《第1章三角形的证明》单元同步练习题2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，，则 B．直角都相等 C．同位角相等，两直线平行 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 2．下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C．a D． 3．如图，是的外角，的平分线，且，，交的延长线于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，在和中，，，，点在同一条直线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 7．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，（点在上方），作直线交边于点；在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线．若射线恰好经过点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设 ． 9．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为18，则的周长为 ． 10．如图，在中，，，垂直平分交于点，，则 ． 11．如图，是的平分线，，垂足为点，交的延长线于点，已知平分，．若，则的长为 ． 12．如图，，C，D是射线上的点，B，E是射线上的点，且，．若，则的长为 ． 13．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为： ． 14．如图，在等腰中，，垂直平分，为中点，点为上一动点，若，等腰的面积为3，则的最小值为 ． 三、解答题 15．要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 16．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，若的周长为，求的长． 17．如图，在中，平分交于，交于，过作，垂足为，并交延长线于． (1)求证：； (2)请猜想与的大小关系，并证明你的结论． 18．如图，中，，为的中点，过点作的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，连结，F是的中点，连结． (1)求证：； (2)如果，求的长． 19．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 20．【课本再现】题目来自课本第59页中的习题4，请你完成题（1）（2）． 问题背景：如图1，，与交于点．求证：． 【方法应用】 （1）如图2，，，与交于点，求的度数； （2）如图3，，，与交于点，连接，求的度数（用含的式子表示）． 参考答案 1．C 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是理解逆命题的定义，属于中考常考题型． 逆命题是以原命题的条件为结论，原命题的结论为条件的命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解： A的逆命题为：若，则且，但时，a和b不一定都大于0， ∴ A的逆命题是假命题； B的逆命题为：相等的角都是直角，但相等的角不一定是直角， ∴ B的逆命题是假命题； C的逆命题为：两直线平行，同位角相等， ∴ C的逆命题是真命题； D的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，但平方相等的两个实数不一定相等， ∴ D的逆命题是假命题． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理. 根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 是直角三角形，故选项不符合题意； B、， ，即， 是直角三角形，故选项不符合题意； C、， 不是直角三角形，故选项符合题意； D、， ， 是直角三角形，故选项不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形的外角，熟练地掌握角平分线的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据三角形的外角定理即可求出，根据角平分线的定义，可求出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据垂直平分，得到，然后根据已知条件和线段的和差即可解答． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先判断出，得出，根据等腰三角形的性质得，等量代换即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 6．A 【分析】连接，，由等边三角形的性质，可得，，，可得，从而可得当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，由的面积可得，即可得的最小值． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵于点， ∴， ∵点是上一个动点， ∴， ∴， 当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径，与三角形的高相关的计算，找到取最小值的位置是解答的关键． 7．C 【分析】本题考查垂直平分线的作法及性质，角平分线的作法，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．由作图可得垂直平分，平分，推出，，进而可得，最后利用三角形内角和定理列式求解． 【详解】解：由作图得垂直平分，平分， ，， ， ， ， ， 解得， 故选：C． 8．在中， 【分析】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可求解． 【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设在中， 故答案为：在中，． 9．26 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由是的垂直平分线得到，，由的周长为18得到，最后由的周长为，进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，，的周长为18， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：26． 10． 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质、三角形外角的性质、所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 先利用垂直平分线的性质求出，，再运用三角形外角的性质求出，最后通过所对的直角边等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：∵垂直平分交于点，，， ∴，． ∵是的外角， ∴． ∵在中，，， ∴． 故答案为：． 11．2.5 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，证明是等腰三角形，根据三线合一得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 12．4 【分析】根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，推出是等边三角形，则有，进而得到，再根据平行线的性质得到，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等边对等角、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13．5 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与最短路径问题，由直线l垂直平分得，则；当A、P、D共线且时，最小，此时为的高，结合面积公式求出即可． 【详解】解：连接，如图， ∵直线l垂直平分， ∴， ∴， 当A、P、D共线且时，取得最小值，即的长． 由的面积，， 得， 解得， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 14． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短． 连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到 ，再利用两点之间线段最短得到和的最小值为的长，根据三角形的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即， ∴的最小值为3， 故答案为：． 15．见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质与作图步骤是解题关键． 分别作出线段的中垂线，作角平分线，进而得出其交点P即为所求，为加油站位置． 【详解】解：如图所示，P点即为所求，为加油站位置． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 17．(1)证明见解析； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用相关性质找准角度之间的数量关系是解题关键． （）根据角平分线的定义和平行线的性质，推出，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； （）根据垂直平分线的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，然后根据三角形外角的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 证明：∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 18．(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查直角三角形性质、等腰三角形性质及勾股定理，解题关键是熟练掌握直角三角形性质和勾股定理． （1）利用平行线性质得，结合直角三角形斜边中线性质证，再由等腰三角形“三线合一”证． （2）设，直角三角形斜边中线定理得，再由表示出，最后在中用勾股定理列方程，求解得的长． 【详解】（1）连结， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵F是的中点， ∴； （2）设，则， ∵ ∴ 在中，， ， ∴， 即， 解得（舍去），， ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1） 要证，需找到含这两条边的全等三角形，通过角的和差得到对应角相等，结合已知边相等，用证全等； （2） 要证平分，可先由(1)的全等得角相等，再通过作垂线证明到角两边距离相等，或利用角的等量代换推导； （3）当时，结合等边三角形性质与全等，构造辅助线（如截取线段），通过全等转化线段关系，确定、、的数量关系． 【详解】（1）解：（1） ， , 即. 又，， ， . （2）解：如图（1），过点作， ， ，， ， . 又，， 平分. （3）解：；理由如下： 如图（2），在线段上截取，连接 ， . 又，， ， ， ， . ， . 又平分， . 又， 是等边三角形， ，, . 【点睛】本题核心是利用全等三角形的判定（）与性质解决线段相等、角平分线及线段和差问题．第（1）问通过角的和差构造条件证全等得线段相等；第（2）问借助全等三角形面积与高的关系，结合角平分线判定定理证明；第（3）问通过构造等边三角形和全等三角形，将线段进行转化，从而确定数量关系．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 20．[课本再现]见解析； [方法应用]（1）（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，外角的性质，角平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； [课本再现]根据证明，即可得证； [方法应用]（1）根据证明，可得，再根据外角的性质即可得解． （2）过点C作，根据全等可得，，可证，再根据角平分线的判定可证平分，即可得解． 【详解】[课本再现]证明：， ， ， ， ， ， ， [方法应用]（1）证明：设与的交点为G，如下图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点C作，如下图， 同理可证，， ，， ， ， ， 平分， ， 由（1）知， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $