正余弦定理的应用 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 正余弦定理的应用 思维导图 转化 正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边 角关系合理地将问题转化为三角函数的问题 解三角形 与三角函 用定理、公 利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助 数综合问 式、性质 角公式等进行三角形中边角关系的互化 题 利用亡角函数诱导公式、三角形内角和定理等 得结论 知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论 三角函数的基本性质等 平面图 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形 形应用 内利用正弦、余弦定理求解： (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果 视线 仰角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 俯角 上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 铅垂线 仰角 俯角 线 视线 正余弦定理的应用 北 位 从指北方向顺时针转到目标方向 西 →东 角 线的水平角，如B点的方位角为a 南 B 北 方 相对于某一正方向的水平角 实际应用 北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向 北偏东目标 北偏西a，即由指北方向逆时针旋转ā到达目标方向 →东 坡角 坡角： 坡面与水平面所成的二面角的度数（角6为坡角） 坡度 坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（为坡度）. 坡度又称为坡比 <分析 理解题意，分清己知与未知，画出示意图 <建模 根据已知条件与求解目标，把己知量与求解量尽量集 中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型 解题4步骤 利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，求得数学 <求解 模型的解 检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出 检 实际问题的解 第1页共7页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 常见题型 题型一正余弦定理的综合运用 【例1-1】在△ABC的中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, Easin A+b(sin A+sin B)-csin C=0 (1)求角C: (2)若c=2,求a+b的取值范围. 【例1-2】在@=7，c0sA=-行②cos4c0sB=名这两个条件中任迹一个，补充在 16 下面问题中：在△ABC中，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 a+b=11,·求a,b的值. 第2页共？页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 题型二正余弦定理与三角函数综合运用 【例2】已知fx)=2W3 sinxcosx+sin2x-cos2x (1)求函数fx)取最大值时x的取值集合： (2)设锐角△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,C,f(C)=1,c=√5，求 △ABC 的面积S的最大值. 题型三正余弦定理在几何中的运用 【例3】如图，在△ABC中，AD平分LBAC,且CD=3BD. B D (1)求sinB 的值； sinC (2》若4B=2,B-行，求△4BC的面积 第3页共7页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 题型四正余弦定理在实际生活中的运用 【例4】如图，无人机在离地面高200m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处 的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为() M D B A.150V3m B.200W3m C.300W3m D.300m 巩固精练 1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,C,且b2+(c-b)c=a2. (1)求A的大小： (2)若△ABC的面积等于5V3,b=5,求sin Bsin C的值. 第4页共7页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 2.已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、C,若 acosC+(c+2b)cos A=0. (1)求A. (2)若a=2V3,b+c=4,求△ABC的面积. 3.已知函数f(x)=2V3 sinx cosx-2cos2x+1(x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期和最小值； (2)△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,C,已知c=V5,f(C)=2, sin B=2sin A, 求a,b的值. 第5页共7页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ f(x)=3sinxcosx-cos2x- 4.已知函数 1求的数-f网在上的设大值和最小值， (2)在4AC中，角A、B、C所对的边分别为、b、C,满足=乙，a=3,f)=0, 求nA的值. 5.已知的数f=5ca号+小am2a--cosx号xeR. (1)求函数(x)的最小值和最小正周期： (2)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且c=3,f(C)=0,若向量 n=(1,sin A) 与m=（2,sinB共线，求a,b的值. 第6页共7页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 6.在△4BC中，D为BC上点，8D-CD,∠40-经，40=2,48=25 B (1)求角B: (2)求AC. 7.在平面四边形ABCD中，AB=√3AD,∠ADB=∠CDB=2∠ABD. (1)求∠ABD; (2)若AC=√7，BD=2,求△ACD的面积 第？页共？页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ ( 思维导图 ) ( 常见 题型 ) 题型一 正余弦定理的综合运用 【例1-1】在的中，角，，的对边分别为，且 （1）求角； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，及正弦定理得， 由余弦定理得，又，所以； （2）由及，得，即， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 又，所以，所以的取值范围为. 【例1-2】在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知， .求，的值. 【答案】答案见解析. 【解析】选择条件①，，， ，， 选择条件②，，，，，由正弦定理得：，，，. 题型二 正余弦定理与三角函数综合运用 【例2】已知 （1）求函数取最大值时的取值集合； （2）设锐角的角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）. 令，即时，取最大值; 所以，此时的取值集合是； （2）由，得， 因为，所以，所以，则； 在中，由余弦定理， 得，即，当且仅当时取等号， 所以的面积 因此的面积的最大值为. 题型三 正余弦定理在几何中的运用 【例3】如图，在中，AD平分，且. （1）求的值； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）3；（2）. 【解析】（1）在中，，在中，. 因为AD平分，且，所以. （2）由正弦定理及（1）可知. 因为，，所以， . 因为 ，所以. 题型四 正余弦定理在实际生活中的运用 【例4】如图，无人机在离地面高200m的处，观测到山顶处的仰角为15°、山脚处的俯角为45°，已知，则山的高度为（ ） A． B． C． D． 【解析】∵，∴，∴， 又，，∴， 在中，，∴， ∴.故选：D． ( 巩固精练 ) 1．已知的内角，，的对边分别是，，，且． （1）求的大小； （2）若的面积等于，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵，由余弦定理得， ∵，∴． （2）因为，所以，又，故， 于是，∴，， 所以． 2．已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若． （1）求． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）， 由正弦定理可得： ， ， ， ， ，，，． （2）由，， 由余弦定理得，， 即有，，故的面积为． 3．已知函数. （1）求函数的最小正周期和最小值； （2）中，，，的对边分别为，，，已知，，， 求，的值. 【答案】（1）最小正周期为；最小值为.（2）， 【解析】（1）. 所以的最小正周期，的最小值为. （2）因为，所以， 又，，所以，得， 因为，由正弦定理得， 由余弦定里得，又，所以，. 4．已知函数． （1）求函数在上的最大值和最小值； （2）在中，角、、所对的边分别为、、，满足，，，求的值． 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）． 【解析】（1） （3分） ， ， ， 所以的最大值为，最小值为． （2）因为，即 ， ， ， 又在中，由余弦定理得，，所以， 由正弦定理得，即，所以． 5．已知函数，. （1）求函数的最小值和最小正周期； （2）已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量 与共线，求，的值. 【答案】（1）函数的最小值为，最小正周期为；（2），. 【解析】（1）由于函数， 故函数的最小值为，最小正周期为. （2）中，由于，又，所以，∴. 又向量与共线，所以. 由正弦定理得，且. 故有，化简可得，又，∴，∴. 又，可得，解得，. 6．在中，D为上一点，，，，. （1）求角B； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）在中，由正弦定理得，即， 所以，又，所以； （2）在中，，所以 因为，所以， 在中，由余弦定理得，所以. 7．在平面四边形中，，. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）由题，在中，根据正弦定理，， 因为，．所以， ，． （2）由（1）可知，． ， 中，，，， 中，， ， 解得或（舍，的面积． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $