安徽芜湖市安徽师范大学附属中学2026届高三下学期数学周练二

2026届安师大附中高三下数学周练二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4. 计算（   ） A． B． C． D． 5. 已知函数，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则为单调函数 B．若，则的图象关于对称 C．若存在最大值，则 D．有个零点 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则 （    ） A． B． C． D． 7. 设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（    ） A．0个 B．4个 C．8个 D．16个 8. 双曲线的方程为，直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的最大值为 10. 已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若为等差数列，则数列也是等差数列 B．若，则数列为等比数列 C．若，则时取到最小值 D．若为等比数列，且，则 11. 某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加.下图分别为该市2020年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人数的扇形统计图（图2），已知2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则（    ） A．2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万 B．2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和 C．2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11千 D．2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为 . 13. 设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是 ． 14. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其下底面与半球的底面重合，上底面圆周在半球的球面上，则圆台的侧面积为 ；半球被该圆台的上底面所在的平面截得两部分，其体积分别为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）如图，在平面四边形ABCD中，． (1)若，求CD的长； (2)设，将表示成的函数，并求的取值范围． 16.（15分）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17.（15分）如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值． 18.（17分）已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且. (1)求椭圆M的标准方程. (2)点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程. 19.（17分）已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为．过上一点作的两条弦，交于另两点，且的内心在垂直于轴的一条直线上． (1)求数列的通项公式； (2)求直线的斜率； (3)若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：. 第 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案】A 【详解】，故.故选：A 2. 【答案】D 【详解】因为集合， 或，所以.故选：D. 3. 【答案】C 【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意，当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，当时，在单调递增，在单调递减，故在上单调递减，则，故选：C 4. 【答案】D 【详解】. 5. 【答案】B 【详解】A选项，时，，，，当时，，故恒成立，故在上单调递减，为单调函数，A说法正确；B选项，时，，， 则，所以的图象关于中心对称，B说法错误；C选项，当，即时，取得最大值，要想在取得最大值，，解得，C说法正确；D选项，令，即，，所以或， 解得或，又，当为偶数时， 中，令，满足要求，中，令，满足要求，故共有个零点，当为奇数时，中，令，满足要求，中，令，满足要求，故共有个零点，D说法正确.故选：B. 6. 【答案】D 【详解】由题意得，．设，垂足为D，易知点D在AB的延长线上，如图所示， 不妨设，则，，则，，，由，解得．故选：D 7. 【答案】B 【详解】，由勾股定理得，设，， 则，，由对称性可知，， 所以，当且仅当时，等号成立，此时不妨设点为点，则，同理可得，， 经验证，在上，故该正方形与圆的公共点至多有4个. 8. 【答案】D 【详解】设，，联立直线l与双曲线E的方程，得， 消去x，得，则，且， 双曲线的渐近线方程为，联立直线l与双曲线E的渐近线方程，得， 得，即，同理，因为E，F是线段AB的三等分点，所以， 即，则，所以， 则，所以.故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 【答案】BCD 【详解】对于A选项，令，则，解得，A错；对于B选项，令，则，即，所以，令，，可得，即，即，故，B对； 对于C选项，因为，同理有，所以，若，设，令，则， 再令，则， 所以函数的零点关于y轴对称；若，则， 令有，故函数为偶函数，C对；对于D选项，令，则，所以，可得，故函数的最大值为，D对.故选：BCD. 10. 【答案】AC 【详解】因为为等差数列，所以前项和， 所以，所以， 所以数列是等差数列，故正确；因为，若，则所有项都为，所以数列不是等比数列，故错误；因为，所以，所以为等差数列，首项为，公差为， 所以，此二次函数开口向上，对称轴为，因为，所以当时，取到最小值，故正确；因为为等比数列，且，故公比不为1， 所以，所以，所以，故错误.故选：. 11. 【答案】ACD 【详解】由图及已知，年一号线参与人数为千人， 所以年参加10公里慢跑人数为千人，即6万人，A对， 所以年五号线的参与人数为千人， 且年二号线、三号线的参与人数总和为千人，显然B错， 年五条路线参与人数的极差为千人，C对， 由图及上述分析，年一号到五号线的人数依次为千人， 而年一号到五号线的人数依次为千人， 2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率依次为： ，，，，， 所以2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线，D对.故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 【答案】 【详解】，的二项展开式的通项为，令得，，的展示式中的系数为；令得，，的展开式中的系数为40， 依题意，解得，故答案为：． 13. 【详解】因为存在实数，使得恒成立，所以， 若满足条件，只需在曲线的下方，且在曲线的上方即可， 但我们只需找到与曲线均相切时的的值即可，我们先研究与曲线相切时的情况，设切点为，，由导数的几何意义得， 将代入中，得到，解得，故，解得，代入中，得到，设当与的切点为，， 将代入中，得到，由导数的几何意义得，解得，而在曲线的下方，且在曲线的上方， 则越小，越大，更容易满足题意，故. 14. 【详解】 作出圆台的轴截面如图，设圆台的上底面半径为，下底面半径为，球的半径为， 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，，，又下底面与半球的底面重合，， 圆台的高，圆台的母线长为， 圆台的侧面积为；半球的体积为， 球心到圆台的上底面所在的平面的距离为，球冠的高度为， 球冠的体积为， ，.故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）(1)或 (2) 【详解】（1）由余弦定理，即，或． （2），． 在中，由正弦定理得，即． 在中，，即，， 即，． 16.（15分）【答案】(1)治疗效果与选择甲、乙方案有关联．(2)分布列见解析，1 【详解】（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 17.（15分）(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1），，，，，又，，，，, 又，，平面平面， 且平面平面，又，平面，平面，平面，，平面，平面，平面， 平面平面 （2）平面,建立如图所示空间直角坐标系, ，，，，，， ，，,设平面的法向量为，则，取，,设直线与平面所成的角为，则. （3）设，其中，则，，，所以，令，则，所以，当时，单调递增，故在时，取最大值，此时. 18.（15分）(1) (2)四边形为平行四边形，答案见解析 【详解】（1）由已知，得，，，所以，，所以椭圆的标准方程为. （2）如图所示，易知直线的斜率存在并且其斜率满足条件，则其方程为. 由解得或（舍去），所以点的坐标为，从而点的坐标为，于是直线的斜率，直线的方程为. 又直线的方程为，由得；由得.直线的方程为，直线的方程为，由得.因为直线的斜率，直线的斜率，所以，，所以四边形为平行四边形. 19.（17分）(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，解得．的一个焦点为， ，． （2） 由（1）知．的内心在垂直于轴的一条直线上，．设的方程为．代入中整理得． ，即，，，由得，即， 代入与整理得，当时，过点，舍去．． （3）由（2）知的方程为，此时，， ，到直线的距离，的面积，解得满足， ．，， 则． 2 学科网（北京）股份有限公司 $