学易金卷：八年级数学下学期期中模拟卷【山东济南专用，测试范围：北师大版八下第1～3章】

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 8．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是__________． 12．如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 13．如图，，若，，则的度数为______． 14．若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 15．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．    三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23每题10分，24-25每题12分。 16．解不等式组，并写出不等式组的所有整数解的和． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； (2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； (3)若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 18．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 19．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 20．如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是___；关于的不等式的解集是______． (2)直接写出关于x的不等式组解集是______． (3)若点坐标为， ①关于的不等式的解集是______； ②的面积为______． ③在轴上找点，使得的值最大，则点坐标为______． 21．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 22．如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 23．在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 24．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 25．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第9页（共10页） 试题 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 8．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是__________． 12．如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 13．如图，，若，，则的度数为______． 14．若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 15．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．    三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23每题10分，24-25每题12分。 16．解不等式组，并写出不等式组的所有整数解的和． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； (2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； (3)若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 18．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 19．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 20．如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是___；关于的不等式的解集是______． (2)直接写出关于x的不等式组解集是______． (3)若点坐标为， ①关于的不等式的解集是______； ②的面积为______． ③在轴上找点，使得的值最大，则点坐标为______． 21．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 22．如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 23．在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 24．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 25．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C C C C D B B 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.15 12.22 13.100°/100度 14.2<a≤3 15.3+3V5/3V3+3 三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23 每题10分，24-25每题12分。 16.【详解】解： +2-1≤2x+3② P 0得：x<:(1分) 由②得：x≥-2，(2分) 原不等式组的解集为：2≤x<名，(3分 整数解：-2，-1,0,1，(5分) :.所有整数解的和为：-2+(-1)+0+1=-2，(6分) 17.【详解】(1)解：△A,B,C如图所示： 4的坐标为(4，-4)：(3分) B (2)解：△A,B,C,如图所示， 1/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B G的坐标为-3,3)；(6分) (A2)O B (3)解：如图， (A2)0 B B 若△A,B,C,可以看作ABC绕某点旋转90°得到，作BB,和CC,的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心 的坐标，由图可得P(-3,-1).(7分) 18.【详解】(1)解：设购进A,B型号汽车各一辆时进价分别为x,y万元， x+y=37 根据题意可知： 20x0.95x+20xy-0.5)=715(1分) x=15 解得： y=22' 则购进A,B型号汽车各一辆时进价分别为15,22万元.(3分) (2)解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车15-m)辆， 15m+22(15-m)≤260 根据题意可得出： 0.7m+2x0.06×15-m≥125(5分) 解得：10≤m≤11.77(6分) :m为正整数， 2/12 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 m=10或11， 当m=10时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：0.7×10+22×0.06×5=13.6（万元）(7分) 当m=11时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：0.7×11+22×0.06×4=12.98（万元） 综上：该公司有2种购进方案，分别是购进A型汽车10辆，B型汽车5辆或购进A型汽车11辆，B型 汽车4辆.购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是13.6万元.(8分) 19.【详解】(1)证明：：EC⊥AC, ∠ECA=90°， :∠BAC=90°，AB=AC, ∠BAC=∠ECA=90°， 在Rt△ABD和Rt△CEA中， AB=AC,AE=BD, .R1△ABD≌R1 CEA HL,(3分) CE=AD;(4分) (2)证明：：∠BAC=90°，AB=AC, .∠ABC=∠ACB=45°， :∠ACE=90°， .∠ECF=45°， :∠BAC+∠ACE=90°+90°=180°， .AB∥CE, .∠BAF=∠E,LABC=∠ECF=45°， AD=CF,CE=AD, .CE=CF, :∠E=∠CFE=180°-∠ECF)=67.5°， ∠CAE=90°-∠E=22.5°，(6分) :RtABD≌RtACEA, ∠ABD=∠CAE=22.5°.(8分) 20.【详解】(1)解：：一次函数y=kx+b和y=x+b的图象，分别与x轴交于点A、B,点A坐标为 3/12 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 （-2,0),点B坐标为(5,0)， :关于x的方程kx+b=0的解是x=-2,关于x的不等式kx+b<0的解集为x>5,(2分) kx+b>0 (2)根据图象可以得到关于x的不等式组 的解集-2<x<5;(3分) kx+b>0 (3)①：点C(2,6), 结合图象可知，不等式kx+b>x+b的解集是x>2;(4分) ②：AB=7,C2,6, S=)4B%=x7x6=21,(6分) 2 2 ③：C(2,6),记BC交y轴于点P, y=kx+b A B y=kx+b 此时PB-PC=BC,此时最大， 设直线BC为y=mx+n, 2m+n=6 m=-2 (5m+n=0’ 解得 (n=10 :直线BC为y=-2x+10, 令x=0,则y=10, P(0,10),(8分) 21.【详解】(1)解：证明：过E点作EM⊥BF于M,EN⊥AC于N, :BE平分∠ABC, .EM=EH,(1分) ∠ACE=28°，∠CEH=62°， ∠HCE=90°-∠CEH=90°-62°=28°=∠ACE, .EN=EH,(3分) 4/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :EM EN, AE平分LCAF;(4分) (2)解：：AB=8,CD=10,AC=6,且S△4BE=16, 16=Se=4BM=x8EM,(6分) EM=4, :EN EH EM =4, .S。ACD=SACE+S.cED =ACEN+CD·EH 1 ==×6×4+二×10×4 2 2 =32, :aACD的面积为32.(9分) F M B D 22.【详解】证明：：△AGB与△CGD关于点G中心对称， BG=DG,AG=CG,(2分) AF CE, .AF-AG=CE-CG, ·EG=FG,(5分) 又：∠DGE=∠BGF, △DGE≌△BGF(SAS,(7分) :∠DEG=LBFG,(9分) ED∥BF.(10分) 23.【详解】(1)解：①补全图形如下： 5/12 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2分) ②延长AE至F,使得EF=AE,连接CF,如图所示： Eì B :AB=AC,∠BAC=a=60°， ABC为等边三角形，LABC=∠ACB=60°， .∠ABP=120°， :E是CD的中点， .DE=CE, :EF=AE,∠AED=LCEF, ·△AED≌△FEC(SAS),(3分) AD=CF,∠DAE=∠CFE, .AD∥CF, .∠ACF=120°， .∠ABP=LACF, BP=AD, :BP=CF, AB=AC, .△APB≌△AFC(SAS),(5分) :AP=AF, AF =2AE, AP=2AE;(6分) (2)当点P在直线BC右下方时，如图所示： 延长AE至F,使得EF=AE,连接CF,如图所示： 6/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :AB=AC,∠BAC=Q, :ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=180-&=90°-&， 2 Γ21 AP=2AE,AF=2AE, ·AP=AF, :E是CD的中点， :DE =CE, :EF=AE,∠AED=∠CEF, ·.△AED≌△FEC(SAS), .AD=CF,∠DAE=∠CFE, ·AD∥CF, .∠ACF=180°-a, :BP=AD, :BP=CF, AB=AC,AP=AF ∴△APB≌△AFC(SSS), ∠ABP=∠ACF=180°-a, 3 .∠PBC=360°-∠ABP-∠ABC=90°+三a; 当点P在直线BC左下方时，如图所示： 同理得：∠ABC=∠ACB=180°-a=90- 2 2,△MPB≌aAFC(SSS),LABP=L4CF=180-a, 7/12 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠PsC=∠ABP-∠ABc=080-a）-(90-9=90- 1 , 综上可得：∠PBC=0-a或∠PBC=9p+0.(10分) 3 24.【详解】解：(1)延长AD,使DE=AD,连接BE, :D是BC的中点， .CD=BD, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB, CD=BD △ADC≌△EDB(SAS,(2分) AC=BE=10.(3分) AB=6, .BE-AB<AE<BE+AB,E010-6<AE <10+6, .4<AE<16, .4<2AD<16, 2<AD<8;(4分) 故答案为：SAS;△EDB;BE;2<AD<8: (2)BE2+CF2=EF2,(5分) 证明：如图所示，延长ED到G,使DG=ED,连接FG,GC, E B D 图2 :∠EDF=90°，DG=ED, :FD是线段EG的垂直平分线， ∴EF=GF, :D是BC的中点， 8/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :CD=BD, 在BDE和△CDG中， BD=CD ∠BDE=∠CDG DE=DG :△BDE≌ACDG(SAS),(7分) BE=CG,∠B=∠DCG, AB∥CG, ∠ACG=180°-∠A=90°， 在Rt△FGC中，由勾股定理得CG+FC2=FG2, BE2+CF2=EF2;(9分) (3)解：如图所示，延长AD交EC的延长线于点F, B D 图3 :∠B=90°，EF1BC, ∠ABD=∠FCD=90°， :AD是中线， :BD=CD, 在△ABD和△FCD中， ∠ABD=∠FCD BD=CD ∠ADB=∠FDC △ABD≌FCD(ASA), .CF=AB=3,AD=DF, :∠ADE=90°， ∴DE是AF的垂直平分线， 9/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :AE=EF, :EF=CE+CF=5+3=8, AE=EF=8.(12分) 25.【详解】(1)解：：PC=p'C,∠PCP'=60°， △PCP'为等边三角形： PP'=PC,∠P'PC=∠PP'C=60°， 又P'A'=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B, 由两点之间线段最短可知，当B,P,P,A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值， 最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”， ∠BPC+∠P'PC=180°，∠A'P'C+∠Pp'C=180°， .∠BPC=120°，∠A'P'C=120°， 又：△APC兰△A'P'C, ∠APC=∠AP'C=120°， .∠APB=360°-∠APC-∠BPC=120°， ∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°： :∠BAC≥120°， .BCx AC,BC>AB, .BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB AC, “三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小。 又：己知当ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点"为该三角形的某个顶点. :该三角形的“费马点”为点A, 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A.(4分) (2)将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP', 由(1)可知当B,P,P,A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为AB,(5分) 10/122025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ===。。=。=■=、==-=。==--。一▣===。。== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[)[W1[/] 一、单项选择题：本题共10小题， 每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.A1[B1IC1[D1 2.A][B1[CI[D】 6.[A][B][C][D] 10.AJ[B1[C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 12 13 15, 三、解答题：本题共10小题，共110分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) (1) (2) (3) 18.(8分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) (1) (2) (3)① ② ③】 21.(9分) 22.(10分) D E G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) A D B 图1 图2 24.(12分) E A A F D V---- B 分6 D D E 图1 图2 图3 (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) A A P 外 B 图1 图2 图3 (1) (2) (3) 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 4．小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键． 根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，由此列式即可． 【详解】解：小明家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，设小明同学跑步时间为，出家门时是，早上前要到达班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于， ∴， 故选：C ． 5．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转， ∴，故③正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即②不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 8．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先利用待定系数法求出点的坐标，再根据关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入函数得：，解得， ∴， ∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方， ∴由函数图象可知，， 即关于的不等式的解集是， 故选：D． 9．使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了方程与不等式或不等式组的关系，根据方程与不等式或不等式组的关系逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由方程得：， 则不等式， ∴， ∵，且负整数， ∴此时无解，原选项错误，不符合题意； 由得：，代入得， ， 解得：， 由， ∴∵是与的“同频解”， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 由得，， 代入与得，， 整理得：， 若不等式对所有成立，则系数必须为， ∴，解得：，与题意矛盾，则原选项错误，不符合题意； 综上可得正确，共个， 故选：． 10．如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】根据平行线的性质结合题意可证，即得出，故①正确；由平行线的性质结合题意可证，又可求出，即得出，结合勾股定理即可求出，故②错误；过点C作于点G，根据角平分线的性质定理得出，再由，即得出，故③正确；由题意可求，即得出，根据，即，可证，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴，故②错误； 如图，过点C作于点G， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴，故④错误． 综上可知正确结论是①③ 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是__________． 【答案】15 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：15． 12．如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】22 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，， ∵为和的公共部分， ∴阴影部分的面积， ， ∴阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 13．如图，，若，，则的度数为______． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 14．若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 15．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．    【答案】/ 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示，    作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23每题10分，24-25每题12分。 16．解不等式组，并写出不等式组的所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出整数解即可． 【详解】解： 由①得：；（1分） 由②得：，（2分） ∴原不等式组的解集为：，（3分） ∴整数解：，（5分） ∴所有整数解的和为：．（6分） 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； (2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； (3)若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可； （3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件． 【详解】（1）解：如图所示： 的坐标为；（3分） （2）解：如图所示， 的坐标为；（6分） （3）解：如图， 若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得．（7分） 18．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． (2)该公司有2种购进方案，分别是购进A 型汽车10辆，B型汽车5辆∶购进A型汽车11辆，B型汽车4辆．购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是13.6万元． 【分析】本题主要考查了二元一次不等式组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知：（1分） 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．（3分） （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出：（5分） 解得：（6分） ∵m为正整数， ∴或11， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元）（7分） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元．（8分） 19．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角． （1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到； （2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴，（3分） ∴；（4分） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴，（6分） ∵， ∴．（8分） 20．如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是___；关于的不等式的解集是______． (2)直接写出关于x的不等式组解集是______． (3)若点坐标为， ①关于的不等式的解集是______； ②的面积为______． ③在轴上找点，使得的值最大，则点坐标为______． 【答案】(1)； (2) (3)①；②；③ 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组， （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴交点坐标，结合图象得出答案； （3）①利用图象即可求解；②利用三角形面积公式求得即可；③记交轴于点，此时最大，再求解直线解析式即可． 【详解】（1）解：一次函数和的图象，分别与轴交于点、，点坐标为，点坐标为， 关于的方程的解是，关于的不等式的解集为，（2分） （2）根据图象可以得到关于的不等式组的解集；（3分） （3）①∵点， 结合图象可知，不等式的解集是；（4分） ②，， ；（6分） ③，记交轴于点，    此时，此时最大， 设直线为， ∴，解得， 直线为， 令，则， ，（8分） 21．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ，（1分） ， ， ，（3分） ， 平分；（4分） （2）解：，且， ，（6分） ， ， ， 的面积为32．（9分） 22．如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中心对称，解决本题的关键是掌握成中心对称的两个图形必定能重合．先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵与关于点G中心对称， ∴，（2分） ∵， ∴， ∴，（5分） 又∵， ∴，（7分） ∴，（9分） ∴．（10分） 23．在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形及等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意补全图形即可；②延长至F，使得，连接，根据等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点P在直线右下方时，当点P在直线左下方时，方法同②相似，求证即可． 【详解】（1）解：①补全图形如下： （2分） ②延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，（3分） ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，（5分） ∴， ∵， ∴；（6分） （2）当点P在直线右下方时，如图所示： 延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在直线左下方时，如图所示： 同理得：，，， ∴， 综上可得：或．（10分） 24．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）；；；；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴，（2分） ∴．（3分） ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴；（4分） 故答案为：；；；； （2），（5分） 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴，（7分） ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴；（9分） （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴．（12分） 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 25．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A． (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．（4分） （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，（5分）    ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为，（9分） （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为：（12分） 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 11 ) 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 一、 单项 选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 1 1 . _______________ 1 5 . ________________ 1 2 . ___ ________ 13. ______ ___________ 14. __________________ 三 、解答题：本题共 10 小题，共 110 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16 .（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 7 分） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 18 ．（ 8 分） 19 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ① ② ③ 2 1 ．（ 9 分） 22 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（ 10 分） 2 4 ．（1 2 分） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ．（ 1 2 分） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $