精品解析：辽宁盘锦市兴隆台区辽河中学 2025-2026 学年度第二学期 九年级 第一次质量监测 数学试卷

盘锦市兴隆台区辽河中学2025-2026学年度第二学期九年级第一次质量监测数学试卷 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. 大于而小于的所有整数和等于（　　） A. B. 6 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先确定出大于而小于的所有整数，再进行计算求解． 【详解】解：∵大于而小于的所有整数为：，，0，1，2， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数大小比较和加法运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解． 2. 著名的数学家苏步青被誉为“数学之王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约千米的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方）与合并同类项法则，需根据相关法则逐一判断选项计算的正确性． 【详解】解：A、，故A错误． B、，故B正确． C、，故C错误． D、，故D错误． 故选：B． 5. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：一共有5种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的有2种可能， ∴“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：由条件可知二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在第四象限， ∴，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 7. 我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问井深几尺？若设井深尺，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列一元一次方程解古代数学问题，读懂题意，由绳长不变列方程是解决问题的关键． 设井深为尺，根据绳长不变，三折时绳长为，四折时绳长为，直接列方程即可得到答案． 【详解】解：设井深尺， ∵三折时绳长为，四折时绳长为，且绳长不变， ， 故选：D． 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 9. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 将点A(-3，-2)先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点，则点的坐标是__ 【答案】（-7，3） 【解析】 【详解】解：点A（-3，-2）先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点， ∴的坐标是（-3-4，-2+5），即：（-7，3）． 故答案为：（-7，3）． 12. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 13. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用仰角的余弦解答即可． 本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 14. 如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明，得，再根据，可得，再证明，得到的长，设，，得到的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得的值，从而可得，再利用勾股定理解得，从而求得的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 轴， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 即， 同理可得， ， ， ， 设，则，， ， 都在反比例函数上， ， 解得， ， 在中，， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝2，M、N分别为GD、EC的中点，则MN＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】取DF的中点H，CF的中点Q，连接MH，NQ，过点M作MK⊥NQ于K，由三角形中位线定理可得NQ＝EF＝4，MH＝GF＝1，MH∥EF，NQ∥EF，HQ＝CD＝3，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，取DF的中点H，CF的中点Q，连接MH，NQ，过点M作MK⊥NQ于K， ∵EF∥BC，AB∥CD， ∴四边形BCFE是平行四边形， 又∵∠BCD＝90°， ∴四边形BCFE是矩形， ∴EF＝BC＝AD＝8， ∵M、N分别为GD、EC的中点，H是DF的中点，Q是CF的中点， ∴NQ＝EF＝4，MH＝GF＝1，MH∥EF，NQ∥EF，HQ＝CD＝3， ∴MH∥NQ， ∵KM⊥NQ，∠NQD＝90°， ∴MK∥HQ， ∴四边形MHQK是平行四边形， ∴MK＝3，KQ＝MH＝1， ∴NK＝3， ∴MN＝MK＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 解决下列问题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． （1）求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； （2）若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】（1）A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 （2）共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【解析】 【分析】（1）设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元，根据题意列出二元一次方程并求解即可； （2）设购进A型玩具个，B型玩具个，根据题意，可得，结合均为正整数，可得答案． 【小问1详解】 解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； 【小问2详解】 解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 18. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 略 19. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75 75 75 76 78 78 79 79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 【答案】（1）①80，77；②180 （2）①乙款软件的评分为92．2分；②k的最小值为91 【解析】 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可；②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可；②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80， ∴甲组数据的众数为80，即； ∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人， ∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即． ②∵乙款软件评分在有3人， ∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个． 故答案为：①80；77；②180． 【小问2详解】 解：①乙款软件的评分（分）； ②由题意得，解得：． ∴k的最小整数值为91． 故答案为：①；②91． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、众数、中位数的定义、加权平均数、用样本估计总体等知识点．熟练掌握相关知识是解题的关键． 20. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【答案】（1）的长度约为 （2）点到台面的距离约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦的定义求的长度，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 21. 如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点H， ∵内接于， ∴点O在垂直平分线上， ∴，， ∴，即， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点H，由题意得点O在垂直平分线上，易证，推出，结合，推出，即可证明； （2）连接，证明，求出，再证明，求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴，即， 由（1）知，即， ∴， 由（1）知， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形相似，熟练运用所学知识． 22. 综合与实践． 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图15，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 操作发现： （1）如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点E，F，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想； （2）如图②，继续旋转一定角度，当线段经过点B时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线于点H，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）相等， 证明：∵， ∴． ∵， ∴． 根据旋转的性质，得，， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是平行四边形． 证明：由题意，得． 在中，∵是边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 根据旋转的性质，得， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）或 【解析】 【分析】对于（1），根据旋转的性质可知，再根据“等角对等边”得出答案； 对于（2），结合已知可得，再根据旋转的性质及全等三角形的对应角相等可得，可得结论； 对于（3），分两种情况讨论：①当时，根据勾股定理，得，再根据中点定义得，结合，得，即可求出，进而求出，然后证明，可知，可求，最后根据得出答案；②当时，设交于点I，可得，再说明，结合中点的定义求出，然后证明，可得，即可求出，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）的长为或． 分两种情况讨论：①当时， ∵，， 根据勾股定理，得． ∵是的中点， ∴． 在中，，由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，设交于点I，点G与点C重合， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵为的中点，则 ∴，，， ∴． ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴. 综上所述的长为或. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，中位线的性质等，准确的画出图形是解题的关键，注意多种情况讨论． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线经过两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第四象限内抛物线上一点，连接，交线段于点，求的最小值； （3）若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有三个动点． ①当点在点左侧时，、两点（含，两点）之间的图象的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围； ②当、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值和最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）把代入，建立方程组求解即可； （2）过点A作轴交于点M，过点F作轴于点D，交于点N，得，得，由，求出，求出直线的解析式．可得,得，设，，得，的最大值为，得的最小值为； （3）①抛物线，顶点为，∵直线的解析式为：，∴当时，，解得，当在左侧时，，解得．分当时：当时，当时，四种情况求解即可；②对，当时，解得或,分当，，即时，当，即时，两种情况解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：过点A作轴，交直线于点M，过点F作轴于点D，交直线于点N， 则， ∴， ∴， 对，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把代入， 得，解得​， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴, ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴取得最小值，． 【小问3详解】 解：①∵抛物线， ∴顶点为， ∵直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∵图象W由时的抛物线和第三象限的直线组成． 当在左侧时，， 解得． 当时，点P在直线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为点，最高点为 ∵，， ∴； 当时，点P在直线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，点P在抛物线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，点P在抛物线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为，最高点为， ∵，， ∴； 综上：； ②对，当时，， 解得或, 当，，即时， 点P在直线上，点R在抛物线上，、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值为点B的纵坐标值，最小值为抛物线的顶点的纵坐标值，均不随的变化而变化， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， ∴， ∴，解得； 或，解得； ∴； 当，即时， 点P在抛物线上，点R在直线上，、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值为点B的纵坐标值，最小值为抛物线的顶点的纵坐标值，均不随的变化而变化， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得； 或，解得； 当时， ∴， 解得； ∴； 综上，或． 【点睛】每种情况都要画图，帮助理解题意，解答问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盘锦市兴隆台区辽河中学2025-2026学年度第二学期九年级第一次质量监测数学试卷 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. 大于而小于的所有整数和等于（　　） A. B. 6 C. D. 0 2. 著名的数学家苏步青被誉为“数学之王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约千米的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 7. 我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问井深几尺？若设井深尺，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 10. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 将点A(-3，-2)先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点，则点的坐标是__ 12. 分解因式：____________． 13. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________． 14. 如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为________． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝2，M、N分别为GD、EC的中点，则MN＝_____． 三、解答题（共75分） 16. 解决下列问题： （1）； （2）． 17. 随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． （1）求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； （2）若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 18. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 19. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75 75 75 76 78 78 79 79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 20. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 21. 如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 22. 综合与实践． 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图15，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 操作发现： （1）如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点E，F，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想； （2）如图②，继续旋转一定角度，当线段经过点B时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点G，直线交射线于点H，连接，请直接写出的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线经过两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第四象限内抛物线上一点，连接，交线段于点，求的最小值； （3）若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有三个动点． ①当点在点左侧时，、两点（含，两点）之间的图象的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围； ②当、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值和最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $