第3单元 长方体和正方体 A卷 母子题培优专项卷2-【王朝霞培优100分】2025-2026学年五年级数学下册同步单元卷（人教版2012）

子题2(6×2+6×4+2×4)×2×2=176(cm2) 子题34×4×6+2×2×4+1×1×4=116(cm2) 176-2×4×2=160(cm2) 答：最后得到的立体图形的表面积是116cm。 答：大长方体的表面积最大是160cm。 【解析】求拼成后的大长方体的表面积最大是多少， 第三单元A卷 母子题培优专项卷（二） 只需用两个小长方体的表面积之和减去两个最小的 ≈重难点1 拼接面之和。已知两个小长方体的表面积之和是 母题】 84÷4÷3=7(cm) (6×2+6×4+2×4)×2×2=176(cm2),最小的拼 7×7×(7-3)=196(cm) 接面积是2×4=8(cm),所以大长方体的表面积最 答：原来长方体的体积是196cm3。 大是176-8×2=160(cm)。 【解析】一个长方体的高增加后，上面和下面的面积 子题3(24×17+24×1.5+17×1.5)×2×4-24× 没有变化，增加的面积就是侧面4个小长方形的面积 17×6=1308(cm) 和。4个小长方形的面积全部相等，每个小长方形的 答：包装这四本书至少需要包装纸1308cm。 面积=84÷4=21(cm2),每个小长方形的长=21÷3 之重难点4 =7(cm)。原来的长方体的高增加3cm后变成正方 体，说明原来长方体的长和宽相等，均是7cm,高是 母题 (5×3+5×2+3×2)×2=62(dm2) 7-3=4(cm),由此可以求出原来长方体的体积。 答：剩下部分的表面积是62dm。 子题140÷4÷2=5(dm) 【解析】由图可知，挖去一个小正方体后，减少了小 (5+2)×5×5=175(dm) 正方体的上面、前面、右面3个面，同时增加了下面、 答：原来长方体的体积是175dm3。 后面、左面3个面，因此从总体上看，表面积没有变 子题2 120÷4÷(3+2)=6(cm) 化。根据长方体表面积计算公式求解即可。 6×6×(6+3+2)=396(cm3) 子题110×10×6-8×2×2=568(cm2) 答：原来长方体的体积是396cm3。 答：剩下部分的表面积是568cm。 三重难点2 【解析】如图，锯下一个小长方体后，大正方体的表 面积减少了小长方体中上面10×8、前面10×2、左面 母题 20×16×7=2240(cm3) 8×2和右面8×2的面积，同时增加了下面10×8和 2240÷(16×10)=14(cm) 后面10×2的面积。故剩下部分的表面积=大正方 答：水面高14cm。 体的表面积一减少的小长方体左面和右面面积之和。 【解析】长方体容器平放和竖放时，容器内水的体积 不变。图1平放时，水的体积=长×宽×高=20× 16×7=2240(cm);图2竖放时的底面积=16×10= 160(cm),水的体积不变，高=水的体积÷底面积= 子题21×3=3(cm) 2240÷160=14(cm)。 3×3×6-1×1×2+1×3×4=64(cm2) 子题125×16×4÷(16×10)=10(cm) 答：剩下部分的表面积是64cm。 答：现在水深是10cm。 【解析】自上而下挖掉中间的3个小正方体后，大正 子题2方法一20×50×24=24000(cm) 方体的表面积减少了上面和下面2个1×1的面积， (20+40)×50=3000(cm2) 前面、后面、左面和右面共增加了4个1×3的面积， 24000÷3000=8(cm) 故剩下部分的表面积=大正方体的表面积一减少的 方法二24÷[(40÷20)+1]=8(cm) 上、下面面积之和十增加的前、后、左、右面面积之和。 答：这两个鱼缸现在的水深是8cm。 【解析】思路一不管怎么倒水，水的体积不变。可以 2=200(cm)。长方体体积=底面积×高=200×4.5 将两个鱼缸并排放在一起，看成一个底面长20十40 =900(cm3). =60(cm)、宽50cm的长方体（如图）。由“长方体的 体积=底面积X高”，可知“长方体的高=体积÷底 面积”，从而计算出现在的水深。 三重难点4 母题 250mL=0.25L=0.25dm cm 1.5×1.2×(0.9-0.7)+0.25=0.61(dm3) 50 cm 答：这块石头的体积是0.61dm。 20 cm 40 cm 【解析】石头的体积=水面上升部分的体积十溢出的 思路二因为40÷20=2，且两个鱼缸的宽相等，所以 水的体积。水面上升部分可看作长1.5dm、宽1.2dm、 B鱼缸的底面积是A鱼缸底面积的2倍。将A鱼缸 高0.9-0.7=0.2(dm)的长方体，根据长方体体积公 中的水平均分成2+1=3（份），A鱼缸中的水占其中 式计算出水面上升部分的体积，然后加上溢出的水 的1份，因此现在的水深为24÷3=8(cm)。 的体积即可。 子题32×5×8+3×5×6=170(dm3) 子题15×5×5=125(dm3) 170÷(2×5+3×5)=6.8(dm) 9×8×(5.5-4.5)=72(dm) 答：水深是6.8dm。 125>72会溢出 【解析】将两个容器并排放置，总底面积为2×5十3× 125-72=53(dm3) 5=25(dm)。将容器看成是一个底面积为25dm的 53dm3=53L 答：玻璃缸里的水会溢出，溢出53L。 长方体，水的总体积为2×5×8+3×5×6=170(dm3), 【解析】由题可知，玻璃缸内无水部分可以看成长9dm、 则水深为170÷25=6.8(dm)。 宽8dm、高5.5-4.5=1(dm)的长方体，其体积是9× 之重难点3 8×1=72(dm3)。正方体铁块的体积是5×5×5= 母题108÷2=54(dm2) 125(dm),125>72,玻璃缸里的水会溢出，溢出部分 54×14=756(dm3) 的体积是125-72=53(dm),53dm3=53L。 答：原来长方体的体积是756dm3。 子题28×8×(5-2)=192(cm3) 【解析】一个长方体切成两个小长方体，表面积增加 答：溢出的水的体积是192cm3。 了两个横截面的面积，即横截面的面积是108÷2 【解析】要求溢出的水的体积，就是求水减少的体积， =54(dm),也就是大长方体的侧面积是54dm2,而 拿出鹅卵石后，与没放鹅卵石前相比，水面高度下降 大长方体的长是14dm,根据体积公式计算即可求出 5-2=3(cm),如下图所示。涂色部分的体积为水减 少的体积，即8×8×3=192(cm3)。 原来长方体的体积。 2 cm 子题10.32÷4=0.08(dm2) 5 cm 4.5÷3×0.08=0.12(dm3) 答：原来每个积木的体积是0.12dm3。 子题2（440.5-4.5×4.5×2)÷2×4.5=900(cm3) 8cm 8 cm 答：原长方体的体积是900cm3。 三重难点5 【解析】如图，切成四块后，表面积增加的是两个B面 母题 6×4×1.5÷(6×4-3×3)=2.4(dm) 和两个A面。已知两个A面的面积和是4.5×4.5×2 2.4-1.5=0.9(dm) =40.5(cm2),所以一个B面的面积是(440.5-40.5)÷ 答：这时长方体水缸的水面上升了0.9dm。 培优100分数学五年级下册J版 55 【解析】将一个正方体铁块放入长方体水缸中，水没 8.B 有溢出水缸，这时铁块正方形的底面与水缸长方形 9.C【解析】由“将一个长方体的侧面展开正好 的底面合在一起，现在水缸中水的底面积就是长方 是一个正方形”可知，长方体底面周长与高相等。 体水缸的底面积减去正方体铁块的底面积，而水缸 又知底面边长是2cm,则高是2×4=8(cm), 中水的体积没有变化，所以可先求出现在水的深度， 代入长方体体积公式可得体积是2×2×8= 即用水的体积除以现在水的底面积。求出水缸中现 32(cm3). 在水的深度后，减去原来水的深度，即可得出水面上 10.D 升的高度。 已大人辅导延展 子题18×4.5×0.8÷(8×4.5-4×1.5)=0.96(m) 如果用n(n>2)表示把大正方体的棱平均分的份 0.96-0.8=0.16(m) 数，每种涂色小正方体的数量情况如下： 答：现在水池里水深增加了0.16m。 1.3面涂色的小正方体都在大正方体的顶点处， 子题2 (4x4×4+6×6×2)÷(6×6)=34(dm) 是8个； 酷<1说明铁块设有完全浸人水中 2.2面涂色的小正方体都在大正方体的棱上，每 条棱上2面涂色的小正方体的个数总是比大正方 水深：6×6×2÷(6×6-4×4)=3.6(dm) 体的棱平均分的份数少2，一共是12(n-2)个； 答：水深变为3.6dm。 3.1面涂色的小正方体都在大正方体面的中部， 【解析】判断铁块是否完全浸入水中，用“（铁块的体 大正方体每个面上1面涂色的小正方体的个数等 积十水的体积)÷容器的底面积”得出水的深度，与 于大正方体的棱平均分成的份数减2的差的平 铁块的高度相比较。若水的深度大于铁块的高度， 方，一共是6(n-2)2个。 则铁块完全浸入水中，此时的结果就是水的实际深 度；若水的深度小于或等于铁块的高度，则铁块没有 二、1.3.60.165205.8 完全浸入水中，此时水的体积不变，容器中水的底面 2.L300cm(横线上方的答案合理即可) 积=容器底面积一铁块底面积，则水的深度=水的 3.86001000【解析】要用小正方体拼成一 体积÷（容器底面积一铁块底面积)。 个较大的正方体，那么较大的正方体的棱长至 少是小正方体棱长的2倍，最少要用2×2X2 第三单元B卷培优验收综合卷 =8(个)小正方体。拼成的较大的正方体的棱 -、1.B2.B3.D4.A 长是5×2=10(cm),表面积是10×10×6= 5.B【解析】通过观察可知，给出的四个面为两 600(cm2),体积是10×10×10=1000(cm). 组相对的面，可以看出长方体的长、宽、高分别 4.5648.8 为6cm、2cm、5cm,因此剩下两个面的长和宽分 5.橙蓝 别为6cm和5cm,面积和为6×5×2=60(cm)。 6.52【解析】通过观察可以发现，按照图①的 6.B 切割方式，表面积增加了16cm,即长×高= 7.B【解析】由题意得，新长方体的长增加3m, 16÷2=8(cm);同理，由图②、图③的切割方 式可得长×宽=24÷2=12(cm),宽×高 宽和高都不变，画图表示为 ,求新 a 12÷2=6(cm)。根据长方体的表面积计算公 长方体的体积比原来增加了多少。观察图可 式可知，原来长方体的表面积是(8+12十6)× 知，新长方体可以看成是原来长方体和另一个 2=52(cm2)。 长方体拼成的，另一个长方体的长、宽、高分别 7.7584015【解析】由图可知，该几何 是3m、bm、cm,它的体积就是所求的增加的 体的前面和后面各有7个面，左面和右面各有 体积，也就是3bcm3。 5个面，上面和下面各有8个面，小正方体的一 56 培优100分数学 五年级下册RJ版 个面的面积是1×1=1(cm),即几何体的表面 (30-5×2)×(20-5×2)×5=1000(cm3) 积是7X2+5×2+8×2=40(cm2)。由图可 答：这个长方体茶叶盒的容积是1000cm。 知，长、宽、高里最长是3cm,所以应补成棱长 5.760mL=760cm3 至少为3cm的正方体，该正方体的体积是3× 760÷(8×5+6×6)=10(cm) 3×3=27(cm),因每个小正方体的体积是 6×6×10=360(cm3) 1×1×1=1(cm3),所以共有27÷1=27（个）小 360cm3=360mL 正方体，通过数一数可知原几何体有12个小 答：李叔叔的杯子中有360mL茶水。 正方体，则至少需要添加的小正方体的个数是 【解析】因两个杯子中的茶水高度相等，所以 27-12=15(个). 用茶水的总体积除以两个杯子的底面积之和 8.5012 就是两个杯子中茶水的高度。然后根据长方 9.(1)6.25 体体积公式算出李叔叔的杯子中茶水的体积。 (2)48【解析】水深5dm、棱长8dm的正方体 6.32÷4=8(cm) 水箱中剩余的体积=8×8×(8-5)=192(dm), 8cm2=0.08dm 求水溢出多少，10>8，则铁块正立着没入水中 0.08×2=0.16(dm3) 部分高8cm,铁块没入水中的体积=6×5×8= 答：这块长方体茯砖茶原来的体积是0.16dm。 240(dm),240>192,水溢出的体积是240-192 【解析】把长方体茯砖茶截成完全相同的三块 =48(dm3),48dm3=48Lo 小长方体茯砖茶，表面积增加了4个横截面的 10.72 面积，用“32÷4”求出横截面的面积，然后根据 三、表面积：(3×1.5+3×1+1.5×1)×2+(1×1.5+ 长方体体积=底面积X高，求出原来长方体茯 1×1)×2=23(m2) 砖茶的体积即可。 体积：3×1.5×1+1.5×1×1=6(m) 附加题 1.144÷3=48(cm2) 后面 360÷4=90(cm2) 面 ■下面■面■上面 120÷1=120(cm2) 前画 48×2+90×2+120×2=516(cm2) 答：原来长方体的表面积是516cm。 【解析】长减少3cm,体积减少144cm3,则宽、高 （画法不唯一) 都不变，可得宽×高=144÷3=48(cm);同理 4325224 可求出长×高、长×宽的值。然后根据长方体的 五、1.(1)12×8×6=576(cm3) 表面积公式，求出原来长方体的表面积。 答：这个礼盒的体积是576cm3。 2.5×5×(8÷4×9)=450(cm3) (2)12×2+8×2+6×4+12=76(cm) 答：这个长方体铁块的体积是450cm3。 答：捆扎这个礼盒至少需要准备76cm长的彩带。 【解析】根据“把长方体铁块竖直拉出水面8cm 2.3×2.5×2+2×2.5×2+3×2-3=28(m) 后，水面就下降4cm”可知，当水面下降1cm 3.5×28=98(元) 时，长方体铁块被竖直拉出水面8÷4=2(cm)。 答：一共需要98元。 如果把长方体铁块从水中全部竖直拉出水面， 3.(7×6)×(7×4)×12=14112(cm3) 水面就会下降9cm,那么铁块的高度为2×9= 答：这个纸箱的容积是14112cm3。 18(cm)。这个长方体铁块的体积是5×5×18 4.3 dm=30 cm 2 dm=20 cm =450(cm3)。培优100分数学五年级下册RJ版 【答案见P55】 第三单元长方体和正方体 玉朝假 A卷 母子题培优专项卷（二） 拍照批改+错题本 本单元长方体和正方体在小学数学试卷占22分左右，常考考点中，体积变化问题、用抓不变量法解决 实际问题、长（正）方体拼切求体积等是试卷中的重难点，也是最容易失分的地方。在日常学习中，紧抓重难 失分点，是期末冲满分、进阶培优的关键。请同学们先做母题，学习答题方法或策略，再完成对应的子题。 威 加油吧！ ≈重难点1体积变化问题 窖 母题 一个长方体，如果高增加3cm,就变成一个正方体。这时 表面积比原来增加84cm。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 弥 母题视频讲解 线 “培优攻略” 一个长方体的高增加或减 要答 少后，上面和下面的面积 没有变化，增加或减少的 表面积等于侧面4个小长 南 方形的面积之和。求出这 子题1一个长方体，如果长减少2dm,剩下的部分正好是一个正 些小长方形的长和宽，就 方体。这时表面积比原来减少40dm。原来长方体的体积是多少 能进一步求出原长方体的 长、宽、高。 立方分米？ 子题2一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为3cm和2cm 图 的长方体，变成一个正方体，表面积减少了120cm。原来长方体的 体积是多少立方厘米？ ≈重难点2用抓不变量法解决实际问题 母题有一个完全封闭的长方体容器，内壁的长是20cm,宽是 16cm,高是10cm(厚度忽略不计)，平放时水面高7cm(如图1)。 母题视频讲解 如果把这个容器竖起来放（如图2），水面高多少厘米？ “培优攻略 解决此类问题的关键是抓 20 cm 住不变量。如本题中，长 10 cm 16 cm 16 cm 方体容器无论如何放置， 20 cm 10 cm 图1 图2 水的体积是不会变的。根 据水的体积不变，结合长 子题1一个密封的长方体水箱长25cm,宽16cm,高10cm(厚度 方体的体积公式和实际情 况求出水面高度即可。 忽略不计)，里面水深是4cm。如果将水箱的右侧面作为底面进行 放置，那么现在水深是多少厘米？ 25 cm 10 cm 4 cm 25 cm 16 cm 16 cm 10 cm 子题2小华放学回家，看见桌上放着两个玻璃鱼缸，爸爸在留言 条上写着：“小华，你回家后，把A鱼缸的水倒入B鱼缸一些，使两个 鱼缸中的水一样深。”小华按留言倒水后，这两个鱼缸现在的水深是 多少厘米？ 24 cm 水 24 cm 50 cm 50 cm 20cm 40 cm 子题3如图，两个长方体容器底部有一管道相连。管道关闭时， “培优小贴士 两个容器中水的深度分别是8dm和6dm。打开管道让水自由流 打开管道让水自由流动 动，两个容器中水的深度相同时，水深是多少分米？ 后，可以将水看成一个底 面积是两个容器底面积之 和的长方体。 8 dm 6 dm 5 dm5 dm 2 dm 3 dm 培优100分 数学五年级下册RJ版 ≈重难点3长（正）方体拼切求体积 母题一个长l4dm、高6dm的长方体。如果按下图所示把它切 成两个小长方体，那么表面积增加108dm。求原来长方体的体积。 母题视频讲解 “培优攻略 把一个长（正）方体截成2 段、3段、4段…n段，表 面积分别增加了2个、4 子题1如图，用三个完全相同的长方体积木拼成一个长是4.5dm 个、6个…2(n-1)个截 的大长方体，表面积比原来三个积木的表面积总和减少了0.32dm。 面的面积。 原来每个积木的体积是多少立方分米？ 4.5dm 子题2一个长方体，前后两个面都是边长为4.5cm的正方形，切 成四块后（如图）表面积增加了440.5cm。求原长方体的体积。 ≈重难点4有水溢出的浸没问题 母题一个内部长1.5dm、宽1.2dm、高0.9dm的长方体水箱，水 面高度是0.7dm,将一块石头浸没在水中后，溢出了250mL水。这 块石头的体积是多少立方分米？ 母题视频讲解 “培优小贴士” 解题关键在于弄清“石头 的体积=水面上升部分的 体积+溢出的水的体积”。 子题1一个长方体玻璃缸，内部长9dm,宽8dm,高5.5dm,水深 4.5dm。如果向玻璃缸中放人一块棱长5dm的正方体铁块，玻璃 缸里的水会溢出吗？如果溢出，溢出多少升？ 12 培优100分数学五年级下册RJ版 子题2一个长方体容器，底面是边长8cm的正方形，高是16cm, 往容器中倒人一定量的水，使水面距离容器口2cm。现把一块鹅卵 石放人容器中，会有部分水溢出。当把鹅卵石取出后，水面距离容 器口5cm。溢出的水的体积是多少？ 弥 封 之重难点5物体没有完全浸入且水没有溢出的问题 母题一个长6dm、宽4dm、高4.8dm的长方体水缸，水深1.5dm。 线 在其中放入一个棱长3dm的正方体铁块，铁块没有被淹没，且水没 母题视频讲解 有溢出。这时长方体水缸的水面上升了多少分米？ “培优小贴士 在一个已经有一些水的长 内 方体容器中放入一个正方 体物体，水面上升了而水 没有淹没物体，且水没有 溢出，这时容器中水的底 子题1一个长8m、宽4.5m、深3m的长方体水池中，水深0.8m。 面积发生了变化，变为容 不 把一个长4m、宽1.5m、高5m的长方体石碑立着放入水池中，且水 器原来的底面积减去放入 物体的底面积，而容器中 没有溢出，现在水池里水深增加了多少米？ 水的体积不变。 要 答 子题2一个正方体容器，从里面量棱长为6dm,里面装有2dm深 姆 的水。将一个棱长为4dm的正方体铁块放入水中，且水没有溢出， 水深变为多少分米？ 题