第3单元 长方体和正方体 A卷 母子题培优专项卷1-【王朝霞培优100分】2025-2026学年五年级数学下册同步单元卷（人教版2012）

培优100分数学五年级下册RJ版 【答案见P54】 第三单元长方体和正方体 A卷 母子题培优专项卷（一） 拍照批改+错题本 本单元长方体和正方体在小学数学试卷占22分左右，常考考点中，用排除法解决相对面问题、用观察 法解决不规则图形的表面积问题、用列举法解决长（正）方体拼接后表面积变化问题、长（正）方体挖去一部 分后的表面积计算是试卷中的重难点，也是最容易失分的地方。在日常学习中，紧抓重难失分点，是期末冲 满分、进阶培优的关键。请同学们先做母题，学习答题方法或策略，再完成对应的子题。加油吧！ 威 ≈重难点1相对面问题一排除法 母题 有一个正方体，六个面分别写着A、B、C、D、E、F,请根据 下面三种不同的摆法推测A、B、C相对的面上的字母。 弥 母题视频讲解 “培优攻略 B 解决此类题目时，可以从 图1 图2 图3 要 与这个面相邻的面上的字 A相对的面上的字母是( ),B相对的面上的字母是 题 母或数字入手进行分析。 ( ),C相对的面上的字母是( ) 子题1 如下图所示，正方体的6个面上写着16这6个数字，想一 想，1和( )相对，2和( )相对，4和( )相对。 4 設 3 子题2 下面是由4个完全相同的正方体拼成的长方体。每个正 培优小贴士 方体的6个面分别涂着红、紫、黄、绿、蓝、黑6种颜色，请判 先找出出现次数较多的颜 断相对的面的颜色 色，再找出与这个颜色相 邻的颜色是什么，一一排 黄 绿 黑 红 除，最后判断这个面相对 面上的颜色。 图 黑色的对面是( )色，黄色的对面是( )色，紫 色的对面是( )色。 子题3 老师特制了4个完全相同的正方体，并将它们按图1的方 式放置，分别旋转后放置如图2，则图2中4个正方体底面 上的点数之和是( ) 图1 图2 之重难点2不规则图形的表面积问题—观察法 母题下面两个几何体都是由棱长1cm的小正方体搭成的。几 何体①的表面积可以按下框内的方法计算得出。几何体②的表面 母题视频讲解 积是多少平方厘米？如果添加相同的小正方体，把几何体②补成一 培优小贴士 个大正方体，表面积至少是多少平方厘米？ 求不规则图形的表面积， 先借助观察物体的知识， 1×1=1(cm2) 通过画一画、数一数求出前 （7+4+6)×2=34(cm2) 面、上面、右面的图形面积， 从前面看从上面看从右面看 再根据长方体“相对面面 积相等”，计算出表面积。 子题1如下图的几何体，每个小正方体的棱长是1dm。这个几 培优攻略 何体的表面积是多少平方分米？如果在这个几何体的基础上增加 把几何体补成一个大正方 体时，要按照长、宽、高里 一些相同的小正方体，至少需要增加多少个小正方体就可以组成 最长的棱来决定。 个较大的正方体？ 子题2下图是由多个棱长为1cm的小正方体堆成的几何体。该 几何体的表面积是多少平方厘米？如果在这个几何体上添加相同 的小正方体，补成一个长方体。那么这个长方体的表面积至少是多 少平方厘米？ 培优100分数学五年级下册RJ版 9 子题3下图是由多个棱长为1cm的小正方体堆成的几何体，它 的表面积是多少平方厘米？至少再添加几个相同的小正方体就可 以拼成一个稍大的正方体？ ≈重难点3长（正）方体拼接后表面积变化问题一列举法 母题把4个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少 多少平方厘米？ 母题视频讲解 “培优攻略 将多个相同的小正方体拼 成一个长方体或大正方体 时，往往有多种拼接方式， 不同的拼接方式表面积也 不同，解题时可以先将所 有的方式列举出来，以免 子题1把6个棱长为1cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体 遗漏或重复。 的表面积是多少平方厘米？ 子题2用两个长6cm、宽2cm、高4cm的长方体拼成一个大长方 培优小贴士一 体，大长方体的表面积最大是多少平方厘米？ 要使拼成的长方体表面积 最大，只需要把最小的面 拼接在一起；要使拼成的 长方体表面积最小，只需 要把最大的面拼接在一起。 10 培优100分数学五年级下册RJ版 子题3李老师在某平台购买了4本《数学在哪里》，收到书后，他 准备将书包装成一份礼物送给学生。包装这四本书至少需要包装 纸多少平方厘米？ 数学 在哪里 24 cm 123 1.5cm 17cm 弥 重难点4长（正）方体挖去一部分后的表面积计算 封 母题一个长5dm、宽3dm、高2dm的长方体，现从一个角挖去 一个棱长1dm的小正方体。剩下部分的表面积是多少平方分米？ 母题视频讲解 2dm “培优攻略 线 3 dm 5dm 运用平移法或转化法把某 些面平移或转化，可以使 一些求不规则物体表面积 子题1从棱长为10cm的正方体木块上锯下一个长10cm、宽8cm、 的实际问题简单化。 内 高2cm的小长方体（如图），求剩下部分的表面积。 2 cm 不 10cm 子题2如图，由27个棱长为1cm的小正方体组成一个棱长为3cm 的大正方体，现自上而下挖掉中间的3个小正方体。剩下部分的表 要 面积是多少？ 答 子题3一个棱长为4cm的正方体，先从正方体的上面正中间向 培优小贴士 熤 下挖一个棱长2cm的正方体小洞，接着在该小洞的底面正中间再 正方体的上面虽然少了一 个边长2厘米的正方形，但 向下挖一个棱长1cm的正方体小洞（如图），最后得到的立体图形 题 运用平移的方法可以补上 的表面积是多少平方厘米？ 这个正方形，所以现在这 个立体图形的表面积比原 来正方体的表面积多了8 个面的面积。大人辅导延展 附加题 2的倍数：个位上是0、2、4、6、8； 1.右【解析】49是奇数，因为奇数十偶数=奇 3的倍数：各个数位上的数的和是3的倍数； 数，所以右边盒子里的糖数×3和左边盒子里 5的倍数：个位上是0或5； 的糖数×2结果为一奇一偶，又因为左边盒子 里的糖数×2一定是偶数，所以右边盒子里的 同时是2、3、5的倍数：各个数位上的数的和是3的 糖数X3一定是奇数，根据奇数×奇数=奇数， 倍数，且个位上是0。 可得右边盒子里的糖数是奇数。 2.19【解析】25以内4的倍数有4,8,12,16， 20,24,共6人要向后转；25以内6的倍数有6， 12,18,24,共有4人向后转，但是其中报12和 24的向后转了两次，所以现在背对老师的有报 1,2,4,5,10,20 4,8,16,20,6,18的6名同学，用25减去背对老 四、1.128=128×1=64×2=32×4=16×8 师的人数就是面向老师的人数。 因为全班不到50名同学，每名同学带的书同样 3.(1)693(√)990（√） 多且不到5本，所以这个班有32名同学，每名 一个数各个数位上数字之和是9的倍数 同学带来4本书。 (2)例如：693是由6个百、9个十、3个一组成 答：这个班有32名同学，每名同学带来4本书。 的，它可以表示成693=6×100+9×10+3。 2.(1)方法一1~30中2的倍数有：2,4,6,8,10， 100和10不是9的倍数，但是99是9的倍数，9 12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,共15个数， 也是9的倍数。根据乘法分配律： 即有15人参加跑步。 693=6100+9×10+3 方法二30÷2=15（人） =6×(99+1)+9×(9+1)+3 答：参加跑步的有15人。 =6×99+6+9×9+9+3 (2)130中3的倍数有：3,6,9,12,15,18,21， 其中6×99和9×9一定是9的倍数，剩下只需 24,27,30,有10个数，其中报6,12,18,24,30 要看“6十9+3”，也就是“各个数位上数字之 的5名同学参加跑步了。 和”是否为9的倍数便可以进行判断了。 10-5=5(人) 6+9+3=18 答：参加跳绳训练的有5人。 18是9的倍数，所以693一定是9的倍数。 (3)1~30中5的倍数有：5,10,15,20,25,30，有 (答案合理即可) 6个数，其中报10,20,30的同学参加跑步了， 报15的同学参加跳绳训练了。 第三单元A卷母子题培优专项卷（一） 6-3-1=2(人) 三重难点1 答：有2人去拿篮球。 母题DEF 3.这批篮球的数量减2同时是4、6的倍数。 【解析】观察三幅图发现，三幅图中都有字母C,运用 30~40之间4的倍数有32、36； 排除法依次确定C、B、A相对的面上的字母。 3040之间6的倍数有36。 确定C相对的 由图1、图2、图3可知，C的 36+2=38(个) 面上的字母 邻面是A、B、D、E。 C与F相对 答：这批篮球一共有38个。 确定A相对的 由图1、图3可知，A的邻面 4.64÷2=32(m)32=3+29=13+19 面上的字母 是B、C、E,且C与F相对。 A与D相对 3×29=87(m2)13×19=247(m) 确定B相对的 由以上可知，C与F相对，A 面上的字母 B与E相对 与D相对。 87<247面积最大是247m 答：这个报告厅的面积最大是247m。 子题1356 54 培优100分 数学五年级下册RJ版 子题2蓝绿红 【解析】由图可知，几何体的前面和后面各有8个面， 子题316 左面和右面各有6个面，上面和下面各有8个面，正 方体的一个面的面积是1×1=1(cm2),由此可以求 ≈重难点2 出该几何体的表面积。由图可知，长、宽、高里最长是 母题1×1=1(cm2) 4cm,所以至少应补成棱长为4cm的正方体，补成的 (6+5+5)×2=32(cm2) 正方体共有4×4×4=64（个）小正方体，减去已有的 1×3=3(cm)3×3×6=54(cm) 小正方体的个数就可以求出需要添加的小正方体的 答：几何体②的表面积是32cm,把几何体② 个数。 补成一个大正方体，表面积至少是54cm。 【解析】几何体②从前面可以看到6个面，同理前面的 之重难点3 对面也有6个面，右面和左面各有5个面，上面和下面 母题 5×5×6=150(cm2) 各有5个面，正方体一个面的面积是1×1=1(cm), 或5×5×8=200(cm2) 所以几何体②的表面积是(6+5+5)×2=32(cm)。 答：表面积减少150cm或200cm。 要想把几何体②补成一个大正方体，要按照长、宽、 【解析】4个相同的正方体可能拼成的长方体的所有 高里最长的棱来确定，所以应补成棱长至少为1×3 情况如图所示。由图可以发现，减少的面积等于正 3(cm)的正方体，表面积是3×3×6=54(cm)。 方体拼接面的面积之和。图1中减少了6个面，即 子题11×1=1(dm)(6+5+4+1)×2=32(dm) 5×5×6=150(cm);图2中减少了8个面，即5× 3×3×3-8=19(个) 5×8=200(cm2)。 答：这个几何体的表面积是32dm2,至少需 要增加19个小正方体就可以组成一个较大 的正方体。 图1 图2 子题21×1=1(cm2) 子题1第一种拼法： (12+4+9)×2=50(cm) 方法-(6×1+6×1+1×1)×2=26(cm) (5×2+5×3+2×3)×2=62(cm2) 方法二1×1×(6×6-10)=26(cm2) 答：该几何体的表面积是50cm,这个长方 体的表面积至少是62cm。 第二种拼法： 【解析】可以结合前面、上面、右面的图形面积求出 方法一(3×2+3×1+2×1)×2=22(cm2) 该几何体的表面积。求补成的长方体的表面积至少 方法二1×1×(6×6-14)=22(cm2) 是多少平方厘米，就是求补成的最小的长方体的表 答：这个长方体的表面积是26cm或22cm。 面积。从前面观察，一排最多摆了5个小正方体，长 【解析】把6个相同的正方体拼成一个长方体，有以 方体的长最小是5cm;一列最多摆了3个小正方体，高最 下两种拼法。 小是3cm;从右面观察，一排最多摆了2个小正方体， 长方体的宽最小是2cm。最后根据长方体的表面积 图示 计算方法求解。 长是6cm,宽和高都 长是3cm,宽是2cm, 子题31×1=1(cm) 方法 是1cma 高是1cm。 (6×1+6×1+1× (3×2+3×1+2×1) (8+6+8)×2=44(cm) 1)×2=26(cm2) ×2=22(cm2) 4×4×4=64(个)64-14=50（个） 拼之前表面有(6×6) 拼之前表面有(6×6) 答：它的表面积是44cm,至少再添加50个 个正方形，去掉拼接 个正方形，去掉拼接处 方法二 处的10个正方形。 的14个正方形。 相同的小正方体就可以拼成一个稍大的正 1×1×(6×6-10)= 1×1×(6×6-14)= 方体。 26(cm2) 22(cm2) 子题2(6×2+6×4+2×4)×2×2=176(cm2) 子题34×4×6+2×2×4+1×1×4=116(cm2) 176-2×4×2=160(cm2) 答：最后得到的立体图形的表面积是116cm。 答：大长方体的表面积最大是160cm。 【解析】求拼成后的大长方体的表面积最大是多少， 第三单元A卷 母子题培优专项卷（二） 只需用两个小长方体的表面积之和减去两个最小的 ≈重难点1 拼接面之和。已知两个小长方体的表面积之和是 母题】 84÷4÷3=7(cm) (6×2+6×4+2×4)×2×2=176(cm2),最小的拼 7×7×(7-3)=196(cm) 接面积是2×4=8(cm),所以大长方体的表面积最 答：原来长方体的体积是196cm3。 大是176-8×2=160(cm)。 【解析】一个长方体的高增加后，上面和下面的面积 子题3(24×17+24×1.5+17×1.5)×2×4-24× 没有变化，增加的面积就是侧面4个小长方形的面积 17×6=1308(cm) 和。4个小长方形的面积全部相等，每个小长方形的 答：包装这四本书至少需要包装纸1308cm。 面积=84÷4=21(cm2),每个小长方形的长=21÷3 之重难点4 =7(cm)。原来的长方体的高增加3cm后变成正方 体，说明原来长方体的长和宽相等，均是7cm,高是 母题 (5×3+5×2+3×2)×2=62(dm2) 7-3=4(cm),由此可以求出原来长方体的体积。 答：剩下部分的表面积是62dm。 子题140÷4÷2=5(dm) 【解析】由图可知，挖去一个小正方体后，减少了小 (5+2)×5×5=175(dm) 正方体的上面、前面、右面3个面，同时增加了下面、 答：原来长方体的体积是175dm3。 后面、左面3个面，因此从总体上看，表面积没有变 子题2 120÷4÷(3+2)=6(cm) 化。根据长方体表面积计算公式求解即可。 6×6×(6+3+2)=396(cm3) 子题110×10×6-8×2×2=568(cm2) 答：原来长方体的体积是396cm3。 答：剩下部分的表面积是568cm。 三重难点2 【解析】如图，锯下一个小长方体后，大正方体的表 面积减少了小长方体中上面10×8、前面10×2、左面 母题 20×16×7=2240(cm3) 8×2和右面8×2的面积，同时增加了下面10×8和 2240÷(16×10)=14(cm) 后面10×2的面积。故剩下部分的表面积=大正方 答：水面高14cm。 体的表面积一减少的小长方体左面和右面面积之和。 【解析】长方体容器平放和竖放时，容器内水的体积 不变。图1平放时，水的体积=长×宽×高=20× 16×7=2240(cm);图2竖放时的底面积=16×10= 160(cm),水的体积不变，高=水的体积÷底面积= 子题21×3=3(cm) 2240÷160=14(cm)。 3×3×6-1×1×2+1×3×4=64(cm2) 子题125×16×4÷(16×10)=10(cm) 答：剩下部分的表面积是64cm。 答：现在水深是10cm。 【解析】自上而下挖掉中间的3个小正方体后，大正 子题2方法一20×50×24=24000(cm) 方体的表面积减少了上面和下面2个1×1的面积， (20+40)×50=3000(cm2) 前面、后面、左面和右面共增加了4个1×3的面积， 24000÷3000=8(cm) 故剩下部分的表面积=大正方体的表面积一减少的 方法二24÷[(40÷20)+1]=8(cm) 上、下面面积之和十增加的前、后、左、右面面积之和。 答：这两个鱼缸现在的水深是8cm。 【解析】思路一不管怎么倒水，水的体积不变。可以 2=200(cm)。长方体体积=底面积×高=200×4.5 将两个鱼缸并排放在一起，看成一个底面长20十40 =900(cm3). =60(cm)、宽50cm的长方体（如图）。由“长方体的 体积=底面积X高”，可知“长方体的高=体积÷底 面积”，从而计算出现在的水深。 三重难点4 母题 250mL=0.25L=0.25dm cm 1.5×1.2×(0.9-0.7)+0.25=0.61(dm3) 50 cm 答：这块石头的体积是0.61dm。 20 cm 40 cm 【解析】石头的体积=水面上升部分的体积十溢出的 思路二因为40÷20=2，且两个鱼缸的宽相等，所以 水的体积。水面上升部分可看作长1.5dm、宽1.2dm、 B鱼缸的底面积是A鱼缸底面积的2倍。将A鱼缸 高0.9-0.7=0.2(dm)的长方体，根据长方体体积公 中的水平均分成2+1=3（份），A鱼缸中的水占其中 式计算出水面上升部分的体积，然后加上溢出的水 的1份，因此现在的水深为24÷3=8(cm)。 的体积即可。 子题32×5×8+3×5×6=170(dm3) 子题15×5×5=125(dm3) 170÷(2×5+3×5)=6.8(dm) 9×8×(5.5-4.5)=72(dm) 答：水深是6.8dm。 125>72会溢出 【解析】将两个容器并排放置，总底面积为2×5十3× 125-72=53(dm3) 5=25(dm)。将容器看成是一个底面积为25dm的 53dm3=53L 答：玻璃缸里的水会溢出，溢出53L。 长方体，水的总体积为2×5×8+3×5×6=170(dm3), 【解析】由题可知，玻璃缸内无水部分可以看成长9dm、 则水深为170÷25=6.8(dm)。 宽8dm、高5.5-4.5=1(dm)的长方体，其体积是9× 之重难点3 8×1=72(dm3)。正方体铁块的体积是5×5×5= 母题108÷2=54(dm2) 125(dm),125>72,玻璃缸里的水会溢出，溢出部分 54×14=756(dm3) 的体积是125-72=53(dm),53dm3=53L。 答：原来长方体的体积是756dm3。 子题28×8×(5-2)=192(cm3) 【解析】一个长方体切成两个小长方体，表面积增加 答：溢出的水的体积是192cm3。 了两个横截面的面积，即横截面的面积是108÷2 【解析】要求溢出的水的体积，就是求水减少的体积， =54(dm),也就是大长方体的侧面积是54dm2,而 拿出鹅卵石后，与没放鹅卵石前相比，水面高度下降 大长方体的长是14dm,根据体积公式计算即可求出 5-2=3(cm),如下图所示。涂色部分的体积为水减 少的体积，即8×8×3=192(cm3)。 原来长方体的体积。 2 cm 子题10.32÷4=0.08(dm2) 5 cm 4.5÷3×0.08=0.12(dm3) 答：原来每个积木的体积是0.12dm3。 子题2（440.5-4.5×4.5×2)÷2×4.5=900(cm3) 8cm 8 cm 答：原长方体的体积是900cm3。 三重难点5 【解析】如图，切成四块后，表面积增加的是两个B面 母题 6×4×1.5÷(6×4-3×3)=2.4(dm) 和两个A面。已知两个A面的面积和是4.5×4.5×2 2.4-1.5=0.9(dm) =40.5(cm2),所以一个B面的面积是(440.5-40.5)÷ 答：这时长方体水缸的水面上升了0.9dm。 培优100分数学五年级下册J版 55