专题2.6 正余弦定理解三角形6大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题专题2.6正余弦定理解三角形（期末复习讲义) 内容导航 明期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01正余弦定理的边角互化 题型02正余孩定理的解三角形综合 题型03正弦定理判断三角形解的个数 题型O4正余弦定理判断三角形形状 题型05面积公式的应用 题型06正余孩定理的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明•期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 正余弦定 熟练根据已知条件选择定理（两边一对角、 高频必考题，考查基本运算和定理选 理解三角 两角一边用正弦；两边及夹角、三边用余 用，难度中档 形 弦)；能正确求解边角并验证解的存在性 判断三角 通过边角互化将条件转化为边的关系或角的 中等难度，常在选择题或填空题中出 形形状 关系；能判断等腰、直角、等边或钝角三角 现，需结合三角恒等变换，注意隐含 形：注意多种可能性的讨论 条件（内角和、大边对大角） 正弦定理 掌握已知两边及一边对角时，通过比较边长 易错考点，常以选择题形式出现，需 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 判断三角 与高的大小关系判断解的个数（一解、两解 理解几何意义（圆与射线交点），注 形解的个 或无解)；能结合几何图形理解 意分类讨论和角度的范围 数 边角互化 能熟练将边的关系转化为对应角的正弦关系 贯穿所有解三角形题目，是化归思想 (用正弦定理)，或将角的正弦化为边的比 的核心，需根据目标选择互化方向， 例：能识别齐次式结构并灵活互化 简化运算 面积公式 掌握用两边及其夹角求面积：能结合正余弦 高频考点，常与正余弦定理结合出现 的应用 定理求面积或利用面积建立方程求边角；注 在解答题中，需灵活选择公式，注意 意面积与周长、外接圆半径的综合 三角形存在性对面积范围的限制 正余弦定 能将实际问题（测量、航海、几何图形等） 应用类题型，注重数学建模，常在解 理的应用 抽象为解三角形模型；理解仰角、俯角、方 答题第二问或选择题中出现，需准确 向角等术语；能正确建立三角形并求解 转化实际条件为边角关系 记·必备知识 屋知识点01余弦定理 1、对三角形△ABC,角A对应的边为a,角B对应的边为b,角C对应的边为C 余弦定理公式：a2=b2+c2-2 bc cos A;b2=c2+a2-2 accosB:c2=a2+b2-2 abcosC. cos4 e 2bc 2ac e,cosC=a2+b2-c2 推论： 2ab 2、余弦定理适用范围 (1)已知两边及它们的夹角，求第三边，可用余弦定理a2=b2+c2-2 bc cos A求解 (2②)已知三边，求三角形的三个角：可用余弦定理cOsA-B+C2- -由于余弦函数在(0，π)上单调，所以 2bc 得到的角的大小是唯一的。 3、余弦定理与勾股定理的关系 将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若a+b2=c2,则∠C=90°（勾股定理逆定理）。 若a2+b2>c2,则∠C<90°（锐角）。 若a+b2<c2,则∠C>90°（钝角）。 4、三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bc0sC+CC0sB;b=aC0sC+CC0sA;c=bcos A+aC0sB 图知识点2正弦定理 1、正弦定理的表示 a b c 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,bc,则有sinA_sinB_sinC a R 若△ABC外接圆半径为R,则有sinA=sinB_sinC-2R 2、正弦定理常见变形： sin Aa sin Cc sin Bb ①sinB=b，sinA_a，sinC-c，asin B=-bsin,asin C-csin,bsin C=esin B: a a+b a十c b+c a+b+c sin 4=sin B=sin C=sin 4+sin B=sin 4+sin C=sin B+sin C_sin A+sin B+sin C. a:b:c-sin sin B:sin C: 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系 a>b台A>B台sinA>sinB台cosA<cosB 4、正弦定理适用范围 (1)己知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 (2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 (3)在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者s的齐次式，可以考虑 用正弦定理。 5、利用正弦定理讨论三角形解的个数 在△ABC中，已知a,b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若A为锐角时： 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b B a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b a≥b 无解 一解 两解 一解 若A为直角或者钝角时： a>b a≤b 一解 无解 ®知识点03三角形的面积公式 .SABC=bsin C-bcsin A=acsin B 2、SABC=-abc-a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径.） 4R2 ®知识点04正余弦定理的应用 1、仰角、俯角、方位角、视角、坡度 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角；方位角指从正北方 向顺时针转到目标方向的水平角；观察物体时，从物体两端（上、下或左、右）引出的光线在人眼光心处相交 所成的夹角叫视角坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫坡度（或坡比），用字母表示。 2、解三角形的常见题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等， 破·重难题型 趣型 正余弦定理的边角互化 解|题|技|巧 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 (2)利用余弦定理，化角为边。 【典例1】(25-26高一下江苏连云港期中)在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知 c2 a2+2 abcosC=3b2,则a2-b的值为 【典例2】(25-26高一下山东烟台期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a2-c2 3b=acosC-ccosA,则b2 ；tanB的最大值为 【变式1】(25-26高一下江苏盐城期中)在斜△ABC内，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 tan C tan C +=2026c2,tan 4*tan B 【变式2】（多选）(25-26高一下·重庆·期中)（多选）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a1+cosA a,b,c,若b=cosB, 则下列说法正确的是() A.60°<A<90 B.若b=2,c=3,则满足条件的△ABC有且仅有1个 V2+13+1 C. sinA+sinB的取值范围为2,2 1 1 D.3sinA- 354 tand tanB的取值范围为6 题型二 正余弦定理的解三角形综合 答|题|模|板 !1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式。余弦定理将 边与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角。 2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组。 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3、多解判断：已知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解。 【奥例1】(25-26高一下广东佛山期中)在△ABC中，C =2,D为BC边上一点，且 CD ∠BAD=2∠CAD,AB=3BD,则DB() 4 9 A.13 B.9 C.9 D.13 【典例2】(2026江苏扬州：三模)在△4BC中，D是线段BC上一点，且CD=2DB, ∠DAC= 2,则sinB 的最大值为 【变式1】(25-26高一下湖北荆州阶段检测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, cosC=V2cosB,。2+h-c2=5ab,若△MBC的面积为3 ,则= 3+V 【变式2】(2526高一下四川绵阳月考)如图所示，若∠4C8-受，∠48C-名，点D与B分别在直线 AC AD=DC=2 BD2 两侧，且 ,则的最大值为 B 题型三正弦定理判断三角形解的个数 答题模|板 在△ABC中，己知a,b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若A为锐角时：根据a与bsinA、b之间关系判断解的个数。 若A为钝角或直角时：根据a与b之间关系判断解的个数。 【典例1】(25-26高一下陕西咸阳期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足 a=9,sinB= 的△ABC有两解，则b的取值范围为() A.(6,9) B,[6,9) C.(912) D.[9,12) 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(25-26高一下河北唐山期中)（多选）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.根据以 下条件解三角形，恰有一解的是() A.a=36=4,A= 6 Ba=4:6=3,4=号 C.a=2,6=3,4= 3 D.a=2,b=2,4= 4 【变式1】(25-26高一下广东江门期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=k, b=4,A=30°，则使△ABC有两解的k的取值范围是 【变式2】(25-26高一下河南南阳期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2, 4,满足条件的△ABC有两个，则b可能为() 5 A.2 B. C.22 D.3 题型四正余弦定理判断三角形形状 答|题模|板 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式，尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函 数，尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： (1)出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 (2)若a+b2=c2,则∠C=90°（勾股定理逆定理）。 (3)若a+b2>c2,则∠C<90°（锐角）。 (4)若a+b2<c2,则∠C>90°（钝角）。 【典例1】(25-26高一下·四川资阳·期中)在△ABC中的角A,B,C的对应边分别为a,b,C,且 cos2Ba+c 2- 2c,则△4BC的形状为() A,等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.直角或等腰三角形 7/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(25-26高二下广东广州期中)△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,若 =a+b-c2 4 AB AB AC BC=0, 则 的形状是() △ABC A.顶角为120的等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.顶角为30°的等腰三角形 【变式1】(25-26高一下·山东济南阶段检测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是 a,b,c,2a=b,5sinA 2sinC △ABC ,则 的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定的 【变式2】(25-26高二全国暑假作业)（多选）（多选题）在△ABC中，已知a'tan B=b'tan A,则 △ABC的形状可能是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 题型五面积公式的应用 答|题|模|板 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用S,ABC=absinC=bcsin A-aesin B 2 !2、已知三边，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。 【典例1】(25-26高一下·天津南开期中)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 bsin A-√3 acos Acos C=√3ccos2A 则角A= :若0=2，则△1BC 面积的取值范围为 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(25-26高一下·安徽池州期中)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 7 V5(acosC+ecosA4)=2 bsinB,a+c=8,且AC边上的中线长为2，则△ABC的面积为（） 95 15w3 A.3V5 B.4v5 C.2 D.4 【变式1】(25-26高一下江苏·期中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知 asinB+bsinA=4asinBsinC c2-b2-a2=16 △ABC ,则 的面积为 〔变式2】2026河南开封模拟预测)在△4BC中，38=4+Csm(24B)=2√2 3,AC=6,则 tanAtanC= △ABC的面积为 巴题型六正余弦定理的应用 答|题模」板 正余弦定理的应用在测量高度、距离、角度问题上，构造三角形，应用解三角形的思想来求解。 【典例1】(25-26高一下·江苏淮安·期中)如图，为了测量河对岸的塔高AB,某测量队选取与塔底B在 同一水平面内且相距20米的两个测量基点C与D.现测量得∠BCD=30°，在点C,D处测得塔顶A的仰角 分别为45°，60°，若河宽至少12米，则塔高AB=米. 【典例2】(25-26高一下·重庆·期中)云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色.我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔 底O位于同一水平面上共线的A,B,C三处进行测量，如图2，已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在 B处测得塔顶P的仰角为45°，在C处测得塔顶P的仰角为60°，AB=BC=50米，则云外楼的高度OP= ( D B 图1 图2 A.18W5米B.186 米 C.252米 D.256米 【变式1】(25-26高一下·四川资阳·期中)数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直 接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔MN垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰 望塔顶M的仰角分别为∠MDE=30°，∠MCE=45°（如图），设乘客眼睛离地面的距离为DA=CB=lm, CD=90m D,C,E MN 若 在同-水平高度，且D,MC,W 在同一竖直平面内，则北塔高为() 塔 桥面 B A.(455-4)m B.(45V5+46)m c.(903-89)m D.(90W5+91）m 【变式2】（多选）(25-26高一下·福建厦门期中)（多选)某货轮在A处时，灯塔B位于货轮的北偏东 75,距离为126海里，灯塔C位于货轮的北偏西0，距离为°9 .12√6 30° 8W3 海里该货轮自A处向正北方向航行到 D 60° 处时，灯塔B位于货轮的南偏东0，则下列说法正确的是() A.D处在灯塔B的西偏北15 B.A处与D处之间的距离是24海里 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.灯塔C与D处之间的距离是 3 海里D.灯塔C在D处的西偏南60 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一下·贵州毕节期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bc=6, b2+c2=a2+6√2 则ABC 的面积为() 3v2 A.1 B.2 C.2 D.22 2.(2026·湖北二模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,△ABC的面积记为S,若 b cosA=cosB且4S=5(a2+b-c),则△4BC的形状为() A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形 D.钝角三角形 3.(25-26高一下·上海嘉定·月考)十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太 阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的 中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼 睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A、C在同一水平面上，并且眼晴恰好能观察到太阳，此时视线恰好 经过点D,DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD(称 为太阳高度角)，最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.在某次测量中，AE=40，横档的长度为 20,则此时的太阳高度角为°.（精确到1） 太阳 D 视线 B 眼睛 水平面 图1 图2 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高一下浙江杭州期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,C.若 a=20,b=11,B=30 ,则这样的三角形解的个数为() A.0 B.1 C.2 D.不确定 5.(25-26高一下宁夏银川期中)△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2-bc, v5 b=3.SAABc= 4，则其外接圆的半径为 期末重难突破练（测试时间：10分钟） AC=3 1.(25-26高一下·广东广州期中)在三角形ABC中，D为边BC上的一点，若AB=3, 2, cos∠BAC=V2 3 4, cos∠BAD= 4,则AD= 2.(25-26高一下广东珠海期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3, b=216 B=2A () A.3V2 B.5V2 C 3V6 D.6V6 3.(25-26高一上·上海杨浦期末)已知△1BC的三个内角4，B,C满 inC=sin2A+sin(A-B）,则 △ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 4.(25-26高一下·重庆期中)在△ABC中，a,b分别为内角A,B的对边，若 aian B+han4-tan dtan,则AABC的形状一定是（） a+b A.等腰三角形 B.直角三角形 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 5.(25-26高一下·安徽安庆期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3 bsin C, 则2+后的限大值等于 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(多选)(25-26高一下~陕西咸阳·期中)（多选）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, C,∠ACB的平分线与AB交于点D,CD=2,且 asin(ZACB-B)=(a+b)sin A ,则() 2元 A.∠ACB= 3 B.c≥8 C 4a+9b≥50 D.△AB 面积的最小值为45 2.(多选)(25-26高一下·重庆沙坪坝期中)（多选）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C 满足（女+-ce+B-a)0则以下叙述正确的是（） A.三角形ABC一定不是锐角三角形 B ABBC 一定为负值 C.者角c是饶角且g=26,则osC 3 D.若三角形ABC是直角三角形且A-2B,则B=子 4 3.(2026江苏苏州模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，,b,C,若 b2= 2sinB sin2A+2sin2C,则△4BC面积的最大值为() 2 ② 2 A.2 B.2 C.3 D.4 4.(25-26高一下河北石家庄期中)已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 若bcos C+ccos B=I,bcosA=1+cosB,若c=ma,则m的取值范围是() A.(1,3) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,2) 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高一下·重庆期中)钝角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a=btan4,则 b2+c2 a2一的取值范围为() A.(0,1) B.(L,+o∞) c.[4w5-5+w）D.[22-5+oj 14/14 专题专题2.6 正余弦定理解三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01正余弦定理的边角互化 题型02正余弦定理的解三角形综合 题型03正弦定理判断三角形解的个数 题型04正余弦定理判断三角形形状 题型05面积公式的应用 题型06正余弦定理的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正余弦定理解三角形 熟练根据已知条件选择定理（两边一对角、两角一边用正弦；两边及夹角、三边用余弦）；能正确求解边角并验证解的存在性 高频必考题，考查基本运算和定理选用，难度中档 判断三角形形状 通过边角互化将条件转化为边的关系或角的关系；能判断等腰、直角、等边或钝角三角形；注意多种可能性的讨论 中等难度，常在选择题或填空题中出现，需结合三角恒等变换，注意隐含条件（内角和、大边对大角） 正弦定理判断三角形解的个数 掌握已知两边及一边对角时，通过比较边长与高的大小关系判断解的个数（一解、两解或无解）；能结合几何图形理解 易错考点，常以选择题形式出现，需理解几何意义（圆与射线交点），注意分类讨论和角度的范围 边角互化 能熟练将边的关系转化为对应角的正弦关系（用正弦定理），或将角的正弦化为边的比例；能识别齐次式结构并灵活互化 贯穿所有解三角形题目，是化归思想的核心，需根据目标选择互化方向，简化运算 面积公式的应用 掌握用两边及其夹角求面积；能结合正余弦定理求面积或利用面积建立方程求边角；注意面积与周长、外接圆半径的综合 高频考点，常与正余弦定理结合出现在解答题中，需灵活选择公式，注意三角形存在性对面积范围的限制 正余弦定理的应用 能将实际问题（测量、航海、几何图形等）抽象为解三角形模型；理解仰角、俯角、方向角等术语；能正确建立三角形并求解 应用类题型，注重数学建模，常在解答题第二问或选择题中出现，需准确转化实际条件为边角关系 知识点01 余弦定理 1、对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为 余弦定理公式：；；． 推论： 2、余弦定理适用范围 （1）已知两边及它们的夹角，求第三边，可用余弦定理求解 （2）已知三边，求三角形的三个角.可用余弦定理.由于余弦函数在)上单调，所以得到的角的大小是唯一的。 3、余弦定理与勾股定理的关系 将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。 若 ，则 （勾股定理逆定理）。 若 ，则 （锐角）。 若 ，则 （钝角）。 4、三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 知识点02 正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 4、正弦定理适用范围 0. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 0. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理。 5、利用正弦定理讨论三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 知识点03 三角形的面积公式 1、 2、（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 知识点04 正余弦定理的应用 1、仰角、俯角、方位角、视角、坡度 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角;方位角指从正北方向顺时针转到目标方向的水平角;观察物体时，从物体两端(上、下或左、右)引出的光线在人眼光心处相交所成的夹角叫视角;坡面的铅直高度和水平宽度/的比叫坡度(或坡比)，用字母表示. 2、解三角形的常见题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 题型一 正余弦定理的边角互化 解｜题｜技｜巧 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 （1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 （2）利用余弦定理，化角为边。 【典例1】（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________． 【答案】2 【详解】由得， 所以，所以，所以. 【典例2】（25-26高一下·山东烟台·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______. 【答案】 3 【分析】根据题意利用余弦定理可得；利用余弦定理消去b结合基本不等式可得，进而分析的最大值. 【详解】由余弦定理和，可得， 所以，则； 由余弦定理，， 当且仅当，即时，等号成立， 而， 由可得为锐角，且，则， 故的最大值为. 【变式1】（25-26高一下·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________． 【答案】 【分析】根据三角恒等变换得，再根据余弦定理，正弦定理角化边得，最后根据已知条件即可求得答案. 【详解】因为，所以 所以 因为，，为外接圆半径， 所以 因为， 所以， 【变式2】（多选）（25-26高一下·重庆·期中）（多选）在锐角中，角所对的边分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则满足条件的有且仅有1个 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合三角形形状可得，可判断A，对于B，利用正弦定理化简可得，结合余弦定理化简求解可判断；对于C，由结合正弦函数单调性可判；对于D，将所求表达式化简并利用对勾函数性质计算可得结果. 【详解】依题意，由正弦定理可得，即； 所以， 又因为为锐角三角形，所以，即， 又，且， 可得，；故A正确； 对于B，由于，则，由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，解得：， 因为，所以仅有一个解满足条件，即满足条件的有且仅有1个，故B正确； 对于C，，令 由于在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 则，即， 所以的取值范围为，故C错误； 对于D， ； 显然，由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以可得，故D正确. 题型二 正余弦定理的解三角形综合 答｜题｜模｜板 1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式。余弦定理将边与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角。 2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组。 3、多解判断：已知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解。 【典例1】（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，D为边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则可在中利用正弦定理求出，则可求出，从而可结合得到与间关系，再利用即可得解. 【详解】设，则，， 由，则，， 在中，由正弦定理可得， 由，则，故， 由，故，故，即， 则 ， 则，即． 【典例2】（2026·江苏扬州·三模）在中，D是线段上一点，且，，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】设角并利用正弦定理转化，将的最值问题转化为三角函数的最值问题，借助辅助角公式求得最大值即可. 【详解】如图，设，则，所以， 由正弦定理可得，在中：； 在中，可得，即， 因为， 所以代入得， 得到， 令，则，设， 则，得到， 可得，解得，即， 得到，因为为锐角，所以，即. 【变式1】（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______． 【答案】 【分析】由余弦定理先求得，根据求得，进而求得，再根据正弦定理得出，设，由三角形面积公式列出方程即可求解． 【详解】由和余弦定理，可得， 因，则， 又由可得， 因，则 ， 由正弦定理得，，设， 则，解得（负值舍去）， 所以． 【变式2】（25-26高一下·四川绵阳·月考）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ． 【答案】 【分析】设，，先利用余弦定理求出，进而同法求出表达式，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求出的最大值. 【详解】设，，因为，则，， 由余弦定理，可得， 因为，则. 在中，，则. 在中，由余弦定理，， 代入得， ， ， 由，则， 所以当，即时，取最大值， 此时取最大值为. 题型三 正弦定理判断三角形解的个数 答｜题｜模｜板 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时：根据 若为钝角或直角时：根据 【典例1】（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 【典例2】（25-26高一下·河北唐山·期中）（多选）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【分析】对各选项，先用正弦定理计算 ，再结合边的大小关系判断角的范围与解的个数；钝角选项直接由大边对大角排除矛盾情况；等腰选项直接由等边对等角求出唯一解，从而筛选出恰有一解的选项． 【详解】对于A，由，得， 因为为锐角，且，，即， 所以三角形有两解，A错误； 对于B，由，得， 因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确； 对于C，因为，则是的最大内角， 又由，得，所以无解，C错误； 对于D，由，得，，恰有一个解，D正确． 【变式1】（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 【答案】 【详解】在中，由正弦定理及有两解， 得且，解得， 所以所求的取值范围是. 【变式2】（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，满足条件的有两个，则b可能为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】已知，，根据正弦定理， 可得， 要使三角形有两个解，需满足：且， 即：，解得：. 时，满足条件，有两解. 题型四 正余弦定理判断三角形形状 答｜题｜模｜板 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 （2）若，则（勾股定理逆定理）。 （3）若，则（锐角）。 （4）若，则（钝角）。 【典例1】（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】B 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 【典例2】（25-26高二下·广东广州·期中）中，的对边分别为，若且，则的形状是（   ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．顶角为的等腰三角形 【答案】C 【分析】由向量条件可先证得，即是以为顶角的等腰三角形；再结合面积条件求出 ，故该三角形为等腰直角三角形. 【详解】由题意，， 又因为，所以， 展开得， 因为， 代入上式，得， 即，整理得， 由于三角形内角满足， 故，于是， 即，所以是以为顶角的等腰三角形. 由且 ，得 另一方面， 又由余弦定理， 从而得到， 解得， 即， 即， 所以， 因为，所以， 故，于是， 从而，因此是等腰直角三角形. 【变式1】（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角的对边分别是，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理得，所以 因为，所以. 所以为的最大角. 由余弦定理可得， 所以是钝角，则是钝角三角形． 【变式2】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选题）在中，已知，则的形状可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】BD 【详解】将，（为外接圆的半径）代入已知条件， 得，则． 因为，所以， 所以，所以或， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形． 题型五 面积公式的应用 答｜题｜模｜板 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用 2、已知三边 ，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。 【典例1】（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 【答案】 【分析】利用正弦定理，得出关于角的三角等式，进而可求得的值即可；根据为锐角三角形求得角的取值范围，结合三角形的面积以及正弦函数的性质求面积取值范围. 【详解】已知，根据正弦定理，. 因为，且，化简得. 因为是锐角三角形，所以. 因为，所以，即. 因为为锐角三角形，故，解得. 由正弦定理，所以，. 因此面积. 由，得，故， 因此. 【典例2】（25-26高一下·安徽池州·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得出，再根据三角形中线的向量表示及平面向量数量积的运算律得出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由已知条件，化简得． 由正弦定理得，， 又，所以， 所以，由于为锐角三角形，所以． 边上的中线长为， 设边上的中线长为，则， 所以 ， 所以， 所以．    【变式1】（25-26高一下·江苏·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______． 【答案】 【分析】利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 由正弦定理得， 所以， 由于， 所以为钝角，故， 所以， 所以. 【变式2】（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________． 【答案】 【分析】先利用三角形内角和求出角，通过角度恒等变换关联，结合和差角公式得到正切乘积，再结合正弦定理与面积公式求解三角形面积. 【详解】由，，可得，即，故. 则，，所以， 因此. 又， 联立, 解得，， 则. 由，结合正弦定理与三角形面积公式， . 题型六 正余弦定理的应用 答｜题｜模｜板 正余弦定理的应用在测量高度、距离、角度问题上，构造三角形，应用解三角形的思想来求解。 【典例1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 【典例2】（25-26高一下·重庆·期中）云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， 可得： 解得： 【变式1】（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 【变式2】（多选）（25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可. 【详解】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由及余弦定理，得， 则，所以的面积为. 2．（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 3．（25-26高一下·上海嘉定·月考）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档使得A、C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．在某次测量中，，横档的长度为20，则此时的太阳高度角为______°．（精确到1°） 【答案】28 【分析】根据题意可求出，再根据二倍角的正切公式可求得，进而求解. 【详解】由题意知为锐角， 因为E是的中点，横档与杆垂直，所以， 所以为等腰三角形，所以. 又，横档的长度为20，所以， 所以， 所以. 4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】根据判断即可. 【详解】因为，所以 所以，即， 所以这样的三角形解的个数为2个，如图. 5．（25-26高一下·宁夏银川·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为__________. 【答案】 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求出，再由正弦定理求解. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以，即， 由正弦定理知，，即. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·广东广州·期中）在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 【答案】2 【分析】根据同角三角函数关系求出，，利用两角差的正弦公式求出，结合三角形面积公式及代入求解即可. 【详解】在中，，所以. 在中，，所以. 所以 . 因为为边上的一点，所以， 即， 则， 整理得，解得. 2．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 4．（25-26高一下·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得，进而可得，由此判断三角形形状. 【详解】若，得， 由正弦定理可得， 化简可得，即， 利用辅助角公式可得， 即， 所以或，或者（舍）， 所以一定是直角三角形. 5．（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 又，，则 因为 ， 当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（多选）（25-26高一下·陕西咸阳·期中）（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的平分线与AB交于点D，，且，则（    ） A． B． C． D．面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】由正弦定理边化角，结合和差公式可求得；由，可得，结合基本不等式可得，再由余弦定理可求得的最小值为；由常值代换可求得；面积的最小值为. 【详解】如图： 由正弦定理得， 又，， 化简得， 即， 又， 故，又， ， 又，，故A正确； 由得，， 整理得，当且仅当时取等号. 由余弦定理得， 由函数的单调性知当时，取得最小值，取得最小值，故B错误； 由得， 所以，又， 当且仅当时，即时取等号，所以，故C正确； ，，当且仅当时取等号， 故D 正确 2．（多选）（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）（多选）在三角形中，角的对边分别为，满足则以下叙述正确的是（    ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 【答案】ABC 【分析】利用余弦定理得出，中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由是直角求得，进而判断D. 【详解】对A，由余弦定理得， 又， 所以，即， 所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即， 又，所以，， 所以，C正确； 对D，由选项A知中有一个是直角或钝角， 现在是直角三角形， 若，又，则，不是，D错误. 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理角化边得到，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解. 【详解】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 得 ​， 代入已知等式： ， 整理得： ，即 ， 又 的面积公式为 ， 将代入得： ，​ 因此： ，​​当且仅当时，取等号， 即面积的最大值为. 4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦定理得到，进而可求解. 【详解】因为三角形中， 所以由，可得， 即， 所以， 即， 又在锐角三角形中，， 则或，即或（舍去）. 因为. 由正弦定理可得， 则 因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 则. 5．（25-26高一下·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $