精品解析：河北唐山市迁安市第四高级中学（迁安市第一中学西校区）2025-2026学年高二下学期4月月考数学试卷

迁安四中2025—2026学年度第二学期高二年级4月月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（   ） A. -3m/s B. 3m/s C. -4m/s D. 1m/s 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A. 2. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据导数的定义及极限的运算得，求解即可； 解法二：求出导函数，根据导数的定义及极限的运算得，求解即可. 【详解】解法一：函数， 则， 所以，解得． 解法二：，而， 所以，解得． 故选：A 3. 设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 6 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求解. 【详解】因为曲线在处的切线方程为， 所以，， 所以． 故选：D. 4. 在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质及求出，再根据函数存在极值点条件求解即可． 【详解】因为为等比数列，， 所以，解得或（不合题意，舍去）， 所以， ，令，即， 由题意得，是方程的两个相异正根， 则，，符合题意， 故选：D． 5. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C 6. 若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的图象，分类讨论，求得的符号，得到函数的递增区间，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得： 当时，可得，所以，单调递减； 当时，可得，所以，单调递增； 当时，可得，所以，单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用导数研究的单调性，由题意得，解出即可. 【详解】令，，当时，，所以在单调递减， 由题意得，解得. 故选：D. 8. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为且满足，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，对求导判断其单调性，再由单调性解不等式即可求得结果. 【详解】令，则； 由以及可得， 因此在上单调递增， 不等式 可知且, 即，所以可知, 解得， 因此该不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数的运算法则逐个运算求解可判断其正误. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 10. 函数，下列说法正确的是（ ） A. 在区间上是增函数 B. 是奇函数 C. 在区间上的值域为 D. 若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用求导来判断三次函数的单调区间，从而可判断A,利用的解析式可判断B，利用三次函数的单调性求值域可判断C，利用函数零点个数可判断D. 【详解】对于A，由， 当，得或，即在上单调递增， 当，得，即在上单调递减， 从而可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A错误； 对于B，由， ，所以是奇函数，故B正确； 对于C，由在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 所以在区间上的值域为，故C错误； 对于D，由在上单调递增，在上单调递减， 且，当，，当，， 所以方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：BD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有相同的极小值 B. 若方程有唯一实根，则的取值范围为 C. 当时，总有 D. 当时，若，则成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数思想，对函数求导后分析原函数单调性，即可解决极小值问题，对于零点问题，则用数形结合，利用单调性作出函数图象分析即可，对于不等式问题，可利用熟悉的指对数不等式来推理，对于两根之积则利用指对数同构思想再结合单调性去解决恒等问题. 【详解】对于， 当时，，则在上递减， 当时，，则在上递增， 所以有极小值； 当时，，则在上递减， 当时，，则在上递增， 所以有极小值，故A正确； 对于B，结合已求的单调性作图分析， 因为，恒有， 所以方程有唯一实根，则的取值范围为或，故B错误； 对于C，不等式等价于，由基本指数不等式可知是成立，故C正确； 对于D，当时，由得，， 即，显然，则， 则成立，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的最小值为1，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可根据函数的最值求得的值. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，在内恒成立， 所以函数在内单调递增，此时无最小值； 当时，由，得，由，得， 所以函数在内单调递减，在内单调递增， 故当时，取得最小值，即，故． 故答案为：． 13. 已知函数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，求得，令，得到关于的方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，即，解得. 故答案为：. 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为方程有两个根，令，可得函数的图象 与直线有两个交点，利用导数研究函数的性质及图象可得结论. 【详解】令， 所以. 令，，求导可得， 所以函数在上单调递增，且，所以， 令，则有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点. 因为， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 【小问3详解】 因为，所以. 【小问4详解】 因为，所以，则. 16. 已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义及其极值定义计算即可得解； （2）利用函数单调性与导函数的关系可得当时，，计算即可得解. 【小问1详解】 ，则有， 解得，即； 【小问2详解】 由，， 由在区间上单调递增，故当时，， 令，解得或， 故或， 对，该不等式组无解， 对，解得， 综上所述，. 17. 已知函数 （1）若存在使得成立，求的取值范围； （2）当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式成立可得即可，构造函数并求出函数的最大值可得结果； （2）将不等式恒成立转化为在上恒成立，对参数的取值分类讨论，即可求得. 【小问1详解】 易知的定义域为， 由可知，即存在满足， 令， 则，显然当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 所以，因此即可满足题意； 即的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）可知当时在上无解， 因此在上恒成立； 由在定义域内恒成立可得在上恒成立； 因此可得在上恒成立， 令，则， 当时，； 若，可得在上恒成立； 此时可知在上单调递增，因此在上恒成立，满足题意； 若，由可得，即在上单调递增； 由可得，即在上单调递减； 所以，此时在上不恒成立，不合题意； 综上可知， 因此的取值范围为 18. 已知函数 （1）若，求的单调区间和极值； （2）若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围； （3）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入并求导，根据导函数符号可求得单调区间，再由极值定义计算可得结果； （2）依题意可知在区间上有解，即，再由二次函数性质可得； （3）由方程可构造函数，结合方程根的个数求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 易知的定义域为， 当时，易知， 令，可得，所以函数在上单调递增， 令，可得，所以函数在上单调递减； 因此在处取得极大值，； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值； 【小问2详解】 易知， 由函数存在单调递减区间可知在区间上有解， 即在区间上有解，即， 而，当且仅当时等号成立， 所以，又，所以， 因此的取值范围为； 【小问3详解】 当时，， 又，则， 令， 则， 当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增， 所以，又， 易知，所以， 因为方程在上恰有两个不相等的实数根，所以； 即实数的取值范围为. 19. 设. （1）讨论f(x)的单调性； （2）当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1）时，函数在上是减函数，无单调增区间；时，函数在单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求函数导数，根据的取值范围分类讨论即可求出函数的单调性； （2）由（1）求函数在时的最小值，问题转化为函数的最小值大于0恒成立，根据函数单调性，分类讨论求函数的最小值，并判定最小值与0的大小关系即可求解. 【小问1详解】 ， ， ①当时，即时，， 在上是减函数； ②当时，即时， 由， 解得， 当时，，当时，， 在单调递减，在上单调递增， 综上，时，函数在上是减函数，无单调增区间； 时，函数在单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知， 若时，在无最小值，所以f(x)>0不恒成立； 若时， ①当时，， 所以函数在上单调递增， 所以， 即当x>0时，f(x)>0恒成立； ②当时，， 函数在递减，在上递增， 所以当时， ， 只需即可， 令，， 则， 所以在上是增函数， 故， 即无解， 所以时，f(x)>0不恒成立。 综上，k的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的最小值，分类讨论，转化思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迁安四中2025—2026学年度第二学期高二年级4月月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（   ） A. -3m/s B. 3m/s C. -4m/s D. 1m/s 2. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3. 设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 6 D. 14 4. 在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 9 5. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为且满足，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，下列说法正确的是（ ） A. 在区间上是增函数 B. 是奇函数 C. 在区间上的值域为 D. 若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有相同的极小值 B. 若方程有唯一实根，则的取值范围为 C. 当时，总有 D. 当时，若，则成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的最小值为1，则______． 13. 已知函数满足，则______. 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 16. 已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 17. 已知函数 （1）若存在使得成立，求的取值范围； （2）当时，在定义域内恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数 （1）若，求的单调区间和极值； （2）若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围； （3）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 19. 设. （1）讨论f(x)的单调性； （2）当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $