正余弦定理 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ ( 思维导图 ) ( 常见 题型 ) 题型一 余弦定理 【例1】（1）已知在中，，，，则c等于（ ） A． B． C． D．5 （2）在锐角中，若，，，则（ ） A． B． C． D． 题型二 正弦定理 【例2】（1）在中，内角，，的对边分别为，，，，，， 则角为（ ） A．60° B．60°或120° C．45° D．45°或135° （2） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，b，c，已知，，， 则（ ） A． B． C． D． （3）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则 等于（　　） A． B． C． D．2 题型三 正余弦定理综合运用 【例3】（1）（射影定理）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB ＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）在中，角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A． B． C． D．或 （3）（判断三角形形状）在中，，，则一定是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ( 判断三角形解的个数的两种方法 ① 代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ② 几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． ) 题型四 三角形的面积公式 【例4】（1）在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积 . （2） 在中，，，，则的面积等于 。 ( 巩固精练 ) 1． 在中，内角对应的边分别为，若，，则边长 为（ ） A． B． C ． D．2 2．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，，则（ ） A．5 B． C ．29 D． 3．在中，若角，，，则角（ ） A． B． C．或 D．或 4．在中，，，，则角的值为（ ） A． B． C． D．或 5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等 于（ ） A． B． C．4 D． 6．在中，三边上的高依次为，，，则为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 7．设的内角，，所对边的长分别为，，，则下列命题正确的是（ ）． （1）若，则． （2）若，则． （3）若，则． （4）若，则． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4） 8． 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是 ，则 b=（ ） A．1+ B． C． D．2+ 9．已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则（ ） A． B． C． D． 10．在中，已知，，若的面积，则的外接圆直径为（ ） A． B．5 C． D． 11．（多选题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该 三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ） A．5 B． C． D．6 12．在三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中，，， 则边的长为______． 13．在中，若，则∠B的大小是_______. 14．在中，若，，，则__________． 15．已知的三个内角之比为，，那么最大边长等于__________. 16．中，边，，的对角分别是，，，若，则角 。 17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且， 则________. 18． 已知中， 分别为内角的对边，且acosB+bcosA=3ccosC,则 ______． 19．若的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为 ． 20．在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，，，那么 b等于________. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ ( 思维导图 ) ( 常见 题型 ) 题型一 余弦定理 【例1】（1）已知在中，，，，则c等于（ ） A． B． C． D．5 （2）在锐角中，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）A（2）D 【解析】（1）在中,,,,由余弦定理得, 所以.故选:A （2）因为为锐角三角形,由同角三角函数关系式可得 又因为,由余弦定理可得 代入可得 所以 故选:D 题型二 正弦定理 【例2】（1）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则 角为（ ） A．60° B．60°或120° C．45° D．45°或135° （2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，b，c，已知，，，则（ ） A． B． C． D． （3）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（　　） A． B． C． D．2 【答案】（1）B（2）B（3）D 【解析】（1）由正弦定理得得得， ，，得或，故选：B． （2）因为，所以为钝角，，为锐角． 由得，所以．故选：B． （3）A＝60°，a，由正弦定理可得，2， ∴b＝2sinB，c＝2sinC，则2．故选：D． 题型三 正余弦定理综合运用 【例3】（1）（射影定理）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由余弦定理得bcosC+ccosB＝+＝＝a＝3，故选：C. （2）在中，角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】因为，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得，又因为，所以，故选：B （3）（判断三角形形状）在中，，，则一定是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】中，，, 故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形.故答案为D. ( 判断三角形解的个数的两种方法 ① 代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ② 几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． ) 题型四 三角形的面积公式 【例4】（1）在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积 . （2） 在中，，，，则的面积等于 。 【答案】（1）（2） 【解析】（1）根据正弦定理可知， 所以，,， 所以是等腰三角形，且，.故答案为： （2）由及正弦定理得． 在中，由余弦定理得， 所以，解得，所以． 又，所以． ( 巩固精练 ) 1．在中，内角对应的边分别为，若，，则边长为（ ） A． B． C ． D．2 【答案】A 【解析】在中， ，，所以， 故选：A. 2．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，，则（ ） A．5 B． C ．29 D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得.故选：B 3．在中，若角，，，则角（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由正弦定理可得：，则， 因为，所以， 故或.故选：D． 4．在中，，，，则角的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由正弦定理可得，即，解得， 所以或，由得，所以，故选:C. 5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等于（ ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】，，，由正弦定理，可得． 故选：． 6．在中，三边上的高依次为，，，则为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 【答案】C 【解析】设的内角,,所对的边分别为,,,,,分别为边,,上的高. 因为,所以可设,,. 由余弦定理,得,则, 所以为钝角三角形,故选:C. 7．设的内角，，所对边的长分别为，，，则下列命题正确的是（ ）． （1）若，则． （2）若，则． （3）若，则． （4）若，则． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4） 【答案】B 【解析】（1），可以得出，所以，故正确； （2），得出，故错误； （3）假设，则，与矛盾，∴正确； （4）取，满足，，错误．故选：B 8．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是 ，则 b=（ ） A．1+ B． C． D．2+ 【答案】A 【解析】由已知，， 所以，解得．故选：A． 9．已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,所以，由 ，可得， 根据余弦定理，，所以 ，故选C. 10．在中，已知，，若的面积，则的外接圆直径为（ ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】，，，，得； 所以由余弦定理可得，则； 因此，由正弦定理可得，的外接圆直径为. 故选：C 11．（多选题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ） A．5 B． C． D．6 【答案】CD 【解析】①b＞csinB＝6．三角形有两解 ②当b＝3时，三角形有一解． ③当b＝6时，三角形为等腰直角三角形，有一解． ④当b＜3时，三角形无解，故选：CD． 12．在三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中，，，则边的长为______． 【答案】4 【解析】因为，，，所以， 故答案为：4 13．在中，若，则∠B的大小是_______. 【答案】 【解析】设，，，由余弦定理可得； ．故答案为：． 14．在中，若，，，则__________． 【答案】 【解析】因为在中，，，， 由正弦定理可得，所以.故答案为：. 15．已知的三个内角之比为，，那么最大边长等于__________. 【答案】3 【解析】因为的三个内角之比为，所以，，为最大边， 由正弦定理得，所以. 故答案为：3. 16．中，边，，的对角分别是，，，若，则角 。 【答案】或 【解析】在中，由正弦定理知则， 因为角是的内角，所以，所以角等于或．故选：D． 17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则________. 【答案】 【解析】，， ，，由于为三角形内角，可得．故答案为：． 18．已知中， 分别为内角的对边，且acosB+bcosA=3ccosC,则______． 【答案】 【解析】 ∴利用余弦定理可得 ，整理可得： ∴由余弦定理可得： 故答案为． 19．若的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为 ． 【答案】 【解析】设中，，，且， 由余弦定理可知, 又，由正弦定理可知外接圆直径为：故答案为： 20．在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，，，那么b等于________. 【答案】 【解析】，，，， 由余弦定理可得.故答案为：. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $