精品解析：湖南长沙市示范高中2025-2026学年高二上学期期末检测数学试卷

数学测试 本试题卷共4页，分第I卷和第II卷两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列向量中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 3. 以点，点为直径的两个端点的圆的方程是（ ） A. B. C D. 4. 已知为等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 与圆：和圆：都相切的直线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 9 B. 5 C. D. 8. 如图，已知在长方体中，，点E在棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，静分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线平行 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 10. 设数列是等差数列；公差为，是其前项和，且，则（ ） A. B. C. 有最大值 D. 有最小值 11. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，若，则______． 13. 已知双曲线的一条渐近线为，则的值为________. 14. 如图，在三棱柱中，、分别是、中点，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 16. 已知是等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，且，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，分别为中点． （1）求证：平面PAB； （2）若平面，求直线与平面所成角正弦值． 18. 已知函数． （1）时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的值. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左､右顶点分别为为椭圆上异于的两点. （1）求椭圆的方程. （2）已知直线过定点，设和的面积分别为，求的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学测试 本试题卷共4页，分第I卷和第II卷两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线为，则直线的斜率，根据，可以得到， 结合直线倾斜角的取值范围为：，可得. 2. 已知，则下列向量中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直坐标运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意； 对于D，，不合题意 故选：B. 3. 以点，点为直径两个端点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件求出圆心和半径，代入圆的方程判断选项. 【详解】由圆的定义知圆心为线段的中点，即为，半径为， 所以圆的方程为． 故选：D 4. 已知为等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，结合等差数列的基本量的运算，求得和，结合，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 可得，解得， 又由，可得，解得， 所以. 故选：C. 5. 下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本导数法则求出各选项的正确导数值，逐一验证各选项的正确性. 【详解】选项A: ，故A错； 选项B: ，故B对； 选项C：，故C对； 选项D: ，故D对. 故选：A. 6. 与圆：和圆：都相切的直线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先判断两圆的位置关系，进而得出结果. 【详解】因为圆的圆心坐标为，半径为2；圆的圆心坐标为，半径为3， 所以，所以两圆相外切. 所以与两圆都相切的直线有3条. 故选：C. 7. 若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 9 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程求得准线方程求解. 【详解】由抛物线方程可得其焦点在轴正半轴上，且，解得， 故其准线方程为，又点的纵坐标为1， 则点到准线的距离为 . 故选：D. 8. 如图，已知在长方体中，，点E在棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量和的坐标，再利用向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，由于异面直线所成角的范围是，所以取其绝对值即为异面直线所成角的余弦值． 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 已知，，则，． 所以，，． 因为点在棱上，且，，所以，，则．  所以，．  根据向量的夹角公式． 先计算． ． ． 则．  因为异面直线所成角的范围是，所以直线与直线所成角的余弦值为．  直线与直线所成角的余弦值为． 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，静分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线与直线平行 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，将直线方程化成斜截式，即可判断；对于B，利用两直线平行的判定方法即可；对于C，利用直线的斜率与方向向量的数量关系即可判断；对于D，利用两直线垂直的判定方法即可. 【详解】对于A，将化成斜截式方程为，即直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，因，故直线与直线平行，即B正确； 对于C，因的斜率为，若直线的一个方向向量为，则，即，因不满足此式，故C错误； 对于D，因的斜率为，而直线的斜率为，由，可得直线与直线垂直，故D正确. 故选：BD. 10. 设数列是等差数列；公差为，是其前项和，且，则（ ） A. B. C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由是等差数列，且，故，A正确， ，B正确， 由于且，故， 当时，，故当或8时，取最大值，无最小值，C正确，D错误， 故选：ABC 11. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图象确定在，处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的定义求出，再将代入计算即可. 【详解】解:因为 =， ∴， ∴． 故答案为：1 13. 已知双曲线的一条渐近线为，则的值为________. 【答案】16 【解析】 【分析】求出渐近线的方程为即可求解. 详解】由题意得，， 双曲线的渐近线方程为，又渐近线方程为， 所以，故. 故答案为：16. 14. 如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将用、、表示，结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出的值. 【详解】在三棱柱中，、分别是、的中点， 则， 又因为，且、、不共面， 所以，，故. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆经过点，，代入圆的方程，建立关于和的方程组，求得和，即可得圆的方程； （2）由直线被圆截得的弦长，求出到的距离，对直线的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案. 【小问1详解】 因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 16. 已知是等差数列，是首项为1，公比为3的等比数列，且，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）知，，得到，结合错位相减法求和，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由数列是首项为1，公比为3等比数列，可得， 因为数列是等差数列，设其公差为，首项为， 又因为，可得，即，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由数列的通项公式为， 又由，所以， 设数列的前项和为， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． （1）求证：平面PAB； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明四边形BENM为平行四边形，可得，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量的坐标，再求出这两个向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成角的正弦值． 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为底面是边长为2的正方形，分别为中点， 可得，且， 而，且， 所以，且， 所以四边形BENM为平行四边形， 所以， 而平面PAB，平面PAB， 所以平面； 【小问2详解】 由题意以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 若，则，，，， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 所以， 所以， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 已知函数． （1）时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的值. 【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，令导数大于零、小于零、，即可求出单调区间； （2）先由题意得的最小值大于等于零恒成立.对进行分类讨论，当时，易知当时，，不符合题意；当时，，转化为恒成立；令，用导数的方法研究其单调性与最值，即可求出结果. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时， 令，得；令，得， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，函数的定义域为. 当时，在上单调递增， 又，∴当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 由恒成立，得恒成立. 令，， 当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立， 因此，所以. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左､右顶点分别为为椭圆上异于的两点. （1）求椭圆的方程. （2）已知直线过定点，设和的面积分别为，求的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 依题意知，解得， 故椭圆C的方程为 【小问2详解】 依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 如图，设其方程为， 并与椭圆C联立方程组，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则，所以， 结合对勾函数性质得在上单调递增． 所以，则. 故的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $