专题01 相交线与平行线（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版

专题01 相交线与平行线 相交线的相关概念 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 同位角，内错角和同旁内角的定义 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 定义﹑命题﹑定理 1.定义与命题 （1）一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． （2）判断一件事情的语句叫做命题． （3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 （1）正确的命题叫做真命题． （2）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． （3）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 3.公理与定理 （1）如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． （2）如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． （3）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． （4）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论 对顶角的识别 【例1】（24-25七年级下·广西柳州·期中）下列图中与是对顶角的是（        ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期中）下列选项中，和是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在下列各图中，与是对顶角的是（　　） A．B．C．D． 对顶角和邻补角的有关计算 【例2】（24-25七年级上·吉林长春·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1) 的对顶角是 ，的补角是 和 ． (2)若，求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 【变式3】（24-25七年级下·江西九江·期中）如图，直线相交于点O，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的补角为________． (2)若，且．求的度数． 垂线段最短 【例3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，计划从河边引水到处，从，，，四处地方何处引水，所用水管最短（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，，，，D是线段上的动点，则A，D两点之间的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．8 D．11 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．同角的余角相等 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【变式3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，是直角三角形，，点P是边上的一个动点，则的最小值是（   ）    A．2 B．2.4 C．3 D．3.5 平行线的相关概念 【例4】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1】经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（       ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【变式2】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）a，b，c是直线，且，则，理由是______________________ 同位角，内错角和同旁内角的定义 【例5】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）图中，与是同位角的有（   ） A．B．C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，下列判断正确的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和是对顶角 【变式2】（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，下列结论正确的是（   ） A．与是邻补角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【变式3】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）图1为我国古代九大机械发明之一的绞车，它是古代人民用来提升重物的装置．图2为其平面示意图，图2中与互为内错角的是（   ） A． B． C． D． 平行线判定 【例6】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【变式2】（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 利用平行线性质求角度 【例7】（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东梅州·期中）某公司推出了一款护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 平行线的判定与性质综合 【例8】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，，，，， (1)问直线与有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 判断命题的真假 【例9】（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角； B．若两个角的和为，则这两个角互为邻补角； C．同位角相等； D．在同一平面内，若，则 【变式1】（24-25七年级下·江西南昌·月考）下列命题是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【变式2】（24-25七年级下·四川南充·期中）下列说法中： ①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25七年级下·天津东丽·期中）有下列5个命题，其中真命题的个数为（   ） ①两个锐角之和一定是钝角；②直角小于钝角；③同位角相等，两直线平行；④内错角互补，两直线平行；⑤如果，，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 写出命题的题设与结论 【例9】（24-25七年级下·福建厦门·期中）命题“内错角相等”是________命题，改写成“如果……那么……”的形式：________． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）将“同角的补角相等”改成“如果…，那么…”的形式为：如果____________，那么这两个角相等． 【变式2】（24-25七年级下·广东湛江·期中）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果……那么……”句式为________________． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）把命题“互为邻补角的两个角的平分线相互垂直”改写成“如果……，那么……”的形式是_______________________． 逻辑与推理 【例10】（24-25七年级下·福建福州·期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是___________． ①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、4、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在______的手上． 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·月考）甲、乙、丙三个同学中有一个在同学们都不在时把教室扫净，事后教师问他们是谁做的好事，甲说：“是乙做的”；乙说：“不是我做的”；丙说：“不是我做的”． 如果他们中有两人说了假话，一人说的是真话，你能判断是谁做的吗．（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【变式3】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次． 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名． 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 图形的平移 【例11】（24-25八年级上·广东广州·月考）如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）在2025年4月13日十堰市举行的马拉松赛事中，吉祥物太极娃将头顶天柱峰，脚踏东风轮，手护丹江水，以激情奔跑的形态和各位选手相约2025十堰马拉松赛道．通过平移吉祥物“太极娃”可以得到的图形是（    ） A．B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山西大同·期中）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A．B． C． D． 利用平移的性质求解 【例12】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上．若．则的长度是（　　） A．2 B．4 C．5 D．3 【变式1】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，沿所在直线向右平移到，连接，已知，则的长为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 【变式2】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，将沿方向向右平移1个单位得到，若的周长为12，则四边形的周长为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式3】（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，将沿线段方向平移到，，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 利用平移解决实际问题 【例13】（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图所示，某商场重新装修后准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知主楼梯道的宽为，其侧面如图所示，则买地毯至少需要（   ）平方米． A．8.4 B．15.68 C．16.8 D．25.2 【变式2】（24-25七年级下·河北承德·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 平移-作图 【例14】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，将三角形先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形． (1)在图中画出平移后的三角形，并写出的坐标． (2)求三角形的面积． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)补全三角形； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________； (3)求线段平移过程中扫过的面积． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、．将三角形先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点A、B、C的对应点分别为点、、． (1)分别写出下列各点的坐标：__________，__________，__________；并画出三角形； (2)若点是线段上一点，探索并直接写出点P的对应点的坐标为__________． 对顶角 / 邻补角混淆 错因：只看大小不看位置，把 “补角” 当成 “邻补角” 垂线概念不清 错因：把 “垂线段” 当成 “距离”；忘记 “垂线段最短” 三线八角识别错误 错因：找不准截线，把内错角看成同位角，位置判断混乱 平行线判定与性质用反 错因：逻辑颠倒 判定：角相等 / 互补 ➜ 线平行 性质：线平行 ➜ 角相等 / 互补 忽略 “同一平面内” 前提 错因：直接说 “不相交就是平行”，漏前提导致概念错误 拐点题不会作辅助线 错因：不会过拐点作平行线，角度无法转化 几何证明跳步、无依据 错因：凭感觉写，每一步必须写：已知 / 对顶角 / 同位角等依据 平移概念误用 错因：认为平移会改变形状、大小；对应点连线不平行也不等 命题改写不规范 错因：不会拆 “题设 + 结论”，假命题不会举反例 计算漏写单位、漏答 错因：角度题只求数不写 °，应用题不写结论 相交线考点 对顶角：相等 邻补角：和 180° 垂直：夹角 90°； 垂线段最短；过一点有且一条垂线 三线八角（识图口诀） ✅ 同位角：F 型 ✅ 内错角：Z 型 ✅ 同旁内角：U 型 平行线判定（角→证平行） 同位角相等 ➜ 两直线平行 内错角相等 ➜ 两直线平行 同旁内角互补 ➜ 两直线平行 平行线性质（已知平行→求角） 两直线平行 ➜ 同位角相等 两直线平行 ➜ 内错角相等 直线平行 ➜ 同旁内角互补 压轴解题技巧 遇拐点、折线题：过拐点作平行线（万能辅助线）搭配：角平分线 + 平行线→直接出相等角 易错扣分点 不平行，不能乱推角相等 / 互补 分清：判定是角推线，性质是线推角，绝不混用 看图先找 “第三条截线”，乱找角必错 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 相交线的相关概念 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 同位角，内错角和同旁内角的定义 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 定义﹑命题﹑定理 1.定义与命题 （1）一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． （2）判断一件事情的语句叫做命题． （3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 （1）正确的命题叫做真命题． （2）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． （3）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 3.公理与定理 （1）如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． （2）如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． （3）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． （4）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论 对顶角的识别 【例1】（24-25七年级下·广西柳州·期中）下列图中与是对顶角的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键．根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断． 【详解】解：A、B、C中，与的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有D． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期中）下列选项中，和是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的两个判断依据（一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线）是解题的关键．判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可． 【详解】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在下列各图中，与是对顶角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要查了对顶角．根据对顶角的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、与不是对顶角，不符合题意； B、与不是对顶角，不符合题意； C、与不是对顶角，不符合题意； D、与是对顶角，符合题意； 故选：D 对顶角和邻补角的有关计算 【例2】（24-25七年级上·吉林长春·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，平角的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1) 的对顶角是 ，的补角是 和 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角． （1）根据对顶角，补角的定义，即可解答； （2）先根据垂直定义可得，从而可得：，然后利用平角定义可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：的对顶角是，的补角是和， 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查对顶角，邻补角，几何图形中角度的计算，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）根据对顶角的定义，邻补角的定义，进行判断即可； （2）设，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）由图可知：的对顶角为，的邻补角为． （2）设，则． ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴ ∴． 【变式3】（24-25七年级下·江西九江·期中）如图，直线相交于点O，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的补角为________． (2)若，且．求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，邻补角的定义，几何图形中的角度计算，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据对顶角的定义，邻补角的定义求解即可． （2）由对顶角的定义得出，再结合已知条件可得出，最后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】（1）解：图中的对顶角为，的邻补角为； 故答案为：；； （2）解：， ， 且， ． ． 垂线段最短 【例3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，计划从河边引水到处，从，，，四处地方何处引水，所用水管最短（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，熟记垂线段的性质是解题的关键． 根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】解：∵， 由垂线段最短可知，从处引水，能使所用的水管最短． 故选：B ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，，，，D是线段上的动点，则A，D两点之间的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 点是线段上的动点，根据垂线段最短以及的长，可得，进而可得答案． 【详解】解：，，，点是线段上的动点， ， ． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．同角的余角相等 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线的性质，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点A，B，C，D处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在C点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故选D． 【变式3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，是直角三角形，，点P是边上的一个动点，则的最小值是（   ）    A．2 B．2.4 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，求直角三角形的面积，当垂直时，的最小值，根据即可求出答案． 【详解】解：当垂直时，的最小值， ， ， 即， ， 故选：B． 平行线的相关概念 【例4】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判定即可． 【详解】解∶ ，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故选∶D． 【变式1】经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（       ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，即可得到结果． 【详解】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）a，b，c是直线，且，则，理由是______________________ 【答案】平行于同一直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，掌握如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行成为解题的关键． 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，据此即可解答． 【详解】解：∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：平行于同一直线的两条直线平行． 同位角，内错角和同旁内角的定义 【例5】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）图中，与是同位角的有（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形，根据同位角的意义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、是内错角，不是同位角，故此选项不符合题意； B、不是同位角，故此选项不符合题意； C、是同位角，故此选项符合题意； D、不是同位角，故此选项不符合题意． 故选C． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，下列判断正确的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和是对顶角 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；若两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此定义求解即可． 【详解】解：A. 和是内错角，故该选项不正确，不符合题意；     B. 和是内错角，故该选项正确，符合题意； C. 和不是同旁内角，故该选项不正确，不符合题意； D. 和是不对顶角，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，下列结论正确的是（   ） A．与是邻补角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角，同位角，同旁内角，内错角，熟练掌握定义是解题的关键．根据三线八角图认识几何概念，解答即可． 【详解】解：A. 与不是邻补角，本选项错误，不符合题意；     B. 与是同位角，本选项正确，符合题意； C. 与不是同旁内角，本选项错误，不符合题意；         D. 与不是内错角，本选项错误，不符合题意；     故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）图1为我国古代九大机械发明之一的绞车，它是古代人民用来提升重物的装置．图2为其平面示意图，图2中与互为内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．根据定义判断即可． 【详解】解：图2中与互为内错角的是． 故选：B． 平行线判定 【例6】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A.由可得，符合题意； B.由不能得出，不符合题意； C.不能得出，不符合题意； D.不能得出，不符合题意； 故选：A． 利用平行线性质求角度 【例7】（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线平行，同位角相等，进行解答便可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·广东梅州·期中）某公司推出了一款护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，．经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，过作，得到，由垂直的定义推出，由，推出，由平行线的性质得到，即可求解． 【详解】解：过作， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ， ∵ ， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，过的顶点作直线，将分成和，则，由平行线的性质得出，，即可得解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线，将分成和， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 平行线的判定与性质综合 【例8】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，邻补角，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再由，得到，则，即可解答； （2）先推导出，再由，得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，，，，， (1)问直线与有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质定理，关键在于熟练运用平行线的判定定理和性质定理． （1）由题意推出，结合，推出，得到，根据“内错角相等，两直线平行”即可推出； （2）根据（1）推出的结论，推出，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到，根据角的和差关系从而求得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， 又， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 度数为． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，利用同位角相等，两直线平行，证得结论； 根据题意，先计算出，再得到，利用两直线平行，内错角相等，得到结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 判断命题的真假 【例9】（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角； B．若两个角的和为，则这两个角互为邻补角； C．同位角相等； D．在同一平面内，若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题， 根据真假命题的定义逐项判断即可. 【详解】解：因为相等的角不一定是对顶角，该命题是假命题，所以A不符合题意； 因为若两个角的和为，则这两个角互为补角，该命题是假命题，所以B不符合题意； 因为同位角不一定相等，该命题是假命题，所以C不符合题意； 因为在同一平面内，若，则，该命题是真命题，所以D符合题意. 故选：D. 【变式1】（24-25七年级下·江西南昌·月考）下列命题是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题，正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题，根据同位角性质、对顶角定义、绝对值意义和平行公理判断即可得到答案，熟悉学过的相关性质定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题，故本选项不符合题意； C、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题，故本选项符合题意； D、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，则原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·四川南充·期中）下列说法中： ①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了命题的真假，邻补角的定义，角平分线性质，平行线的性质，垂直定义等知识， ①根据邻补角的定义及角平分线性质判断；②考虑平行线条件下的同位角关系；③明确垂直定义中的前提条件；④依据平行公理的条件限制． 【详解】解：①互为邻补角的两个角的和为，其角平分线将每个角分为一半，即各为原角的一半， ∴两角平分线形成的夹角为两半角之和，即，故互相垂直，①正确； ②两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时同位角才相等，若两直线不平行，同位角不等，②错误； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，需在同一平面内成立，题目未限定平面，故表述不严谨，③错误； ④平行公理要求“过直线外一点”才有且只有一条平行线．题目中“过一点”未排除点在直线上，此时无平行线，④错误． 综上，真命题仅①，个数为1． 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·天津东丽·期中）有下列5个命题，其中真命题的个数为（   ） ①两个锐角之和一定是钝角；②直角小于钝角；③同位角相等，两直线平行；④内错角互补，两直线平行；⑤如果，，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查命题，正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题，根据锐角、钝角、直角的概念、平行线的判定定理以及等式的传递性判断即可得到答案，熟悉学过的相关性质定理是解决问题的关键． 【详解】解：命题①：两个锐角之和一定是钝角， 锐角是小于的角，若两个锐角分别为和，和为，仍为锐角，故命题①为假命题； 命题②：直角小于钝角， 直角为，钝角大于且小于，显然直角小于钝角，故命题②为真命题； 命题③：同位角相等，两直线平行， 根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，故命题③为真命题； 命题④：内错角互补，两直线平行， 平行线判定定理中要求内错角相等，而非互补，若内错角互补（如和），两直线不平行，故命题④为假命题； 命题⑤：若，，则， 根据等式的传递性，该命题成立，故命题⑤为真命题； 综上所述，真命题为②③⑤，共3个， 故选：C． 写出命题的题设与结论 【例9】（24-25七年级下·福建厦门·期中）命题“内错角相等”是________命题，改写成“如果……那么……”的形式：________． 【答案】 假 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，命题写成“如果，那么”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，解题的关键是了解有关的定义及定理． 【详解】解：命题“内错角相等”是假命题，把此命题改写成“如果那么．”的形式为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等， 故答案为：假；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）将“同角的补角相等”改成“如果…，那么…”的形式为：如果____________，那么这两个角相等． 【答案】两个角是同一个角的补角 【分析】本题考查命题的改写，根据如果后面是条件，那么后面是结论，进行改写即可． 【详解】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 故答案为：两个角是同一个角的补角 【变式2】（24-25七年级下·广东湛江·期中）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果……那么……”句式为________________． 【答案】如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行 【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键．利用命题可以写成“如果那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论解答． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”． 故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）把命题“互为邻补角的两个角的平分线相互垂直”改写成“如果……，那么……”的形式是_______________________． 【答案】如果两个角互为邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直 【分析】本题考查了命题与定理的知识，命题可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的后面接的部分是题设，“那么”的后面接的部分是结论，由此即可得解． 【详解】解：把命题“互为邻补角的两个角的平分线相互垂直”改写成“如果……，那么……”的形式是如果两个角互为邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直， 故答案为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直． 逻辑与推理 【例10】（24-25七年级下·福建福州·期中）刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是___________． ①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、4、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】0518 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知推断求解即可． 【详解】解：由③可知，3、4、2、9四个数字都不正确， 即密码中没有3、4、2、9四个数字； 由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确； 由①可知，6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或5在第二位； 若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为5在第二位； 由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。 则数字1在第三位， 即正确的密码是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在______的手上． 【答案】小刚 【分析】本题考查了逻辑推理与论证．解题的关键在于对信息的综合理解．由题意知，若小明正确，则小刚正确，小明、小刚说法均正确，不符合要求；若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则小华说法正确，小刚、小华同学说法均正确，不符合要求；若小华正确，小明错误，小刚错误，则硬币在小刚手上，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，若小明正确，则小刚正确，小明、小刚同学说法正确，故不符合要求； 若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则小华说法正确，小刚、小华说法正确，故不符合要求； 若小华正确，小明错误，小刚错误，则硬币在小刚手上， ∴当三个同学中只有一个说对了，则硬币在小刚的手上， 故答案为：小刚． 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·月考）甲、乙、丙三个同学中有一个在同学们都不在时把教室扫净，事后教师问他们是谁做的好事，甲说：“是乙做的”；乙说：“不是我做的”；丙说：“不是我做的”． 如果他们中有两人说了假话，一人说的是真话，你能判断是谁做的吗．（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，首先可以假设甲说的真话，进而可得乙、丙的真假，通过推出互相矛盾得到甲说的假话，进而确定乙是真话和丙是假话，据此可得答案． 【详解】解：假设甲说的真话，那么乙说的假话，丙说的真话，不符合题意； ∴甲说的假话，即不是乙干的， ∴乙说的是真话， ∴丙说的是假话， ∴活是丙干的， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次． 甲猜：乙第三名、丙第五名； 乙猜：戊第四名、丁第五名； 丙猜：甲第一名、戊第四名； 丁猜：丙第一名、乙第二名； 戊猜：甲第三名、丁第四名． 老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了逻辑推理．熟练掌握找出突破口，是解题的关键． 先根据每个名次中都有人猜对，猜第二名是乙的只有一个同学，则乙是第二名，然后依次类推即可得出答案． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名乙只有丁猜到， ∴乙只能是第二名，不能是第三名； ∴甲是第三名，不可能是第一名； ∴只有丙是第一名，丙不可能是第五名，只有丁是第五名； ∴丁不可能是第四名，故第四名只能是戊． 故第一名是丙，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁． 故选：C． 图形的平移 【例11】（24-25八年级上·广东广州·月考）如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 【变式1】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）在2025年4月13日十堰市举行的马拉松赛事中，吉祥物太极娃将头顶天柱峰，脚踏东风轮，手护丹江水，以激情奔跑的形态和各位选手相约2025十堰马拉松赛道．通过平移吉祥物“太极娃”可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查生活中的平移现象，根据平移的定义判断即可． 【详解】解：通过平移吉祥物“太极娃”，可以得到的图形是B选项． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山西大同·期中）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握：平移的特征：平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小．据此判断即可． 【详解】解：A．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； B．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； C．左边的图案通过平移能得到右边图案，故此选项符合题意； D．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意． 故选：C． 利用平移的性质求解 【例12】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上．若．则的长度是（　　） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了由平移的性质求解，根据平移可得，根据即可求解． 【详解】解：是由通过平移得到， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，沿所在直线向右平移到，连接，已知，则的长为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质．根据平移可知，再利用线段的和差计算可求解． 【详解】解：根据平移的性质：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，将沿方向向右平移1个单位得到，若的周长为12，则四边形的周长为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，主要利用了对应点的连线等于平移距离，结合图形表示出四边形的周长是解题的关键． 根据平移的性质，对应点的连线、都等于平移距离，再根据四边形的周长=的周长代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵沿方向平移1个单位得到， ∴， ∴四边形的周长 的周长 ． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，将沿线段方向平移到，，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，平移只改变图形的位置，没有改变图形的形状和大小，根据平移的性质可得：，根据全等三角形的性质可得：，，，根据梯形的面积公式可求结果． 【详解】解：由平移可得：， ，， ， ， ， ， ． 故选：A ． 利用平移解决实际问题 【例13】（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图所示，某商场重新装修后准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知主楼梯道的宽为，其侧面如图所示，则买地毯至少需要（   ）平方米． A．8.4 B．15.68 C．16.8 D．25.2 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，结合平移的性质将楼梯水平方向的线段和竖直方向的线段平移到上和上是解题关键．分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到上，竖直方向的线段沿水平方向平移到上，则铺地毯的横向线段的长度之和就等于边的长度，纵向线段的长度之和就等于边的长度，然后求解即可． 【详解】解：利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到上，竖直方向的线段沿水平方向平移到上，则铺地毯的横向线段的长度之和就等于边的长度，纵向线段的长度之和就等于边的长度， 所以地毯的总长度至少为， 所以地毯的总面积至少为， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·河北承德·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的长方形，然后根据长方形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：， 绿化区的面积是， 故选：C． 平移-作图 【例14】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，将三角形先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形． (1)在图中画出平移后的三角形，并写出的坐标． (2)求三角形的面积． 【答案】(1)作图见解析； (2)5 【分析】本题主要考查了图形的平移及三角形面积的求法，正确得出对应点的位置是解题关键； （1）根据平移的性质作图，并根据所得平移后的三角形写出点的坐标即可． （2）由三角形所围成的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）解：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)补全三角形； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________； (3)求线段平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3)20 【分析】本题主要考查了平移作图、平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键． （1）先根据点确定平移方式，从而可得点的位置，再顺次连接点即可得； （2）根据平移的性质求解即可得； （3）根据线段平移过程中扫过的面积等于一个长方形的面积减去两个小直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）解：补全三角形如下： ． （2）解：如图，连接，， 由平移的性质可知，，， 故答案为：，． （3）解：如图，连接， 则线段平移过程中扫过的面积． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、．将三角形先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点A、B、C的对应点分别为点、、． (1)分别写出下列各点的坐标：__________，__________，__________；并画出三角形； (2)若点是线段上一点，探索并直接写出点P的对应点的坐标为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知平移中，点的坐标变化规律是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：∵点是线段上一点， ∴点P的对应点的坐标为 对顶角 / 邻补角混淆 错因：只看大小不看位置，把 “补角” 当成 “邻补角” 垂线概念不清 错因：把 “垂线段” 当成 “距离”；忘记 “垂线段最短” 三线八角识别错误 错因：找不准截线，把内错角看成同位角，位置判断混乱 平行线判定与性质用反 错因：逻辑颠倒 判定：角相等 / 互补 ➜ 线平行 性质：线平行 ➜ 角相等 / 互补 忽略 “同一平面内” 前提 错因：直接说 “不相交就是平行”，漏前提导致概念错误 拐点题不会作辅助线 错因：不会过拐点作平行线，角度无法转化 几何证明跳步、无依据 错因：凭感觉写，每一步必须写：已知 / 对顶角 / 同位角等依据 平移概念误用 错因：认为平移会改变形状、大小；对应点连线不平行也不等 命题改写不规范 错因：不会拆 “题设 + 结论”，假命题不会举反例 计算漏写单位、漏答 错因：角度题只求数不写 °，应用题不写结论 相交线考点 对顶角：相等 邻补角：和 180° 垂直：夹角 90°； 垂线段最短；过一点有且一条垂线 三线八角（识图口诀） ✅ 同位角：F 型 ✅ 内错角：Z 型 ✅ 同旁内角：U 型 平行线判定（角→证平行） 同位角相等 ➜ 两直线平行 内错角相等 ➜ 两直线平行 同旁内角互补 ➜ 两直线平行 平行线性质（已知平行→求角） 两直线平行 ➜ 同位角相等 两直线平行 ➜ 内错角相等 直线平行 ➜ 同旁内角互补 压轴解题技巧 遇拐点、折线题：过拐点作平行线（万能辅助线）搭配：角平分线 + 平行线→直接出相等角 易错扣分点 不平行，不能乱推角相等 / 互补 分清：判定是角推线，性质是线推角，绝不混用 看图先找 “第三条截线”，乱找角必错 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $