精品解析：甘肃白银市靖远县第四中学2025-2026学年高一下学期4月数学质量检测试题

2026年4月高一数学质量检测试题 一、单选题（每小题5分） 1. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 2. 某中学高一年级有600人，高二年级有500人．若按分层随机抽样方法得到一个样本容量为30的样本，其中高二年级抽取10人，则该中学高三年级的人数为（ ） A. 400 B. 600 C. 500 D. 300 3. 某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（ ） A 20 B. 30 C. 50 D. 60 4. 已知一组数据，，，…，的标准差为2，将这组数据，，，…，中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 5. 在矩形中，，，，点F在边上.若，则（ ） A B. C. D. 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是的重心，若，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 8. 已知､是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中､，则的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题（每小题6分全选对得6部分选对的的部分分有选错的得0分） 9. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有一解 C. ，，，无解 D. ，，，有一解 10. 已知样本数据，则（ ） A. 极差20 B. 平均数为103 C. 方差为50 D. 分位数为97.5 11. 下列向量运算正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分） 12. 已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数____． 13. 已知向量，若，则______． 14. 若向量满足，则______. 四、解答题（37分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 16 （1）已知，，，求证：三点共线． （2）已知向量，，，若向量与向量共线，求． 17. 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： （1）这50名学生成绩的众数与中位数； （2）这50名学生平均成绩． 18. 已知平面向量，，，且， （1）求在方向上的投影向量； （2）求与的夹角. 19. 如图所示，在中，M是的中点，且，与相交于点E，设，，，试求x，y的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年4月高一数学质量检测试题 一、单选题（每小题5分） 1. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】由，， 所以. 故选：A. 2. 某中学高一年级有600人，高二年级有500人．若按分层随机抽样方法得到一个样本容量为30的样本，其中高二年级抽取10人，则该中学高三年级的人数为（ ） A. 400 B. 600 C. 500 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】利用分层随机抽样的特点进行求解. 【详解】设该中学高三年级的人数为， 则， 解得. 故选：A. 3. 某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（ ） A. 20 B. 30 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据频数、频率及样本容量的关系即可求得答案． 【详解】根据直方图可得用水量小于1.5立方米的用户数为． 故答案为：C． 4. 已知一组数据，，，…，的标准差为2，将这组数据，，，…，中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数据的均值、方差的线性运算直接求得. 【详解】因为数据，，，…，的标准差为2，所以方差为4． 由题意知，得到的新数据为，，，…，， 这组新数据的方差为，标准差为6． 故选：C 5. 在矩形中，，，，点F在边上.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点F在边上，可设，.根据可求得的值，用和表示出和，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】 ∵点F在边上，∴设，. ∵，∴，∴. ∵，∴. 故选：B. 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，，然后根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：. 7. 已知点是的重心，若，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】 设是的中点，则. 所以. 因为，所以， 因此. 8. 已知､是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中､，则的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案. 【详解】解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系， 设， 可得，，， 由，，得， ，，， ， ，， 当时，最大值为2，此时为弧的中点. 所以最大值是2. 故选：B. 二、多选题（每小题6分全选对得6部分选对的的部分分有选错的得0分） 9. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（ ） A. ，，，有两解 B. ，，，有一解 C. ，，，无解 D. ，，，有一解 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合各选项的条件逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 10. 已知样本数据，则（ ） A. 极差为20 B. 平均数为103 C. 方差为50 D. 分位数为97.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一组数据的极差，平均数，方差，百分位数的定义依次求解即得. 【详解】由题意可得样本数据的极差为，故A正确； 平均数为，故B错误； 方差为，故C正确； 将样本数据从小到大排列为，因为， 所以分位数为97.5，故D正确. 故选:ACD. 11. 下列向量运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分） 12. 已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数____． 【答案】 【解析】 【详解】依题意可知是非零向量， 因为，所以存在实数使得， 即， 而是两个不共线的向量， 所以，解得. 13. 已知向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以有. 14. 若向量满足，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】将左右同时平方，展开整理，即可得答案. 【详解】由题意， 解得. 四、解答题（37分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【小问1详解】 原式． 【小问2详解】 原式． 【小问3详解】 原式． 16. （1）已知，，，求证：三点共线． （2）已知向量，，，若向量与向量共线，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）证法一：利用直线的斜率公式计算进行证明；证法二：利用已知点构造向量，利用向量共线的条件验证证明； （2）利用向量共线的条件列出方程组，进而求解. 【详解】（1）证法一： 斜率 ， 斜率 ， 由于 ，三点  共线. 证法二： ， ， 因此  和  共线，所以点 、、 三点共线. （2）向量  ， 与  共线，需满足比例关系：， 交叉相乘得：， 解得：. 17. 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： （1）这50名学生成绩的众数与中位数； （2）这50名学生的平均成绩． 【答案】（1）众数75，中位数. （2）76.2 【解析】 【分析】（1）运用众数概念，中位数概念求解， （2）根据平均值计算方法求解 【小问1详解】 由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为． 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等， 即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等． 因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求． 因为， 所以前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为，， 所以中位数应位于第四个小矩形内． 设中位数为x，， 解得， 故中位数应约为． 【小问2详解】 样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值， 取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可． 所以平均成绩为 ． 18. 已知平面向量，，，且， （1）求在方向上的投影向量； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示及投影向量的定义可得； （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角. 【小问1详解】 ，，解得. . ，， . ， . 所以在方向上的投影向量为． 【小问2详解】 由（1）知，，， ，，. 设，的夹角为，则：. ， 即向量与向量夹角为． 19. 如图所示，在中，M是的中点，且，与相交于点E，设，，，试求x，y的值． 【答案】， 【解析】 【分析】由，，三点共线可得，故存在实数使，由，，三点共线可得，存在实数使，由平面向量基本定理列方程求，由此可得结论. 【详解】由题意得，， 由，，三点共线可知，存在实数使． 由，，三点共线可知，存在实数使． 所以， 由于，不共线，所以 解得，，所以． 所以，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $