同学们，这一期我们来讲多球相切问题。多球相切问题是余求有关组合体问题基本题里面最为复杂的一类小题型。我们今天来看一下这个半球中的相多球相切问题。如图所示，如果有三个半径为R的汤圆放到一个半球面碗中，我们看三个汤圆的顶端恰好于碗口和面。所以这里面已经告诉我们这个半球的半径是根号3加根号7厘米。让我们求汤圆的半径，汤圆就相当于三个小球。如图所示，大家切记，做这一类问题，你们想一想它的切入点，就是我们今天所讲的这个思路。切入点是什么？怎么去切入？你们可以将视频暂停5到10分钟做一做，看能不能做出来。好，下面我们来讲一下这个思思那个思路的切入点。这个思路切入点就是分析求新。根据两球外切和内切它的充要条件，我们就是两球的球心连线与两球半径之差和半径之和之间有一定的关系。如果两球外切，两球的球心的连线一定是等于两球的半径之和。如果内切就等于大球的半径减去小球的半径。所以说关键在于分析，注意分析他们的球星的位置。你看假设这是我们这是半圆，这是半球这个碗的中心，就是碗的上面这个圆面的这个中心，它就是半球的球星。我们是个O3个小球，它分别是在下方，我们不妨设成O1、O2、O3，这样的话它就构成一个正三棱锥。那如图所示的正三棱锥就是我们可以把它拿出来。这就是刚才的O就是O1、O2、O3。如果这个图你实在看不出来，我们可以这样，我们来画一个立体图形，大家看这个图就非常的明显了。当然了这个图弄完之后，我们可以看一下如何利用外切和内切。首先我们把这个O一或者是O2或者是OO3，你把它延长，你延长之后，这个时候大球和小球的切点，你比如说这道题这个里面的这个切点有切点假设是一，那么OA的长就是大球的半径，OEA的长就是小球的半径，那么OOE就是两球的零线的长度。由对称性我们可以得到这个O一等于O2等于O3，OO一等于OO2，它是等于OO3了。好，再看下面这个底面，底面这个关系式我们看怎么来建立。这个建立也很有意思，就是我们看它这个桌面，你把这个碗放在桌面上，这个桌面最底的底端以和O连接起来。底端底端假设是B点，这个OB它也是等于大球的半径，这个OB和平面O1、O2、O3肯定会有一个交点，这个焦点我们可以设成H点就图中的这个标的HR那么这个时候的HBHB和加OH我们这是等于大球的半径。这个OH我们看能不能求出来呢？是可以求出来，因为这个OOE的长度，我们可以用大球的半径减去小球的半径。就是这个正三棱锥的侧能可以通过一定手段求取，就是可以用R来表示。那么这个时候OH就可以表示出来，这是大体的一个分析，基本层面的分析，我们就分析到这里，下面我们来进行了求解，看怎么来求，怎么来建立一个关系式。这个关系式其实也比较简单，我们不妨设小球的半径，为就是OO1、O2、O三这三个，我们可以设这个小球的半径为R那么则O1O2，O1O2等于O2，O3等于O1O3。那么等于R因为听不懂，也是告诉我们这个是R我们再用R来表示。好，这个写出来之后，我们H是底面正三角形的中心。那么我们把听好了，因为三个球这里面有一个非常重要的关系式，三个球都与碗面接口它是共面的这样一个条件。那么这个条件就说明了什么呢？就说明了OH的长它就等于R这是非常重要的一个条件。好，现在我们做一条辅助线，大家看啊我们连接OH，你延长之后，一定是交O1O2的这个终点的。好，这样的话这个OEH延长之后，大家注意把这个焦点设成G点，就是G点是O1O3的终点站，那O2HG3点共线。为了让大家看得清楚，我不妨我把这个O1O2O3这样一个正方形，我把它挪出来就一面化，我把它移到外面来，这是O2O1O3O像O1O2做垂线，这个垂足为GH是中心也是重心，我们的重心分中线的比是2比1的关系，也就是O2H比上一个HG它是等于2比1的关系。那这样的话，根据你这个O2O34等于2R所以说这个O3G就是RO2O2H就等于3分之2。偶尔G这2G就是根号3R那就是3分之2倍根号32。当然了这个OEH我们这也是等于O2H，都是3分之12倍根号3R我们知道它这是外接圆的半径就行了。那我们怎么建立这个关系式呢？大家看啊怎么建立关系式呢？我们就在OHO2中，在RT3角形OHO2中，我们用勾股定理，我们可以得到OO2的平方。那么就等于OH的平方再加上一个O2H的平方。OH的平方OH我们知道是R还是R方，加上O2H的平方就是3分之2倍根号3R的平方。我们把这个计算一下，R方加这个我算一下是3分之4R方，R方加三分之R方就是3分之7。阿尔法我们的这个OO2这个长度可以用大R减去小R这个大R就是根号3加上根号7，就是大R减去球的半径小R这个整体的平方。好了，然后建立这样一个方程式之后，我们把它同时开方这个时候根号三分之根号7，那就是三分之根号21R就等于根号3加上根号7，刚才加根号7，然后再减去一个R我们把它整理一下，最后可以算出这个R就等于高3，所以说此题的答案就是根三。你们看这道题有一个其实第一个有有这样的几个切入点要注意。第一个我们是找球心的位置，第二个一定要看出OH它这个长度就是这个正三棱锥的高，它是小球的半径。抓住这两点，然后再利用方程的思想来解就可以了。今天这个多球相切问题我们就讲到这里，感谢您的收看，下期视频我们再见。