利用导数讨论含参函数的单调性 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

利用导数讨论含参函数的单调性讲义 利用导数讨论含参函数的单调性讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣导数与函数单调性的核心关系：时单调递增，时单调递减；将含参函数的导数整理为含参代数式，通过分类讨论参数范围，确定的符号分布，进而得到函数在定义域内的单调区间，核心是定定义域→化导函数→分参判符号→定单调区间。 二、通用解题思路（四步法，核心：分参讨论，不重不漏） 1. 确定定义域，求导化简 先确定原函数的定义域（是所有讨论的前提，如对数函数，分式分母≠0）；对求导并整理成最简含参形式（如因式分解为、整理为一次型、二次型），便于后续判符号。 2. 找导函数零点，分析零点存在性 令，解关于的方程，得到含参零点（如、）或定零点（与参数无关）；根据参数范围，判断零点是否在定义域内（不在则无需考虑），同时分析零点的大小关系（多零点时），为分类讨论划分子集。 3.分类讨论参数，判定符号 按参数的临界值（零点存在/消失的分界、零点大小关系的分界，如、、）划分子区间，逐类讨论： （1）先讨论参数使导函数无零点的情况（如恒正/恒负），直接得函数在定义域上单调递增/递减； （2）再讨论参数使导函数有零点的情况，以定义域内的零点为分界，将定义域划分为子区间，逐区间判定的符号（代入区间内特值即可）。 （3）分类原则：不重不漏，按“从简到繁”（如先常数→一次→二次，先单零点→多零点）划分。 4.总结单调区间，按参数范围作答 根据每类参数下的符号分布，写出对应的单调递增/递减区间；作答时按参数范围分类表述，区间端点遵循“开区间”原则（导数为0的点不影响单调性）。 三、高频导函数类型及分类讨论技巧 类型1：导函数为一次型（，） · 临界值：参数使斜率为0（）、零点在定义域边界（）； · 讨论步骤：① 斜率为0（导函数为常数，判正负）；② 斜率≠0，求零点，讨论零点在定义域内/外；③ 零点在内时，按零点分区间判符号。 类型2：导函数为二次型（，，含参或常数） · 临界值：（降为一次型）、（单零点）、（无零点）、零点在定义域边界、零点大小关系反转； · 讨论步骤：① 先看二次项系数（为0/正/负）；② 再判判别式（无零点/有零点）；③ 有零点时，讨论零点是否在定义域内；④ 定义域内多零点时，讨论零点大小；⑤ 逐区间判符号。 类型3：导函数含指对/分式（如，） · 临界值：参数使分子/分母为0、分子零点在定义域内/外； · 讨论技巧：分离“定号部分”与“含参部分”（如时，只需讨论的符号），简化判号难度。 四、注意事项 1. 定义域优先：所有零点和单调区间均在原函数定义域内讨论，零点超出定义域直接舍去； 1. 临界值找全：临界值来自“导函数形式变化、零点存在/消失、零点大小反转”，缺一则讨论漏解； 1. 判符号简化：无需解不等式，代入区间内特值判定正负，快速高效； 1. 分类不重不漏：按参数临界值划分子集，子集间无交集、并集为参数全部范围； 1. 结果规范：单调区间用区间表示，按参数范围分类书写，避免混写；导数为0的点单独说明（不影响单调性）。 例题分析 例1．（25-26高二下·河北·月考）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 例2．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 例3．（25-26高二下·天津·月考）已知函数 (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求正整数的最大值. 例4．（2026·福建厦门·模拟预测）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 变式训练 变式1．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 变式2．（25-26高二下·广东东莞·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且，求a的取值范围. 变式3．（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 变式4．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在使得成立，求的取值范围； 实战演练 1．（25-26高二下·广东惠州·月考）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 2．（25-26高二下·北京·月考）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性. 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用导数讨论含参函数的单调性讲义 利用导数讨论含参函数的单调性讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣导数与函数单调性的核心关系：时单调递增，时单调递减；将含参函数的导数整理为含参代数式，通过分类讨论参数范围，确定的符号分布，进而得到函数在定义域内的单调区间，核心是定定义域→化导函数→分参判符号→定单调区间。 二、通用解题思路（四步法，核心：分参讨论，不重不漏） 1. 确定定义域，求导化简 先确定原函数的定义域（是所有讨论的前提，如对数函数，分式分母≠0）；对求导并整理成最简含参形式（如因式分解为、整理为一次型、二次型），便于后续判符号。 2. 找导函数零点，分析零点存在性 令，解关于的方程，得到含参零点（如、）或定零点（与参数无关）；根据参数范围，判断零点是否在定义域内（不在则无需考虑），同时分析零点的大小关系（多零点时），为分类讨论划分子集。 3.分类讨论参数，判定符号 按参数的临界值（零点存在/消失的分界、零点大小关系的分界，如、、）划分子区间，逐类讨论： （1）先讨论参数使导函数无零点的情况（如恒正/恒负），直接得函数在定义域上单调递增/递减； （2）再讨论参数使导函数有零点的情况，以定义域内的零点为分界，将定义域划分为子区间，逐区间判定的符号（代入区间内特值即可）。 （3）分类原则：不重不漏，按“从简到繁”（如先常数→一次→二次，先单零点→多零点）划分。 4.总结单调区间，按参数范围作答 根据每类参数下的符号分布，写出对应的单调递增/递减区间；作答时按参数范围分类表述，区间端点遵循“开区间”原则（导数为0的点不影响单调性）。 三、高频导函数类型及分类讨论技巧 类型1：导函数为一次型（，） · 临界值：参数使斜率为0（）、零点在定义域边界（）； · 讨论步骤：① 斜率为0（导函数为常数，判正负）；② 斜率≠0，求零点，讨论零点在定义域内/外；③ 零点在内时，按零点分区间判符号。 类型2：导函数为二次型（，，含参或常数） · 临界值：（降为一次型）、（单零点）、（无零点）、零点在定义域边界、零点大小关系反转； · 讨论步骤：① 先看二次项系数（为0/正/负）；② 再判判别式（无零点/有零点）；③ 有零点时，讨论零点是否在定义域内；④ 定义域内多零点时，讨论零点大小；⑤ 逐区间判符号。 类型3：导函数含指对/分式（如，） · 临界值：参数使分子/分母为0、分子零点在定义域内/外； · 讨论技巧：分离“定号部分”与“含参部分”（如时，只需讨论的符号），简化判号难度。 四、注意事项 1. 定义域优先：所有零点和单调区间均在原函数定义域内讨论，零点超出定义域直接舍去； 1. 临界值找全：临界值来自“导函数形式变化、零点存在/消失、零点大小反转”，缺一则讨论漏解； 1. 判符号简化：无需解不等式，代入区间内特值判定正负，快速高效； 1. 分类不重不漏：按参数临界值划分子集，子集间无交集、并集为参数全部范围； 1. 结果规范：单调区间用区间表示，按参数范围分类书写，避免混写；导数为0的点单独说明（不影响单调性）。 例题分析 例1．（25-26高二下·河北·月考）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，可得， 则，，即切线的斜率为，切点为， 所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）由函数，可得其定义域为， 且． 令，可得或， 当时，，在上单调递增； 当时，令，可得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 例2．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 例3．（25-26高二下·天津·月考）已知函数 (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求正整数的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数定义域为， ， ① 若，则恒成立，时，，单调递减； 时，，单调递增. ② 若，则时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增. ③ 若，则恒成立，在上单调递增. ④ 若，时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，时，单调增区间，单调减区间； 时，单调增区间和，单调减区间； 时，单调增区间，无减区间； 时，单调增区间和，单调减区间. （2）原不等式即 ，两边除以得： 整理得： ，所以， 令，求导得： ， 令， 时，单调递增，且，， 故存在唯一零点，满足，即. 当时，递减；时，递增， 故最小值为： 因，故， 且对任意 都有 ，因此 ，又因为 为正整数，所以 的最大值为 . 例4．（2026·福建厦门·模拟预测）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 变式训练 变式1．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由已知，，， 当时，， 令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在，上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减． 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； （2）在上单调递减， 时，恒成立，即恒成立， ，而， ，， ， ，故a的取值范围是． 变式2．（25-26高二下·广东东莞·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【详解】（1）由， 得，   函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以. 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围. 变式3．（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3) 【详解】（1）当时，. 因为， ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为：即. （2），. 当时，由，此时，函数在上单调递减； 当时，由， 此时由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上可知，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 因为. 若，则函数的定义域为，此时，即， 所以在上单调递增. 因为. 设，. 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以恒成立，所以在不可能恒成立. 若，则函数的定义域为，此时， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要想在上恒成立，需要. 设，. 则. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即当时，. 所以为所求. 变式4．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在使得成立，求的取值范围； 【答案】(1)取得极小值为，无极大值. (2)详解见解析 (3) 【详解】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为， 所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，令得或， ①当时，，，所以在单调递增， ②当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ③当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）当时，， 若，则，即，不符合题意； 当时，在单调递减， ，则，解得， 又，所以； 当时，所以在单调递增，，不符合题意； 当时，， ①当时，在单调递增，在单调递减， 由题意得， 即，恒不成立，故无解， ②当时，在单调递减， ，则，解得：，不满足题意； 当时，在单调递增，，不符合题意； 所以的取值范围是. 实战演练 1．（25-26高二下·广东惠州·月考）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）若，则， 所以．又， 所以， 故曲线在处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，． 当时，， 故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2．（25-26高二下·北京·月考）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 若，则，得到或（舍），所以， 所以的零点为. （2）若，，函数的定义域为， 所以，令，得或， 即或， ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 2 学科网（北京）股份有限公司 $