2026-2027学年高三上学期自编月考模拟数学卷（甘肃省张掖市适用）

**基本信息** 2026年高三9月月考模拟卷覆盖集合、复数、数列等高中数学主干知识，解答题融合概率统计（生产线零件质量分析）、立体几何（四棱锥动态轨迹与体积）、导数（极值点探究与证明），体现数学思维与应用，适配高三初期学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、数列、三角函数|基础概念辨析，如集合交集、复数共轭| |多选题|3/18|统计、函数性质、立体几何|多选项分层考查，如线性回归分析、函数对称性| |填空题|3/15|向量、双曲线、不等式|简洁计算，如向量平行求参数、双曲线渐近线| |解答题|5/77|数列、立体几何、概率统计、圆锥曲线、导数|综合性强，如概率统计结合正态分布与二项分布（数学思维），导数题论证极值点关系（数学眼光），贴合高考命题趋势|

2026年高三9月月考模拟卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知复数（是虚数单位），则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）等差数列{an}，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1+a2+…+a15，则m的值为（    ） A．106 B．103 C．98 D．89 4．（本题5分）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）设为抛物线的焦点，若点在上，则（    ） A．3 B． C． D． 6．（本题5分）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 8．（本题5分）在△ABC中，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量（单位：）与当天平均气温（单位：）之间线性相关，且线性回归方程为．已知数据样本的相关系数为，则下列说法正确的有（    ） A．日用电量与平均气温成负相关，气温每升高，日用电量平均减少 B．可以预测到当平均气温为时，日用电量约为 C．如果样本的相关系数，则说明用电量与平均气温的线性相关性很弱 D．该回归直线必经过样本点的平均值点 10．（本题6分）已知函数的最小正周期为，且恒成立，则下列选项正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．在上单调递减 D．若，则 11．（本题6分）正方体棱长为2，为中点，为平面上的动点（在四边形内部及其边界）且满足平面，则下列正确的是（    ） A．动点F的轨迹长度为 B．三棱锥的体积范围为 C．三棱锥的体积为定值 D．当三棱锥的体积最小时，其外接球的表面积为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知平面向量，且∥，则实数m的值为__________. 13．（本题5分）双曲线的一条渐近线方程为，则的值为___________. 14．（本题5分）当时，，则实数的最小值为__________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知等比数列满足，且是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 16．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，. (1)点M在线段PC上，，求证：平面MQB； (2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的大小. 17．（本题15分）某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起. (1)从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率； (2)从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望. 18．（本题17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆的上顶点，，且的面积为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）设、是椭圆上的两个动点，，求当的面积取得最大值时，直线的方程． 19．已知函数． （1）讨论f（x）的极值点的个数； （2）若f（x）有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），证明：x1x3＜x22． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年高三9月月考模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C D B D B ABD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】解分式不等式得集合，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】分式不等式等价于，解得 ，又因为，因此， 已知集合，所以. 2．C 【解析】根据复数的乘法运算，求得复数，再求其共轭复数即可. 【详解】因为， 故可得， 故. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的求解，属基础题. 3．A 【分析】根据等差数列通项公式以及求和公式化简条件，解得结果. 【详解】因为am＝a1+a2+…+a15， 所以 故选：A 【点睛】本题考查等差数列求和公式以及通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．C 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因此， 于是有 ， 故选：C 5．D 【分析】利用点在抛物线上，得到抛物线的标准方程，确定准线方程，利用抛物线的定义，. 【详解】依题意，，解得，所以的准线为，所以， 故选:D． 6．B 【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，则，， 所以， 故选：B 7．D 【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 8．B 【分析】由余弦定理变形，结合条件，得到，再结合正弦定理求的值. 【详解】由余弦定理得①， ②， ①-②得， 即，故， 由正弦定理得. 故选：B. 9．ABD 【详解】A、因为线性回归方程为，，两个变量成负相关， 即当气温每升高，日用电量平均减少，故A正确； B、因为线性回归方程为，当时，， 则当平均气温为时，日用电量的度数约为68，故B正确； C、，，非常接近1， 说明用电量与平均气温的线性相关性很强，故C错误； D、回归直线必经过样本中心， 所以回归直线必经过样本点的平均值点，故D正确． 10．ACD 【分析】先利用辅助角公式把化为标准形式，利用最小正周期公式求出，结合恒成立求出，再根据正弦函数的性质逐一分析判定选项． 【详解】， 最小正周期为，， ，， ，，故， ，即， ， ， 选项A：，故A正确； 选项B：正弦函数的对称中心满足， ， 的图象不关于点对称，故B错误； 选项C：的单调递减区间为， ，解得， 当时，的递减区间为， ， 在上单调递减，故C正确； 选项D：， ，即①或②， 式①化简得，又， ，取，则； 式②化简得，与矛盾，舍去， ，故D正确． 故选：ACD． 11．BCD 【分析】根据题意利用面面平行判定定理可证明平面平面，可得出动点的轨迹为线段，此时长度为，即A错误；由棱锥体积公式计算可知三棱锥的体积范围为，可得B正确，结合A中分析可知点到平面的距离为定值，可判断C正确，确定点的位置后找出外接球球心位置，列方程求出外接球半径可得D正确. 【详解】对于A，取的中点的中点为，连，过作交于，连，如下图所示： 因为为中点，由正方体性质可知，因此可得四点共面； 由可知为的中点， 又因为平面，平面， 所以平面； 又的中点为，所以， 又平面，平面， 所以平面； 因为，平面， 所以可得平面平面， 又因为需满足平面，且为平面上的动点， 所以动点的轨迹为线段，此时长度为，即A错误； 对于B，显然三棱锥的顶点到底面的距离为， 所以当的面积最小时，体积最小，其面积最大时，体积最大； 又因为，所以当在时，点到的距离最小为1， 此时体积最小，即的最小值为， 当在时，点到的距离最大为2， 此时体积最大，即的最大为； 因此三棱锥的体积范围为，即B正确； 对于C，由于，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值； 又因为底面的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值， 即不变，可得C正确； 对于D，当三棱锥的体积最小时，根据B中分析可知此时与重合， 即求的外接球的半径即可， 设外接球的球心为，半径为的外接圆圆心为，半径为为中点， 如下图所示： 则，在直角梯形和直角三角形中， 易知， 所以可得，解得； 所以外接球表面积为， 因此当三棱锥的体积最小时，其外接球的表面积为，可得D正确. 故选：BCD 12．. 【分析】利用向量平行的坐标表示，即可建立关于的方程，即可求出的值. 【详解】因为∥，所以，解得：m＝. 【点睛】主要考查了向量平行，属于基础题. 13． 【分析】根据双曲线的标准方程及渐近线方程即可求解. 【详解】双曲线的方程可化为： 渐近线方程为， 所以， 解得：， 故答案为：. 14． 【分析】将原不等式转化为，令，换元后，分离参数，转化为，再求的最大值即可. 【详解】，因为，故，也即， 对，，故其在单调递增， 且当时，；当趋近于时，趋近于； 令，则；原不等式等价于，又， 故，令，则， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故在时取得极大值，也是最大值，故，也即的最小值为. 15．(1) (2) 【分析】（1）由等比数列的通项公式结合等差中项公式求解即可得答案； （2）利用分组求和及等比数列的求和公式求解可得答案. 【详解】（1）设的公比为， 因为是的等差中项，所以， 又，所以解得 所以. （2）由（I）可得该数列为，，，，，，，， 则. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知，连接AC交BQ于N﹐连接MN，由可知，所以，又因为，所以，然后利用线面平行的判定定理即可完成证明； （2）由已知，可通过计算得到并利用线面垂直的判定定理得到平面PQB，平面ABCD，然后点Q为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，先求解出平面MOB的一条法向量，然后设直线PD和平面MQB所成角为，借助可直接进行求解. 【详解】（1）证明：连接AC交BQ于N﹐连接MN，因为，所以， 所以，所以，又， 所以，因为平面MQB，平面MQB， 所以平面MQB； （2） 连接BD，由题意都是等边三角形， 因为Q是AD中点，所以，又， 平面PQB，所以平面PQB， ， 在中，，所以，所以平面ABCD， 以点Q为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 由，可得， 所以. 设平面MOB的法向量，. 可取，则， 直线PD的方向向量， 设直线PD和平面MQB所成角为，则 即直线PD和平面MQB所成角的大小为. 17．(1) (2) 0 1 2 3 4 P 【分析】（1）先应用正态分布求解概率再应用全概率公式计算求解； （2）应用二项分布得出概率及分布列，最后应用二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】（1）由正态分布可知，甲生产线生产的这种零件是优等品的概率为 ， 乙生产线生产的这种零件是优等品的概率为 从这批混合零件中随机抽取一件是甲生产线生产的概率为，是乙生产线生产的概率为， 由全概率公式可得，从这批混合零件中随机抽取一件，该零件是优等品的概率是 （2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，且 所以的分布列为 0 1 2 3 4 P 所以 18．（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形的面积公式，以及等边三角形的性质即可求出b，c，再根据a2＝b2+c2，即可得到．（2）设，，联立方程组根据根与系数的关系，利用MA⊥NA，得到﹣1，即可得出． 【详解】（1）由已知可得，的面积为．. ∴.故椭圆的标准方程为. （2）设，，依题意直线的斜率存在，故设的方程为， 联立得， ∴，即， 且，， 又 ， .∵是椭圆的上顶点，故， ∵，∴，即， ∴， ∴，，或， ∵直线不过点，∴，直线过定点， 的面积， 令.则，函数，， ∴在单调递减，故. ∴的面积取得最大值时，，直线的方程为. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，根与系数的关系、向量垂直与直线的斜率上的关系、直线过定点问题，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 19．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）对函数f（x）求导，令，利用函数的导数判断出单调性求出极值，可得f（x）的极值点的个数； （2）由f（x）有3个极值点x1，x2，x3，列出方程且x2＝1，要证，即x1x3＜1，设，k＞1，得出x3﹣x1＝lnk，联立，推出，只需证，k＞1，需证明，令，t＞1，即需证明，利用函数的导数判断单调性和最值即可得证． 【详解】（1）＝（x﹣1）ex+a（x2﹣x）＝（x﹣1）（ex+ax） ，， f（x）的极值点的个数即为的变号方程根的个数 令，，故g（x）在（0，1）上单调递减（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，且当x＜0时，g（x）＜0． 即 根据与的交点个数可得： 当a＞0时，f（x）有2个极值点，当﹣e≤a≤0时，f（x）只有1个极值点， 当a＜﹣e时，f（x）有3个极值点． （2）证明：因为f（x）有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），所以，且x2＝1，即得，要证，即x1x3＜1， 由，得，设，k＞1，，所以x3﹣x1＝lnk， 联立，得所以， 所以要证x1x3＜1，只需，k＞1， 则有，即，则需证明． 令，t＞1，即需证明． 因为恒成立， 所以h（t）在t∈（1，+∞）上是单调递减函数，则有， 即成立，所以x1x3＜1，即得以证明． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究函数的极值点问题，考查导数证明不等式，解决本题的关键点是若f（x）有3个极值点，则x2＝1，要证，即x1x3＜1，设，k＞1，需证明，令，t＞1，即需证明，对函数求导判断单调性和最值即可得证，考查了学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $