 口诀：到 x 轴看 | y|，到 y 轴看 | x|。 2.横竖线判断错 归因：分不清「同 x 竖线、同 y 横线」，算边长乱减。 平移类错误（根源：加减方向搞反） 1.左右平移：左右减、搞反 归因：没固化口诀 ——左右改 x：左减右加。 2.上下平移：上下减记反 归因：画图少，感觉乱改 y。 进阶大题易错（根源：不会判正负） 1.含参数坐标，不会根据象限判正负 归因：没养成先标 x 正 / 负、y 正 / 负再做题的习惯。 2.角平分线题：x=y、x=−y 用错 归因：一三、二四平分线关系式记混。 识图速判技巧 看坐标：先横后纵 (x 在前，y 在后) 判象限：右上 (+,+)、左上 (-,+)、左下 (-,-)、右下 (+,-) 坐标轴点：x 轴看 y=0，y 轴看 x=0，不入象限 距离秒杀口诀 到 x 轴距离 = |y| 到 y 轴距离 = |x| 同 x 竖线、同 y 横线，直接大数减小数算边长 平移万能公式 左右移→改 x：左减右加 上下移→改 y：下减上加例：点右移 2、上移 3 → (x+2, y+3) 特殊线速记 一三象限角平分线：x=y 二四象限角平分线：x=−y 大题解题套路 1.给坐标求面积：找横竖底高，用割补法 2.含字母参数：先看象限定正负，再列式计算 3.数轴 + 坐标综合：先标正负，再去绝对值 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $