6.2.1 导数与函数的单调性-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“导数与函数的单调性”，通过股票走势情境导入，结合知识点讲解、“想一想”辨析及自我诊断题，搭建从直观到抽象的学习支架，衔接函数单调性旧知与导数应用新知。 其亮点是以数学抽象、逻辑推理、数学运算为核心，通过原函数与导函数图象互判、含参数单调区间讨论等典例及通性通法总结，培养学生分析能力。学生能系统掌握解题方法，教师可高效开展分层教学，提升课堂效果。

6.2.1　导数与函数的单调性 1 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系（数学抽 象、直观想象）. 2.能利用导数研究函数的单调性（逻辑推理、数学运算）. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股 票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有 降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性. 【问题】　函数的单调性与导数有什么关系？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点　函数的单调性与其导数正负的关系 　一般地，函数f（x）的单调性与其导函数f'（x）的正负之间具有如下的 关系： （1）在某个区间（a，b）上，如果 ，那么函数y＝f （x）在区间（a，b）上单调递增； （2）在某个区间（a，b）上，如果 ，那么函数y＝f （x）在区间（a，b）上单调递减. f'（x）＞0　 f'（x）＜0　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 如果在某个区间上恒有f'（x）＝0，那么函数y＝f（x）在这个区间上 单调性如何？ 提示：函数y＝f（x）在这个区间上是常数函数，不具有单调性. 2. 在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递增， 反之也成立吗？ 提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于 零.也就是说f'（x）＞0是y＝f（x）在某个区间上单调递增的充分不必要 条件. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 函数图象的变化趋势与导数值大小有何关系？ 提示：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这 个范围内变化的较快，其图象比较陡峭.即｜f'（x）｜越大，则函数f （x）的切线斜率的绝对值越大，函数f（x）的变化率就越大. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 函数f（x）＝2x－ sin x在（－∞，＋∞）上（　　） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减 D. 在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上单调递增 解析： 因为f'（x）＝2－ cos x＞0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上 是单调递增函数. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f'（x）的图 象大致形状是（　　） 解析： 　观察y＝f（x）的图象可知，函数在（－∞，0）上单调递减， 在（0，＋∞）上单调递增，所以导函数y＝f'（x）在（－∞，0）上小于 0，在（0，＋∞）上大于0.结合各选项可知，只有选项C符合题意. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 如图为导函数y＝f'（x）的图象，则函数y＝f（x）的单调递增区间 是 ，单调递减区间是 ⁠ ⁠. 解析：由f'（x）的图象可知，当x在区间（－3，－2]和（1，3]时，f' （x）＜0，此时f（x）单调递减；当x在区间（－∞，－3]，（－2， 1]，（3，＋∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增.所以f（x）的单 调递增区间是（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）；f（x）的单调递 减区间是（－3，－2]，（1，3]. （－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）　 （－ 3，－2]，（1，3]　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜导数与函数单调性的关系 角度1　根据原函数图象确定导函数图象 【例1】　已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f'（x）的图象 可能是图中的（　C　） C 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：　由函数y＝f（x）的图象的增减变化趋势判断函数y＝f'（x）的 正、负情况如下表： x [－1，b） [b，a） [a，1] f'（x） － ＋ － f（x） 单调递减 单调递增 单调递减 由表可知函数y＝f'（x）的图象，当x∈[－1，b）时，在x轴下方；当 x∈[b，a）时，在x轴上方；当x∈[a，1]时，在x轴下方.故选C. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数 值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数 值的正负可判定导函数图象. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 角度2　由导函数图象确定原函数图象 【例2】　（1）已知y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最 有可能是图中的（　C　） C 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 由f'（x）＞0（f'（x）＜0）的分界点判断原函数在此分界点 两侧的图象的上升和下降趋势.由已知可得x的取值范围和f'（x）的正、 负，f（x）的增减变化情况如下表所示： x （－∞，0] （0，2] （2，＋∞） f'（x） ＋ － ＋ f（x） 单调递增 单调递减 单调递增 由表可知f（x）在（－∞，0]内单调递增，在（0，2]内单调递减，在 （2，＋∞）内单调递增，故满足条件的只有C，故选C. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）已知f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）的图象如图所示，则f（x） 的图象只可能是（　D　） D 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 从f'（x）的图象可以看出，在区间 内，导数递 增；在区间 内，导数递减.即函数f（x）的图象在 内越来越陡峭，在 内越来越平缓. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增减区 间；根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f'（x） 的图象可能是（　　） √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题图可得函数f（x）是单调递增的，则其导函数f'（x）≥0 恒成立，排除A、D两个选项；对于B，当x＝0时，f'（0）＝0，对应的原 函数此时斜率为零，该选项满足题意；选项C不符合题意.故选B. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数图象如图 所示，则y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（　　） √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　两个导函数的图象在x轴上方说明两个函数都是增函数，y＝ f'（x）的函数值由小到大，说明y＝f（x）的图象越来越“陡峭”，y＝ g'（x）的函数值由大到小，说明y＝g（x）的图象越来越“平缓”.故 选B. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜利用导数求函数的单调区间 角度1　不含参数的函数求单调区间 【例3】　已知函数f（x）＝ ，判断函数f（x）的单调性. 解：函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，＋∞）， f'（x）＝ . 由f'（x）＝0，可得x＝e. 则当0＜x＜1和1＜x＜e时， f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 故f（x）在（0，1）和（1，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 求函数y＝f（x）的单调区间的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导函数f'（x）； （3）解不等式f'（x）＞0（或f'（x）＜0），并写出解集； （4）结合函数f（x）的定义域，根据（3）的结果确定函数f（x）的单 调区间. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 角度2　含参数的函数求单调区间 【例4】　已知函数f（x）＝（x－1）ex－ax2＋b.讨论f（x）的单调性. 解：f'（x）＝xe x－2ax＝x（ex－2a）， ①当a≤0时，令f'（x）＝0⇒x＝0， 且当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f （x）单调递增. ②当0＜a＜ 时，令f'（x）＝0⇒x1＝0，x2＝ln 2a＜0， 且当x＜ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当ln 2a＜x＜0时，f' （x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ③当a＝ 时，f'（x）＝x（ex－1）≥0，f（x）在R上单调递增. ④当a＞ 时，令f'（x）＝0⇒x1＝0，x2＝ln 2a＞0， 且当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜ln 2a时，f'（x） ＜0，f（x）单调递减；当x＞ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 含参数的单调性问题解题步骤 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　设函数f（x）＝ex－ax－2，求f（x）的单调区间. 解：函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝ex－a. 若a≤0，则f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增. 若a＞0，则当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0； 当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单 调递增. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜已知函数的单调性求参数的范围 【例5】　若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k 的取值范围是 ⁠. 解析：由于f'（x）＝k－ ，f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调 递增可得f'（x）＝k－ ≥0在（1，＋∞）上恒成立，即k≥ 在（1，＋ ∞）上恒成立，又0＜ ＜1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞）. [1，＋∞）　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，若函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递 减，求k的取值范围. 解：∵f'（x）＝k－ ，且f（x）在（1，＋∞）上单调递减， ∴f'（x）＝k－ ≤0在（1，＋∞）上恒成立， 即k≤ ，∵0＜ ＜1，∴k≤0. 即k的取值范围为（－∞，0]. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：由题意知，f'（x）＝ ≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥－ 2x2－2x在区间[1，＋∞）上恒成立. ∵y＝－2x2－2x在区间[1，＋∞）上的最大值为－4， ∴a≥－4. 经检验，当a＝－4时，f'（x）＝ ＝ ≥0，x∈[1， ＋∞）. 故实数a的取值范围是[－4，＋∞）. 2. （变条件，变设问）若本例中的函数“f（x）＝kx－ln x”换为“f （x）＝x2＋aln（x＋1）（a为常数）”.若函数y＝f（x）在区间[1， ＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. （变条件）若将本例中条件“单调递增”改为“不单调”，求k的取值 范围. 解：f（x）＝kx－ln x，f'（x）＝k－ . 当k≤0时，f'（x）＜0. ∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减，不合题意. 当k＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ ， 只需 ∈（1，＋∞），即 ＞1，则0＜k＜1. ∴k的取值范围是（0，1）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 利用导数求参数范围的基本思路 （1）将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f'（x）≥0（或f' （x）≤0）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参 数取“＝”时是否满足题意； （2）先令f'（x）＞0（或f'（x）＜0），求出参数的取值范围后，再验证 参数取“＝”时f（x）是否满足题意. 2. 恒成立问题的重要思路 （1）m≥f（x）恒成立⇒m≥f（x）max； （2）m≤f（x）恒成立⇒m≤f（x）min. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　已知函数g（x）＝－ x3＋x2－ax在（0，＋∞）上单调递减，设实数a 的取值集合为M. （1）求M； 解： 因为g（x）＝－ x3＋x2－ax，所以g'（x）＝－x2＋2x－a. 因为函数g（x）＝－ x3＋x2－ax在（0，＋∞）上单调递减， 所以－x2＋2x－a≤0对∀x∈（0，＋∞）成立， 所以a≥－x2＋2x＝－（x－1）2＋1对∀x∈（0，＋∞）成立， 又－（x－1）2＋1≤1， 所以a≥1， 所以实数a的取值集合M为[1，＋∞）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若函数y＝lg（2－ ）在区间M上单调递增，求实数m的取值范围. 解： 函数y＝lg（2－ ）在区间[1，＋∞）上单调递增， 所以函数y＝2－ 为[1，＋∞）上的增函数，且当x≥1时，2－ ＞0 恒成立， 由函数性质可得 所以0＜m＜2. 所以m的取值范围为（0，2）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 设函数f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为（　　） √ 解析： 　由f（x）的图象可知，函数f（x）的单调递增区间为（1， 4），单调递减区间为（－∞，1）和（4，＋∞），因此，当x∈（1，4） 时，f'（x）＞0，当x∈（－∞，1）或x∈（4，＋∞）时，f'（x）＜0， 结合选项知选C. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 若函数f（x）＝－ cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为 （　　） A. [－1，＋∞） B. [1，＋∞） C. （－1，＋∞） D. （1，＋∞） 解析： 　由题意可得，f'（x）＝ sin x＋a≥0恒成立，故a≥－ sin x恒成 立，因为－1≤－ sin x≤1，所以a≥1.故选B. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 函数f（x）＝3＋xln x的单调递增区间是 ，单调递减区 间是 ⁠. 解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＞ 0，即ln x＋1＞0，得x＞ .令f'（x）＜0得0＜x＜ ，故函数f（x）的单 调递增区间是 ，单调递减区间是 . 　 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知函数f（x）＝x＋bln x在区间（0，2）上不是单调函数，则b的取 值范围是 ⁠. 解析：f'（x）＝1＋ ＝ ，令g（x）＝x＋b（x＞0），则g（x）是 增函数，故需g（0）＝b＜0，g（2）＝b＋2＞0，b＞－2，所以b∈ （－2，0）. （－2，0）　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 已知函数f（x）＝ x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是（－3，1），则 m＋n＝ ⁠. 解析：由题知f'（x）＝x2＋2mx＋n，由于函数f（x）＝ x3＋mx2＋nx＋ 1的单调递减区间是（－3，1），所以x＝－3，x＝1是f'（x）＝x2＋2mx ＋n的两个零点，根据一元二次方程根与系数的关系得 解得 所以m＋n＝－2. －2　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 函数f（x）＝x2ln x的单调递减区间为（　　） A. （0， ） B. C. （ ，＋∞） D. 解析： 　由题意得，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ 2x·ln x＋x2· ＝2xln x＋x＝x（2ln x＋1）.令f'（x）＜0，得2ln x＋1＜ 0，解得0＜x＜ ，故函数f（x）＝x2ln x的单调递减区间为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数f（x）＝x3lg（x2＋1）＋ex的部分图象可能是（　　） √ 解析： 　对f（x）求导得f'（x）＝3x2lg（x2＋1）＋ ＋e＞0恒成立，故f（x）在R上单调递增，A正确.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知函数f（x）＝aln x－ x2＋6x在定义域内单调递减，则实数a的取 值范围是（　　） A. [－9，＋∞） B. （－9，＋∞） C. （－∞，－9） D. （－∞，－9] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由已知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ －x ＋6.由f（x）＝aln x－ x2＋6x在定义域内单调递减，所以f'（x）≤0在 （0，＋∞）上恒成立，即 －x＋6≤0，可转化为a≤x2－6x在（0，＋ ∞）上恒成立，所以a≤（x2－6x）min.因为y＝x2－6x＝（x－3）2－9， 所以（x2－6x）min＝－9，所以a≤－9.因此实数a的取值范围是（－∞， －9].故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 若f（x）＝ ，e＜a＜b，则（　　） A. f（a）＞f（b） B. f（a）＝f（b） C. f（a）＜f（b） D. f（a）f（b）＞1 解析： 　由f'（x）＝ ＜0，解得x＞e，∴f（x）在（e，＋∞）上 为减函数，∵e＜a＜b，∴f（a）＞f（b）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 已知f（x）＝2aln x＋x2，若∀x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2都有 ＞4，则a的取值范围是（　　） A. （1，＋∞） B. [1，＋∞） C. （0，1） D. （0，1] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　任取x1，x2∈（0，＋∞），假设x1＜x2，因为 ＞4，所以f（x1）－f（x2）＜4（x1－x2），即f（x1）－4x1＜f（x2）－ 4x2.构造函数g（x）＝f（x）－4x，由题意知，g（x）在（0，＋∞） 上单调递增，所以g'（x）＝f'（x）－4≥0，即 ＋2x－4≥0，所以 a≥2x－x2，又2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，所以a≥1，所以a的取值范 围是[1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕若函数f（x）＝ x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则 实数m的取值范围可以是（　　） A. m≥4 B. m≤2 C. 1＜m≤2 D. 0＜m≤3 解析： 　易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－ ＝ .由f'（x）≥0得函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）；由f' （x）≤0得函数f（x）的单调递减区间为（0，3].因为f（x）在区间[m －1，m＋1]上单调，所以 或m－1≥3，解得1＜m≤2或 m≥4.结合选项可得A、C正确.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 函数y＝ 的单调递减区间是 ⁠. 解析：函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），y'＝ ＝ ，令y'＜0，得x＜1，且x≠0.故函数的单调递减区间是（－∞， 0）和（0，1）. （－∞，0）和（0，1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 已知函数f（x）＝x3－ax－1，若f（x）在（－1，1）上单调递减， 则a的取值范围为 ⁠. 解析：∵f（x）＝x3－ax－1，∴f'（x）＝3x2－a.要使f（x）在（－ 1，1）上单调递减，则f'（x）≤0在x∈（－1，1）上恒成立，故a≥3x2 在x∈（－1，1）上恒成立，在x∈（－1，1）上，3x2＜3，即a≥3，∴a 的取值范围为[3，＋∞）. [3，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f' （x）·x＜f（x），f（3）＝0，则 ＞0的解集为 ⁠. 解析：设g（x）＝ ，因为f'（x）·x＜f（x），所以g'（x）＝ ＜0⇒g（x）是（0，＋∞）上的减函数.因为f（3）＝0， 所以g（3）＝0，因此 ＞0⇒g（x）＞0＝g（3）⇒x＜3.因为x＞ 0，所以0＜x＜3.所以 ＞0的解集为（0，3）. （0，3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 已知二次函数h（x）＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h'（x）的图象如 图，f（x）＝6ln x＋h（x）. （1）求函数f（x）的解析式； 解： 由已知，h'（x）＝2ax＋b， 其图象为直线，且过（0，－8），（4，0）两点， 把两点坐标代入h'（x）＝2ax＋b，解得 ∴h（x）＝x2－8x＋2，h'（x）＝2x－8， ∴f（x）＝6ln x＋x2－8x＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求f（x）的单调区间. 解：∵f'（x）＝ ＋2x－8＝ （x＞0）. ∴当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （0，1] （1，3] （3，＋∞） f'（x） ＋ － ＋ f（x） 单调递增 单调递减 单调递增 ∴f（x）的单调递增区间为（0，1]和（3，＋∞）， f（x）的单调递减区间为（1，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 〔多选〕若函数exf（x）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f （x）具有M性质.下列函数中具有M性质的增函数是（　　） A. f（x）＝2－x B. f（x）＝3－x C. f（x）＝x3 D. f（x）＝x2＋2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　对于A，exf（x）＝ex·2－x＝ ，在R上为增函数，故A符 合要求； 对于B，exf（x）＝ex·3－x＝ ，在R上为减函数，故B不符合要求； 对于C，exf（x）＝ex·x3，故[exf（x）]'＝（ex·x3）'＝ex·（x3＋3x2）， 显然函数exf（x）＝ex·x3在R上不单调，故C不符合要求； 对于D，exf（x）＝ex·（x2＋2），故[exf（x）]'＝[ex·（x2＋2）]'＝ ex·（x2＋2x＋2）＝ex·[（x＋1）2＋1]＞0，故函数exf（x）＝ex·（x2＋ 2）在R上为增函数，故D符合要求，故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 已知函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处 的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直.则实数a＝ ；若函数f（x）在区间 [m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围为 ⁠. 解析：因为函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），所以a＋b ＝4.　① f'（x）＝3ax2＋2bx，则f'（1）＝3a＋2b. 由条件f'（1）· ＝－1，即3a＋2b＝9.　② 1　 m≥0或m≤－3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 由①②解得a＝1，b＝3. f（x）＝x3＋3x2，则f'（x）＝3x2＋6x.令f'（x）＝3x2＋6x≥0，得x≥0 或x≤－2.因为函数f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，所以[m，m＋ 1]⊆（－∞，－2]∪[0，＋∞），所以m≥0或m＋1≤－2，所以m≥0或 m≤－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ x2－ x＋ln x. （1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间； 解： 函数f（x）＝ x2－ x＋ln x的定义域为（0，＋∞）， 当a＝2时，f（x）＝ x2－ x＋ln x， 所以f'（x）＝x－ ＋ ＝ ＝ . 故当x∈（0， ）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0， ）上单调递增； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 当x∈（ ，2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（ ，2）上单调递减； 当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（2，＋∞）上单调 递增. 所以函数f（x）的单调递增区间为（0， ）和（2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）讨论函数f（x）的单调性. 解： 由f（x）＝ x2－ x＋ln x可得f'（x）＝x－ ＋ ＝ ＝ . ①当a＜0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； ②当0＜a＜1时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，a）上单 调递增； x∈（a， ）时，f'（x）＜0，f（x）在（a， ）上单调递减； x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（ ，＋∞）上单调递增； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ③当a＝1时，f'（x）≥0，且仅在x＝1时，f'（x）＝0， 所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； ④当a＞1时，x∈（0， ）时，f'（x）＞0，f（x）在（0， ）上单调 递增； x∈（ ，a）时，f'（x）＜0，f（x）在（ ，a）上单调递减； x∈（a，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（a，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，a）和（ ，＋∞）上单调递增，在 （a， ）上单调递减； 当a＝1时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞1时，函数f（x）在（0， ）和（a，＋∞）上单调递增，在 （ ，a）上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 〔多选〕 如果函数f（x）对定义域内的任意实数，都有f（x）＋xf' （x）≥0，则称函数y＝f（x）为“F函数”.下列函数不是“F函数”的 是（　　） A. f（x）＝ex B. f（x）＝ln x C. f（x）＝x2 D. f（x）＝ sin x √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝f（x）＋xf'（x）≥0， 即函数g（x）在定义域内是增函数，称函数y＝f（x）为“F函数”.对 于A，f（x）＝ex，g（x）＝xf（x）＝xex（x∈R），g'（x）＝ex＋ xex＝（x＋1）ex，当x＞－1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x＜ －1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，不符合在定义域内是增函数，则 函数f（x）＝ex不是“F函数”，故A符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 对于B，f（x）＝ln x，g（x）＝xf（x）＝xln x（x＞0），g'（x）＝ln x＋1，当0＜x＜ 时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞ 时，g'（x） ＞0，g（x）单调递增，不符合在定义域内是增函数，则函数f（x）＝ln x不是“F函数”，故B符合题意；对于C，f（x）＝x2，g（x）＝xf（x） ＝x3（x∈R），g'（x）＝3x2≥0，所以g（x）是增函数，则函数f（x） ＝x2是“F函数”，故C不符合题意；对于D，f（x）＝ sin x，g（x）＝ xf（x）＝x sin x（x∈R），g'（x）＝ sin x＋x cos x，当π＜x＜ 时，g' （x）＜0，g（x）单调递减，不符合在定义域内是增函数，则函数f（x） ＝ sin x不是“F函数”，故D符合题意.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x，g（x）＝ex. （1）讨论y＝f（x）的单调性； 解： y＝f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ， 当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立， 所以y＝f（x）在（0，＋∞）上单调递减. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ ， 当f'（x）＜0时，0＜x＜ ，当f'（x）＞0时，x＞ ， 则y＝f（x）在 上单调递减，在 上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若函数F（x）＝f（x）·g（x）在[1，＋∞）上单调递增，求实数 a的取值范围. 解： F（x）＝[a（x－1）－ln x]·ex， 由题意知F'（x）＝ ·ex≥0在[1，＋∞）上恒成立， 所以ax－ln x－ ≥0在[1，＋∞）上恒成立. 令h（x）＝ax－ln x－ ，则至少有h（1）≥0⇒a－1≥0⇒a≥1（经检 验a＝1符合题意）. 当a≥1时，有h'（x）＝a－ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 令φ（x）＝ax2－x＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝ ∈ ， 故φ（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（1）＝a＞0， 所以h'（x）＞0，所以h（x）在[1，＋∞）上单调递增. 综上，实数a的取值范围为[1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $