精品解析：2026年浙江省杭州十五中学中考数学模拟试卷（3月份）

2026年浙江省杭州十五中中考数学模拟试卷（3月份） 一、选择题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3 如果，则（ ） A. B. C. D. 4. 左图是一个正三棱柱，它的主视图是（　　） A B. C. D. 5. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A 8 B. 12 C. 16 D. 20 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（为常数，）的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，下列结论正确的是（　　） A. 图象开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 9. 如图，在菱形中，，，以为直径的圆与交于点E，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 11. 分解因式：______． 12. 不等式组的解集是___________． 13. 现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为__________． 14. 如图，四边形内接于，，，则________ ． 15. 若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 16. 如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点G．则与四边形的面积比为________ ． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色．美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好． （1）文文从这四张脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为________； （2）文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求她抽到的脸谱中有一张是B的概率． 20. 数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 21. 如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 22 跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 23. 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … （1）当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若，求的取值范围； （2）求证：． 24. 已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州十五中中考数学模拟试卷（3月份） 一、选择题（共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据：乘积是的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．据此解答即可． 【详解】解：的倒数是． 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 3. 如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式求值． 将拆分为，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：C． 4. 左图是一个正三棱柱，它的主视图是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，主视图如下， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的主视图．解题的关键在于明确从正面看到的是主视图，看到的轮廓线用实线，看不到的轮廓线用虚线． 5. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 6. 如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解： 分别切 于点 ， 切 于点 ，， ， ， ， 的周长 ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把的周长转化为已知切线相关的线段计算． 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系. 设雀每只两，燕每只两，根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，找到等量关系即可列出方程组. 【详解】∵雀每只两，燕每只两， 依题意可得 故选A 8. 已知抛物线（为常数，）的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，下列结论正确的是（　　） A. 图象的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线与x轴交点在y轴两侧的条件，求出a的取值范围，再结合二次函数的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】首先对抛物线解析式配方： 由此可得，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为. 当时，代入得. ∵抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，∴与处的函数值异号，即. 解得. 对选项逐一判断： A. ∵，∴抛物线开口向上，A错误. B. ∵开口向上，对称轴为，∴当时随增大而增大，当时随增大而减小，B错误. C. ∵开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，不小于，C错误； D. 将代入解析式得：， ∵，∴，即，D正确． 9. 如图，在菱形中，，，以为直径的圆与交于点E，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，圆周角定理．取的中点，连接，根据菱形的性质得，，根据圆周角定理得，，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 菱形中，，， ，， ，， ∴的长是． 故选：C． 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求得AC＝BC＝2，然后分0＜x≤和＜x≤2两种情况解答即可． 【详解】解：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2 ∴AC×BC＝4， ∴AC＝BC＝2， 当0＜x≤时，y＝x2； 当＜x≤2时，设ED交AB于M，EF交AB于N，如图： ∵CD＝x， ∴AD＝2﹣x， 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝45°， ∵四边形CDEF是正方形， ∴∠MDA＝∠MDC＝90°， ∴△AMD为等腰直角三角形， ∴DM＝2﹣x， ∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2， ∴S△EMN＝ ＝2， ∴ ＝﹣x2+4x﹣4， ∴当＜x≤2时，y为开口向下的抛物线， 观察各选项，只有A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解答本题的关键． 二、填空题（共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握是解题的关键． 根据提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 12. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以不等式组的解集为， 故答案：． 13. 现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，掌握概率的求法是解题的关键． 通过列举所有可能的结果，找出甲出的卡片数字大于乙出的卡片数字的情况数，再计算概率． 【详解】解：甲可能出的数字为：1，4，7；乙可能出的数字为：3，5，8； 所有等可能的结果共有：种，其中甲出的数字大于乙出的数字的结果有：甲4乙3，甲7乙3，甲7乙5，共3种； 因此概率为：． 故答案为：． 14. 如图，四边形内接于，，，则________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，点B，F，E恰好在同一直线上，延长交于点G．则与四边形的面积比为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】延长，与的延长线交于点，证明，可推出，，证明，可得，，进而可得，，，证明，得， 设的边上的高为，则的边上的高为，的底边上的高为，则与四边形的面积比可求． 【详解】解：延长，与的延长线交于点， 在中，，， ，， ，， ，，，， 将沿翻折得，点B，F，E恰好同一直线上， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设边的上的高为，则的边上的高为，的底边上的高为， 则与四边形的面积比为． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案． 此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）按照解分式方程的一般步骤解方程，求出，再进行检验即可； （2）先求出一元二次方程根的判别式，然后利用求根公式进行解答即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原方程的解为：； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ，． 19. 京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色．美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好． （1）文文从这四张脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为________； （2）文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求她抽到的脸谱中有一张是B的概率． 【答案】（1） （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，再得到抽到的脸谱中有一张是B的结果种数，最后由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从这四张脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由图知，共有12种等可能的结果，其中抽到的脸谱中有一张是B的结果数为， 抽到的脸谱中有一张是B的概率为． 20. 数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，可得四边形矩形，在中，，则，解，可得，再由即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：楼房高度约为． 21. 如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，再根据垂径定理证明； （2）根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算得到答案． 【小问1详解】 证明：是直径， ， ， ∴， ， ∵为半径， ； 【小问2详解】 解：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 22. 跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数； ②它的立方根的个位数字是 ； ③19683的立方根是 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】（1）①两；②7；③27 （2）48 【解析】 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【小问1详解】 解：①，， 又， ， 能确定19683的立方根是个两位数． ②∵19683的个位数是3， 又， 能确定19683的立方根的个位数是7， ③如果划去19683后面的三位683得到数19， 而，则，可得， 由此能确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． 【小问2详解】 解：∵，， 又∵， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ∵110592的个位数是2， 又∵， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则， 可得， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 23. 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … （1）当时， 求该二次函数图象的顶点坐标； 若，求的取值范围； （2）求证：． 【答案】（1）顶点坐标为； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）令，求得对应的值，然后根据二次函数的对称性即可确定顶点坐标；根据函数图象的对称性可得：离对称轴越远，函数值越大，得到对应的点比对应的点距离对称轴远，列不等式，解不等式即可得解； （2）令，得到，进而表示出，结合即可得证． 【小问1详解】 解：当时， 当时，， 当时，， 由二次函数的对称性可知顶点坐标为． 二次函数图象的对称轴为直线，且，开口向上， 离对称轴越远，函数值越大， ， 对应的点比对应的点距离对称轴远， ，即， 或， 解得或， 观察表格可知，， ． 【小问2详解】 证明：当时，， ， ， ， ． 24. 已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接OC，证明，，由即可得到结论； （2）连接OC，证明，即可证明结论； （3）取中点，连接，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接OC， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 由（1）知：，， 是的直径， ， ， ， ， 是的平分线， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， 是的中点， ，， ， 由（2）知：， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $