精品解析：湖南岳阳市华容县2025-2026学年第一学期期末监测高二数学试卷

2025－2026学年度第一学期期末监测试卷 高二数学 注意事项： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷和草稿纸上无效. 3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上.写在本试卷和草稿纸上无效. 4、考试结束时，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. -2 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 78 B. 84 C. 90 D. 96 3. 直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为 A. 相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离 4. 在平行六面体中，若，则（　　） A. 3 B. 2 C. D. 1 5. 已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值点为 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 方程有三个不同实根时， 10. 已知等差数列的前项和为，且，，，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时，最大 D. 当时，的最大值为15 11. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. C. 当点的纵坐标为4时，存在点，使得 D. 若是等边三角形，则点的横坐标是3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则________. 13. 动点与两个定点，满足，则点到直线的距离的最大值为________． 14. 已知数列的前项和为，且，．若，则正整数的最小值为_________ 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当为何值时，直线与圆相切； （3）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知数列的前项和为，等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程 （2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末监测试卷 高二数学 注意事项： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷和草稿纸上无效. 3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上.写在本试卷和草稿纸上无效. 4、考试结束时，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】由两点的斜率公式计算即可. 【详解】解：由已知得. 故选：D 【点睛】本题考查两点的斜率公式及直线方向向量的概念，是基础题. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 78 B. 84 C. 90 D. 96 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 3. 直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为 A. 相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案． 解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1 则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1， 把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心． 所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心． 故选B 考点：直线与圆的位置关系． 4. 在平行六面体中，若，则（　　） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底表示，由此列方程来求得. 【详解】 ， 而， 所以， 所以. 故选：C 5. 已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 6. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值. 【详解】设该马第天行走的里程数为， 由题意可知，数列是公比为的等比数列， 所以，该马七天所走的里程为，解得. 故该马第五天行走的里程数为. 故选：D. 7. 设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得， 则两条切线的斜率为，对应的两个切点为， 切线方程为和，即和， 切线过定点，切线过定点， 所以两平行线之间距离的最大值为. 故选：C 8. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率及双曲线的对称性得为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出，由双曲线定义可得，从而得到离心率. 【详解】由题意，直线的斜率为，，又， 所以为等边三角形，故，， 在中，，则为锐角， 则， ， 由正弦定理，， ， , 由，得，. 故答案选：. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值点为 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 方程有三个不同实根时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合导函数画出的图像，基于此逐项分析即可． 【详解】，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 因此是极大值点，极大值为； 是极小值点，极小值为，则如图所示， 对于A，由上述分析可知在上单调递减，故A正确； 对于B，由上述分析可知的极大值点为，而非，故B错误； 对于C，切线斜率，则切线为，即，故C正确； 对于D，时，方程有三个不同实根， 等价于函数与直线的交点个数，由的图像可知， 此时必有，即，故D正确． 10. 已知等差数列的前项和为，且，，，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时，最大 D. 当时，的最大值为15 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A，等差数列中，因为，，，， 所以，公差，数列是递减数列，故A错误； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，数列是递减数列，所以当时，最大，故C正确； 对于D，，，因此，当时，的最大值为，故D错误. 11. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. C. 当点的纵坐标为4时，存在点，使得 D. 若是等边三角形，则点的横坐标是3 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出及准线方程，由抛物线定义得到，当与点重合时，取的最小值，当与点重合时，取得最小值，得到答案；B选项，在A选项基础上得到；C选项，求出，假设存在点，使得，则点为直线与准线的交点，求出直线的方程，得到，求出；D选项，得到，由抛物线定义得到点与点重合，由等边三角形的性质结合得到，从而求出点的横坐标. 【详解】A选项，由题意得，准线方程为，设准线与轴交点为， 过点作⊥抛物线的准线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 则，故当与点重合时，取的最小值， 显然，当与点重合时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为2，A正确； B选项，由A选项知，当点与点重合时，等号成立，故B正确； C选项，当点的纵坐标为4时，令中的得，， 故，假设存在点，使得， 则点为直线与准线的交点， 直线的方程为，即， 中，令得，故点， 此时，此时，C错误； D选项，若是等边三角形，则， 因为，所以，即点与点重合， 则⊥轴，则， 又，则，所以， 故点的横坐标是，D正确； 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由可得，解得. 13. 动点与两个定点，满足，则点到直线的距离的最大值为________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】利用两点距离公式求出点的轨迹方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而求圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】设，则，整理得. 所以点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 故点到直线的距离的最大值为. 14. 已知数列的前项和为，且，．若，则正整数的最小值为_________ 【答案】13 【解析】 【分析】利用得到为等比数列，进而求解，再结合不等式性质分类讨论求解. 【详解】当时，，解得. 当时，由， 两式相减得：，整理得. 所以是首项为，公比为的等比数列. 因为， 所以，即， 若为偶数，，不等式不成立， 所以必为奇数，此时，即， 因为，，且是奇数， 所以的最小值为. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当为何值时，直线与圆相切； （3）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 【小问2详解】 根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． 【小问3详解】 设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列的前项和为，等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由 可得，设等差数列的公差为d，再根据等差数列的基本量法求解通项公式即可； （2）求等差数列乘以等比数列的前n项和通过错位相减法可得结果. 【小问1详解】 当时，； 当时，，当时也符合，所以. 由题意，， 设等差数列的公差为d，则，，故. 综上， 【小问2详解】 由（1）知：， ∵ ∴ ① ② ∴得： 即：， ∴. 18. 已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程 （2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）24. 【解析】 【分析】 （1）由条件可知，再代入点求双曲线方程；（2）设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，与双曲线方程联立，求点的坐标，并求，再将换为求，利用是定值，求的最小值再表示 【详解】因为，所以，． 所以双曲线的方程为，即． 因为点在双曲线上，所以，所以． 所以所求双曲线的方程为． 设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由，得， 所以． 同理可得，， 所以． 设， 则， 所以，即当且仅当时取等号． 所以当时，取得最小值24． 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是利用直线和垂直，利用斜率的关系求，第二个关键是注意隐含条件 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. （3）由不等式整理得到，再通过分析的单调性，得到，再求解即可. 【小问1详解】 因为，， 则，当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 当时，由可得， 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增. 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为， 且，，在的图象如图所示． 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． 【小问3详解】 由，得恒成立，移项， 得恒成立. 构造函数，所以恒成立. 又∵在定义域内单调递增， ∴有在内恒成立， ∴恒成立，即. 由（2）可知最大值为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $