学易金卷：七年级数学下学期期中模拟卷【山东济南专用，测试范围：北师大版七下第1～3章】

2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A A B D B D A 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．12 12． 13． 14． 15．5或35或65或95或125 三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23每题10分，24-25每题12分。 16．【详解】（1）解：原式；（3分） （2）解：原式．（6分） 17． 【详解】解： ，（4分） ， 整理得：， ，， ，，（6分） 原式 ．（7分） 18． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴；（3分） （2）解：∵若， ∴ ∴，（4分） ∵平分， ∴， ∴，（5分） ∴ ∴ ∴，（6分） ∵， ∴， 解得. ∴．（8分） 19． 【详解】（1）解：线段，如图所示； （3分） （2）解：垂线段如图所示； （6分） （3）解：∵，， ∴点到直线的距离为； 故答案为：．（8分） 20． 【详解】（1）解：由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加， 摸到红球的频率越来越接近， 当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近；（1分） （2）解：由可知，当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近， 摸到红球的概率估计值为；（2分） （3）解：红球的个数为(个)， 黑球的个数为(个)， 故答案为：，；（4分） （4）解：从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件， 则袋子中全部是黑球，红球的个数是， 由可知，估计袋子中有个红球， 应从袋子中取出个红球， 故答案为：；（6分） （5）由可知，袋子中有个红球，个黑球， 若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球， 则袋子中红球的个数是个红球，个黑球， 随机摸出个红球的概率为， ， 解得：， 故答案为：．（8分） 21． 【详解】证明：∵（已知）， 又∵（对顶角相等），（1分） ∴（等量代换），（2分） ∴（同位角相等，两直线平行），（3分） ∴（两直线平行，同位角相等），（4分） 又∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行），（5分） ∴（两直线平行，内错角相等），（7分） ∴（等量代换）．（9分） 22．【详解】（1）解：，理由如下：（1分） ∵， ∴，（2分） 又∵， ∴， ∴，（4分） ∴；（5分） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，（6分） ∴，（7分） ∴，（8分） ∵平分， ∴，（9分） 又∵， ∴．（10分） 23．【详解】解：（1）P（东向西方向车辆“等待信号灯后”通过路口）；（2分） （2）①早高峰时段总车流量：辆． 东向西方向车流量占总车流量的比例为．（4分） ∴早高峰时段东向西方向绿灯时长应为：秒；（6分） ②以早高峰东向西方向为例．由（2）可知，早高峰时段东向西方向绿灯时长应为45秒．由（1）知，P（东向西方向车辆在等待信号灯后通过路口），此比例相对较高．建议将早高峰东向西方向的绿灯时长在计算结果基础上增加秒，调整为秒，以缓解车辆等待压力，提高该方向通行效率，同时相应缩短其他方向绿灯时长，确保信号灯周期总时长仍为秒．（10分） 24．【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；（1分）（2分）；（4分）；9；（6分） （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ，（8分） 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ，（10分） 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为．（12分） 25．【详解】（1）解：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ，（1分） （2分） 在和中， ，，， ， 即：， ；（4分） （2）解：，（5分） 理由如下：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ，（7分） 在 和 中， ，，， ， 即：， ；（9分） （3）解：， ， ， ，是的平分线， ， ， 转动过程中，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 在转动过程中，， 设所在直线与射线的夹角为， ， 在转动过程中，， ①当时， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：， ②当时， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：，舍去， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， ③当时， 当时，， 即，， 解得：， 当时，， 即，， 解得：， 综上所述，或3或6或12或15．（12分） 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版七年级下册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（    ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 4．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 5．抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 6．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．若是完全平方式，则的值为（   ） A．7或 B．或5 C．11或 D．或13 8．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 9．如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 10．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．已知 ，，则的值为_____． 12．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 13．若一个角的补角是它的余角的倍，则这个角的度数为______． 14．如图，在中，，，分别在，上，将沿折叠后得到，且满足．若，则的度数为________． 15．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23每题10分，24-25每题12分。 16．计算： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 19．在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为 ． 20．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近________；（精确到） (2)假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为________； (3)试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为________个． (4)若先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则________． (5)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个红球的概率为，则的值为________． 21．将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点分别在上，分别交于点，． 求证：． 证明：因为（已知） 又因为（____________）， 所以___________（等量代换）． 所以（          ） 所以（____________）． 又因为（已知）， 所以（____________）． 所以__________（          ）． 所以（          ）． 22．如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 23．【项目背景】 某十字交通路口拥堵频发，为缓解这一状况，交警部门计划对该路口的红绿灯时长进行优化．交警小李负责收集数据，探寻合理的红绿灯时长设置方案．（该路口的红绿灯设置原则是：一个信号灯周期总时长设计为150秒，当有一个行驶方向处于绿灯状态时，则其余三个行驶方向均处于红灯状态．） 【数据收集】 交警小李在该路口连续观察记录了四周（工作日）每天早、中、晚高峰时段的交通情况，包括不同方向车辆通过路口的数量以及等待信号灯的时长等数据．以下是部分关键数据汇总． 表1：各方向车辆通过路口情况抽样数据 方向 东向西 西向东 南向北 北向南 通过车辆总数 “等待信号灯后”通过车辆数 注：通过车辆总数=“等待信号灯后”通过车辆数+直接通过车辆数． 表2：不同时段各方向平均车流量 方向 东向西 西向东 南向北 北向南 早高峰车流量（单位：辆） 中高峰车流量（单位：辆） 晚高峰车流量（单位：辆） 【问题解决】 （1）计算东向西方向车辆“等待信号灯后”通过路口的概率是多少？ （2）理想状态下，每个方向绿灯时长占总时长的比例与该方向车流量占总车流量的比例相近时，可保证车辆通行效率最大化． ①根据表2数据，计算在一个信号灯周期总时长内，早高峰时段东向西方向的绿灯时长应设置为多少秒较为合理？ ②综合表1和表2的数据，通过计算，给出一个绿灯时长建议（可从早、中、晚高峰时段，四个行驶方向中任选一个），以提高车辆通行效率． 24．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 25．已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第9页（共10页） 试题 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版七年级下册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（    ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 4．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 5．抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 6．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．若是完全平方式，则的值为（   ） A．7或 B．或5 C．11或 D．或13 8．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 9．如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 10．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．已知 ，，则的值为_____． 12．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 13．若一个角的补角是它的余角的倍，则这个角的度数为______． 14．如图，在中，，，分别在，上，将沿折叠后得到，且满足．若，则的度数为________． 15．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23每题10分，24-25每题12分。 16．计算： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 19．在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为 ． 20．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近________；（精确到） (2)假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为________； (3)试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为________个． (4)若先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则________． (5)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个红球的概率为，则的值为________． 21．将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点分别在上，分别交于点，． 求证：． 证明：因为（已知） 又因为（____________）， 所以___________（等量代换）． 所以（          ） 所以（____________）． 又因为（已知）， 所以（____________）． 所以__________（          ）． 所以（          ）． 22．如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 23．【项目背景】 某十字交通路口拥堵频发，为缓解这一状况，交警部门计划对该路口的红绿灯时长进行优化．交警小李负责收集数据，探寻合理的红绿灯时长设置方案．（该路口的红绿灯设置原则是：一个信号灯周期总时长设计为150秒，当有一个行驶方向处于绿灯状态时，则其余三个行驶方向均处于红灯状态．） 【数据收集】 交警小李在该路口连续观察记录了四周（工作日）每天早、中、晚高峰时段的交通情况，包括不同方向车辆通过路口的数量以及等待信号灯的时长等数据．以下是部分关键数据汇总． 表1：各方向车辆通过路口情况抽样数据 方向 东向西 西向东 南向北 北向南 通过车辆总数 “等待信号灯后”通过车辆数 注：通过车辆总数=“等待信号灯后”通过车辆数+直接通过车辆数． 表2：不同时段各方向平均车流量 方向 东向西 西向东 南向北 北向南 早高峰车流量（单位：辆） 中高峰车流量（单位：辆） 晚高峰车流量（单位：辆） 【问题解决】 （1）计算东向西方向车辆“等待信号灯后”通过路口的概率是多少？ （2）理想状态下，每个方向绿灯时长占总时长的比例与该方向车流量占总车流量的比例相近时，可保证车辆通行效率最大化． ①根据表2数据，计算在一个信号灯周期总时长内，早高峰时段东向西方向的绿灯时长应设置为多少秒较为合理？ ②综合表1和表2的数据，通过计算，给出一个绿灯时长建议（可从早、中、晚高峰时段，四个行驶方向中任选一个），以提高车辆通行效率． 24．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 25．已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版七年级下册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为米． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（    ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 4．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 5．抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解． 【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字有个，数字有2个，则数字只有个 选项A中数字有2个，符合题意 故选：A． 6．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．若是完全平方式，则的值为（   ） A．7或 B．或5 C．11或 D．或13 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方式，解决问题的关键是根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解． 依据完全平方公式，这里首末两项分别是和3的平方，那么中间项为加上或减去和3的乘积的2倍． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴ 解得或． 故选D． 8．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， 解得：． 即不规则图案的面积约为． 故选：B． 9．如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法与几何图形面积，即运用几何直观理解、解决整式的乘法与几何图形的面积之间的联系，通过几何图形之间的数量关系对整式乘法做出几何解释． 根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意； ③可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 10．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．已知 ，，则的值为_____． 【答案】12 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂和乘方，利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：12． 12．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块， ∴它最终停留在阴影区域的概率是． 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键． 13．若一个角的补角是它的余角的倍，则这个角的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的3倍”作为相等关系列方程求解，即可得出结果． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为， 根据题意，得， 解得． 故答案为：． 14．如图，在中，，，分别在，上，将沿折叠后得到，且满足．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质得，，根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，即可得出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 【答案】5或35或65或95或125 【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键． 【详解】解：如图， 时， 延长交于D点， 则，， ， ， ， ， ， 解得； ②如图：时， ，， ， ， ， 解得； ③如图第二次平行于时， 设与的交点为E， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ④如图第二次平行于时， ，， ∵， ∴， ∴， 解得； ⑤如图：第三次平行于时， 则，， ， ， 又， ， ∴， 解得； ⑥如图：第三次平行于时， ，， ， ， ∴， 解得（舍去）． 综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125． 故答案为：5或35或65或95或125 三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23每题10分，24-25每题12分。 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算及整式的混合运算，掌握运算法则和顺序正确计算是解题关键． （1）先计算乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，然后再计算加减法即可； （2）先做乘方，然后做乘除，最后做加减； 【详解】（1）解：原式；（3分） （2）解：原式．（6分） 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式混合运算、求值，先根据整式的运算法则把整式化简，可得：原式，把等式变形可得，根据平方的非负性，可得：，，再把字母的值代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ，（4分） ， 整理得：， ，， ，，（6分） 原式 ．（7分） 18．如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解； （2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴；（3分） （2）解：∵若， ∴ ∴，（4分） ∵平分， ∴， ∴，（5分） ∴ ∴ ∴，（6分） ∵， ∴， 解得. ∴．（8分） 19．在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，画已知线段的平行线、垂线，解题的关键是掌握线段、直线、垂线段的定义． （1）作的平行线，可仿照的位置，过点作出的长方形的对角线，那么依据网格中画平行线的方法即可判定两线平行； （2）作的垂线时，可作的平行线； （3）由图形可知点到直线的距离为，即可． 【详解】（1）解：线段，如图所示； （3分） （2）解：垂线段如图所示； （6分） （3）解：∵，， ∴点到直线的距离为； 故答案为：．（8分） 20．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近________；（精确到） (2)假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为________； (3)试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为________个． (4)若先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则________． (5)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个红球的概率为，则的值为________． 【答案】(1) (2) (3)，； (4)； (5)3 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率公式，当摸球的次数足够大时，摸到红球的频率会接近摸到红球的概率． 由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近； 因为随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近，所以找到红球的概率估计值是； 用摸到红球的频率代表摸到红球的概率计算出盒子里红球的数量大约为个，黑球的数量大约为个； 因为摸到黑球是必然事件，所以袋子里没有红球只有黑球，所以应取出个红球； 由可知，袋子中有个红球，个黑球，若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球，则袋子中红球的个数是个红球，个黑球，根据概率公式可得关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加， 摸到红球的频率越来越接近， 当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近；（1分） （2）解：由可知，当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近， 摸到红球的概率估计值为；（2分） （3）解：红球的个数为(个)， 黑球的个数为(个)， 故答案为：，；（4分） （4）解：从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件， 则袋子中全部是黑球，红球的个数是， 由可知，估计袋子中有个红球， 应从袋子中取出个红球， 故答案为：；（6分） （5）由可知，袋子中有个红球，个黑球， 若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球， 则袋子中红球的个数是个红球，个黑球， 随机摸出个红球的概率为， ， 解得：， 故答案为：．（8分） 21．将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点分别在上，分别交于点，． 求证：． 证明：因为（已知） 又因为（____________）， 所以___________（等量代换）． 所以（          ） 所以（____________）． 又因为（已知）， 所以（____________）． 所以__________（          ）． 所以（          ）． 【答案】（对顶角相等）；（）；（同位角相等，两直线平行）；（两直线平行，同位角相等）；（内错角相等，两直线平行）；（）；（两直线平行，内错角相等）；（等量代换）． 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及其性质是解题的关键． 根据得到，则，所以有，根据平行线的性质即可求解． 【详解】证明：∵（已知）， 又∵（对顶角相等），（1分） ∴（等量代换），（2分） ∴（同位角相等，两直线平行），（3分） ∴（两直线平行，同位角相等），（4分） 又∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行），（5分） ∴（两直线平行，内错角相等），（7分） ∴（等量代换）．（9分） 22．如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【详解】（1）解：，理由如下：（1分） ∵， ∴，（2分） 又∵， ∴， ∴，（4分） ∴；（5分） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，（6分） ∴，（7分） ∴，（8分） ∵平分， ∴，（9分） 又∵， ∴．（10分） 23．【项目背景】 某十字交通路口拥堵频发，为缓解这一状况，交警部门计划对该路口的红绿灯时长进行优化．交警小李负责收集数据，探寻合理的红绿灯时长设置方案．（该路口的红绿灯设置原则是：一个信号灯周期总时长设计为150秒，当有一个行驶方向处于绿灯状态时，则其余三个行驶方向均处于红灯状态．） 【数据收集】 交警小李在该路口连续观察记录了四周（工作日）每天早、中、晚高峰时段的交通情况，包括不同方向车辆通过路口的数量以及等待信号灯的时长等数据．以下是部分关键数据汇总． 表1：各方向车辆通过路口情况抽样数据 方向 东向西 西向东 南向北 北向南 通过车辆总数 “等待信号灯后”通过车辆数 注：通过车辆总数=“等待信号灯后”通过车辆数+直接通过车辆数． 表2：不同时段各方向平均车流量 方向 东向西 西向东 南向北 北向南 早高峰车流量（单位：辆） 中高峰车流量（单位：辆） 晚高峰车流量（单位：辆） 【问题解决】 （1）计算东向西方向车辆“等待信号灯后”通过路口的概率是多少？ （2）理想状态下，每个方向绿灯时长占总时长的比例与该方向车流量占总车流量的比例相近时，可保证车辆通行效率最大化． ①根据表2数据，计算在一个信号灯周期总时长内，早高峰时段东向西方向的绿灯时长应设置为多少秒较为合理？ ②综合表1和表2的数据，通过计算，给出一个绿灯时长建议（可从早、中、晚高峰时段，四个行驶方向中任选一个），以提高车辆通行效率． 【答案】（1）；（2）①秒；②见解析 【分析】本题考查了样本估计概率，数据分析，统计基本知识，理解题意是解题的关键； （1）根据样本的频率估计概率，即可求解； （2）①根据表2数据，求得早高峰时段总车流量，进而求得东向西方向车流量占总车流量的比例，根据一个信号灯周期总时长设计为150秒，用乘以东向西方向车流量占总车流量的占比，即可求解； ②以早高峰东向西方向为例．结合（1）（2）的结论，给出合理建议，即可求解． 【详解】解：（1）P（东向西方向车辆“等待信号灯后”通过路口）；（2分） （2）①早高峰时段总车流量：辆． 东向西方向车流量占总车流量的比例为．（4分） ∴早高峰时段东向西方向绿灯时长应为：秒；（6分） ②以早高峰东向西方向为例．由（2）可知，早高峰时段东向西方向绿灯时长应为45秒．由（1）知，P（东向西方向车辆在等待信号灯后通过路口），此比例相对较高．建议将早高峰东向西方向的绿灯时长在计算结果基础上增加秒，调整为秒，以缓解车辆等待压力，提高该方向通行效率，同时相应缩短其他方向绿灯时长，确保信号灯周期总时长仍为秒．（10分） 24．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；（1分）（2分）；（4分）；9；（6分） （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ，（8分） 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ，（10分） 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为．（12分） 25．已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或3或6或12或15 【分析】本题主要考查了平行线的综合题，正确理解旋转的性质、平行线的性质是本题解题的关键． （1）延长交于，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出的取值范围，用表示出的大小，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义，用表示出三边与的夹角，当夹角相等时，两直线平行，据此解答． 【详解】（1）解：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ，（1分） （2分） 在和中， ，，， ， 即：， ；（4分） （2）解：，（5分） 理由如下：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ，（7分） 在 和 中， ，，， ， 即：， ；（9分） （3）解：， ， ， ，是的平分线， ， ， 转动过程中，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 在转动过程中，， 设所在直线与射线的夹角为， ， 在转动过程中，， ①当时， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：， ②当时， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：，舍去， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， ③当时， 当时，， 即，， 解得：， 当时，， 即，， 解得：， 综上所述，或3或6或12或15．（12分） 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 --------------------------------------- 1。答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/] 一、单项选择题：本题共10小题， 每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1[A][B][C][D] 5.[A][B][CI[D] 9.[AJ[B][C][D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4.[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 12. 三、解答题：本题共10小题，共110分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) 18.(8分) B D 19.(8分) (3) B 20.(8分) (1) (2) (3) (4) (5) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) D E 证明：因为∠1=∠2（已知） 又因为A=∠ANC( N M 所以 (等量代换)· 2 所以BD∥CE( B 所以∠ABD=∠C( 又因为∠A=∠F(已知)， 所以DF∥AC( 所以 所以∠C=∠D( 22.(10分) D 23(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) (1) (2) 25.(12分) H A M P B A MI P B A M/ PB F F E CNO D CN O D CNO 0 图1 图2 图3 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 11 ) 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 一、 单项 选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共2 0 分。 1 1 . _______________ 1 5 . ________________ 1 2 . ___________ 13. _________________ 14. __________________ 三 、解答题：本题共 10 小题，共 110 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16 .（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 7 分） 18 ．（ 8 分） 19 ．（ 8 分） （ 3 ） 20．（ 8 分） （ 1 ） （2） （ 3 ） （ 4 ） （5） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 ．（ 9 分） 证明：因为 （已知） 又因为 （____________）， 所以 ___________ ___________（等量代换）． 所以 （______________________） 所以 （_______________________）． 又因为 （已知）， 所以 （_______________________）． 所以_____________________（______________________）． 所以 （   ______________________）． 2 2.（ 1 0分） 23（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ．（ 12 分） （ 1 ） （ 2 ） 2 5 ．（1 2 分） ( 3) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $