精品解析：黑龙江哈尔滨市第二十四中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

哈24中高二下学期期中考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数及简单复合函数的求导计算即可. 【详解】对于A：，A错误. 对于B：，B错误. 对于C：，C错误. 对于D：，D正确. 2. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，则. 3. 某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 越小，越小 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性可判断ABC选项；利用为定值可判断D选项. 【详解】由正态曲线关于直线对称，可得，故A正确； ，故B正确； ，，故，故C正确； 而为定值，D错误． 故选：D. 4. 某人工智能实验室有6名研究员，将他们分配到3个不同的人工智能科研项目，若每名研究员只能加入1个项目，且每个项目至少需要1名研究员，则不同的分配方案数为（ ） A. 540 B. 600 C. 480 D. 720 【答案】A 【解析】 【详解】将6个人分成3个组，每组至少1个人，则分组方案有或者或者三类， 所以不同的分配方案数为. 5. 某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是， 其中高一、高二、高三年级人数比为， 根据全概率公式可得：全校“优秀率”为. 故选：C. 6. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，摸球一次中奖的概率为， 则摸球三次仅中奖一次的概率为. 7. 如图，已知四棱锥.用红、黄、蓝、绿四种颜色（四种颜色全部使用），涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】由于 5 个顶点涂 4 种颜色且棱两端异色、4 色全部使用，故只能是同色或同色两类，两类计数方式同理，相加可得总涂色方法数. 【详解】因为同一条棱的2个顶点异色，所以恰好有一对不相邻顶点颜色相同，其余顶点颜色互不相同， 故分两类：一类是同色；另一类是同色. 若同色，可分4步完成涂色： 第一步，涂顶点，有4种颜色可选； 第二步，涂，不能和同色，有3种颜色可选； 第三步，涂，与都异色，有2种颜色可选； 第四步，涂，与异色，且四种颜色必须全部用完， 已经用了三种颜色，只有1种颜色可选； 故不同的涂色方法有种， 同理可得同色时，也有不同的涂色方法种， 所以共有不同的涂色方法种. 8. 已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，令其为零，再通过分离变量得到，借助导数研究的单调性和极值即可求解最终结果． 【详解】，令，即， 移项整理得，设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值， 而时，；时，，但此时， 因此，的大致图象为： 则直线与曲线有两个交点， 必有，解得． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数服从超几何分布 C. 若随机变量的方差为，则 D. ，则当时概率最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由正态分布参数的意义直接判断；对B，由超几何分布的定义判断；对C，根据方差的线性运算性质判断；对D，通过和求解得到概率最大时的值判断. 【详解】对于A ：正态分布中，第二个参数是方差，本题里， 而表示随机变量的方差，因此，A正确； 对于B：总体共15人，分为男生、女生两类，不放回选4人，选出的女生个数， 完全符合超几何分布的定义，B正确； 对于C： 根据方差的运算性质，，C错误； 对于D：由已知， 由，得， 整理得， 即，化简得，解得； 由，得， 整理得， 即，化简得，解得； 综上，又，所以，因此时概率最大，D正确. 10. 已知函数 展开式中二项式系数和为 256 ，则下列说法正确的有（ ） A. 所有项的系数之和为1 B. 二项式系数最大项为第 4 项 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令，代入计算即得；对于B，利用二项式系数的单调性可求；对于C，分别取和，计算即得；对于D，对二项式两边取导数，再代入计算即得. 【详解】由题意，，解得， 对于A，在展开式中，令，可得所有项的系数之和为，故A正确； 对于B，因，则二项展开式有9项，故二项式系数最大项为第 5 项，故B错误； 对于C，在展开式中，令，得， 令，可得， 两式相减，得，故C正确； 对于D，对两边求导得， 令，得，即，故D正确. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数的极小值是2 B. 函数在上有唯一零点 C. 存在实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，直接求导，由导数与单调性、极值的关系直接判断即可；对于B，求导得单调递减，结合零点存在定理即可求解；对于C，当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，从而也趋于0，由此即可判断；对于D，通过分析得知只需证明，进一步通过换元并构造函数即可得证． 【详解】对于A，因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值，所以A错误； 对于B，函数，则， 由于， 即在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 又当时，，当时，， 所以函数在上有唯一零点， 即函数有且只有1个零点，故B正确； 对于C，由， 可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0， 故不存在实数，使得成立， 即不存在实数，使得成立，C错误； 对于D，由得 要证，只要证，即证， 由于，故令，则， 故在上单调递增， 则，即成立，故成立，所以D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 【答案】0.6## 【解析】 【详解】设事件“该同学答对所有选择题”，事件“该同学答对所有填空题”． 由题意知，故． 13. 的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【解析】 【分析】利用二项式定理写出的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数. 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式可求得，由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】由题意，； 当时， ， 整理得，， 故可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中. （1）求展开式中的常数项，并指出是第几项； （2）求展开式中的所有有理项. 【答案】（1）常数项为60，是第5项 （2），，60， 【解析】 【分析】（1）根据二项式展开式通项公式求解即可. （2）根据展开式通项公式，有理项即，求出值依次代入即可. 【小问1详解】 该二项式展开式中的通项公式为. 令，则， 所以常数项是第5项，为. 所以展开式中的常数项为60，是第5项. 【小问2详解】 由（1）知，通项公式为. 令，则. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以展开式中的所有有理项为：，，60，. 16. 现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. （1）求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； （2）设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）分布列： 1 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式结合对立事件概率公式求解； （2）应用超几何分布写出概率及分布列，再应用公式求解数学期望. 【小问1详解】 由题意可知，选出的4名同学全是男生的概率为， 所以选出的4名同学中至少有1名女生的概率为； 【小问2详解】 根据题意，的可能取值为，则 ， . 所以的分布列为： 1 2 3 4 . 17. 某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. （1）随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； （2）随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望、； 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ， 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）由题意可得服从二项分布：从而可得的可能取值为，求出对应的概率，列出分布列，根据期望和方差公式求解即可. 【小问1详解】 设事件：机器人平地行走达标，； 设事件：机器人斜坡行走达标，； 由题意，事件与相互独立，则性能合格为事件. 根据独立事件概率乘法公式：. 【小问2详解】 由题意，服从二项分布：的可能取值为. 根据二项分布概率公式，； 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. 18. 甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）．采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，． （1）设甲以3：1获胜的概率为，求的最大值； （2）记（1）中，取得最大值时的值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） X 3 4 5 P ， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的解析式，通过求导即可得到的最大值. （2）由（1）得到的值，再根据的可能取值为3,4,5，分别求出其所对应概率即可得出分布列，再由公式求得期望即可. 【小问1详解】 甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜， 所以，，， 令，得；令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为． 【小问2详解】 由（1）知，由题意，知X的所有可能取值为3、4、5，相应的概率为 ， ， ， 所以X的分布列为 X 3 4 5 P X的数学期望． 19. 已知函数，． （1）判断的单调性； （2）若，求的值； （3）已知，．若，证明：． 【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上递减； （2） （3） 令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）先求导，按照和分类讨论，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【小问1详解】 由得：， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈24中高二下学期期中考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 3. 某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 越小，越小 4. 某人工智能实验室有6名研究员，将他们分配到3个不同的人工智能科研项目，若每名研究员只能加入1个项目，且每个项目至少需要1名研究员，则不同的分配方案数为（ ） A. 540 B. 600 C. 480 D. 720 5. 某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ） A. B. C. D. 6. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四棱锥.用红、黄、蓝、绿四种颜色（四种颜色全部使用），涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数（ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 8. 已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数服从超几何分布 C. 若随机变量的方差为，则 D. ，则当时概率最大 10. 已知函数 展开式中二项式系数和为 256 ，则下列说法正确的有（ ） A. 所有项的系数之和为1 B. 二项式系数最大项为第 4 项 C. D. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数的极小值是2 B. 函数在上有唯一零点 C. 存在实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 13. 的展开式中的系数为___________. 14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______；______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中. （1）求展开式中的常数项，并指出是第几项； （2）求展开式中的所有有理项. 16. 现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. （1）求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； （2）设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 17. 某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. （1）随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； （2）随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望、； 18. 甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）．采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，． （1）设甲以3：1获胜的概率为，求的最大值； （2）记（1）中，取得最大值时的值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局数，求的分布列和数学期望． 19. 已知函数，． （1）判断的单调性； （2）若，求的值； （3）已知，．若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $