湖南湘潭江声实验学校2026-2027学年八年级上学期开学数学收心练习

**基本信息** 2026年八年级数学思维拓展卷，以科技活动周、俄罗斯方块等真实情境为载体，通过分层设问（如草莓销售任务一基础计算、任务二方案设计）融合代数推理与几何直观，适配开学初思维能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|不等式性质、幂运算、数轴应用|俄罗斯方块旋转题考查空间观念| |填空题|6/30|因式分解、统计图表、新定义运算|科技活动周统计培养数据意识| |解答题|6/58|实际应用、配方法、动态几何|草莓销售问题体现模型意识，图形分割题发展推理能力|

2026 年下学期八年级思维拓展体验活动 · 数学 分值：120 分 时间：90 分钟 一、选择题（8 个小题，每题 4 分，共 32 分） 1. 若 a < b，则下列结论错误的是（ ） A. a + m < b + m B. -2a > -2b C. a² < b² D. a/3 < b/3 2. 已知：2x + 5y - 3 = 0，则 4ˣ × 32ʸ =（ ） A. 8 B. 64 C. 16 D. 128 3. 实数 a, b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. -b < -2 B. -b ≥ -1 C. -a > 2 D. -a ≥ 3 4. 设 a < b < 0, a² + b² = 4ab, 则 (a+b)/(a-b) 的值为（ ） A. 1 B. √3 C. 2 D. √5 5. 若实数 a, b, c 满足等式 2√a + 3|b| = 6, 4√a - 9|b| = 6c, 则 c 可能取的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，△ABC 中，∠ACB = 90°, AC = 6, BC = 8, AB = 10, P 为直线 AB 上一动点，连接 PC，则线段 PC 的最小值是（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4.8 D. 5.2 7. 小王正在玩"俄罗斯方块"游戏，现在屏幕上出现的图形（见图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转 90°，小王趁它未"落地"之前，连续按了 15 次后出现的图案是（ ） 8. 把一副直角三角尺如图摆放，已知 l₁ // l₂, ∠ACD = 60°, ∠1 = α (0° < α < 45°), 有下列结论：①BC ⊥ DE; ②AB // ED; ③∠2 = 45° + α; ④当 α = 15° 时，AC 平分 ∠MAB. 其中，正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（6 个小题，每题 5 分，共 30 分） 9. 因式分解：x⁴ - 18x² + 81 = ____________________ 10. 在第 26 个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表，根据图表信息，表中 a 的值为__________. 11. 定义一种新运算：当 a > b 时，a * b = ab + b；当 a < b 时，a * b = ab - b. 若 3 * (x + 2) > 0，则 x 的取值范围是______________. 12. 若有理数 A = (2+1)(2²+1)(2⁴+1)···(2⁶⁴+1)(2¹²⁸+1)(2²⁵⁶+1)，则有理数 A 的个位数字是 __________. 13. 如图，将三角形 ABC 沿一条直角边 CB 所在的直线向右平移 m 个单位得到三角形 A'B'C'. 下列结论：①AA' // BB' 且 AA' = BB'; ②S四边形 ACCD = S四边形 A'DBB'; ③若 AC = 4, m = 2, 则 AB 边扫过的图形的面积为 8; ④若四边形 AA'B'C 的周长为 a，三角形 ABC 的周长为 b, 则 m = a - b. 其中正确的结论是______________(填序号) 14. 如图，已知 ∠AOB = 55°，点 P 是 ∠AOB 内一定点，将军牵马从军营 P 出发，先到河流 OA 边上一点 C 饮马，再到草地 OB 边上一点 D 吃草，最后回到军营 P. 当将军走过的路程 PC + CD + DP 最短时，则 ∠CPD = __________°. 三、解答题（6 个小题，其中 15-17 题 8 分，18 题 10 分，19-20 题 12 分，共 58 分） 15.（8 分）对于任意实数 a, b, c, d, 我们规定 | a b | | c d | = ad - bc, (1) 若 x = 1, y = -1, 求 | x - 2y x + 3y | | x - y x - 2y | 的值（先化简，后求值）. (2) 若 -8 ≤| x - 1 x + 1 |<4 | x x + 5 | , 求非负整数 x 的值. 16.（8 分）代数式 (√2x + 1)⁵ 的运算可以转化为五个多项式 (√2x + 1) · (√2x + 1) · (√2x + 1) · (√2x + 1) · (√2x + 1) 相乘，按多项式乘法法则，展开合并同类项后其乘积为：a₅x⁵ + a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀，其中 a₅、a₄、a₃、a₂、a₁、a₀ 为乘积展开式各项的系数，因此，(√2x + 1)⁵ = a₅x⁵ + a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀. (1) 求 a₀ 与 a₅ 的值; (2) 求 (a₀ + a₂ + a₄)² - (a₁ + a₃ + a₅)² 的值. 17.（8分）根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒 2 斤，每盒售价 25 元 每盒 3 斤，每盒售价 35 元 问题解决： （1）任务一：在活动中，学生共卖出了 700 斤草莓，销售总收入为 8500 元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ （2）任务二：现在需要对 78 斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这 78 斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为 1 元，每个简包装盒的成本为 0.5 元．若要将购买包装盒的成本控制在 18 元以内（含 18 元），请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 18.（10分）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例 1：因式分解：a²+6a+8． 解：原式=a²+6a+9-1=（a+3）²-1=（a+3-1）（a+3+1）=（a+2）（a+4）． 例 2：若 M=a²-2ab+2b²-2b+2，利用配方法求 M 的最小值． 解：a²-2ab+2b²-2b+2=a²-2ab+b²+b²-2b+1+1=（a-b）²+（b-1）²+1． ∵（a-b）²≥0，（b-1）²≥0， ∴当 a=b=1 时，M 有最小值 1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a²-12a+35=__________； （2）已知 a²+2b²+c²-2ab+4b-6c+13=0，求 a+b+c 的值； （3）已知 P=x²-y²+6x-1，Q=2x²+4y+13，试比较 P，Q 的大小． 19.（12 分）理解图形，完成下列各题： （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图 1 的四部分，两个边长分别为 a, b 的正方形和两个长方形，用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是____________________； 若 a² + b² = 40, ab = 12，则该大正方形的边长为____________________； （2）【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若 x 满足 (2 - x)(x - 5) = 1，可设 2 - x = a, x - 5 = b，则 ab = -1, a + b = -3，则 a² + b² = ____________； 仿照这个方法，请你尝试解决： 若 (2025 - x)² + (2026 - x)² = 17，求 (2025 - x)(2026 - x) 的值； （3）【解决问题】如图 2，三角形 ABC 是直角三角形，∠C = 90°，分别以边 AC, BC 为直径向三角形外部作半圆，已知 AC + BC = 12，两半圆的面积和 S₁ + S₂ = 15π，求三角形 ABC 的面积。 （4）【思维拓展】如图 3，观察棱长为 a + b 的大正方体的分割，若已知 a + b = 5, ab = 2，求 a³ + b³ 的值。 20.（12 分）如图 1，已知直线 MN // GH，且 MN 和 GH 之间的距离为 1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板 ACB 和 DEF，其中 ∠ACB = 90°，∠DFE = 90°，∠BAC = 45°，∠EDF = 30°，AC = 1。小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图 1，点 A 在 MN 上，边 BC 在 GH 上，边 DE 在直线 AB 上。 ①将直角三角形 DEF 沿射线 BA 的方向平移，如图 2，当点 F 在 MN 上时，∠AFE 的度数为__________； ②将直角三角形 DEF 从图 2 的位置继续沿射线 BA 的方向平移，当以 A、D、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求 ∠FAN 度数。 （2）如图 3，点 A 在 MN 上，边 BC 在 GH 上，三角形 DEF 的边 DE 在直线 MN 上，点 F 落在 MN 与 GH 之间。将三角形 ABC 绕点 C 以每秒 5° 的速度顺时针旋转得到三角形 A'B'C'，直线 A'B' 分别交直线 EF、MN 于点 K、Q，设运动时间为 t 秒。 ①若 0 < t < 90，当 A'B' 与 EF 平行时，t = ____________ 秒。 ②当 A'B' 第一次与 MN 平行时三角形 ABC 停止旋转，运动过程中 E、K、Q 三点不重合，设 ∠QKE = β，请直接写出 β 与 t 之间的关系式及对应的 t 的取值范围。 图片版： 学科网（北京）股份有限公司 $