21.2.3 三角形的中位线 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第21章 平行四边形 21.2.3 三角形的中位线 预习检测 1.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点. 以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形?为什么它们是平行四边形? 2.如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，且F、G分别是OB、OC的中点. 求证：四边形DEFG是平行四边形. 例3. (课本P66 T6)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、 G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 判断并说明： OB=2OD OC=2OE 3. 四边形ABCD中，AB=2CD=6且AB⊥CD，点E、 F、G分别是BC、BD、AC的中点. (1)判断并证明△EFG的是否是Rt△. (2)求FG的长. 4.1：如图，Rt△ABC中，AE=4，BD=6，M、N分别 为AD、BE中点，则MN= 4.2：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=50°， ∠BCD=40°，E、F分别为BD、AC中点，若AB=8， CD=12，则EF= 4.3：如图，BC⊥AD，M、N分别为AB、DE的中点， 若BE=10，AD=24，则MN= (用两种方法解答) Q为AE中点 QM=5 QN=12 MN=13 5. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB=10，BC=8，则EF= 6. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的点，且AE=2BE，BF=2CF，连接CE、DF，G、H分别是CE、DF的中点，连接GH，若AB=6，BC=9，则GH的长为 . 连接CH并延长交AD于点K，可知 DK=FC=3⇒AK=6 在Rt△AEK中AE=4⇒EK=2 GH是△CEK的中位线⇒GH= 7. 如图，已知∠AED=∠ACB=90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，连接CE，点F、G分别是BD、CE的中点，则FG的长为 . 连接DG并延长交AC于点H，连接BH △DEG≅△HCG⇒CH=DE=1 且DG=HG⇒FG是△DBH的中位线 在Rt△BHC中，HB= ⇒FG= 学习目标 1、理解三角形中位线的定义． 2、掌握三角形中位线的性质． 3、能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的 证明和计算． 重点：掌握和运用三角形中位线的性质． 难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）． 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。 引入新知 三角形中位线的概念 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE. 则DE是△ABC的中位线. 中位线是线段 三角形有三条中位线 中位线的数学语言 ∵D、E是AB、AC的中点 ∴DE是△ABC的中位线 ∵DE是△ABC的中位线 ∴D、E是AB、AC的中点 讨论一下： 三角形的中位线和三角形中线的区别 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段. 三角形的中位线与中线有什么区别？ A B C 中点 D F 中点 A 中点 D B C D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE与BC的关系 猜想： DE∥BC ？ 思考 如图，DE是△ABC的中位线，DE 与 BC 有怎样的关系？ DE= BC （二）中位线的性质 探究新知 猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 问题3：如何证明你的猜想？ D E 方法一 已知，如图，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC， DE= BC D E 已知，如图，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC， DE= BC 方法二 符号语言： D E 中位线 第三边 三角形的中位线性质定理： 1、证明线段平行 2、 证明线段成倍分关系 作用： 归纳： F （中点） (中点)D E(中点) A B C 蛋糕的设计方案： 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。 问题解决： 三角形三条中位线围成的三角形的面积等于原三角形的面积的 思考：三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？ 例1如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分 别是AB、BC、CD、DA中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形． 当堂练习 例8. Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D、E分别是AB、BC边上的点，且AD=4，CE=3，连接DE，F、G分别是DE、AC的中点，连接FG. 则FG= . 中位线定理的应用 连接DC，取DC中点H，连接FH、GH⇒FG=5/2 例9. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AB=4，BC=8，点H、G分别是边CD、BC上的动点. 连接AH、HG，点E、F分别为AH、GH的中点，连接EF. 则EF的最小值= 中位线定理的应用 中位线定理的应用 例10. P是边长为4的正△ABC的边BC上的动点，连接AP，Q是AP中点，连接QB、QC，则BQ+CQ的最小值是 . 中位线定理的应用 例11. 如图(1)，AD∥BC，且E、F分别是AB、CD的中点 (1)判断EF与AD、BC的位置关系并证明.(至少提供两种证明方案) (2)判断EF与AD、BC的数量关系并证明. (3)如图(2)，∠C=∠D=90°，∠B=60°，AD=3cm，CD=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度. 中位线定理的应用 例11变化：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=10，E、F分 别是BD、AC中点，则EF= 中位线定理的应用 例12. 在等边△ABC中，D为BC中点，作等边△AEF，∠AEB=150°且DE∥CF 求证：EF= CF 延长BE、CF交于点G △ABE≅△ACF⇒CF=BE，且由∠ABE=∠ACF⇒∠G=60° ∠AEB=∠AFC=150°⇒EF⊥CG D是BC中点，且DE∥CF⇒EB=EG=CF 在△EFG中有EF=EG⇒EF= CF 例13. 如图，正方形ABCD的边长为 ，对角线AC、BD相交于点O，点E在CA延长线上，连接DE，F为DE的中点，若线段AF= ，则OE的长度为 . 中位线定理的应用 过点D作DG∥AF交CE于点G⇒AF是△DEG的中位线 DG=2AF= 在△DOG中可求OG=2⇒EG=2AG=8⇒OE=10 3.三角形中位线定理的应用:证明、计算. 2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 1.三角形中位线的定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 作用：一是证明平行问题；二是证明线段的倍分关系. C A B E D 课堂小结 再 见 $