精品解析：湖南衡阳市衡山县星源学校2025-2026学年下学期八年级第一次学情分析数学试题

八年级下册第一次学情分析数学试题 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 在式子、、、、、、中，分式的个数是（ ） A 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 是指大气中直径小于等于微米，及米的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 解分式方程 时，去分母后得（ ） A. 3-x=4(x-2) B. 3+x=4(x-2) C. 3-x=4(2-x) D. 3-x=4 5. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（ ） A. 9 B. 7 C. D. 6. 若把分式中x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍 7. 若，则代数式的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 8. 关于的分式方程解为，则常数的值为( ) A. B. C. D. 9. 若分式，则分式的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 11. 甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工需90天完成．甲队先单独施工30天，然后增加了乙队，两队又合做了15天，总工程刚好全部完成，设乙队单独施工需x天完成，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 12. 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_______ 14. 若分式的值为0，则_______． 15. 点关于原点对称的点的坐标是_____． 16. 已知在平面直角坐标系中，线段轴，若点A的坐标为，则点B到x轴的距离为____． 17. 已知在轴上，在轴上，则的坐标为__________． 18. 已知实数a，b，c满足，且，则的值是________ 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算及解分式方程： （1）计算：． （2）解分式方程：． 20. 先化简，再求值：，其中 21. 如图，在平面直角坐标系，原点O及的顶点都是格点（横、纵坐标都是整数的点称为格点），若点A的坐标为． 请根据图表信息回答有关问题： （1）请你直接写出点B和点C坐标； （2）求的面积； （3）将先向下平移1个单位长度再向右平移4个单位长度得到，画出，则点的坐标是________． 22. 小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 米； （2）小明在文具店停留了 分钟； （3）本次上学途中，小明一共行驶了 米； （4）交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 23. 已知关于x的分式方程 （1）若该方程有增根，求m值； （2）若该方程无解，求m的值． 24. 为支援灾区，某学校献爱心活动小组准备用筹集的资金购买甲、乙两种型号的学习用品共1000件．已知乙型学习用品的单价比甲型学习用品的单价多20元，用180元购买乙型学习用品与用120元购买甲型学习用品的件数相同． （1）求甲，乙两种学习用品单价各是多少元； （2）若购买这批学习用品的费用不超过48000元，则最多购买乙型学习用品多少件？ 25. 探索发现：，，…… 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）＝___________，＝___________， （2）利用你发现的规律计算 （3）灵活利用规律解方程：＋＋……＋＝ 26. 初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值 （3）已知为实数，，求分式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册第一次学情分析数学试题 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 在式子、、、、、、中，分式个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，且B中含有字母，则形如的式子叫做分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：在式子、、、、、、中，分式有、、、，共4个， 故选：B． 2. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 3. 是指大气中直径小于等于微米，及米的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 4. 解分式方程 时，去分母后得（ ） A. 3-x=4(x-2) B. 3+x=4(x-2) C. 3-x=4(2-x) D. 3-x=4 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定最简公分母，去分母； 观察式子x-2和2-x互为相反数，可得2-x=-(x-2)，所以可得最简公分母为x-2将分式方程转化为一元一次方程求解. 【详解】方程两边都乘以x-2， 得：3-x=4(x-2)． 故答案选A． 【点睛】本题考查的知识点是解分式方程，解题的关键是熟练的掌握解分式方程. 5. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（ ） A. 9 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程． 依据题意，输入值是时，输出的值即可． 【详解】解：∵， 当时，， 故选：D． 6. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则． 【详解】解：由题意，分式中的x和y都扩大2倍， ∴； 分式的值是原式的，即缩小2倍； 故选C． 7. 若，则代数式的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 8. 关于的分式方程解为，则常数的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程，得 ， 解得a=10． 经检验，a=10是原方程解 故选D． 【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0． 9. 若分式，则分式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出，再代入分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，第三象限内的点的坐标特点，根据第三象限内的点横纵坐标都为负数进行列式求解即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴， 故选：B． 11. 甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工需90天完成．甲队先单独施工30天，然后增加了乙队，两队又合做了15天，总工程刚好全部完成，设乙队单独施工需x天完成，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系． 12. 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 整理得：， 分式方程无解的情况有两种， 情况一：整式方程无解时，即时，方程无解， ∴； 情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6， ①当x=2时，代入，得： 解得：得m=4． ②当x=6时，代入，得：， 解得：得m=2． 综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解； 解不等式， 得： 根据题意该不等式有且只有三个偶数解， ∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4， ∴−4<m−4≤−2， ∴0<m≤2， 综上所述当m=2或时符合题目中所有要求， ∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2． 故选B． 【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于0是解题关键．根据分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：要使代数式有意义，则， 解得， 故答案为：． 14. 若分式的值为0，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键． 15. 点关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点的对称点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此进行求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点的对称点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴点关于原点的对称点Q的坐标是． 故答案为：． 16. 已知在平面直角坐标系中，线段轴，若点A的坐标为，则点B到x轴的距离为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于这个点的纵坐标的绝对值是解题关键．先求出点的纵坐标，再根据点到轴的距离等于这个点的纵坐标的绝对值求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，线段轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为4， ∴点到轴的距离为， 故答案为：4． 17. 已知在轴上，在轴上，则的坐标为__________． 【答案】（4，2） 【解析】 【分析】根据x轴上的点的坐标规律：纵坐标为0，y轴上的点的坐标规律：横坐标为0，即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵A（，）在y轴上，B（，）在x轴上， ∴，， 解得，， ∴C（a，b）的坐标为：（4，2）． 故答案为（4，2）． 【点睛】此题考查的是坐标轴上点的坐标规律，掌握x轴上的点的坐标规律为纵坐标为0， y轴上的点的坐标规律为横坐标为0，是解决此题的关键． 18. 已知实数a，b，c满足，且，则的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理得到，再结合已知条件即可求出答案； 【详解】解∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确将所求的式子变形为是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算及解分式方程： （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1）1 （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，乘方，零次幂，解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算负整数指数幂，乘方，零次幂，再运算加减法，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再进行验根，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 则， 解得． 经检验：当时，， 故原分式方程无解． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简括号内分式，再将除法运算转化为乘法运算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 如图，在平面直角坐标系，原点O及的顶点都是格点（横、纵坐标都是整数的点称为格点），若点A的坐标为． 请根据图表信息回答有关问题： （1）请你直接写出点B和点C坐标； （2）求的面积； （3）将先向下平移1个单位长度再向右平移4个单位长度得到，画出，则点的坐标是________． 【答案】（1）， （2）5.5 （3） 【解析】 【分析】（1）由点B和点C都在格点上即可解答； （2）利用割补法，的面积为一个矩形的面积减去三个小三角形的面积即可解答； （3）利用平移的性质即可画出和得出点的坐标． 【小问1详解】 解：由图可得，； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如图， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了格点图上的点，三角形的面积，平移作图等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． 22. 小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 米； （2）小明在文具店停留了 分钟； （3）本次上学途中，小明一共行驶了 米； （4）交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】（1）1800 （2）3 （3）3000 （4）在12～15分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内． 【解析】 【分析】本题考查从函数的图象中获取信息，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据函数图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 小问1详解】 解：由图象可得，小明家到学校的路程是1800米， 故答案为：1800； 【小问2详解】 解：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：3； 【小问3详解】 解：本次上学途中，小明一共行驶了： （米）， 故答案为：3000； 【小问4详解】 解：当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 15千米/时米/分， ∵， ∴在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内． 23. 已知关于x的分式方程 （1）若该方程有增根，求m的值； （2）若该方程无解，求m的值． 【答案】（1）或 （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，（1）先把分式方程化成整式方程，再根据分式方程有增根的条件可得增根为或，即可求解； （2）由（1）可知，当或时，该方程有增根，即无解，再根据分式方程无解的条件可得当时，x无意义即无解，即可求解． 【小问1详解】 解：化成整式方程得，， 即， 若该方程有增根，则增根为或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，当或时，该方程有增根； 【小问2详解】 解：由（1）可知，当或时，该方程有增根，即无解， 去分母后的整式方程为：， 当时，即时，x无意义即无解， 综上知：若原分式方程无解，则或或． 24. 为支援灾区，某学校献爱心活动小组准备用筹集的资金购买甲、乙两种型号的学习用品共1000件．已知乙型学习用品的单价比甲型学习用品的单价多20元，用180元购买乙型学习用品与用120元购买甲型学习用品的件数相同． （1）求甲，乙两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买这批学习用品的费用不超过48000元，则最多购买乙型学习用品多少件？ 【答案】（1）甲种学习用品的单价是40元，则乙种种学习用品的单价是60元 （2）400件 【解析】 【分析】（1）设甲种学习用品的单价是x元，则乙种种学习用品的单价是（x+20）元．利用“用180元购买乙型学习用品与用120元购买甲型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可； （2）设购买乙型学习用品y件，则购买甲型学习用品（1000﹣y）件，根据“购买这批学习用品的费用不超过48000元”建立不等式求出其解即可． 小问1详解】 解：设甲种学习用品的单价是x元，则乙种种学习用品的单价是（x＋20）元．根据题意得． ＝ 解得，x＝40．经检验，x＝40是原方程的解 x＋20＝40＋20＝60 答：甲种学习用品的单价是40元，则乙种种学习用品的单价是60元． 【小问2详解】 解：设最多购买乙型学习用品y件，由题意得 60y＋40（1000－y） 解得：y400 因此，最多购买乙型学习用品400件符合要求． 【点睛】本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程的关键． 25. 探索发现：，，…… 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）＝___________，＝___________， （2）利用你发现的规律计算 （3）灵活利用规律解方程：＋＋……＋＝ 【答案】（1），； （2）； （3）50； 【解析】 【分析】（1）根据题目中分母的规律计算求值即可； （2）将式子中的每项进行拆分，正负项抵消合并即可； （3）由可得，然后将方程左边的每项进行拆分，正负项抵消后再解分式方程解即可； 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：原式===； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 同理可得，…，， ∴原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验是方程的解； 所以方程的解为． 【点睛】本题考查了分式的通分，解分式方程等知识；根据已知条件对所求式子变形化简是解题关键． 26. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值 （3）已知为实数，，求分式的值． 【答案】（1）23 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键； （1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解； （2）由题意可设，然后代入求解即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由可设， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $