专题05 平行线几何模型压轴题（6大压轴题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

专题05 平行线的压轴题（6大压轴题型） 题型1 拐点铅笔模型 题型4 平行线 + 三角板旋转 题型2 多拐点锯齿模型 题型5 平行线 + 折叠问题 题型3 平行线 + 角平分线综合 题型6 证明探究类压轴 题型一 拐点铅笔模型 1．（21-22七年级下·山东泰安·期中）小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究和、的数量关系． (1)当点分别在如图1、图2和图3所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的和、的数量关系：图①中：______；图②中：______，图③中：_______． (2)请将结论③加以证明． (3)运用上面的结论解决问题：如图4，，平分，平分，，的度数是______．（直接写出结果，不用写计算过程） 【答案】(1)；； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）图①：过点作，利用两直线平行内错角相等，将拆分为两个分别与、相等的角，即可得；图②：过点作，利用两直线平行同旁内角互补，通过两组互补角求和，即可得；图③：过点作，结合内错角相等与角的和差关系，即可得； （2）过点作，结合已知，根据平行公理的推论推出，随后利用“两直线平行，内错角相等”的性质，将转化为、转化为；最后结合图形中的和差关系，通过等量代换，即可证明； （3）过点作，过点作，根据平行公理的推论推出，可得，，，，结合，可得，利用角平分线的性质，得到，，进而得，最后由即可得出． 【详解】（1）解：图①：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 图②：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； 图③：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作，过点作， 又∵， ∴， ∴，，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】过拐点作平行线，是解决所有平行线拐点或折线问题的唯一通用万能方法，本题的三个小问，从探究、证明到应用，全程围绕这一核心方法展开，只要掌握“遇拐点、作平行、用性质、转角度”的十二字逻辑，就能一通百通，搞定同类所有题型． 2．（24-25七年级下·山东烟台·期末）（1）如图1直线，试探究、、之间的数量关系． （2）如图2，直线，点A在直线l上，P是直线l上一动点，，当时，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）延长至点，则，根据平行线的性质可得，，即可得到结论； （2）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数． 【详解】解：（1）如图，延长至点，则， ，， ， ， ； （2）如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图， ，点E是线段，所在直线外的一点，连接，，探究，，之间的数量关系． 在课堂上，小明画出了图1，图2，经过分析与推理，他得到图1存在结论： 根据以上材料，请回答以下问题： (1)在图1中， 证明： (2)如图2，假设点E在直线上方的图形，请探究 之间的数量关系． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质探究角的关系，以及证明角的关系．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作．由平行线的性质得出，由平行公理即可得出，由平行线的性质得出，则可得出． （2）过点作，由平行公理即可得出，由平行线的性质得出，，由角的和差关系可知，等量代换可得出． 【详解】（1）证明；过点作． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即 （2）解：过点作， ， ， ，， 又， ． 4．（24-25七年级下·河南许昌·期中）两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．已知直线为平面内一点，连接． 【问题情境】 （1）如图1，已知，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求． 按照小明的思路，易求得的度数为___________； 【类比探究】 （2）如图2，设，猜想之间的数量关系，并给出证明； 【应用拓展】 （3）如图3，平分交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点作平行线是解题的关键： （1）根据两直线平行，同旁内角互补，求出的度数，角的和差关系求出的度数； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）由（2）的结论求出的度数，角平分线求出的度数，对顶角得到的度数，三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：（1）过点作， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2），证明如下： 过点P作， ， ， ，， ，， ， ； （3）∵， ∴， 由（2）可知， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 5．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）（1）【探究发现】如图1，，过点F作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 ， °； （2）【结论运用】如图2，，点M是和平分线的交点．求证：； （3）【横向迁移】如图3，，平分，平分，且，．求的度数． 【答案】（1），（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，难点是类比思想、方程思想在解题中的应用． （1）由已知得，根据平行线的性质得，，据此可得出与，之间的数量关系；先由得，，据此可得出的度数； （2）设，，则，，由（1）的结论得，，进而得，即可作答． （3）设，则，，，由（1）的结论及得，进而得，再由（1）的结论得，然后根据，据此可求出的度数． 【详解】（1）解：与，之间的数量关系是：． 理由如下： ，， ， ，， ， 即：； ，理由如下： ， ，， ， 即：， 故答案为：，； （2）平分，平分， 设，， ，， 由（1）的结论得： ， 则 即 ∴ （3）设， 平分， ， ， ， 由（1）的结论得： ， ， ， ， ， ， 平分， ∴， ∴， ∵ ∴ 解得． ． 题型二 多拐点锯齿模型 6．（23-24七年级下·江苏南通·月考）如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作， 故选：D． 7．（24-25七年级下·江西九江·期中）如图，直线，，，则的度数是________________． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解决本题的关键．延长交直线于点，由平行线的判定得到，再由平行线的性质即可求出． 【详解】解：延长交直线于点， 直线，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山西运城·期中）滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要．如图①，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态．图②是其示意图，已知，则当时，上身与水平线夹角的度数为____． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 延长交于点M，根据平行线的性质得到，，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，，，和交于点Q，与的角平分线相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的运用，平行线的判定与性质，先分别过作平行于的直线，得出，运用角平分线的性质得，再结合平行线的性质得，，因为，，所以，即可作答． 【详解】解：如图所示，分别过作平行于的直线，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∵与的角平分线相交于点O， ∴， ∴， ∵平行， ∴，， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C 10．（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题】 （1）如图1，，试探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （2）将图1变为图2、图3（其中不变），请你直接写出相应的结论： 图2：________；图3：________； 【应用】 （3）如图4，运用上面的结论解决问题：，BE平分，DE平分，，求的度数． 【答案】（1）（2）；；（3） 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键． （1）过点作，根据得出，再由平行线的性质即可得出结论； （2）图2：过点作，故可得出，根据平行线的性质即可得出结论；图中，分别过点、、作，，，则，由此可得出结论； （3）过点，分别作，．根据，可知，；再根据，，得出，，由平分，平分可得出结论． 【详解】解：（1）． 理由：过点作， ， ， ，， ． （2）图：过点作， ， ， ，， ； 图：分别过点、、作，，， 则， 同（）可得，①，②， ①②得，． 故答案为：；． （3）如图所示，过点，分别作，． ，， ，； 又， ，， ，， ． 平分，平分， ，， ∴ 题型三 平行线 + 角平分线综合 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，过点作，则，由平行线的性质结合角平分线的定义可得，，设，，则，，表示出，结合，计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴由①②可得：， 故选：C． 12．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线，被直线所截，交点分别是，．已知，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，按此规律依次进行，则的度数是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、图形规律，掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 如图所示，过点作，过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的角平分线相交于点，， ∴， ∴， 同理，， ∴依此类推，． 故选：D ． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，，点E在的上方，G，F分别为，上的点，，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M．下列结论： ①；②；③；④若，则．其中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合角平分线以及平角的定义进行列式化简得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得，再结合进行分析化简得，结合前面的结论以及进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M． ∴， ∵， ∴， 即， 故①符合题意； 过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②是符合题意； 过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 由②得， ∴， 即， 由③得， ∴， 由③得， ∴， ∴， 故④是符合题意； 故选：D． 14．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　） A．76° B．78° C．80° D．82° 【答案】B 【详解】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥RS∥MN， ∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°， ∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK）， ∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°， ∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC， 又∠BKC﹣∠BHC=27°， ∴∠BHC=∠BKC﹣27°， ∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°）， ∴∠BKC=78°， 故选B． 15．（24-25七年级下·四川成都·月考）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2）解：，， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． 16．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知，直线，点E．F分别在直线上，点H是直线与外一点，连接． (1)如图（1）， 若，，求的度数； (2)如图（2），的角平分线的反向延长线交的角平分线于点N，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3）， 若，，， 点P．H．Q在同一直线上，直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键． （1）过点H作，根据平行线的性质即可求解； （2）过点N作，过点H作，则，可设，由得到，，，，故，，因此得到，即：； （3）设，则，过点P作，过点H作，过点Q作，则，则，，，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，故． 【详解】（1）解：过点H作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点N作，过点H作， ∵平分，平分， ∴设， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 即：； （3）解：过点P作，过点H作，过点Q作， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即． 17．（24-25七年级下·重庆·期中）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1．，，，则______； (2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明． (3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理可得，，则，即可作答． （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； 【详解】（1）解：如图1，过作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 18．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点N作， ∴， ∴， 设， ∵分别平分， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：， ∵，即 ∴ ∴， ∴， 又∵和是角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 19．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当时，求的度数； (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P落在直线的下方，与的角平分线相交于点K，与有何数量关系?请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． （2）解：．理由如下： 如图2，过K作， ∵， ∴， ∴， ∴， 过P作， 同理可得，， ∵与的角平分线相交于点K， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 如图3，过K作， ∵， ∴， ∴， ∴， 过P作 同理可得，， ∵与的角平分线相交于点K， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，，． (1)如果，求的度数； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化；，理由见解析 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； （2）过点作，过作，同理（1）求出 ；，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，，由计算即可得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； （2）解：不发生变化；，理由为： 过点作，过作， ， ， ，， 又， ，即， ； ， ， ，， 、的角平分线交于点， ，， ，， ； （3）解：由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 题型四 平行线 + 三角板旋转 21．（2023七年级下·浙江·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，， (1)若三角板如图1摆放时，则______，______ (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒,请求出符合条件t的值． 【答案】(1)15，150； (2)； (3)t的值为2或6或． 【分析】（1）如图1中，过点E作，证明，可得结论； （2）如图2中，同法可证利用角平分线的定义求出，，可得结论； （3）分五种情形：如图，当时．如图，当时．如图，当时．如图，当时．如图中，当时，分别求出的度数． 【详解】（1）解：如图1中，过点E作， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：15，150； （2）解：如图2中，过H点作， , ∴, 根据平行线的性质可得:, ∴, 即 ， ， ， ， ， ，分别平分，， ，， ； （3）解：如图，当时， 此时， ，，（秒）， ； 如图，当时， 此时， ，（秒）， ； 如图，当时， 此时，，， （秒）， 满足条件的t的值为2或6或 22．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义并结合平行线的性质计算即可得解； （2）①由平行线的性质结合题意求出，从而可得，解方程即可；②分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图， ， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）解：如图中， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； ⅰ.如图，当时，延长交于点I， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以； ⅱ.如图中，当时，延长交于点J， 因为， 所以， 因为，， 所以 所以， 所以， 综上所述，满足条件的t的值为或． 23．（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图，直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上． (1)如图1，当平分时，求的值； (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为t秒． ①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当边时的值． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． （1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①画出图形，设延长线与交于点，利用平行线的性质即可求解； ②先讨论第一次和第二次的情况，分别画出图形进行解答，再探索的规律即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，速度为每秒3度， ∴旋转的度数范围为， 则只有一种情况，如图， 设延长线与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，的值为； ②如图，当第一次时，延长交于． ∵， ∴， 过点作，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 如图，当第二次时，延长交于， ∵， ∴， 过点作，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 本题，结合， 相当于是求当时的， 可通过平移两三角板将、重合，转化为共点旋转， 共点旋转时从某次到下一次，和需相向旋转角度和， 设这段时间为， 则， 得：， 即每隔秒一次， 即每隔秒一次， 又， 故第三次，第四次， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值是20或； (3)或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的应用等知识，也体现了数形结合的思想，读懂题，熟悉条件，理解题意是解题的关键． （1）根据角的和与差即可解答； （2）分两种情况：在的左边和右边，根据列方程即可解答； （3）分情况画出图形，根据两直线平行内错角相等列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 25．（24-25七年级下·重庆梁平·期末）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，______； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，①若，求的大小；②求的大小（用的式子表示）：③如图3，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，可能为吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③不可能为，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的等腰，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据平行得到，再由即可求解； （2）①根据平行线的性质得到，据此可得答案； ②过点作，则，则，再由即可求解； ③过点作，则，那么，，则，由角平分线的定义可得，再相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴，即； ②过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ③不可能为，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵与的角平分线相交于点H， ∴， ∴． ∴不可能为． 26．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，求的度数； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，的度数是否发生变化，若不变化，求出其值；若变化，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)不变，是 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线，角的和差计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行得到，再由即可求解； （2）过点作，则，则，再由即可求解； （3）过点作，则，那么，，则，由角平分线可得，再相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：不变，是，理由： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵与的角平分线相交于点H， ∴， ∴． 27．（24-25七年级下·广西玉林·期中）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①当点在直线的上方时，．②当点在直线与直线之间时，．③当点在直线的下方时， 【分析】（1）根据平行线的性质可知，结合，可求出的度数； （2）过点作，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可； （3）分三种情形：①如图3−1中，当点F在直线的上方时，②当点F在直线与直线之间时，．③当点F在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ，     ， ， ， 即． （2）解：，  理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作． ，， ， ，， ， ． ②当点在直线与直线之间时，． ③当点在直线的下方时，过点作． ，， ， ，， ， ． 综上所述，①当点在直线的上方时，． ②当点在直线与直线之间时，． ③当点在直线的下方时， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角的和差计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 28．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点P在点E的右侧，，，设（）． 　　　　 　　　　 (1)填空：______°； (2)若的平分线交直线于点H，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行逆时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当t为何值时，？ 【答案】(1) (2)①；②6或或． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）①， ， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵的平分线交直线于点H， ， ∵ ∴ 即 ②∵射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动． ∴ 设旋转后射线变为，变为，则即为，分三种情况： 当在下方时，， ∴， ∵， ∴，即， 解得； 如图，当在直线的上方时， 由旋转可知，，， ∵ ∴ ∴ 解得； 当在直线的下方时， 由旋转可知，，， ∵ ∴ ∴ 解得； 故答案为：6或或． 29．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，直线分别交，于点，，直角三角板如图放置，，直线. (1)求的度数. (2)将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，得到三角板，旋转的时间为秒. ①当三角板的一边与直线平行时，求的值； ②三角板绕点旋转的同时，直线绕点以每秒的速度逆时针旋转到，若，求的值. 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）设与交于点，根据平行线的性质，即可求解； （2）①根据，只有一种情形，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②，根据，或建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设与交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ （2）解：①如图1，， 只有一种情形， 则'， ， 。 ②如图2，此时。， ， ， 。 如图3，此时 ， ， 。 综上，若，则的值为或。 30．（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学 （1）如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． （2）如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为．在旋转的过程中，为何值时． 【答案】（1）①；；②，理由见解析；（2）①，理由见解析；②为3秒或21秒 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、垂直的定义，仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系是解答本题的关键． （1）①根据角的和差关系即可求解；②根据角的和差关系即可得出结论； （2）①根据角的和差关系即可得出结论；②由得到，再分在的上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）①若，则， ∴； 若，则， ∴； 故答案为：；； ②，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． （2）①，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即； ②∵， ∴， 当在上方时， 旋转角度为， ∴（秒）； 当在下方时， 旋转角度为， ∴（秒）； ∴综上所述，为3秒或21秒时． 题型五 平行线 + 折叠问题 31．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握翻折变换，平行线的性质是解题的关键．由折叠的性质可得，由平行线的性质可求，再由折叠性质可得，再由平行线的性质可得 ，最后即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠性质可得：， ， 由题意得：， ， ， 由折叠性质可得：， ， ， 由题意得：， ， 故选：D 32．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为_______． 【答案】/24度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，图2，根据折叠结合平行线的性质，得到，进而求出的度数，图3中，进行求解即可． 【详解】解：在图2中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在图3中，． 故答案为：． 33．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质， 据题意可知，根据折叠得，可得，再根据平行线的性质和折叠的性质得，接下来求出，然后根据“两直线平行同旁内角互补”得，则答案可得． 【详解】解：根据题意可知，根据折叠得. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 34．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【答案】 ； 张华的说法正确，理由见解析； 在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线判定及性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是根据折叠的性质和平行线的性质找角之间的关系，根据角之间的关系列方程求解． 根据折叠的性质可知； 根据折叠的性质可知、，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行可得张华的说法正确； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动，所以当灯转动秒时，灯转动了秒，根据灯转动的速度和时间可知在灯射线第一次到达之前； 根据灯和灯转动的速度可知：在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，根据灯转动的速度可知灯从转到需要的时间是秒，所以应分三种情况讨论两灯光束平行：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时． 【详解】解：根据折叠的性质可知， 故答案为：； 张华的说法正确， 证明：根据折叠的性质可知， 由可知， ， ； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动， 当灯转动秒时，灯转动了秒， 在灯P射线第一次到达之前，， 故答案为：； 解：灯的射线从转到需要的时间是秒， 在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒， 灯的射线转动的速度是每秒， 灯从转到需要的时间是秒， 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ∴ ， 解得：； 综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 35．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）折叠推出，进而得到，即可得出结论； （2）作，得到，推出，即可得出结果； （3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知： 又∵ ∴ 同理，， ∴， ∴； （2）作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； （3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴； 综上：或． 36．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 题型六 证明探究类压轴 37．（24-25七年级下·江西宜春·期末）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： 探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由． 探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点作，首先得到，设，可得，由于，可证，然后可求的度数； （3）过点作，设，则，可得，设，得到，则，然后，由于平行的可得，最后求得，代入求解即可． 【详解】（1），   理由如下：过点作，如图①， ， ，， ， ．   （2）过点作，如图②所示： 平分，， ， 平分， 设， 由（1）得：， ， 即， ，， ， ，， ， ；    （3）过点作，如图③所示： ， 设，则， ， 由对顶角相等得：， 设， ， ， ， 由（1）得：， ， 即， ，， ， ，， ， ， ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 38．（24-25七年级下·广东佛山·期中）添加辅助线在解决平行线相关问题时，起到了桥梁作用，它能够帮助我们构建新的几何关系，揭示隐藏的角度、线段或平行性，从而简化复杂问题，引导我们找到解决问题的关键路径．我们常见的辅助线添加方法有：构造与已知平行线平行的新线，利用平行线性质得出新的关系；又或者延长线段至相交，形成新的三角形，便于应用学过的定理．请利用辅助线完成以下问题的探究： (1)【探究1】如图所示，，与相交于点，是的平分线． 若，，则_________． 若，，求． (2)【探究2】已知：，试求的度数． (3)【探究3】利用探究1、探究2的结论，解答下面的问题： 如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，求．（用含有、的代数式表示）． 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】（1）作，则，由平行线的性质可得，，再由对顶角的性质、角平分线的定义即可求解； （2）作，，，先根据证明，再由证明，由证明，进而可证，再由得出即可求解； （3）作，，，则，根据平行线的性质证明，，，进而可证，由角平分线的定义可得，，进而可得，，再由，，可得，即． 【详解】（1）解：如图，作， ，， ， ，， ， ， ， ， 是的平分线， ， 故答案为：； 如图，同作， ，， ， ，， ， ， ， ， 是的平分线， ； （2）解：如图，作，，， ， ， ，， ， ， ； ， ，， ， 同理， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，添加辅助线构造平行线是解题的关键． 39．（23-24七年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题情境】数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交于点E 【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1，若，则______； （2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图2时，若，求的度数； 【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数（用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可） 【答案】（1）；（2）；（3）或或. 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的计算； （1）根据平行线的性质、对顶角相等以及三角形内角和定理求解即可； （2）过作，根据平行的性质，依次求出，，，即可； （3）根据的大小分类讨论，过作的平行线，根据平行线的性质求出即可． 【详解】（1）解： 和交于点， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴ （3）或或. 当点在上方时 ①当时，如图，延长交于，过点作. ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ②当时，如图，延长交于，过点作. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在下方时 ③如图，延长交于，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ 40．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质和判定填空作答即可． （2）因为平分，平分，所以，，根据（1）的，，进行角的等量代换，即可作答． （3）先根据平分，平分，所以，，因为，得，再结合以及（1）的结论进行角的等量代换，即可作答． 【解答】（1）证明：过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，平行于同一直线的两直线平行，； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴由（1）可得，， ∴； ∴的度数为． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴由（1）可得． ∴ ． ∴， ∴． 41．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系． 【准备材料】如图，①三角尺中，，； ②三角尺中，，，． 【活动前提】已知：直线． 【活动一】 （1）“飞腾小组”选择三角尺按图1放置，当恰好平分时，则的度数是 ． 【活动二】 （2）“卓越小组”选择三角尺，三角尺按图2放置，点E、C、F、A在同一条直线上，则的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由； 【活动三】 （3）“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺固定不动，三角尺中的点A位置不动，重新摆放三角尺． 摆放方法①：当线段所在直线与线段所在直线垂直时，请求出的度数． 摆放方法②：当线段与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）摆放方法①：或；摆放方法②：或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质得到的度数，据此可得答案； （2）过点E作，则，由平行线的性质得到，据此求出的度数即可得到答案； （3）摆放方法①：如图3所示，当时，延长交于点H，由平行线的性质可得；可证明，得到，则；如图3-1所示，当时，延长交于点H，证明，根据平行线的性质可求出，则； 摆放方法②：当，即时，由摆放方法①可知，此时的度数为或；如图3-2所示，当时，过点A作，延长交于点H，由平行线的性质可得，则；如图3-3所示，当时，过点A作，延长交于点H，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）摆放方法①：如图3所示，当时，延长交于点H， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， ∴； 如图3-1所示，当时，延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； 摆放方法②：当，即时，由摆放方法①可知，此时的度数为或； 如图3-2所示，当时，过点A作，延长交于点H， 则， ∴， ∴； 如图3-3所示，当时，过点A作，延长交于点H， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 42．（24-25七年级下·四川广元·期末）某校艺术舞台两侧（）有两台氛围射灯和，它们发出的光束分别从、方向开始，分别以秒、秒的速度在同一平面内逆时针旋转，分别到达、方向后立刻回转，并不断往返．将无人机拍摄到的画面抽象出如图、图的几何图形，若、满足，探究下列问题： (1)填空：________，________； (2)在图中，若灯先转动秒，灯才开始转动，在灯发出的光束到达之前，设灯转动时间为秒，求当为何值时，两灯的光束互相平行？ (3)在图中，连接，测得，若两灯同时转动，在灯发出的光束到达之前，两灯射出的光束交于点，过作交于点，且，探究与有怎样的数量关系？ 【答案】(1)，； (2)秒或秒； (3)． 【分析】根据绝对值的非负性和平方的非负性，可得关于、的方程组，解方程组即可求出、的值； 由可知灯每秒转，灯每秒转，从而可知灯从转到需要秒，灯从转到需要秒，又因为灯先旋转了秒，还剩下秒，所以灯从转到又从往回旋转了秒，所以要分灯还未到达时和当灯旋转到后又返回时两种情况讨论； 过点作，设两灯旋转的时间是秒，则，，根据平行线的性质可知，根据，可得：，又因为，可得，从而可得． 【详解】（1）解： ， 整理得：， 解得：， 故答案为：，； （2）解：由可知灯每秒转，灯每秒转， 灯从转到需要秒， 灯从转到需要秒， 灯先旋转了秒，还剩下秒， ， 灯从转到时，灯从转到后又从回转了秒， 如下图所示，灯还未到达时， ， ， ， ， ， 当灯旋转秒时，灯旋转了秒， 此时，， ， 解得：； 如下图所示，当灯旋转到后又返回时， 此时，， ， ， ， ， ， ， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：设两灯旋转的时间是秒， 则，， 如下图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、绝对值的定义、平方的定义、二元一次方程组的解法，解决本题的关键是根据平行线的性质探究角之间的关系． 43．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线 ，直线分别交，于点，，，中，，点 在直线上，点在 ，构成区域内且点始终在 的右下方，点在直线上且始终在直线右侧， ，的平分线交直线于点． (1) 用含的式子表示； (2)如图1，若点E在直线右侧， ，求的度数； (3)当时，若射线交直线于点，试探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，则，根据 ，，得出，根据平行线的性质得出，则，即可求解； （2）根据题意得出，根据角平分线的定义可得，又，，则，解方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，当在之间时，当在的下方时，分别画出图形，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出和之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵中，， ∴ ∴ ∴ ∵的平分线交直线于点 ∴ ∵ ， ∴ 又∵ ，， ∴ ∴ 解得： （3）解：如图，当在之间时， 由（2）可得 ∵的平分线交直线于点 ∴ 过点作 ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 当在的下方时，如图 同理可得 ∴ 综上所述，或 44．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 【分析】（1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解； （2）①过点P作，过点M作，设，，可得，，然后根据角的和差关系即可求证； ②当点P在线段上时，过点P作，而，则，通过平行线的性质即可建立方程进行求解；当点P在线段延长线上时，过点P作，设，通过平行线的性质和角平分线的意义可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：过点P作． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，证明如下： 设，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 过点P作，过点M作， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，过点P作，而，则， 设，设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在线段延长线上时， 过点P作，则，设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上：的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键． 45．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 (4) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理（1）可得，，则； ∴； （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； （4）由题意作图，如图4，由，设，，，，则，，，，则，即；，即；由（2）可知，，如图4，过作，过作，则，同理（1）可得，，，同理，，由，可得． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：由题意作图，如图4， ∵， ∴设，，，，则，，，， ∴，即； ∴，即； 由（2）可知，， 如图4，过作，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴． 1．小明同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，，则______； (2)如图②，已知，平分平分所在直线交于点． ①若，求的度数； ②将图②中的点移到点的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）①过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； ②设，，则由题意得，，过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． （2）解：①过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； ②设，，则由题意得，， 过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ∴， 解得， ． 2．（1）如图1，，点在，之间，连接，．易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点作． 小菲：如图3，延长AP交于点． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，，分别是射线，上一点，是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：． （3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点，与相交于点，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）小强的方法：先证，根据平行线的性质得，，据此即可得出结论；小菲的方法：先由，得，再根据三角形的外角定理，得，据此即可得出结论； （2）先根据三角形的外角定理得，再根据，得，然后根据平行线的判定可得出结论； （3）设，则，进而可得，根据在（2）的条件下，，得，由此解出，设，则，再根据得，，进而得，然后根据在（2）的条件下，得，则，由此得，据此求出即可得到的度数． 【详解】（1）解：小强的证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 小菲的证明如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即； （2）证明：∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， 设， ∴， ∴， 在（2）的条件下，知， ∴， ∴， 解得， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 3．灯光秀是广州珠江夜游的靓丽风景线，假定河两岸，桥，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯O转动的速度分别是1度/秒、3度/秒． (1)若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点 ①如图1，若，则需要______秒； ②如图2，在射线线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由； (2)若灯A射线先转动30秒后，灯O射线才开始转动，在灯A射线第一次到达之前，求灯O射线转动多少秒，两灯的光束互相平行． 【答案】(1)①45；②， (2)15或秒 【分析】本题主要考查了角的计算以及平行线的性质，正确的用运动时间表示角的大小是本题解题的关键． （1）先计算t的取值范围， ①确定的次数，用t表示出和，根据两角互余求出t值即可； ②延长交于M，延长交于N，用t表示出和，用k和t表示出，根据与t无关，求出k值以及的度数； （2）先确定t的取值范围，确定开始开始运动时的位置，然后根据平行线的性质，依次判断当两射线平行时的t值． 【详解】（1）解：当灯O射线第一次到达时，秒， ， ①当灯O射线到达时，， 当，C在右侧，且只有一种情况， 运动过程中，，， ， ，， ，， ， 即， 解得：； 故答案为：45； ②延长交于N，如图： ，， ， ， ， ， 为定值， ， ，； （2）当开始运动时，， 设运动了a秒，灯A射线第一次到达时，， 设灯A射线为，灯O射线为， 当时，在右侧，如图： ， ， ， ， 即， 解得：； 当时，在左侧，如图： ， ， ， 即， 解得：； 当时，在左侧，如图， 同理可得，， 即， 解得：，不符合题意； 综上所述，灯O射线转动15或秒，两灯的光束互相平行． 4．如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上，过顶点作直线．作直线，分别交直线，于点，． (1)如图1，求的度数为_____°； (2)如图2，将直角三角板绕顶点逆时针旋转，旋转角为，且．在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点的运动位置发生变化． ①当点在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，直接写出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见解析 ②或 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）直接利用平行线的性质即可求解； （2）①利用三角板可知，则，由平行性质得出，再利用平角即可求解； ②分情况讨论：当时；当时；当时；三种情况分别得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①，理由如下： ∵直角三角板中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故； ②当时，如图所示， ∵， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， 由（2）①可知， ∴， 解得：， 即； 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴； 当时，（舍）， 综上，或． 5．如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H，． ①若过点D作于点E，且与互余，求的度数； ②若在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的值为或2 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义以及角的和差，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行线性质可得，由角平分线的性质可得，进而可得结论； （2）设，进而可得，，，再由和角平分线得到，再由同角的余角相等得到，即可得，求出的值进而可求出的度数； （3）分类讨论，当点在线段上或延长线上，画出示意图，过作平行线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：①如图1，设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得， 又， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ②由①得， ∴， 过点作，则， 当点在线段上时，如图2， 由①得，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图3， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或2． 6．问题情境：如图1，，求度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为__________度； (2)问题迁移： 如图2，，点P在射线上运动，记，当点P在B、D两点之间运动时，与，之间存在怎样的数量关系？请说明理由． (3)问题解决： 图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若恰好经过点G，且．若，，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质和判定及平行公理推论的应用，通过作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）过点作，通过平行线性质求即可； （2）过点作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）过点作，则，，得，再结合进行整理，即可得出结论； 【详解】（1）解：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解：． 理由：如图，过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即的度数为． 7．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)在图1中， ； (2)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为/秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立； (3)如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键． （1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）如图1，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论； （3）设旋转的时间为秒，由题知，，根据周角得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图1，此时，成立， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵转速为秒， ∴旋转时间为秒； 如图2，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角板绕点逆时针旋转的角度为， ∵转速为秒， ∴旋转时间为秒， 综上所述，当旋转时间为或秒时，成立； （3）解：设旋转的时间为t秒，由题知，， ∴， ∴ ， 当，即， 解得：， ∴当，旋转的时间是秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行线的压轴题（6大压轴题型） 题型1 拐点铅笔模型 题型4 平行线 + 三角板旋转 题型2 多拐点锯齿模型 题型5 平行线 + 折叠问题 题型3 平行线 + 角平分线综合 题型6 证明探究类压轴 题型一 拐点铅笔模型 1．（21-22七年级下·山东泰安·期中）小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究和、的数量关系． (1)当点分别在如图1、图2和图3所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的和、的数量关系：图①中：______；图②中：______，图③中：_______． (2)请将结论③加以证明． (3)运用上面的结论解决问题：如图4，，平分，平分，，的度数是______．（直接写出结果，不用写计算过程） 2．（24-25七年级下·山东烟台·期末）（1）如图1直线，试探究、、之间的数量关系． （2）如图2，直线，点A在直线l上，P是直线l上一动点，，当时，求的度数． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图， ，点E是线段，所在直线外的一点，连接，，探究，，之间的数量关系． 在课堂上，小明画出了图1，图2，经过分析与推理，他得到图1存在结论： 根据以上材料，请回答以下问题： (1)在图1中， 证明： (2)如图2，假设点E在直线上方的图形，请探究 之间的数量关系． 4．（24-25七年级下·河南许昌·期中）两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．已知直线为平面内一点，连接． 【问题情境】 （1）如图1，已知，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求． 按照小明的思路，易求得的度数为___________； 【类比探究】 （2）如图2，设，猜想之间的数量关系，并给出证明； 【应用拓展】 （3）如图3，平分交于点，请直接写出的度数． 5．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）（1）【探究发现】如图1，，过点F作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 ， °； （2）【结论运用】如图2，，点M是和平分线的交点．求证：； （3）【横向迁移】如图3，，平分，平分，且，．求的度数． 题型二 多拐点锯齿模型 6．（23-24七年级下·江苏南通·月考）如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江西九江·期中）如图，直线，，，则的度数是________________． 8．（24-25七年级下·山西运城·期中）滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要．如图①，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态．图②是其示意图，已知，则当时，上身与水平线夹角的度数为____． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，，，和交于点Q，与的角平分线相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题】 （1）如图1，，试探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （2）将图1变为图2、图3（其中不变），请你直接写出相应的结论： 图2：________；图3：________； 【应用】 （3）如图4，运用上面的结论解决问题：，BE平分，DE平分，，求的度数． 题型三 平行线 + 角平分线综合 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线，被直线所截，交点分别是，．已知，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，按此规律依次进行，则的度数是 A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，，点E在的上方，G，F分别为，上的点，，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M．下列结论： ①；②；③；④若，则．其中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 14．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　） A．76° B．78° C．80° D．82° 15．（24-25七年级下·四川成都·月考）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 16．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知，直线，点E．F分别在直线上，点H是直线与外一点，连接． (1)如图（1）， 若，，求的度数； (2)如图（2），的角平分线的反向延长线交的角平分线于点N，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3）， 若，，， 点P．H．Q在同一直线上，直接写出的值（用含n的式子表示）． 17．（24-25七年级下·重庆·期中）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1．，，，则______； (2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明． (3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明． 18．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 19．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当时，求的度数； (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P落在直线的下方，与的角平分线相交于点K，与有何数量关系?请说明理由． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，，． (1)如果，求的度数； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 题型四 平行线 + 三角板旋转 21．（2023七年级下·浙江·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，， (1)若三角板如图1摆放时，则______，______ (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒,请求出符合条件t的值． 22．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 23．（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图，直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上． (1)如图1，当平分时，求的值； (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为t秒． ①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当边时的值． 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 25．（24-25七年级下·重庆梁平·期末）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，______； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，①若，求的大小；②求的大小（用的式子表示）：③如图3，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，可能为吗？请说明理由． 26．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，求的度数； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，的度数是否发生变化，若不变化，求出其值；若变化，用含的式子表示． 27．（24-25七年级下·广西玉林·期中）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 28．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点P在点E的右侧，，，设（）． 　　　　 　　　　 (1)填空：______°； (2)若的平分线交直线于点H，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行逆时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当t为何值时，？ 29．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，直线分别交，于点，，直角三角板如图放置，，直线. (1)求的度数. (2)将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，得到三角板，旋转的时间为秒. ①当三角板的一边与直线平行时，求的值； ②三角板绕点旋转的同时，直线绕点以每秒的速度逆时针旋转到，若，求的值. 30．（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学 （1）如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． （2）如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为．在旋转的过程中，为何值时． 题型五 平行线 + 折叠问题 31．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为_______． 33．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值______． 34．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 35．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 36．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 题型六 证明探究类压轴 37．（24-25七年级下·江西宜春·期末）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： 探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由． 探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 38．（24-25七年级下·广东佛山·期中）添加辅助线在解决平行线相关问题时，起到了桥梁作用，它能够帮助我们构建新的几何关系，揭示隐藏的角度、线段或平行性，从而简化复杂问题，引导我们找到解决问题的关键路径．我们常见的辅助线添加方法有：构造与已知平行线平行的新线，利用平行线性质得出新的关系；又或者延长线段至相交，形成新的三角形，便于应用学过的定理．请利用辅助线完成以下问题的探究： (1)【探究1】如图所示，，与相交于点，是的平分线． 若，，则_________． 若，，求． (2)【探究2】已知：，试求的度数． (3)【探究3】利用探究1、探究2的结论，解答下面的问题： 如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，求．（用含有、的代数式表示）． 39．（23-24七年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题情境】数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交于点E 【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1，若，则______； （2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图2时，若，求的度数； 【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数（用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可） 40．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 41．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系． 【准备材料】如图，①三角尺中，，； ②三角尺中，，，． 【活动前提】已知：直线． 【活动一】 （1）“飞腾小组”选择三角尺按图1放置，当恰好平分时，则的度数是 ． 【活动二】 （2）“卓越小组”选择三角尺，三角尺按图2放置，点E、C、F、A在同一条直线上，则的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由； 【活动三】 （3）“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺固定不动，三角尺中的点A位置不动，重新摆放三角尺． 摆放方法①：当线段所在直线与线段所在直线垂直时，请求出的度数． 摆放方法②：当线段与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数． 42．（24-25七年级下·四川广元·期末）某校艺术舞台两侧（）有两台氛围射灯和，它们发出的光束分别从、方向开始，分别以秒、秒的速度在同一平面内逆时针旋转，分别到达、方向后立刻回转，并不断往返．将无人机拍摄到的画面抽象出如图、图的几何图形，若、满足，探究下列问题： (1)填空：________，________； (2)在图中，若灯先转动秒，灯才开始转动，在灯发出的光束到达之前，设灯转动时间为秒，求当为何值时，两灯的光束互相平行？ (3)在图中，连接，测得，若两灯同时转动，在灯发出的光束到达之前，两灯射出的光束交于点，过作交于点，且，探究与有怎样的数量关系？ 43．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线 ，直线分别交，于点，，，中，，点 在直线上，点在 ，构成区域内且点始终在 的右下方，点在直线上且始终在直线右侧， ，的平分线交直线于点． (1) 用含的式子表示； (2)如图1，若点E在直线右侧， ，求的度数； (3)当时，若射线交直线于点，试探究和之间的数量关系． 44．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 45．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 1．小明同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，，则______； (2)如图②，已知，平分平分所在直线交于点． ①若，求的度数； ②将图②中的点移到点的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，请直接写出的度数． 2．（1）如图1，，点在，之间，连接，．易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点作． 小菲：如图3，延长AP交于点． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，，分别是射线，上一点，是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：． （3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点，与相交于点，若，，，求的度数． 3．灯光秀是广州珠江夜游的靓丽风景线，假定河两岸，桥，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯O转动的速度分别是1度/秒、3度/秒． (1)若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点 ①如图1，若，则需要______秒； ②如图2，在射线线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由； (2)若灯A射线先转动30秒后，灯O射线才开始转动，在灯A射线第一次到达之前，求灯O射线转动多少秒，两灯的光束互相平行． 4．如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上，过顶点作直线．作直线，分别交直线，于点，． (1)如图1，求的度数为_____°； (2)如图2，将直角三角板绕顶点逆时针旋转，旋转角为，且．在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点的运动位置发生变化． ①当点在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，直接写出旋转角的度数． 5．如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H，． ①若过点D作于点E，且与互余，求的度数； ②若在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值． 6．问题情境：如图1，，求度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为__________度； (2)问题迁移： 如图2，，点P在射线上运动，记，当点P在B、D两点之间运动时，与，之间存在怎样的数量关系？请说明理由． (3)问题解决： 图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若恰好经过点G，且．若，，求的度数． 7．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)在图1中， ； (2)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为/秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立； (3)如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $