2026年重庆市中考自编模拟数学试题(四)

《2026届重庆市中考自编模拟数学试题（四）》参考答案 题号 1 2 6 8 9 10 答案 B D D D C 1.C 【分析】根据：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.据此解答即 可 【详解】解：2026的倒数是，1 2026 2.B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别.在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋 转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋 转点，就叫做对称中心. 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原 图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中 心对称图形. 3.D 【分析】本题考查统计调查的基本概念，包括调查方式、总体、样本和样本容量.根据抽样 调查的定义，判断A错误；总体是研究对象的全体，即800名学生的体育成绩，而非学生 本身，故可判断B错误；样本是从总体中抽取的部分，即100名学生的体育成绩，而非学 生本身，故可判断C错误；样本容量是样本中个体的数量，为100，故可判断D正确， 【详解】解：，从800名学生中抽取100名进行统计，这是抽样调查，不是全面调查， ∴.A错误. ,总体是800名学生的体育成绩，而不是800名学生， ∴B错误. 样本是100名学生的体育成绩，而不是100名学生， C错误. ,样本容量是样本中个体的数量，即为100， D正确 4.D 答案第1页，共25页 【分析】本题考查相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识，先由△ABC和 △DEF以点O为位似中心的位似图形，得到△ABC∽△DEF,结合OB=BE,进而由△ABC 和ADEP的相似比为R,再由相似三角形性质即可得到△AC与AD2P的面积之比 熟记相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识是解决问题的关键。 【详解】解：：△ABC和△DEF以点O为位似中心的位似图形， :△ABCADEF, .OB=BE, △ABC和△DEF的相似比为OB=1, 02 ·△ABC与ADEF的面积之比是 故选：D 5.D 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是 解题的关键.根据圆内接四边形的性质求出∠A,根据圆周角定理计算即可. 【详解】解：四边形ABCD内接于OO,∠BCD=110°， ∴.∠A=180°-∠BCD=70°， 由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=140°， 故选：D 6.B 【分析】根据题意，先将原式进行计算，再对原式的值进行判断即可得解 【详解】√6x(2√5-V6)=62-6, .1.41<V2<1.42, ∴.8.46<6√2<8.52 .2<62-6<3, ∴.√6×(25-√6)的结果应在2和3之间， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了实数的计算以及实数范围的确定，熟练掌握实数的混合运算是解决 本题的关键 答案第2页，共25页 7.C 【分析】本题考查的知识点是用代数式表示数、图形的规律，解题关键是准确找出图形在变 化过程中变与不变的部分并用代数式表示， 根据图案中火柴棒的数量可找出规律，用代数式表示后即可得解. 【详解】解：依题意得，图案①需火柴棒7+1=8根： 图案②需火柴棒7×2+1=15根： 图案③需火柴棒7×3+1=22根； … 则图案n需火柴棒(7n+l)根， 当n=7时，7n+1=7×7+1=50, .图案⑦需要50根火柴棒. 故选：C. 8.A 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及平均增长率问题·第一个月进馆250人次， 月平均增长率为x,则第二个月为250(1+x),第三个月为250(1+x).累计到第三个月末为 910人次，因此三个月的进馆人次之和等于910， 【详解】解：：月平均增长率为x,第一个月进馆人次：250， ∴第二个月进馆人次：250(1+x), 第三个月进馆人次：250(1+x)2 累计进馆910人次， .250+250(1+x)+2501+)2=910 故选：A. 9.B 【分析】以CD边所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，点D为原点建立平面直角坐标系， 3v10910 根据勾股定理求出AE=1,DE=3,运用面积关系求出E 运用待定系数法 10 10 求出直线BD的解析式为y=x,直线CE的解析式为y= 9x+90,联立方程组求出 7 答案第3页，共25页 (g而，6阿可 根据两点间距离公式求出EF的长即可， 【详解】解：以CD边所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，点D为原点建立平面直角坐 标系，如图， B D C ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB=BC=CD=10, .B(1o,v1o),C(1o,0）,D(0,0), :4g1 DE 3' 设AE=x,则DE=3x, ,∠AED=90°， AE2+DE2=AD2,即x2+(3x)=(10), 解得x=1, .AE=1,DE=3, 过点E作EG⊥AD于点G, .R 2 GB=1x3-3o, V1010 ·DG=VDE2-GB=910 10 09ho 10’10 设直线CE的解析式为y=+b, e而0.4西x 代入解析式得： 答案第4页，共25页 √10k+b=0 3W1 k+b=9M0, 10 10 解得 b= 910 7 9.9V10 ∴直线CE的解析式为y=-三x+ > 7 同理可求，直线BD的解析式为y=x, [y=x 联立方程组{ 9910, y=- -x+ 7 9W10 x= 16 解得 9V10 16 2 .EF- 310 9W10 9W109/10 11700_3/13 10 16 10 16 6400 8 10.C 【分析】根据题目给定的系数性质，逐个分析三个说法，分类列举计算判断正误，统计正确 个数得到结果， 【详解】解：由题可知a,为正整数，a-1,,4为自然数（含0)，逐个分析： 判断① M2(x)=a2x2+a4x+4,M2(1)=a2+4+a=3,二次二项式仅两个非零项，4>0，分两 类讨论： .a。=0,4>0时，4，+a=3,正整数解共2组；4=0,4，>0时，4，+4=3，正整数解共2 组： .合计2+2=4个，①正确： 判断② M,()n=4,n为正整数，M,()=4为正整数，故n可取12,4： n 答案第5页，共25页 ,n=1时，4+a。=4,共4个不同多项式：n=2时，4，+4+a。=2,共3个不同多项式： n=4时，仅4，=1其余系数为0，共1个： .合计4+3+1=8个，②正确： 判断③ M2(x)是二次三项式，故4>0,4>0,4>0，M2(2)=4a2+2a+4=9,存在符合条件的 多项式M,(x)=x2+2x+1=(x+1)2: .当x=-1时，M2（-1)=0,0不是正数，.③错误， 综上，正确的说法共2个. 11.1.4×108 【分析】科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为a×10,其中1≤a<10,n为 原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）. 【详解】解：数值0.000000014用科学记数法表示为1.4×108. 12.18 【分析】本题考查了频率与概率的关系，根据频率与概率的关系，白球的个数等于总球数乘 以摸到白球的频率，即可求解，掌握相关知识是解题的关键. 【详解】解：，总球数为60，摸到白球的频率稳定在30%， ∴.白球个数为60×30%=18（个）， .估计口袋中白球的个数是18个， 故答案为：18 13.-8 【分析】根据题意可知A、B两点纵坐标相同，则设其为a(a>0),进而可得AB=2k aa 最后将△ABC的面积表示出来进行求解即可. 【详解】解：，AB∥x轴 .A、B两点纵坐标相同，设其为a(a>0), “点A在y=2上， 2 坐标为A二，a, a 答案第6页，共25页 :点B在y=上， k ∴坐标为B二，a, a ÷AB=2k aa ,△ABC的面积为5， 层a ×a=5 解得k=-8. 4月 【分析】将原等式变形为关于ab和a+b的二元一次方程组，求解得到ab与a+b的值，再 将所求分式通分变形后代入计算即可： 【详解】解：，实数a,b同时满足ab+2a+2b=3,ab-2a-2b=5, ab+2(a+b)=3 则 b-2(a+b)=5 u+2=3① 设u=b,v=a+b,方程组化为 u-2=5② ①+②得：2u=8, 解得：u=4, 把u=4代入①得：4+2=3， 解得子 即ab=4,a+b=-1 1+1_a+b a b ab 1 1+1=2-1 15.10 【分析】延长AO交OO于点F,连接FC,OB,得∠OAB=∠OBA,证明∠BAE=∠BEA, 可证明△A0B∽AABB,求出OA=2 石，再求出C=PE三，，再由勾股定理可求出AC=10 【详解】解：延长AO交⊙O于点F,连接FC,OB,如图， 答案第7页，共25页 D ,OA平分∠BAD, .∠DAO=∠BAO, .AD∥BC, .∠DAE=∠BEA, ∴.∠BAE=∠BEA, ∴AB=BE=√29， .OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA, ∠ABO=∠BEA, ∴△AOB∽AABE, 104B AB AE ”AB=V2,AE=A0-0B=A0-13 AO -V29 ·240-5, 4 解得：40=29 3-0F02号号4=20- 21 又∠FCB=∠BAF,∠FEC=∠BEA, ∴.∠FCE=∠FEC, ·C=F阳=21 ,AF是⊙O的直径， .∠ACF=90°， 答案第8页，共25页 ∴.AC=√AF2-FC 29 10 16. 1001 2497 【分析】本题考查了整式加减的应用，新定义的运算，解题的关键是掌握相关知识.根据“和 同数的定义即可求出最小的“和同数”：由M=abcd=1000a+100b+10c+d, M=bad-100b+100a+10d+c,结合和同数"的定义可得rM）=M-M =a-b, 891 G(M)=M+M =100a+100b+c+d,进而得到2FM)+56+7 24b+7 可知b+7 能被 11 a+b atb atb 3整除，设+7=3张(k为整数). atb 则b-73k,结合GM0=100a+100b+c+d能被7整除，1≤a≤9,0≤b≤9，即可求解 【详解】解：要使正整数M=abcd最小，则a=1,c=0, .a+c=b+d, ∴.d=a+c-b=1+0-b=1-b, 0≤b≤9,0≤d≤9， .b=0,d=1, .最小的“和同数”是1001： 'M=abcd=1000a+100b+10c+d,M=badc=1000b+100a+10d+c, .M-M=(1000a+100b+10c+d)-(1000b+100a+10d+c)=900(a-b)+9(c-d), FM=4-M_900(a-b+9c-d_100a-b+e-d) 891 891 99 又a+c=b+d,即c-d=b-a, ·F(M) 10(a-b)+c-d）_99a-b)a-b, 99 99 M+M'=(1000a+100b+10c+d)+(1000b+100a+10d+c)=11(100a+100b+c+d). G(M)=M+4=100a+10b+c+d, 11 'F(M)=a-b,2F(M)+5b+7 被3除余2， a+b :2FM+5b+724a-)+5b+7, b+7 -=2+ a+b a+b a+b 即b+7 0a+b能被3整除， 答案第9页，共25页 设+7=3旅(k为整数)， atb 整理得b=7-3a 3k-1 :G(M)=100a+100b+c+d能被7整除，1≤a≤9,0≤b≤9， ÷当k=1时，b=7-30 2 当a=1时，b=2,此时c=b+d-a=2+d-1=1+d, G(M)=100x1+100×2+d+1+d=301+2d,且301能被7整除， .2d能被7整除， d=0或d=7, 当d=0时，c=1, .M=1210: 当d=7时，c=8, .M=1287: ·当k=2时，b=7-6a 5 当a=2时，b=-1(不符合题意，舍去)： ∴.满足条件的正整数M有1210、1287， 则满足条件的正整数M的和是1210+1287=2497， 故答案为：1001,2497. 17.-2≤x<3,整数解为-2，-1,0,1,2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及整数解.分别求出两个不等式的解集，然后根据 “同大取大；同小取小；大小小大中间找：大大小小找不到的原则求出它们的公共部分，再 确定整数解即可. 2(x+2)>1+3x① 【详解】解： 2x-19x+2≤1②' 36 解不等式①，得：x<3, 解不等式②，得：≥-2， 不等式组的解集为-2≤x<3, 整数解为-2，-1,0,1,2. 18.(1)见解析 答案第10页，共25页 数学答题卡（模拟四） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效注意事项 姓名： 班级： 准考 证号： 21． 22． （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） 18． ① ② ③ ④ 19． (1)________，________，________； (2) (3) 20．先化简，再求值：，其中． 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 贴条形码区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 。 1、 选择题 9 A B C D 8 7 4 3 2 5 1 A B C D 10 A B C D A B C D 6 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 2、 填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．解不等式组：，并求它的所有整数解． 解: 不等式①，得___________； 不等式②，得___________； 所以原不等式组的解集为___________； 因此满足原不等式组所有整数解为___________． 17．（6分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24． 23． 25． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $数学答题卡（模拟四） 注意事项 姓名： 班级： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填 准考 写清楚，并认真核对条形码上的姓名、 证号 准考证号、座位号及科类名称。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综 合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域 贴条形码区 内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 6cm×3cm 4.保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄 (正面朝上，切勿贴出方框》 破。 填涂 正确填涂 错误填涂 √×O 0●> 样例 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 ▣ 一、选择题 1 [A D 5A▣B□C四D 9A□B□C□D□ 2A□BCD 6A▣BC□D□ 10AB□C四D 3AB□CD 7AB□CD 4AB□回D 8A▣BC回D 二、填空题 11. 12. 13 14. 15. 16. 三、解答题 2(x+2)>1+3x① 17. 解不等式组： 2x-1_9x+2≤1②’ 并求它的所有整数解， 3 6 解：不等式①，得 不等式②，得 所以原不等式组的解集为 因此满足原不等式组所有整数解为 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18, ① A ② ③ B C ④ 19. (1)a=—,b=—’m=— (2) 3) 20.先化简，再求值： 2a+4a2-2a 3 其中 a2+4a+4a+1( a-l、 a+1 a=1-2-(π-3.14)°. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21. 22. 765 43 2 O12345678x 图1 图2 (2)函数的性质为： (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. B 北 E 458 西一 →东 南 D 309 A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24. E B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 c9 超 重庆市2026年初中学业水平暨高中招生考试 数学试题（四） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为,对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．下列四种物理仪器的示意图中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．某校为了解七年级800名学生体育成绩情况，从中抽取了100名学生的体育成绩进行了统计，下列说法正确的是（    ） A．这种调查的方式是全面调查 B．800名学生是总体 C．100名学生是总体的一个样本 D．样本容量是100 4．如图和以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（   ）第4题图 A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 5．如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（    ） A． B． B． C． D．第5题图 6．估计的结果应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 7．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案需根火柴棒，图案需根火柴棒，，按此规律，图案需（   ）根火柴棒． A．根 B．根 C．根 D．根 8．某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次．若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（  ） A． B． C． D． 9．如图，已知四边形是正方形，，以为斜边在右侧作直角，使得且，连接交于点，则的长度为（   ） A． B． 第9题图 B． C． D． 10．已知整式，其中，…，为自然数，与均为正整数．例：当，时，有．下列说法： ①若，则符合条件的整式中有个二次二项式； ②若，则符合条件的整式有个； ③若，且整式是二次三项式，则的值一定是正数． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为________． 12．在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，则可估计口袋中白球的个数是____． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，C是x轴上的一个动点，连接，，．若轴，且的面积为5，则k的值为______．第13题图 14．若实数a，b同时满足，，则的值为________． 15．如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，，，则___________．第15题图 16．我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“和同数”．例如：四位数，因为，所以是“和同数”．按照这个规定，最小的“和同数”是_______．一个“和同数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且被整除，则满足条件的正整数的和是_______． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组：，并求它的所有整数解． 解:不等式①，得___________； 不等式②，得___________； 所以原不等式组的解集为___________； 因此满足原不等式组所有整数解为___________． 18．如图，在平行四边形中，点E在边上，且． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ． ∴①________． 平分，第18题图 ． ∴②________． ． 又， ∴③________ 又， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴平行四边形是④________． ． 四、解答题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，83，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表： 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 a 众数 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 20．先化简，再求值：，其中． 21．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了30km．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的0.8倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 22．矩形的边，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度速度沿运动，运动时间为秒且．设面积为的面积与的面积之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 23．如图，某海警基地位于A处，在A的正北方向有一小岛B，在A的北偏东方向20海里处有一海上补给中心C，且C在B的东南方向，点D是中点． （参考数据：，，） (1)求A与B相距多少海里？（结果精确到1海里） (2)监测发现，在点B处有一可疑船只，它正沿正西方向匀速直线航行．此时在点D处的一艘海警船立即出发，先匀速直线航行到达点C进行补给（补给时间忽略不计），再以原速沿北偏西方向匀速直线航行，两船相遇于E处．已知海警船的速度是可疑船只的3倍，那么相遇时海警船航行了多少海里？（结果精确到1海里） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点G为点A的对应点，连接，，．点M为新抛物线上的动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 25．在中，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，若，，，求的长； (2)如图2，连接，点F为中点，连接，过点C作，垂足为G．过点B作的垂线交直线于点H，猜想与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，连接，点F为中点，点E是的中点，连接，点P是直线上一动点，连接．当取最大值时，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．若，，直接写出此条件下的最小值． 数学试题第 1 页 （共 8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $重庆市2026年初中学业水平暨高中招生考试 数学试题（四） (全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项 1试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式：抛物线y=a2+b+e幸0的顶点坐标为（一名，。）对称箱为：=一会， 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分。共40分）在每个小题的下面， 都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题 卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑， 1.2026的倒数是() 1 1 A.2026 B.-2026 C. D. 2026 2026 2.下列四种物理仪器的示意图中，是中心对称图形的是() A B 3.某校为了解七年级800名学生体育成绩情况，从中抽取了100名学生的体育成绩进行了 统计，下列说法正确的是() A.这种调查的方式是全面调查 B.800名学生是总体 C.100名学生是总体的一个样本 D.样本容量是100 4.如图△ABC和△DEF以点O为位似中心的位似图形，若OB=BE, 则△ABC与△DEF的面积之比是() 第4题图 A.1:1 B.1:2 A C.13 D.1:4 5.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OB,OD,若∠BCD=110° 则∠BOD的大小为() A.110° B.120° C B.C.130° D.140° 第5题图 数学试题第1页（共8页） 6.估计√6×(23-V6)的结果应在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 7.下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需 15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需()根火柴棒， ② ③ A.57根 B.56根 C.50根 D.49根 8.某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月 进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次.若进馆人次的月平均 增长率x相同，可列方程为() A.250+2501+x)+2501+x)2=910 B.2500+)2=910 C.2501+x2)=910 D.250+2501+x9+2501+x)=910 9.如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=√10，以AD为斜边在 A B 右侧作直角△ADE,使得∠AED=90° AF 1 DE3,连接CE,BD交于 点F,则EF的长度为() D A.3v10 B.3V3 8 第9题图 B.c.20 D.2i3 5 10.已知整式Mn(x)=ax+a-1x”+…+a4x+a4,其中an-1,,a为自然数，n与an均 为正整数.例：当n=3,x=-1时，有 M,(-1)=4,(-1)+a,(-1)+4(-1)+a,=-4,+a,-4+a,·下列说法： ①若M,(1)=3,则符合条件的整式M,(x)中有4个二次二项式： ②若Mn(1)n=4,则符合条件的整式Mn(x)有8个： ③若M,(2)=9,且整式M,(x)是二次三项式，则M,(x)的值一定是正数. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 数学试题第2页（共8页） 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接 填在答题卡中对应的横线上。 11.某种芯片的制程宽度为0.000000014米，该数值用科学记数法表示为 12.在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相 同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，则可估计口袋中白球的个数 是 13.如图，在平面直角坐标系中，点4，B分别在反比例函数y=2(x>0)和 y=(x<0)的图象上，C是x轴上的一个动点，连接AC,BC,AB.若 AB∥x轴，且△ABC的面积为5，则k的值为· 第13题图 14.若实数a,b同时满足ab+2a+2b=3,ab-2a-2b=5,则上+ a b 的值为 15.如图，△ABC内接于OO,D是AC上一点，AD∥BC,连接OA 交BC于E,OA平分∠BAD,OB=,BB=V29,则 AC= 第15题图 16.我们规定，一个四位正整数M=abca,若满足a+c=b+d,则称这个四位数为“和同 数”.例如：四位数3652，因为3+5=6+2，所以3652是“和同数”.按照这个规定，最小的 “和同数”是 .一个“和同数”M=abca,将其千位数字与百位数字调换位置，十位数 字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数M=bd,记P(M)=M-M 891 GM)-M+M,若2PM)+5b+7被3除余2，且GM)被7整除，则满足条件的正整数 11 atb M的和是 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给 出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程 书写在答题卡中对应的位置上。 2(x+2)>1+3x① 17.解不等式组： 2x-1_9x+2≤1②' 并求它的所有整数解. 3 6 解：不等式①，得 不等式②，得 数学试题第3页（共8页） 所以原不等式组的解集为 因此满足原不等式组所有整数解为 18.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AB. (I)尺规作图：作∠BAD的角平分线，交BC于点F,连接BE,EF.(保留作图痕迹，不写 作法) (2)求证：AF⊥BE. 证明：，四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC. D ∴① B :AF平分∠BAD, .∠BAF=∠FAE. 第18题图 ∴.② .AB=BF. 又.‘AE=AB, .③ 又：AE∥BF, ∴.四边形ABFE是平行四边形. 又.‘AE=AB, .平行四边形ABFE是④ AF⊥BE 四、解答题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给 出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程 书写在答题卡中对应的位置上。 19.国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即 圆周率日，元≈3.14).在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动.现 从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、 分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60<x≤70； B.70<x≤80；C.80<x≤90；D.90<x≤100)，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61,63,65,68,72,73,76,81,85,86,88,88,88， 89,92,94,95,97,99,100 数学试题第4页（共8页） 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81,83,84,87,88,89. 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表： 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 年级 七年级 八年级 10% B A 20% 平均数 83 83 D m C 中位数 87 a 众数 6 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a=】 b= (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理 由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、 八年级参加此次竞赛成绩优秀(x>90)的学生人数一共是多少？ 20.先化简再求位：2040-a上，其中a巾-问-314， a2+4a+4a+1 21.一辆汽车开往距离出发地180k的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行 驶，一小时以后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地. (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了30k.汽车先以原计划速度行驶 若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的0.8倍行驶.己知返程途中汽车因 故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程多2小时，求返程时以原计划速度行驶的 路程. 数学试题第5页（共8页） 22.矩形ABCD的边AB=4,AD=3,点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 A→B)C运动，同时点巴从点A出发，以每秒个单位长度速度沿A→C运动，运动时 间为x秒且0<x<7.设△APC面积为y,△ADC的面积与△AQD的面积之比为y2. (1)请直接写出，2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出乃，的图象，并写出函数乃的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出y,≥y,时，x的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过02） 7 6 5 3 2 12345678x 图1 图2 23.如图，某海警基地位于A处，在A的正北方向有一小岛B,在A的北偏东30°方向20 海里处有一海上补给中心C,且C在B的东南方向，点D是AC中点. (参考数据：√5≈1.41，√3≈1.73，V6≈2.45) (1)求A与B相距多少海里？（结果精确到1海里） (2)监测发现，在点B处有一可疑船只，它正沿正西方向匀速直线航行.此时在点D处的一 艘海警船立即出发，先匀速直线航行到达点C进行补给（补给时间忽略不计），再以原速沿 北偏西方向匀速直线航行，两船相遇于E处.已知海警船的速度是可疑船只的3倍，那么 相遇时海警船航行了多少海里？（结果精确到1海里） B 北 西一 》东 45 南 数学试题第6页（共8页） 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+br+c(a≠0)与x轴交于A(4,0),B两点， 与y轴交于点C(0,-2),抛物线的对称轴是直线x=- 3 2 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，连接OP与直线AC交于点Q,点D,E为抛物 线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且DE=2,连接DP,AE.当 取得最大值 oo 时，求点P的坐标及PD+DE+AE的最小值； 在2)中号取得最大值的条件下，将抛物线y=ar+c+c(a≠0)沿射线4C平移， 单位长度得到新抛物线y,点G为点A的对应点，连接PG,PC,BG.点M为新抛物线 y'上的动点.若∠GBM=∠BAG+∠CPG-45°，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标， 并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程. 数学试题第7页（共8页） 25.在△ABC中，将BC绕点B顺时针方向旋转90°得到BD,连接CD. (1)如图1，若∠CAB=45°，∠ACB=60°，CD=2√2，求AC的长： (2)如图2，连接AD,点F为AD中点，连接BF,过点C作CG1AB,垂足为G.过点B 作BF的垂线交直线CG于点H,猜想BH与BF之间的数量关系，并证明： (3)如图3，连接AD,点F为AD中点，点E是BC的中点，连接EF,点P是直线BD上一 动点，连接CP.当EF取最大值时，将△CPB沿CP翻折到△ABC所在的平面内，得到△CPQ, 连接FO.若AB=√2，BC=4,直接写出此条件下FQ的最小值. >D B 图1 图2 图3 数学试题第8页（共8页） 《2026届重庆市中考自编模拟数学试题(四)》参考答案 题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 答案 C B D D D C A B C 1．C 【分析】根据：乘积是的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．据此解答即可． 【详解】解：的倒数是． 2．B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 3．D 【分析】本题考查统计调查的基本概念，包括调查方式、总体、样本和样本容量. 根据抽样调查的定义，判断A错误；总体是研究对象的全体，即800名学生的体育成绩，而非学生本身，故可判断B错误；样本是从总体中抽取的部分，即100名学生的体育成绩，而非学生本身，故可判断C错误；样本容量是样本中个体的数量，为100，故可判断D正确． 【详解】解：∵从800名学生中抽取100名进行统计，这是抽样调查，不是全面调查， ∴ A错误． ∵总体是800名学生的体育成绩，而不是800名学生， ∴B错误． ∵样本是100名学生的体育成绩，而不是100名学生， ∴C错误． ∵样本容量是样本中个体的数量，即为100， ∴D正确． 4．D 【分析】本题考查相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识，先由和以点为位似中心的位似图形，得到，结合，进而由和的相似比为，再由相似三角形性质即可得到与的面积之比，熟记相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：和以点为位似中心的位似图形， ， ， 和的相似比为， 与的面积之比是， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于，， ， 由圆周角定理得，， 故选：D． 6．B 【分析】根据题意，先将原式进行计算，再对原式的值进行判断即可得解. 【详解】＝， ∵， ∴8.46＜8.52， ∴2＜＜3， ∴的结果应在2和3之间， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数的计算以及实数范围的确定，熟练掌握实数的混合运算是解决本题的关键. 7．C 【分析】本题考查的知识点是用代数式表示数、图形的规律，解题关键是准确找出图形在变化过程中变与不变的部分并用代数式表示． 根据图案中火柴棒的数量可找出规律，用代数式表示后即可得解． 【详解】解：依题意得，图案需火柴棒根； 图案需火柴棒根； 图案需火柴棒根； …… 则图案需火柴棒根， 当时，， 图案需要根火柴棒． 故选：． 8．A 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及平均增长率问题第一个月进馆人次，月平均增长率为，则第二个月为，第三个月为累计到第三个月末为人次，因此三个月的进馆人次之和等于 【详解】解：月平均增长率为，第一个月进馆人次：， 第二个月进馆人次：， 第三个月进馆人次： 累计进馆人次， 故选：A． 9．B 【分析】以边所在直线为轴，所在直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系，根据勾股定理求出，，运用面积关系求出，运用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组求出，根据两点间距离公式求出的长即可 ． 【详解】解：以边所在直线为轴，所在直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴，， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可求，直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∴． 10．C 【分析】根据题目给定的系数性质，逐个分析三个说法，分类列举计算判断正误，统计正确个数得到结果． 【详解】解：由题可知为正整数，为自然数（含），逐个分析： 判断① ，，二次二项式仅两个非零项，，分两类讨论： ∵时，，正整数解共组；时，，正整数解共组； ∴合计个，①正确； 判断② ，为正整数，为正整数，故可取： ∵时，，共个不同多项式；时，，共个不同多项式；时，仅其余系数为，共个； ∴ 合计个，②正确； 判断③ 是二次三项式，故，，存在符合条件的多项式； ∵当时，，不是正数，∴ ③错误， 综上，正确的说法共个． 11． 【分析】科学记数法表示绝对值小于的正数的一般形式为，其中，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）． 【详解】解：数值用科学记数法表示为． 12．18 【分析】本题考查了频率与概率的关系，根据频率与概率的关系，白球的个数等于总球数乘以摸到白球的频率，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵总球数为60，摸到白球的频率稳定在， ∴白球个数为（个）， ∴估计口袋中白球的个数是个， 故答案为：． 13． 【分析】根据题意可知、两点纵坐标相同，则设其为，进而可得，最后将的面积表示出来进行求解即可． 【详解】解：∵轴， ∴、两点纵坐标相同，设其为， ∵点在上， ∴坐标为， ∵点在上， ∴坐标为， ∴， ∵的面积为5， ∴ 解得． 14． 【分析】将原等式变形为关于和的二元一次方程组，求解得到与的值，再将所求分式通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵实数a，b同时满足，， 则， 设，，方程组化为， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即，， ， ． 15．10 【分析】延长交于点，连接，，得，证明，可证明，求出，再求出，再由勾股定理可求出． 【详解】解：延长交于点，连接，，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 16． 【分析】本题考查了整式加减的应用，新定义的运算，解题的关键是掌握相关知识．根据“和同数”的定义即可求出最小的“和同数”；由，，结合“和同数”的定义可得，，进而得到，可知能被整除，设（为整数）， 则，结合能被整除，，，即可求解． 【详解】解：要使正整数最小，则，， ， ， ，， ，， 最小的“和同数”是； ，， ， ， 又，即， ， ， ，被除余， ， 即能被整除， 设（为整数）， 整理得， 能被整除，，， 当时，， 当时，，此时，，且能被整除， 能被整除， 或， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 满足条件的正整数有、， 则满足条件的正整数的和是， 故答案为：，． 17．，整数解为，，0，1，2． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及整数解．分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出它们的公共部分，再确定整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为，，0，1，2． 18．(1)见解析 (2)①，②，③，④菱形． 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的对边平行，结合角平分线的定义和平行线的性质可证明，则可证明，据此可证明四边形是菱形，再由菱形的对角线互相垂直可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ． ∴． 平分， ． ∴． ． 又， ∴ 又， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴平行四边形是菱形． ． 19．(1)，， (2)八年级的学生竞赛成绩更好，理由见解析（答案不唯一） (3)估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为优秀的学生人数共有1240人 【分析】（1）先求出八年级所抽取的学生的竞赛成绩在A组和B组的人数，再结合C组的数据，确定八年级的中位数，利用众数的定义求b，求出八年级20名学生的竞赛成绩中D组的个数，即可求m； （2）利用平均数、中位数和众数分析即可； （3）利用样本估计总体计算即可． 【详解】（1）解：∵八年级所抽取的学生共20人， ∴八年级所抽取的学生竞赛成绩的中位数是按从小到大排列后的第、名的成绩， 由统计图可知八年级所抽取的学生的竞赛成绩在A组的有（人），在B组的有（人）， 所以在C组的是按从小到大排列后的第7人的成绩开始， ∵C组的数据是：81，83，84，87，88，89，共6个， ∴按从小到大排列后的第、名的成绩分别是87，88， ∴中位数， ∵七年级20名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是88， ∴， ∵八年级20名学生的竞赛成绩中D组的个数是（个）， ∴， ∴； （2）解：八年级的学生竞赛成绩更好． 理由：七年级、八年级学生的平均竞赛成绩均为83分，且八年级学生的竞赛成绩众数91分高于七年级学生的竞赛成绩的众数88分．（答案不唯一） （3）解：（人） 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为优秀的学生人数共有1240人． 20．， 【分析】先根据分式的混合运算法则对式子化简，再根据绝对值和零次幂求出a的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21．(1)原计划的行驶速度为 (2)以原计划速度行驶的路程为70km 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，列一元一次方程解决行程问题，解题的关键是找准等量关系． （1）设原计划的行驶速度为，根据题意列出分式方程即可； （2）设以原计划速度行驶的路程为，根据题意列出一元一次方程即可解答． 【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为， 由题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划的行驶速度为． （2）解：设以原计划速度行驶的路程为ykm， 由题意得：， 解得：． 答：以原计划速度行驶的路程为． 22．(1)， (2)见详解 (3) 【分析】（1）在矩形中，根据题意可得当时，，当时，，再算出，过点作，算出，表示出，即可表示出． （2）根据（1）中解析式画图，再根据图象如写出函数的一条性质即可． （3）根据（2）中图象解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， 根据题意可得当时，点P在上， ， 当时，点P在上， ， ∴． ， 过点作， ∵， 则， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，即为的图象， 函数的一条性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小；或者的最大值是6，当时取得最大值． （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 根据（2）中图象可得当时，． 23．(1)海里 (2)33海里 【分析】（1）如图，过点作，根据题意可得，解直角三角形得，则海里，结合即可求解． （2）如图，过点作交的延长线于点，证明四边形是正方形，则海里，设可疑船只航行了海里，则海警船航行了海里，则，结合海里，在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， 根据题意可得， 则， ∴海里， ∴（海里）． （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 根据题意， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴海里， 设可疑船只航行了海里，则海警船航行了海里， ∵点D是中点， ∴海里， ∴， 在中，， 即， 解得：（负值舍去）， ∴， 即相遇时海警船航行了33海里． 24．(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)的横坐标为或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，设抛物线的解析式为，代入，求解即可． （2）先求出点的坐标为，直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴交于点，交轴于点，则点的坐标为，，证明，则，得出当时，取得最大值为，此时点的坐标为，把点向下平移2个单位长度得到点，点的坐标为，连接，证出四边形是平行四边形，则，即，得出的最小值为的长，的最小值，勾股定理求出，即可求解； （3）根据（2）可知点的坐标为，根据题意可得，，，则将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即为向右平移两个单位长度，向下平移一个单位长度得到抛物线，即，，得出，如图，过点作，过点作，则，根据，得出，则，再分为当点位于直线下方时和当点位于直线上方时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， 设抛物线的解析式为， 把，代入得， 解得， ． （2）解：在中，令，则， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ， 设点的坐标为， 过点作轴交于点，交轴于点，如图， 则点的坐标为， ， ∵轴， ， ， ∴当时，取得最大值为， ∴点的坐标为， 把点向下平移2个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ， 即， 由关于对称性可得点的坐标为， 连接，则， 故的最小值为的长，的最小值， ∵， 故的最小值为； （3）解：根据（2）可知点的坐标为， 根据题意可得，，， ∵如图，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即为向右平移两个单位长度，向下平移一个单位长度得到抛物线， 即， ∵点G为点A的对应点， ∴， ∴轴， ∴， 如图，过点作，过点作， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点位于直线下方时，如图， 连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 延长交抛物线于点， 则， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为， 联立和， 解得：（舍去）或， 则； 当点位于直线上方时， 过点作交抛物线于点，连接，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ∴； 综上，的横坐标为或． 25．(1) (2)；证明见详解 (3) 【分析】（1）过点作，通过勾股定理可知，由直角三角形可知，进而可求解； （2）在上取一点，使得，证明，，可根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据三角形的中位线，可以推断出取最大值时，,,三点共线，可知，根据勾股定理可知的长度，当，，三点共线的时候，取得最小值． 【详解】（1）解：过点作， 由题可知：,, 则根据勾股定理：, 得：, , ∵，，, ∴, ∴, 则根据勾股定理:, , 故答案为： （2）解：在上取一点，使得，连接， 由题可知,, ∴ 在和中， ∴, , ∵点F为中点， ∴, , , , ∵， , 在和中， ∴, , （3）解：根据题意可得图，，, 可得,， 取的中点,连接,, ∴为的中位线， ∴, ∴为的中位线， ∴, 在，, 当,,三点共线时，取最大值，， 如图所示， 此时，, , , 过点作的延长线交于点，过点作,过点作, , , , , , , 在中， , , ∵点F为中点， . , , 由题可知， 和全等， 当，，三点共线的时候，取得最小值， 则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $