学易金卷：七年级数学下学期期中模拟卷（新教材鲁教版，七年级下册第7～9章：二元一次方程组+证明+概率）

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意享项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：鲁教版七年级下册第七章二元一次方程组+第八章证明+第九章概率初步。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列说法正确的是() A.“买中奖率为的奖券10张，中奖"是必然事件 10 B.“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品"是不可能事件 C.“汽车累计行驶10000km,从未出现故障”是随机事件 D.明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 2.如图，AB∥ED,∠A=35°，∠C=15°，则∠D的度数是() A.120° B.130° c.110° D.135° 3.在二元一次方程2x+3y=21中，若x,y均为非负整数，则该方程的解的组数有() A.5组 B.4组 C.3组 D.2组 x+2y=6k 4.关于x,y的二元一次方程组 x-y=3k 的解，也是二元一次方程2x+y=3的解，则k的值为() B.3 1 A.3 c.} D.-3 1/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y=x+2 x=3 5.己知关于x,y的二元一次方程组 的解为 y=kx+b ,如图，若直线y=x+b(k,b为常数，且k≠0) y=n 与直线y=x+2相交于点P,则点P的坐标为() y=kx+b y=x+2 A.(3,5) B.(5,3) c.(5,2) D.(2,5) 6.在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸 出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约 有() A.10个 B.15个 C.20个 D.25个 7.如图，P为△ABC内一点，若∠ABP=∠CBP,∠ACP=】∠BCP,且∠A=72°，则∠BPC的度数是() 3 A A.125° B.99 C.95 D.89 8.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不 及罗尺价三十六文.问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类 丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫 类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为() 「7x=9y 「9x=7y 7x=9y 9x=7y A. B. C.1 D. x-y=36 x-y=36 y-x=36 y-x=36 9.有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形ABCD 中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是() 2/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 29 B 9 D A.72 B.68 C.65 D.60 10已知直线4：=+b与直线：y=子x+m部经过点(13)，直线4交x轴于点4，交y轴于点0，)。 直线l,交y轴于点C,交x轴于点D,直线l,∥直线l且经过原点，且与直线l2交于点F,点P为x轴上任 意一点，连接PC,PF,对于以下结论，正确的个数有() y=kx+b x=-1 25 ①方程组{1 的解为 y=-2 x+n y=3:②8am=石：®Sas=21:国当PF+PC的值最小时，点P 的坐标为1,0) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共90分) 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 3x-2y=4,2mx-3y=19 11.关于x,y的二元一次方程组{ x+m=7与5y-x=3 有相同的解，则m= 12.一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠B的度数为150°，第二次拐弯∠C的度数为110°， 到了点D后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠D的度数为 D 3/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 13.从-1,0.5,1.6,2四个数中任取一个，作为一次函数y=kx-3的k值，则所得一次函数中y随x的增 大而增大的概率是 14.聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现， 过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁)的2倍：再过1年，他们两人的年龄又一次相反， 且十位数字与个位数字的和为7.则聪聪岁， 15.己知方程组 c+w=3的解是/r=2 ax+by=2 y=3'则方程组 a(x+2)+b(y-1)=2 (+2)+dy-1)=3的解为 16.如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE=°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平， 如图②.若图②中∠A'ED'=10°，则∠BCE的度数是一·（用含n的代数式表示) E D 图① 图② 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分)解方程组： x+y=8 (15x=3y x-2_5-y=1 32 (2) x_y+1=5 0.30.2 ax-by=1① 2 x=4 18.(6分).小鑫、小童两人同时解方程组{ 时，小鑫看错了方程②中的α，解得 ar-y=17② 1小 x=5 童看错了①中的b,解得 y=-7 (1)求正确的4，b的值. (2)求原方程组的正确解， 4/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(8分)在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同. (1)任意摸出1个球，摸到红球是 事件，摸到黄球是 事件：（填“不可能”“必然”或“随 机”) (2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑 球的新率是。求后米放入袋中的黑球的个致。 20.(8分)如图，在△ABC中，点D、F在边BC上，点E在AB边上，点G在AC上，EF与GD的延长线 交于点H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°. H E D G (1)判定EH和AD的位置关系，并说明理由. (2)若∠DGC=60°，且∠H-∠4=4°，求∠H的度数. 5/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(10分)为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电.已知每 100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为62.5%：每10组小型风力发电机每天额定发电25度， 实际发电效率为80%.第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二 次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度. (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发 电机的数量比例和第一次调试时保持一致.若每块太阳能板需要2m电缆，每组小型风力发电机需要3m电 缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 22.（10分)如图，直线的函数表达式为y=2x-1,与x轴交于点D:直线的函数表达式为y=-x+5, 与x轴交于点A:2与l交于点C. (1)求点C的坐标. (2)求△ACD的面积， (3)若B(4,m)是直线2上的点，P为线段AD上的一个动点，且S△cp=3.求点P的坐标. 6/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(12分)综合与实践：根据下面素材，探索完成任务 为建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，某区正全力聚焦智能网联新能源 汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生 背景 态.为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从该区新能源汽车产业集 群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局. 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元. 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元. 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至 任务2 少1台)，请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案. 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆9型新 任务3 能源汽车可获利0.35万元.在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能 顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 7/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(12分)问题探究： 如图①，已知AB∥CD,我们发现∠E=∠B+∠D.我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EF∥AB,把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF=∠B, ∠DEF=∠D 李思同学：如图③，过点B作BF∥DE,则∠E=∠EBF,再证明∠ABF=∠D. B B F 图① 图② 图③ 图④ 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程， 证明：过点E作EF∥AB ∠B=∠_ ,EF∥AB,AB∥CD, EF∥CD(), ∠ =∠DEF(), ∴.∠BEF+∠DEF=∠B+∠D, 即∠BED=∠B+∠D, (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作BF∥DE交CD的延长线于点G… 问题迁移： (3)如图④，已知AB∥CD,EF平分∠AEC,FD平分∠EDC.若∠CED=3∠F,请直接写出∠F的度 数 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册第七章二元一次方程组+第八章证明+第九章概率初步。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 2.如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3.在二元一次方程中，若均为非负整数，则该方程的解的组数有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 4.关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 5. 已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线 （，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6.在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在 0.4 左右，则袋中白球约有（ ） A．10 个 B．15 个 C．20 个 D．25 个 6. 如图，为内一点，若，， 且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 9.有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠） 放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 10.已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为； ； ； 当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 12.一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点D后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为__________．    13.从，，，2四个数中任取一个，作为一次函数的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是______． 14.聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 15.已知方程组的解是，则方程组的解为______． 16.如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是_____．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程组： (1)； (2)． 18.（6分）．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 19.（8分）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同． (1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数． 20.（8分）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 21.（10分）为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 22.（10分）如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D；直线的函数表达式为，与x轴交于点A；与交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求的面积． (3)若是直线上的点，P为线段上的一个动点，且．求点P的坐标． 23.（12分）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 为建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，某区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从该区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 24．（12分）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B B A A B A C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 12． 13．/ 14． 15． 16． 三、解答题：本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） （1）解：（1）解：， 由得，……1分 把代入得， 解得，……2分 把代入得， ∴方程组的解为；……3分 （2）解： ， 两边同乘去分母得，展开整理得， 两边同乘去分母得，展开整理得， 得，解得：，……4分 把代入得，解得：，……5分 ∴方程组的解为．……6分 18． （6分） （1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得；……1分 将代入③得：，解得；……2分 故正确的；……3分 （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③，……4分 将③代入②得：，解得； 将代入③得：；……5分 ∴原方程组的正确解为．……6分 19． （8分）（1）随机，……1分 不可能.……2分 （2）解：．……4分 故摸到白球的概率是．……5分 （3）解：设后来放入袋中的黑球的个数是． 依题意得: ，……6分 解得．……7分 故后来放入袋中的黑球的个数是18．……8分 20．（8分）（1）（1）解：，理由如下：……1分 ∵， ∴， ∴，……2分 又∵， ∴，……3分 ∴；……4分 （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴，……5分 ∵， ∴， ∴， ∴，……6分 ∵， ∴．……8分 21．（10分）（1）解：设第一次调试时，安装的太阳能板有块，小型风力发电机有组，根据题意得， ，……3分 解得：，……4分 答：第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组.……5分 （2）解：∵每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致， ∴需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组，……7分 ∵每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆， ∴要满足这个供电需求，需要准备电缆.……10分 22.（10分）（1）（1）解：根据题意，可列方程组，……1分 解得，……2分 ；……3分 （2）解：对于， 当时，，解得，，……4分 对于， 当时，，解得，， ，……5分 ；……6分 （3）在直线上，，解得……7分 设则，， ， 即，……8分 ， 解得，……9分 ．……10分 23.（12分）解：（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元， 由题意得：，……2分 解得，……3分 即H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元．……4分 （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆， 得：，……6分 ， ∵和24均为偶数， ∴必为偶数， ∴m为正偶数， 解得，……7分 即方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车； 方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车； 方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车．……8分 （3）方案一：（万元），……9分 方案二：（万元），……10分 方案三：（万元）．……11分 ， ∴购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元．……12分 24.（12分）（1）∴，……1分 ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行），……2分 ∴（两直线平行，内错角相等），……4分 （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，，……5分 ∵， ∴， ∴，……7分 ∴；……8分 （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．……12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 16.（3分）________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19.（8分） (1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册第七章二元一次方程组+第八章证明+第九章概率初步。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类与概率的意义，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合概率的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A、中奖率为的奖券10张，仍有可能不中奖，“中奖”是随机事件，不是必然事件，故该选项不符合题意； B、200件产品中只有5件次品，任意抽取6件，最多有5件次品，因此至少1件正品一定发生，是必然事件，不是不可能事件，故该选项不符合题意； C、汽车累计行驶，可能从未出现故障，也可能出现故障，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故该选项符合题意； D、明天降水概率为，指明天降水的可能性为，不是的时间下雨，故该选项不符合题意； 故选：C 2.如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质与三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图所示，记与相交于点， ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 3.在二元一次方程中，若均为非负整数，则该方程的解的组数有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的非负整数解，先将方程变形，再根据均为非负整数的条件，枚举得到所有符合条件的解，统计解的组数即可． 【详解】解：∵， ∴变形得 ， ∵，均为非负整数， ∴，，即 ，且为偶数， 依次枚举的取值： 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； ∴ 符合条件的解共有组． 4.关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 5.已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线（，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， ∴，的二元一次方程组的解为， 二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标， ∴点的坐标为：． 故选：A． 6.在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在 0.4 左右，则袋中白球约有（ ） A．10 个 B．15 个 C．20 个 D．25 个 【答案】A 【分析】此题考查了用频率估计概率，以及概率公式，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率是解题的关键． 解：设白球有x个，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故选A． 7.如图，为内一点，若，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，再求出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 8.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组． 【详解】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文， 根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得， 根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得， ∴所列方程组为，对应选项A． 9.有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 10.已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①方程组的解为的解为；②求出三条直线的解析式，得到， 得到，根据三角形的面积公式得到；③直接根据坐标点求出面积；④作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小，得出直线的解析式为， 当时，，得到，符合题意． 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 12.一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点D后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为__________．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握过拐点作平行线，利用内错角相等、同旁内角互补转化角度是解题的关键． 过点作辅助线平行于，利用平行线性质分别求出和，再由同旁内角互补求出． 【详解】解：如图，过点作，    则 ∴ 故答案为：． 13.从，，，2四个数中任取一个，作为一次函数的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的性质，求概率． 一次函数中，当k>0时，y随x的增大而增大，，，，2中，的数有，，2共三个，进而根据概率公式计算即可． 【详解】解：一次函数中，当时，y随x的增大而增大， ，，，2中，的数有，，2共三个， ∴所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是． 故答案为：． 14.聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 15..已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】令，，则方程组变形为，结合题意可得方程组的解是，从而得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴，， ∴，， ∴方程组的解为． 16.如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，角的和差，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据长方形的性质得出直角和平行线，根据直角的性质得出，然后利用翻折的性质以及角的和差求出，最后利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）将方程组去分母整理，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得， 把代入得， 解得， 把代入得， ∴方程组的解为； （2）解： ， 两边同乘去分母得，展开整理得， 两边同乘去分母得，展开整理得， 得，解得：， 把代入得，解得：， ∴方程组的解为． 18.（6分）．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【详解】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 19.（8分）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同． (1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数． 【答案】(1)随机  不可能 (2) (3)18 【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可求解； （2）求出白球占总数的几分之几即可； （3）根据概率公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据概念可得：任意摸出1个球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件； 故答案为：随机，不可能. （2）解：． 故摸到白球的概率是． （3）解：设后来放入袋中的黑球的个数是． 依题意得: ， 解得． 故后来放入袋中的黑球的个数是18． 20.（8分）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定与性质． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质得，等量代换得到，即可得和的位置关系； （2）由平行线的性质得到，，根据角的和差得出，再根据，即可得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21.（10分）为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 【答案】(1)第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组. (2)需要准备855米电缆. 【分析】（1）设第一次调试时，安装的太阳能板有块，小型风力发电机有组，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解； （2）先求解需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组，再进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设第一次调试时，安装的太阳能板有块，小型风力发电机有组，根据题意得， ， 解得：， 答：第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组. （2）解：∵每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致， ∴需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组， ∵每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆， ∴要满足这个供电需求，需要准备电缆. 22.（10分）如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D；直线的函数表达式为，与x轴交于点A；与交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求的面积． (3)若是直线上的点，P为线段上的一个动点，且．求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了两条直线相交问题，求交点坐标，及求三角形面积． （1）根据两直线解析式，列二元一次方程组求交点坐标； （2）根据两直线解析式，求出两直线分别与轴的交点、的坐标，进而计算的长，结合点的坐标得的高，从而计算的面积； （3）先求出点坐标，设得，，根据得，从而计算的值，进而表示出的坐标． 【详解】（1）解：根据题意，可列方程组， 解得， ； （2）解：对于， 当时，，解得，， 对于， 当时，，解得，， ， ； （3）（3）在直线上，，解得 设则，， ， 即， ， 解得， ． 23.（12分）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 为建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，某区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从该区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】任务1：H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元；任务2：方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车；方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车；方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车； 任务3：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程组的整数解应用． （1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元，根据素材1、2的采购组合总价列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆，根据总价120万元列出方程，用m表示n，根据n为正整数的条件，确定m的取值范围，找出所有符合条件的正整数解； （3）根据各方案的m、n值，计算利润，比较各方案利润大小，得出最大利润及对应方案． 【详解】解：（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元， 由题意得：， 解得， 即H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元． （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆， 得：， ， ∵和24均为偶数， ∴必为偶数， ∴m为正偶数， 解得， 即方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车； 方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车； 方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车． （3）方案一：（万元）， 方案二：（万元）， 方案三：（万元）． ， ∴购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元． 24．（12分）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）如图②中，过点E作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可； （2）如图③中，过点B作交的延长线于G，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可； （3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即， （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 .: (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 : 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 : 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：鲁教版七年级下册第七章二元一次方程组+第八章证明+第九章概率初步。 : 第一部分（选择题共30分） : 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列说法正确的是（) 1 : A。“买中奖率为10的奖券10张，中奖”是必然事件 O B.“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C.“汽车累计行驶10000km,从未出现故障"是随机事件 D.明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 2.如图，AB∥ED,∠A=35°，∠C=15°，则∠D的度数是() E : A.120 B.1309 C.110° D.135° A 3在二元一次方程2x+3y=21中，若x,y均为非负整数，则该方程的解的组数有() : A.5组 B.4组 C.3组 D.2组 x+2v=6k 4.关于x,y的二元一次方程组 x-y=3效的解，也是二元一次方程2x+y=3的解，则k的值为() : : A.3 B. 1 D.-3 3 x=3 5.已知关于x,y的二元一次方程组 y=x+2 y=+b的解 y=m'如图，若直线y=+b y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)与直线y=x+2相交于点P,则点P的坐标为() V=x+2 A.(3,5) B.(5,3) C.(5,2) D.(2,5) 试题第1页（共6页） .: ©学科网·学易金卷德概装：限爱是鲁” 6.在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸 出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约 有() A.10个 B.15个 C.20个 D.25 6.如图，P为△ABC内一点，若∠ABP背<CBP,ACP-背BCP, 3 且∠A=72°，则∠BPC的度数是() B A.125 B.99° C.95 D.89° 8.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不 及罗尺价三十六文，问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类 丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫 类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为() 7x=9y 「9x=7y 「7x=9y 9x=7y 29 A. B. C. x-y=36 x-y=36 y-x=36 y-x=36 9.有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠） 不 放置在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是( 9 A.72 B.68 C.65 D.60 D 知直线：y=+b5直线，yx+m都经过点(L3),直线交x轴于点4，交y轴于点Q,0 直线2交y轴于点C,交x轴于点D,直线l,∥直线且经过原点，且与直线2交于点F,点P为x轴上任 意一点，连接PC,PF,对于以下结论，正确的个数有() y=kx+b x=-1 ①方程组1，的解为 B y2 +m y=3 E 25 ②SOFD= 6 ③S4Dg=21: ④当PF+PC的值最小时，点P的坐标为L,O) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) [3x-2y=4,「2x-3y=19 11.关于x,y的二元一次方程组 有相同的解，则m= x+1y=75y-x=3 试题第2页（共6页） @⊙学科网·学易金卷做将：限是禁 12.一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠B的度数为150°，第二次拐弯∠C的度数为110°， 到了点D后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠D的度数为 E 13.从-1,0.5,1.6,2四个数中任取一个，作为一次函数y=c-3的k值，则所得一次函数中y随x的增 大而增大的概率是· 14.聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现， 过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反， 且十位数字与个位数字的和为7.则聪聪岁 ax+by=2 x=2 15.已知方程组 (cr+=3的解是 y=3'则方程组 a(x+2)+b(y-1)=2 (x+2)+d(y-l)=3的解为一 16如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE=°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平， 如图②.若图②中∠AED'=10°，则∠BCE的度数是·（用含n的代数式表示） E 图① 图② 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分)解方程组： 「x-2_5-y=1 x+y=8 32 ()15x=3y (2) xy+1=5 0.30.2 2“-咖=10时，小鑫看错了方程②中的a,解得 x=4 18.(6分).小鑫、小童两人同时解方程组 x-y=17② x=5 童看错了①中的b,解得 y=-7 (1)求正确的a,b的值， (2)求原方程组的正确解. 试题第3页（共6页） 19.(8分)在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同. ○ (1)任意摸出1个球，摸到红球是 事件，摸到黄球是 事件；（填“不可能“必然 或“随机”) (2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ : (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为 .: : 黑球的概率是.求后来放入袋中的黑球的个数。 : 4 兵 20.(8分)如图，在△ABC中，点D、F在边BC上，点E在AB边上，点G在AC上，EF与GD的延长 : 线交于点H,A=∠B,∠2+∠3=180°. 游 游 (1)判定EH和AD的位置关系，并说明理由. (2)若∠DGC=60°，且∠H-∠4=4°，求∠H的度数. G S E 21.(10分)为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电.己知 每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为62.5%；每10组小型风力发电机每天额定发电25 : 度，实际发电效率为80%.第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度： : 第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150 度、 (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发 烯 电机的数量比例和第一次调试时保持一致.若每块太阳能板需要2电缆，每组小型风力发电机需要3m电 缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ : :: : 试题第4页（共6页） ..…. : 22.(10分)如图，直线的函数表达式为y=2x-1,与x轴交于点D;直线l2的函数表达式为y=-x+5, 与x轴交于点A;12与交于点C. (1)求点C的坐标. (2)求△ACD的面积. : (3)若B(4,m)是直线l2上的点，P为线段AD上的一个动点，且S△cP=3.求点P的坐标. % 尽 23.(12分)综合与实践：根据下面素材，探索完成任务 .: 为建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，某区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发 创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态.为抢抓新能源汽车市 背景 舒 场机遇，某汽车销售企业计划从该区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场 销售布局 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元. 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元. 解决问题 : 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ : 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台）， : 任务2 : 请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案。 : 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆9型新能源汽车 任务3 可获利0.35万元.在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采 购方案获利最大？最大利润是多少万元？ : 试题第5页（共6页） 可学科网·学易金卷做概装：就限是鲁禁 24.(12分)问题探究： 如图①，己知AB∥CD,我们发现∠E=∠B+∠D,我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EF∥AB,把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF=∠B, ∠DEF=∠D 李思同学：如图③，过点B作BF∥DE,则∠E=∠EBF,再证明∠ABF=∠D. F B B D 图① 图② 图③ 图④ 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程。 证明：过点E作EF∥AB ∠B=∠ ,EF∥AB,AB∥CD, .EF∥CD(), =∠DEF（), ∴∠BEF+∠DEF=∠B+∠D, 即∠BED=∠B+∠D, (2)请按李思同学的思路，写出证明过程： 证明：过点B作BF∥DE交CD的延长线于点G… 问题迁移： (3)如图④，已知AB∥CD,EF平分∠AEC,FD平分∠EDC.若∠CED=3∠F,请直接写出∠F的 度数 试题第6页（共6页）2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂☐ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][CI[D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10 [A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 4[A][B][C[D] 8[A][B][c][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.(3分) 12.(3分) 13.(3分) 14.(3分) 15.（3分) 16.(3分) 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) (1)任意摸出1个球，摸到红球是 事件，摸到黄球是 事件： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) B H E 3 D A工4 G 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) y外 B A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) A B E D 图① 图② 图③ 图④ (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程. 证明：过点E作EF∥AB .∠B=∠， ,EF∥AB,AB∥CD, .EF∥CD(), ∠ =∠DEF(), ∴.∠BEF+∠DEF=∠B+∠D, 即∠BED=∠B+∠D, 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 18.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） (1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件； 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23． （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24． （12分） （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【]【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A1[BJ[C][D] 2[A][B][C][D] 6.A][B][C]ID1 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 12. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) (1)任意摸出1个球，摸到红球是 事件，摸到黄球是 事件： 20.(8分) 6 H F D A工4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) B OVD A 衣 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) F E B B E D D 图① 图② 图③ 图④ (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程. 证明：过点E作EF∥AB .∠B=∠ ,EF∥AB,AB∥CD, ∴.EF∥CD(), .∠ =∠DEF(), ∴.∠BEF+∠DEF=∠B+∠D, 即∠BED=∠B+∠D, 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册第七章二元一次方程组+第八章证明+第九章概率初步。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 2.如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3.在二元一次方程中，若均为非负整数，则该方程的解的组数有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 4.关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 5.已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线（，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6.在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在 0.4 左右，则袋中白球约有（ ） A．10 个 B．15 个 C．20 个 D．25 个 7.如图，为内一点，若，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 9.有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 10.已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 12.一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点D后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为__________．    13.从，，，2四个数中任取一个，作为一次函数的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是______． 14.聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 15.已知方程组的解是，则方程组的解为______． 16.如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是_____．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程组： (1)； (2)． 18.（6分）．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 19.（8分）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同． (1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数． 20.（8分）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在上，与的延长线交于点，，． (1)判定和的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 21.（10分）为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 22.（10分）如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D；直线的函数表达式为，与x轴交于点A；与交于点C． (1)求点C的坐标． (2)求的面积． (3)若是直线上的点，P为线段上的一个动点，且．求点P的坐标． 23.（12分）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 为建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，某区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从该区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 24．（12分）问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $