2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1—2章》阶段性综合练习题　

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1—2章》阶段性综合练习题（附答案） 一、单选题（满分30分） 1．在中，所对的边分别为、、．下列所给数据中，不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列各式中，错误的是（  ） A． B． C． D． 3．若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 4．两个不等式的解集在数轴上表示如图．则这两个不等式组成的不等式组的解集是（    ） A．或 B． C． D． 5．如图，在中，分别以点A和点B为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，分别交，于点D，E，连接．若的周长为10，且，则的周长是（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 6．已知关于x的不等式组无解，则m的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知一次函数的图象过点，并且是由一次函数的图象平移得到的．当时x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 9．如图，在中，是的高，，分别是和的平分线且交于点，与交于点，已知，，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点E在边上，且，的垂直平分线分别交于点，，点P为直线上一动点，点F为边上一动点，当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题（满分30分） 11．反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设______． 12．写出一个整数的值，使大于，则这个整数的值可以是__________． 13．一个多边形的内角和是外角和的5倍多，则这个多边形的边数为________ 14．已知不等式，有，则的取值范围是_______________． 15．若关于的不等式（）的解集为，则直线不经过第__________象限． 16．如图，是的高，，，，则_____． 17．关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为______． 18．已知关于的方程组的解满足，则的取值范围为_________． 19．如图，中，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则 ______ 20．如图，四边形中，，M、N分别为线段、上的动点，连接、和，当的周长最小时，，则______． 三、解答题（满分60分） 21．解不等式组，并把解集表示在数轴上 (1)； (2)； 22．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长和面积． 23．规定：不等式是不等式的“关联不等式”，那么不等式与其“关联不等式”组成的不等式组的解集叫做它的“关联不等式组”解集． (1)写出不等式的“关联不等式”_________； (2)求不等式的“关联不等式组”解集； (3)若不等式的“关联不等式组”解集是，则的取值范围是______． 24．已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 25．如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 26．某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 27．解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 28．如图1，在中，． (1)求证：； (2)如图2，，，点是平面内一个动点，连接，且，过点作射线，与射线交于点，射线交于点． ①当平分，求证：； ②如图3，延长交于点，作的角平分线交于，连接，连接，当，判断与的关系，并证明． 参考答案 1．A 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，，故不是直角三角形； B、因为，所以是直角三角形； C、因为，且， 所以，解得，故是直角三角形； D、因为， 所以设，，，且， 故是直角三角形． 2．B 【分析】根据不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】， ，故A正确，不符合题意； ， ，故B错误，符合题意； ， ，故C正确，不符合题意； ， ，故D正确，不符合题意． 3．B 【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是个正三角形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； B、正四边形的每个内角是个正四边形满足同一顶点处的周角为，故本选项符合题意； C、正六边形的每个内角是个正六边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； D、正八边形的每个内角是个正八边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．C 【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示方法即可得出结论． 【详解】解：根据数轴可得这两个不等式组成的不等式组的解集是 5．C 【分析】根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为10得，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：根据作图可知：是的垂直平分线， ， ∵的周长为10， ， ， ， ∴的周长为：． 6．A 【分析】先分别解两个不等式，再根据“大大小小无解”确定m的取值范围，最后结合选项判断即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∵不等式组无解， ∴， ∴． 结合选项，只有A选项满足． 7．A 【分析】本题考查一次函数的平移性质及一元一次不等式的求解，先利用一次函数平移的性质确定的值，再结合函数过已知点求出的值得到函数解析式，最后解一元一次不等式得出的取值范围． 【详解】解：∵一次函数是由平移得到的， ∴， 又∵的图象过点， ∴将，代入得：即， 解得， ∴， 当时，，即． 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题的关键． 设张老师至少获胜x局，依据积分规则列出一元一次不等式，求解不等式并结合实际取整，得到获胜局数的最小值． 【详解】设张老师至少获胜x局，则输了局，即局， ∵ 积分不低于30分可晋级，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师平2局， ∴ 列不等式：， 展开并整理得：， ， ， 解得：， ∵ x为正整数， ∴ x的最小值为5， 即张老师至少应获胜5局． 故选：C． 9．D 【分析】证明得到，推出，进而得到，可判定A，得到是的垂直平分线，可判定B，根据等腰直角三角形、角平分线的性质、三角形的外角性质可判定C，证明得到，结合可判断D． 【详解】解： ，，， ， ， 又 ， ， 平分，即， ， ，故A正确； ，， 是的垂直平分线， ，故B正确； 是等腰直角三角形，，分别是和的平分线， ， 又 ， ， ， ， ，即，故C正确； ，，， ， ， 又 ， ， ，故D错误； 故选：D． 【点睛】注意全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义以及三角形的外角性质的结合． 10．B 【分析】本题考查了轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，正确找出的值最小时，点的位置是解题关键． 作点关于直线的对称点，连接，得出相等的线段，根据两点之间线段最短和垂线段最短确定点的位置，然后利用线段的和差以及含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小， 即的值最小， ∵垂直平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当的值最小时，的长为， 故选：B． 11．的三个内角都小于 【分析】本题主要考查的是反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 用反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，故需先确定命题的结论；分析命题可知其结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”，结合上述分析，只需假设原命题的反命题成立，即假设三个内角都小于． 【详解】解：反证法证明时，首先假设结论不成立，即假设“的三个内角都小于”，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题“至少有一个内角大于或等于”成立． 故答案为：的三个内角都小于． 12．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解不等式，通过解不等式得到，从而确定整数为负整数． 【详解】解：由题意得：， 移项得：， 即， 两边同时除以，不等号方向改变得：， 所以， 因此整数可以是任何负整数，如． 故答案为：． 13．13 【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和定理及多边形的外角和为，结合题中等量关系列出一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 解得． 14． 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据不等式的性质解题即可． 【详解】解：由 和 可知，不等式两边乘以 后不等号方向改变， ∴ ， 解得 ． 故答案为： ． 15．四 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一次函数的图象性质，掌握由不等式解集确定的符号，结合一次函数图象性质判断象限是解题的关键． 由不等式解集条件确定与的正负，再根据一次函数图象性质判断直线所经象限． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴，且，即， ∴直线的斜率，截距， ∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故答案为：第四象限． 16． 【分析】先根据勾股定理求出，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的高， ， 在Rt中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 的面积为：． 17． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有3个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解，即3，2，1， ∴． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法与一元一次不等式的求解，关键是运用整体思想简化计算，无需分别求解和的具体表达式．将方程组的两个方程左右两边相加，提取公因式后得到关于的代数式，再根据已知条件建立一元一次不等式，最后解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， ①+②得：， 整理化简，得； ， ，解得； 故答案为：． 19． 【分析】根据线段垂直平分线的性质推出，，得到，，因此，得到，即可求出的度数． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ， ， ． 20．/108度 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， 解得， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 21．(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 将解集表示在数轴上如下： （2）解： 解不等式①得 解不等式②得 ∴不等式组的解集为 将解集表示在数轴上如下： 22．(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可证，再根据等边对等角可证结论成立； （2）根据等腰三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，根据可得，根据线段之间的关系可以求出，根据三角形的面积公式和周长公式求出结果即可． 【详解】（1）解：证明：，， 垂直平分， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， 在中，， ，， ，， 在中，， 的周长， 的面积． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题依托新定义考查了解一元一次不等式，不等式组，以及不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义和分类讨论思想的应用． （1）根据题意即可求得“关联不等式”； （2）根据题意先得到“关联不等式”，即可得到“关联不等式组”， 解不等式组即可； （3）先求得“关联不等式组”，再分和，解得不等式组的解，再结合题意列出满足不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵不等式是不等式的“关联不等式”， ∴不等式的“关联不等式”为， 故答案为：； （2）解：根据题意得，不等式的“关联不等式”为 则不等式的“关联不等式组”为， 解得； （3）解：∵不等式的“关联不等式”， ∴不等式的“关联不等式组”为， 若，，解得， 若，，解得且， ∵不等式的“关联不等式组”解集是， ∴且， 解得． 24．(1)， (2) (3)2 (4) 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【详解】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解： ，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 25．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 26．(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 27．(1)见解析 (2)①见解析；②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； （2）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 28．(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，关键是利用角的关系推导线段相等，通过全等三角形实现线段转化． （1）直接利用“等角对等边”的判定定理，由证得； （2）①先根据等腰直角三角形的性质求出，结合角平分线和已知角相等得到，证明为等腰直角三角形得到，再通过等角的余角相等证明，得到，从而证得； ②先利用角平分线和等腰直角三角形的角证明得到，再由得到，结合角的等量关系证明得到，进而证得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $