精品解析：江苏江阴市第二中学2025-2026学年高二下学期阶段性检测数学试卷2026.3

江阴市第二中学高二数学阶段性检测 2026.3 一．选择题（共8小题） 1. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 6 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共3小题） 9. 设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（ ） A. 从东面上山有20种走法 B. 从西面上山有27种走法 C. 从南面上山有30种走法 D. 从北面上山有32种走法 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D. 有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 三．填空题（共3小题） 12. 不等式的解集为________. 13. 若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为______． 14. 已知是函数的零点，则______. 四．解答题（共5小题） 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求曲线在点处的切线方程. 16. （1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 17. 已知函数. （1）当时，求函数在上的极值； （2）当时，求函数的单调区间． 18. 已知函数． （1）若，求的零点； （2）若，讨论的单调性； （3）若，证明：． 19. 已知函数. （1）若，求证：当时，； （2）若是的极大值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴市第二中学高二数学阶段性检测 2026.3 一．选择题（共8小题） 1. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，再将自变量代入求函数值即可. 【详解】由题设，对函数求导得，则. 故选：D 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 4. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在点处的切线方程为，即. 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，利用赋值法解方程即可. 【详解】，， 令，，解得. 故选：C. 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，然后令，解出不等式即可得答案. 【详解】解：， 令，得，所以函数的单调递减区间是， 故选：A. 7. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解. 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 二．多选题（共3小题） 9. 设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（ ） A. 从东面上山有20种走法 B. 从西面上山有27种走法 C. 从南面上山有30种走法 D. 从北面上山有32种走法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分步乘法原理求解即可. 【详解】若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法； 若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法； 若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法； 若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法； 故选：ABD 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D. 有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过分步计数原理分析投信的方法数，区分组合与排列的适用场景，分情况计算“有男有女”的选法，结合分组分配与排除法计算住宿安排数，逐一验证选项. 【详解】A：每封信有3种投法，5封信的投法数为，正确. B：从5人中选3人，参观券无顺序差异，应使用组合数，而非排列数，错误. C：需选“有男有女”的4人，分3种情况：1男3女、2男2女、3男1女，对应选法为、、，正确. D：5人住3个房间（每间最多2人），人数分配为. ①先分组：将5人分为的三组，分法为； ②安排房间：分组后分配到3个房间，方法数为； ③减去甲乙同住的情况：甲乙在同一2人组，剩余3人分为，分法为，分配房间数为； 最终符合条件的安排数为，正确. 故选：ACD 三．填空题（共3小题） 12. 不等式的解集为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据排列数的定义得到且，再根据排列数的性质得到不等式求出解集，得到答案. 【详解】由题意得，解得且， 又，即， 即，解得， 综上可知，故解集为. 故答案为： 13. 若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求，根据条件可得和4是的根，即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为， ∴所以和4是的两根， ∴． 故答案为：−4. 14. 已知是函数的零点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出方程，进而得到进行求解即可. 【详解】由题可知，， 所以， 令,则单调递增，且, 所以，所以， 所以. 故答案为： 四．解答题（共5小题） 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数乘法公式可得答案； （2）由题可得切线斜率，然后利用点斜式可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由（1），，又， 则切线方程满足. 16. （1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【答案】；； 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法计算即可； （2）利用分类加法计数原理结合部分平均分组计算即可； （3）利用分类加法计数原理结合分组分配问题计算即可. 【详解】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法； （2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况， 若是3,1,1,1分组，则有种， 若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法； （3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出， 有种派法； 若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生， 有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生， 此时派法有种， ②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种， 合计288种方法； 综上共有种派法. 17. 已知函数. （1）当时，求函数在上的极值； （2）当时，求函数的单调区间． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）的单调递增区间为，，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据函数极值和导函数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间，判断函数极值. （2）根据函数单调性和函数导数的关系，求出函数导数，求出函数单调区间. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为，则， 令，即，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以在上的极小值小值为，无极大值； 【小问2详解】 当时，函数，定义域为， 则， 令，解得或， 当，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为. 18. 已知函数． （1）若，求的零点； （2）若，讨论的单调性； （3）若，证明：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据零点的定义直接求解可得； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； （3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得. 【小问1详解】 解：若，则， 得或（舍），所以. 所以的零点为； 【小问2详解】 若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 因，要证， 只需证，即， 令，， 因此只需证即可. ， 再令，则 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，. 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即. 所以在有唯一零点，且当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以对，都有成立， 所以，成立． 19. 已知函数. （1）若，求证：当时，； （2）若是的极大值点，求的取值范围. 【答案】（1） 若，则，令， 则，当时，，即在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以， 即在上单调递增，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）令，再求导可得，即可得到在上恒成立，即可证明； （2）分类讨论可得的单调性，分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即可确定极值点，从而得解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知， 令，则， 当时，在区间单调递增， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则当时，， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，且， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，， 则当时，在上单调递增， 所以无极值点，不合题意； 当时，，且； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以是函数的极大值点，符合题意； 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $