精品解析：江苏扬州中学教育集团树人学校2025-2026学年下学期阶段学习诊断高一数学

树人高级中学2025-2026-2阶段学习诊断 高一数学 2026.04 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. =（ ） A B. C. D. 2. 平面向量，，若与共线，那么的值为（ ） A. B. C. D. 3. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 中，为边的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量，满足，则（ ） A B. 3 C. D. 4 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在方向上的投影向量为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数________. 13. 已知，则的值为______. 14. 已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）求的值； 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 如图，在菱形中，，． （1）若，求的值； （2）若，，求． （3）若菱形的边长为6，求的取值范围． 18. 已知，，设. （1），求函数值域. （2）若，且，求的值. 19. 在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量. （1）设（），写出函数有序相伴向量； （2）若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树人高级中学2025-2026-2阶段学习诊断 高一数学 2026.04 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】. 故选：B 【点睛】本题考查了两角差正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 2. 平面向量，，若与共线，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量共线的坐标形式的充要条件求解. 【详解】由题意，，共线，则，解得. 故选：A 3. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C 4. 中，为边的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的运算法则可得答案. 【详解】如图，， 则， 故 . 故选：B 5. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，将，，，代入即可得. 【详解】因为，是单位向量，所以，，又， 所以. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，结合两角差正切公式求，结合二倍角公式，平方关系将所求式子转化为齐次式，利用齐次式的方法求结论. 【详解】因为， 所以. 因为， 所以. 故选：C. 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 8. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得. 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由平方关系，商数关系以及两角和差的余弦公式即可运算求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， . 故选：ABC 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角公式、辅助角公式，可得解析式，根据周期公式，可判断A的正误；将代入，根据正弦函数的性质，可判断B的正误；根据x的范围，可得的范围，根据正弦函数的性质，可判断C的正误；根据条件可得，根据的范围及函数值的大小，可得的范围，进而可得的值，根据两角差的正弦公式，即可得答案. 【详解】由题意， 则的最小正周期，故A正确； 令，则，为函数的最大值， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 当时， ，故C错误； 因为，所以， 由题意，得， 所以，所以， 则 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量， 设，，则， 所以，，解得. 故答案为：. 13. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由可得， 故. 14. 已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为___________. 【答案】## 【解析】 分析】先应用，结合 计算最小值得出，最后应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为，则， 所以， 所以当时取最小值，此时， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1）60； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式求解； （2）利用向量的平方等于向量模长的平方，求新向量的模长. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求角的余弦值，注意三角函数值的正负； （2）先将所求角拆成两个已知的角，再用两角的和差公式求角的正弦值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以 【小问2详解】 17. 如图，在菱形中，，． （1）若，求的值； （2）若，，求． （3）若菱形的边长为6，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解，即可． （2）利用已知向量，表示数量积的向量，然后求解即可． （3）利用向量的数量积可得，结合三角函数的有界性，求解即可． 【小问1详解】 因为，， 所以，又， 所以，， 故． 【小问2详解】 ， 为菱形， ，即． 【小问3详解】 ，， 的取值范围：． 18. 已知，，设. （1），求函数的值域. （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算和三角恒等变换化简可得，再由定义域区间求值域即可； （2）由，求得，由二倍角公式可得，又，再由两角和的正切公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， ，，， 所以函数的值域为． 【小问2详解】 由题设，又，则， 所以，所以， 所以， 所以 19. 在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量. （1）设（），写出函数的有序相伴向量； （2）若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，有唯一“和谐区间” 【解析】 【分析】（1）化简得到，得到有序相伴向量； （2）先得到，进而得到，其中，，画出图象，数形结合得到结论； （3）由，得，分a，，a，，三种情况，将的情况再细分为和两种情况，结合函数图象及定义域和值域，推出有唯一“和谐区间”． 【小问1详解】 因为， 所以函数的有序相伴向量； 【小问2详解】 若的有序相伴向量为，则， 所以 ，其中，， 如图所示为的草图： ，，， 由图象可知，若函数与直线有且仅有2个不同的交点， 则或，所以； 【小问3详解】 有唯一“和谐区间”，理由如下： ，假设存在“和谐区间”， 则由，得， ①若a，，则由，知，与值域矛盾， 故不存在“和谐区间”； ②同理a，时，由，知，与值域矛盾， 故不存在“和谐区间”； 下面讨论， ③若，则，故的最小值为，于是， 所以，所以的最大值为2，故， 此时的定义域为，值域为，符合题意； ④若，当时，同理可得，，但此时，舍去； 当时，在上单调递减，所以，， 于是， 令，则有， 又为奇函数，且在单调递增， 所以，所以 即，同一坐标系内，画出图象与，如下： 可知，当时，， 所以，从而，矛盾． 综上所述，有唯一“和谐区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $