专题01 相交线与平行线（十四大类题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

专题01 相交线与平行线 题型1 对顶角﹑邻补角求值（常考点） 题型8 铅笔模型（难点） 题型2 垂直+直角的计算（常考点） 题型9 判断命题的真假（常考点） 题型3 同位角﹑内错角和同旁内角的识别（常考点） 题型10 写出命题的题设与结论 题型4利用平行的性质求角度（重点） 题型11 逻辑与推理 题型5 平行线的证明（常考点） 题型12 利用平移的性质求解（重点） 题型6 平行线的判定与性质综合（重点） 题型13 利用平移解决实际问题（常考点） 题型7 猪蹄模型（难点） 题型14 平移-作图（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对顶角﹑邻补角求值（共4小题） 1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，直线，交于点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，直线与相交于点O，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）将两根长方形木条a、b按如图所示放置，固定木条a，转动木条b，若减小，则下列说法正确的是（） A．减小 B．增大 C．增大 D．和的和不变 题型2 垂直+直角的计算（共4小题） 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线、相交于点O，于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川德阳·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 7．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，A，B，C三点在直线l上，点M在直线l外，若，，，则点M到直线l的距离可能是（   ） A． B． C． D． 题型3 同位角﹑内错角和同旁内角的识别（共4小题） 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线分别交的两边于点C，D，则和的位置关系是（   ） A．内错角 B．对顶角 C．同位角 D．同旁内角 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下图中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）下列所示的四个图形中，和是同位角的是（   ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线截直线，下列说法正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 题型4利用平行的性质求角度（共6小题） 13．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，直线与直线、都相交．若，，则（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知，将含角的直角三角板（，）按如图所示的方式放置，顶点分别落在直线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，按原来的方向返回（即），根据光的反射可知，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·山西晋中·期中）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·浙江温州·期中）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型5 平行线的证明（共5小题） 19．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，E是延长线上一点，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·广东清远·期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线，，，的位置如上图所示，，，求证：． 证明：如图， ∵（_____），_____ ∴_____（_____） 又∵（_____）， ∴（_____）， ∴（_____）． 22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明 的理由． 23．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 题型6 平行线的判定与性质综合（共5小题） 24．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点D、B分别在AE、FC上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 25．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 26．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，，点，分别是线段，上的点，，分别与交于点，，已知． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，请说明与的位置关系； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 27．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，在四边形中，平分，交于点E，，F是延长线上一点，连接，交于点G，若． (1)试说明：； (2)吗？请说明理由； (3)若，试说明与的位置关系． 28．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，D、E、F、G是边上的点，，． (1)试证：； (2)若平分，，，求的度数． 题型7 猪蹄模型（共2小题） 29．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 题型8 铅笔模型（共4小题） 31．（24-25七年级下·新疆哈密·期中）【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则 ______．（直接写出答案） 32．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）【感知】如图1，已知，，求的度数． 小马同学的思路是：过点P作，通过平行线的性质求．按照小马同学的思路，易求得______； 【迁移】如图2，点P是所在直线上方的一点，且，连接．若，求的度数； 【应用】如图3是一盏可以伸缩的台灯示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．求灯头与水平线的夹角的度数． 33．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”、与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整，将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 【学以致用】 （1）当，时，__________． （2）①如图（2），已知，若，，求出的度数． ②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 34．（23-24七年级下·江西九江·期中）已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 题型9 判断命题的真假（共4小题） 35．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 36．（24-25七年级上·云南保山·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．同角的余角相等 B．相等的两个角是对顶角 C．同旁内角互补 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 37．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列命题中，是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．两点之间，直线最短 D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 38．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型10 写出命题的题设与结论（共4小题） 39．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：_____________，它是____命题． 40．（24-25七年级下·江西上饶·期末）命题“同位角相等”的题设是________；结论是________；这是一个________命题（填“真或假”）． 41．（24-25七年级下·山东泰安·月考）命题“对顶角相等”的一般形式是________． 42．（24-25七年级下·福建厦门·月考）“等角的补角相等”的题设是______， 题型11 逻辑与推理（共2小题） 43．（25-26九年级上·湖南·月考）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 44．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是________． 题型12 利用平移的性质求解（共4小题） 45．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，把三角形沿着射线方向平移得到三角形，，，则______． 46．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图，将周长为14的沿方向平移3个单位长度得，则四边形的周长为_________． 47．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，则阴影部分的面积为_________ 48．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点F，作的平分线，交直线于点，则的度数为________． 题型13 利用平移解决实际问题（共3小题） 49．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，在一块长为、宽为的长方形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是，其他部分都是草地，则草地的面积为________． 50．（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要_____元． 51．（24-25七年级下·河南安阳·月考）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 题型14 平移-作图（共5小题） 52．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．若三角形ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，且点A，B，C的对应点分别是点，，． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为__________． 53．（24-25七年级下·江西宜春·期中）如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，其中，，，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)画出三角形，并写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，求点坐标． 54．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)点的坐标为 ． (2)①画出三角形； ②写出三角形的面积 ． (3)若点D在x轴上且的面积为3，则点D的坐标为 ． 55．（24-25七年级下·云南昭通·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的三角形）的顶点、的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)将向右平移5个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到，画出平移后的． (3)写出各个顶点的坐标． 56．（24-25七年级下·新疆省直辖县级单位·期中）如图，在边长为的正方形网格中，． (1)平移线段到线段，使点与点重合，写出点的坐标是_______ (2)直接写出线段平移至线段处所扫过的面积是_______； (3)平移线段，使两端点都在坐标轴上，请画出平移后的线段，并直接写出的坐标为_______． $专题01 相交线与平行线 题型1 对顶角﹑邻补角求值（常考点） 题型8 铅笔模型（难点） 题型2 垂直+直角的计算（常考点） 题型9 判断命题的真假（常考点） 题型3 同位角﹑内错角和同旁内角的识别（常考点） 题型10 写出命题的题设与结论 题型4利用平行的性质求角度（重点） 题型11 逻辑与推理 题型5 平行线的证明（常考点） 题型12 利用平移的性质求解（重点） 题型6 平行线的判定与性质综合（重点） 题型13 利用平移解决实际问题（常考点） 题型7 猪蹄模型（难点） 题型14 平移-作图（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对顶角﹑邻补角求值（共4小题） 1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据对顶角相等求出的度数，再根据邻补角互补即可求出结果． 本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角相等、邻补角互补的性质是解题的关键． 【详解】解：与是对顶角， ， ， ， ， 故选：． 2．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，直线，交于点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角相等，邻补角的性质，角平分线的定义，角的和差运算，掌握“对顶角与邻补角的含义”是解本题的关键． 根据对顶角的性质，邻补角的含义先求解，再利用角平分线的定义求解，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解： ， 平分， 故选：A． 3．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，直线与相交于点O，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，角和差的计算， 根据对顶角的性质得，再由计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：C． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）将两根长方形木条a、b按如图所示放置，固定木条a，转动木条b，若减小，则下列说法正确的是（） A．减小 B．增大 C．增大 D．和的和不变 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，邻补角的知识点，解题的关键是掌握对顶角相等，邻补角互补的性质． 根据对顶角和邻补角的性质，分析减小后其他角的变化情况． 【详解】与是邻补角，即，当减小时，会增大， A选项错误； 与是对顶角，根据对顶角相等的性质，，那么减小也会减小，所以B选项错误； 与是邻补角，，当减小时，会增大， C选项正确； 由前面分析知增大增大，那么会增大，所以D选项错误． 故选：C． 题型2 垂直+直角的计算（共4小题） 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线、相交于点O，于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得，然后利用角的和差关系计算的度数即可． 【详解】解：， ， ，， ． 6．（24-25七年级下·四川德阳·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 7．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，， ∴代表点M到直线l的距离的是线段的长度． 故选：C． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，A，B，C三点在直线l上，点M在直线l外，若，，，则点M到直线l的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴点到直线的距离小于， 故选：． 题型3 同位角﹑内错角和同旁内角的识别（共4小题） 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线分别交的两边于点C，D，则和的位置关系是（   ） A．内错角 B．对顶角 C．同位角 D．同旁内角 【答案】C 【分析】本题考查了“三线八角”，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的图形特征是解题的关键． 结合图形，根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行判断即可． 【详解】解：和的位置关系是同位角． 故选：C 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下图中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是确定三线八角，熟知同位角，内错角，同旁内角的特征是解题的关键． 根据三线八角中，同位角，内错角，同旁内角的特征解题即可． 【详解】A．和是两条直线被第三条直线所截形成的，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧 ，符合同位角的定义． B． 和是内错角，它们是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且夹在两条被截直线之间． C．和是同旁内角，它们是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在两条被截直线之间． D．和既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，它们的位置关系不满足三种角的定义． 故选：A ． 11．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）下列所示的四个图形中，和是同位角的是（   ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：图①、②、④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线截直线，下列说法正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角定义，对选项进行判断即可求解． 【详解】解：A．与是同旁内角，说法错误，不符合题意； B．与是邻补角，原说法错误，不符合题意； C．与是内错角，原说法错误，不符合题意； D．与是同旁内角，原说法正确，符合题意． 故选：D． 题型4利用平行的性质求角度（共6小题） 13．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，直线与直线、都相交．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键；根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：B． 14．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 根据水中的两条折射光线是平行的可求得，根据水面和杯底平行得的度数即可． 【详解】解：如图， ∵水中的两条折射光线是平行的， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ， ． 故选：A． 15．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知，将含角的直角三角板（，）按如图所示的方式放置，顶点分别落在直线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线性质定理．根据两直线平行，内错角相等可得，再将的值代入即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 16．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，按原来的方向返回（即），根据光的反射可知，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 17．（24-25七年级下·山西晋中·期中）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用平行线的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 18．（24-25七年级下·浙江温州·期中）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出，再根据平角的定义和折痕是角平分线进行求解即可． 【详解】解：∵长方形纸带的对边平行， ∴， ∵折叠， ∴； 故选A． 题型5 平行线的证明（共5小题） 19．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，E是延长线上一点，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理逐一排除即可求解，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、若，无法判定，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项符合题意； D、若，无法判定，故本选项不符合题意； 故选：C 20．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，该选项符合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 故选：B． 21．（24-25七年级下·广东清远·期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线，，，的位置如上图所示，，，求证：． 证明：如图， ∵（_____），_____ ∴_____（_____） 又∵（_____）， ∴（_____）， ∴（_____）． 【答案】已知，邻补角定义；，同角的补角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，邻补角定义，由同角的补角相等得，又，则有，然后通过平行线的判定即可求证，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：如图， ∵（已知），（邻补角定义） ∴（同角的补角相等） 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：已知，邻补角定义；，同角的补角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行． 22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明 的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判断，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由题意可得，再由平角的定义可得，据此可得答案． （2）由角平分线的定义可得，，则由平角的定义可得，即，据此可证明，则． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 题型6 平行线的判定与性质综合（共5小题） 24．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点D、B分别在AE、FC上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）与性质定理（两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等）是解题的关键． （1）通过已知角相等的条件，利用等量代换得到内错角相等，从而证明两直线平行． （2）先由（1）的平行结论推出同旁内角互补，再结合角相等的条件证明另一组直线平行，最后利用平行线的性质得到角相等，进而求出角的度数． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 25．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据证得，又，利用等量代换可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义得，再根据，证得，进而求得的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 26．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，，点，分别是线段，上的点，，分别与交于点，，已知． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，请说明与的位置关系； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练运用平行线的判定定理和性质定理，结合角的等量关系进行推理计算． （1）利用平行线的性质得，结合和，推出； （2）由及，得，从而判定； （3）根据和，得到角的关系，再结合，求出，进而得出的度数． 【详解】（1）解：． 理由如下： 因为， 所以．， 因为， 所以， 因为， 所以． （2）解：因为，， 所以， 所以． （3）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 27．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，在四边形中，平分，交于点E，，F是延长线上一点，连接，交于点G，若． (1)试说明：； (2)吗？请说明理由； (3)若，试说明与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用平分，得，结合题意得，即可证明； （2）利用，得，再结合，得，即可证明； （3）利用，得，再利用，得出，结合，得，可得，得，即可证明． 【详解】（1）解：由题意可得：． ∵， ∴． ∴． （2）解：． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 28．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，D、E、F、G是边上的点，，． (1)试证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得：，从而利用同位角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）先利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 题型7 猪蹄模型（共2小题） 29．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    30．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 题型8 铅笔模型（共4小题） 31．（24-25七年级下·新疆哈密·期中）【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则 ______．（直接写出答案） 【答案】（1），理由见解析（2）（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）过点作，得到， 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3）如图，过点作，则， 由（1）的结论得：， ， ， ， ， ， ． 32．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）【感知】如图1，已知，，求的度数． 小马同学的思路是：过点P作，通过平行线的性质求．按照小马同学的思路，易求得______； 【迁移】如图2，点P是所在直线上方的一点，且，连接．若，求的度数； 【应用】如图3是一盏可以伸缩的台灯示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．求灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】感知：70；迁移：；应用： 【分析】本题考查了平行线的性质内容，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 迁移：根据平行线的性质得到，求出即可解答； 迁移：过点P作，得到，，由即可求解； 应用：过点C作，得到，从而求出，易证，推出，再根据，推出，由即可求解． 【详解】解：迁移：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 迁移：如图，过点P作，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 应用：如图，过点C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 33．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”、与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整，将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 【学以致用】 （1）当，时，__________． （2）①如图（2），已知，若，，求出的度数． ②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 【答案】（1）65；（2）①；② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线． （1）过点E作，可得，从而得到，计算即可； （2）①过点E作，根据平行线的判定和性质，进行求解即可；②由（1）得：，利用角平分线的定义求出，进而利用（1）中的结论，进行计算即可． 【详解】解∶（1）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：65 （2）①如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②由（1）得：， ∵、分别平分和，，， ∴， ∴． 34．（23-24七年级下·江西九江·期中）已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质得到，，进而得到，再利用角平分线的定义得到，再利用平行线的性质和角的和差即可求出的度数； （3）过点作，利用平行线的性质得到，，利用角的和差得到，进而得到，再结合（1）中的结论即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵和的角平分线交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）中的结论得，， ∴， 整理得， ∴． 题型9 判断命题的真假（共4小题） 35．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 【答案】A 【分析】本题考查判断命题的真假．选项A中点到直线的距离定义错误，应为垂线段的长度，而非任意线段的长度；其他选项均为真命题，符合平行线的性质与公理． 【详解】解：点到直线的距离是指从点向直线作垂线，垂线段的长度才叫点到直线的距离，而选项A中未指定垂线段，故A为假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故B为真命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C为真命题； 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行，故D为真命题； 故选：A． 36．（24-25七年级上·云南保山·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．同角的余角相等 B．相等的两个角是对顶角 C．同旁内角互补 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，对顶角的性质，余角的性质，分别对每一项进行判断即可． 此题主要考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、同角的余角相等，是真命题，故本选项符合题意； B、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，故本选项不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故本选项不符合题意； D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：A 37．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列命题中，是真命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．两点之间，直线最短 D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题的真假．根据对顶角；平行线的性质；两点之间，线段最短；垂线，逐一分析各选项的正确性，即可解答． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等，但不是对顶角，故A是假命题，不符合题意； B．同位角相等需两直线平行作为前提，缺少条件则不成立，故B是假命题，不符合题意； C．两点之间，线段最短，直线无长度概念，故C错误，不符合题意； D．平面内过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，故D是真命题，符合题意． 故选：D 38．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，要说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，需找到两个锐角的和不是钝角的例子，即可判断． 【详解】解：A、，是钝角，不符合题意； B、，是钝角，不符合题意； C、，是钝角，不符合题意； D、，是锐角，说明两锐角的和可能不是钝角，符合题意． 故选：D． 题型10 写出命题的题设与结论（共4小题） 39．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：_____________，它是____命题． 【答案】 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 真 【分析】本题考查了命题的改写，判断真假命题． 将命题改写成“如果……那么……”的形式，需明确条件和结论，并基于对顶角性质判断命题真假． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”； 对顶角相等，故该命题是真命题； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；真． 40．（24-25七年级下·江西上饶·期末）命题“同位角相等”的题设是________；结论是________；这是一个________命题（填“真或假”）． 【答案】 两个角是同位角 这两个角相等 假 【分析】本题考查了命题。解题的关键是会判断命题的真假． 对命题进行分析，写出题设和结论，判断真假即可． 【详解】解：命题“同位角相等”可写成“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， ∵同位角不一定相等， ∴这是一个假命题， 故答案为： 两个角是同位角，这两个角相等，假． 41．（24-25七年级下·山东泰安·月考）命题“对顶角相等”的一般形式是________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的题设与结论，解答此题目只要把命题写成“如果…，那么…”的形式，便可解答． 根据命题有两部分组成，即题设和结论，找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式． 【详解】解：命题“对顶角相等”的一般形式是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 42．（24-25七年级下·福建厦门·月考）“等角的补角相等”的题设是______， 【答案】两个角是等角的补角 【分析】本题考查了命题的相关概念，掌握命题的题设和结论是解题的关键．先把命题改写成“如果…那么…”的形式，再根据以如果开始的部分是题设，以那么开始的部分是结论，即可解答． 【详解】解：命题“等角的补角相等”的题设是两个角是等角的补角． 故答案为：两个角是等角的补角． 题型11 逻辑与推理（共2小题） 43．（25-26九年级上·湖南·月考）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 【答案】16 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日， 若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为，与小李条件矛盾； 若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为，符合小李条件． ∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日． 故答案为：16． 44．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是________． 【答案】丙 【分析】本题考查了推理和论证，掌握数学推理能力是解题的关键，根据数学推理与论证的关系求解即可； 【详解】解：因为如果语文老师说的正确， 所以地理老师和政治老师的话也都正确， 又只有两个两个老师得话正确， 所以语文老师的话是错误的； 又地理老师的话和历史老师的话和政治老师的话是矛盾，而只有两个老师正确， 故只有历史老师和政治老师的话是正确的； 故冠军一定是丙， 故答案为：丙 题型12 利用平移的性质求解（共4小题） 45．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，把三角形沿着射线方向平移得到三角形，，，则______． 【答案】18.8 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质求得，进而求解即可． 【详解】解：∵把三角形沿着射线方向平移得到三角形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.8． 46．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图，将周长为14的沿方向平移3个单位长度得，则四边形的周长为_________． 【答案】20 【分析】本题考查图形平移的性质．根据图形平移的性质和三角形的周长即可求出四边形的周长． 【详解】解：沿方向平移3个单位得到， ， 四边形的周长， 的周长， 四边形的周长， 故答案为：20． 47．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，则阴影部分的面积为_________ 【答案】11 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，根据平移的性质得 ，再根据可得答案. 【详解】解：根据平移的性质得 ， ∴. . 故答案为：11. 48．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点F，作的平分线，交直线于点，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题考查图形的平移，平行线的判定与性质. 先证明，得到，再根据和的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 当在右边时，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴； 当在左边时，交线段于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在左边时，交直线于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 题型13 利用平移解决实际问题（共3小题） 49．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，在一块长为、宽为的长方形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是，其他部分都是草地，则草地的面积为________． 【答案】300 【分析】本题考查有理数混合运算，生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键． 根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是1米，高是15米的平行四边形，根据平行四边形的面积=底×高，长方形的面积=长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可． 【详解】解：由题意可得，草地的面积为， 故答案为：300． 50．（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要_____元． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．本题根据平移的性质，计算出地毯的面积即可解决问题． 【详解】解：由题意可得， 地毯的面积为：， 所以地毯的价钱为：（元）． 故答案为：． 51．（24-25七年级下·河南安阳·月考）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)方案任选一种，小路的预算费用约为6000元，理由见解析 (2)小颖的思考正确．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的判定及性质的实际应用． （1）由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为，所以小路的面积是固定的，所以三种方案的费用是一样的，根据预算费用面积每平米的费用计算即可； （2）过点C作，根据两直线平行，内错角相等得，进而得，再得，再由内错角相等得两直线平行即可； （3）过点C作，过点D作，过点E作，根据平行线的判定及性质可得结论． 【详解】（1）解：三种方案的预算费用都是6000元，故任选一种即可，理由如下： 由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为， ∴小路的面积为：， ∴小路的预算费用为：（元）， 即三种方案，小路的预算费用都约为6000元； （2）解：小颖的思考正确，理由如下： 如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点C作，过点D作，过点E作， ∴，，， ∵草地为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 题型14 平移-作图（共5小题） 52．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．若三角形ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，且点A，B，C的对应点分别是点，，． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图－平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质判断即可． 【详解】（1）如图，三角形即为所求； （2）若三角形内有一点经过以上平移后的对应点为， 点的坐标， 故答案为：． 53．（24-25七年级下·江西宜春·期中）如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，其中，，，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)画出三角形，并写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，求点坐标． 【答案】(1)画图见解析，的坐标； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了坐标与图形变化中的平移和作图，以及利用网格求三角形面积，解题的关键是能够根据点平移前后的坐标判断出平移方式，并熟练掌握平移的性质． （）利用点和的坐标特征确定平移的规律，然后写出的坐标，再描点即可； （）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积； （）设，利用三角形面积公式得，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：∵三角形中任意一点经平移后对应点为， ∴将三角形向左平移个单位，向上平移个单位得到三角形， ∴的坐标； （2）解：三角形的面积为 ； （3）解：设， 则，即， 解得：或， ∴点坐标为或． 54．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． (1)点的坐标为 ． (2)①画出三角形； ②写出三角形的面积 ． (3)若点D在x轴上且的面积为3，则点D的坐标为 ． 【答案】(1) (2)①见解析，②8.5 (3)或 【分析】本题考查了坐标系中的平移、坐标与图形等知识，正确得出平移的方式是解题的关键； （1）先根据P点坐标得出图形的平移方式是先向左平移6个单位，再向上平移2个单位，进而得到答案； （2）①先画出A，B，C平移后的对应点，，，再顺次连接即可； ②利用割补法求解即可； （3）设点D的坐标为，根据的面积为3建立方程求解即可. 【详解】（1）解：因为三角形中任意一点，经平移后对应点为， 所以图形的平移方式是先向左平移6个单位，再向上平移2个单位， 因为， 所以点的坐标为； 故答案为：； （2）解：①三角形如图所示； ②三角形的面积； 故答案为：8.5； （3）解：设点D的坐标为， ∵的面积为3，，， ∴， 解得：或， ∴点D的坐标为或， 故答案为：或. 55．（24-25七年级下·云南昭通·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的三角形）的顶点、的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)将向右平移5个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到，画出平移后的． (3)写出各个顶点的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)，， 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标、平移的性质，熟练掌握如何确定平面直角坐标系中原点的位置是解题的关键， （1）根据A、C的坐标确定原点位置，建立直角坐标系即可； （2）根据平移顺序分别找到的位置，然后顺次连接即可； （3）由（2）即可直接写出各个顶点的坐标． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：如图，平移后的； （3）解：各个顶点的坐标分别为：，，． 56．（24-25七年级下·新疆省直辖县级单位·期中）如图，在边长为的正方形网格中，． (1)平移线段到线段，使点与点重合，写出点的坐标是_______ (2)直接写出线段平移至线段处所扫过的面积是_______； (3)平移线段，使两端点都在坐标轴上，请画出平移后的线段，并直接写出的坐标为_______． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，或 【分析】本题考查了图形的平移，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． （）根据点和点的坐标可知线段先左平移个单位长度得到线段，据此即可求解； （）由题意可知线段平移至线段处所扫过的面积即为平行四边形的面积，据此解答即可； （）根据题意画出图形，根据图形解答即可求解； 【详解】（1）解：点向左平移个单位长度得到点， ∴点向左平移个单位长度得到点，即， 故答案为：； （2）解：如图，线段平移至线段处所扫过的面积即为平行四边形的面积， ∴面积为， 故答案为：； （3）解：①如图，平移到轴，平移到轴， 则； ②如图，平移到轴，平移到轴，如图， 则； 综上，的坐标为或， 故答案为：或． $