专题03 导数证明不等式：构造函数与放缩策略（6大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题03 导数证明不等式：构造函数与放缩策略 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 单变量不等式的证明 题型02 双变量不等式的证明 题型03 求和型不等式的证明 题型04 构造函数法证明不等式 题型05 利用切线放缩证明不等式 题型06 利用对数平均不等式证明不等式 模块三、综合实战演练 一、利用导数证明不等式的优先策略： 策略1：先等价变形化简，再构造（最优先，必做步骤） 对原不等式恒等变形，消去复杂项、统一结构，减少构造函数的求导难度，是所有策略的前提，优先用以下变形方式： 1. 移项作差，使一边为0：将不等式化为（或）形式，目标转化为证或（最基础变形）； 2. 消去常数/简单项：如证，可两边除以（）化为，构造函数更简单； 3. 对数/指数恒等变形：利用、消去指对混合项，如证，无需变形，直接构造；证，取对数化为，大幅简化； 4. 放缩预处理：对复杂项先做简单放缩（如，），缩小证明范围，再构造。 关键：变形需保证等价性（注意定义域、不等号方向，如乘除负数要变号）。 策略2：单变量不等式——优先“直接构造+求最值”（基础题首选） 适用于不含参数的单变量不等式（如时，），变形为后直接构造函数，步骤简单、易操作： 1. 构造不等号左边右边，确定定义域； 2. 求导，分析在上的单调性、极值点（找导函数的零点，判断极值点类型）； 3. 求的最值（若极值点唯一，即为最值点；若定义域为开区间，求端点极限）； 4. 验证或，即可得证。 适用场景：构造的函数求导后为初等函数（如多项式、简单指对函数），易找零点、分析单调性。 策略3：双变量不等式——优先“换元化单+构造”（核心策略） 适用于含两个变量的不等式（如，，证），先通过换元将双变量化为单变量，再按单变量策略证明，优先换元方式： 1. 比值换元：令（且），将代入不等式，消去一个变量； 2. 差值换元：令（），将代入，转化为关于和的函数，再分析单调性； 3. 对称换元：若涉及极值点，令，构造对称函数，证（或）。 关键：换元后需确定单变量的取值范围，再构造函数证明。 二、利用导数证明不等式的重要技巧：切线放缩 一、核心原理 利用函数在某点的切线方程对原函数进行单向放缩，核心依据：凸/凹函数在切点处与切线相切，且函数图像全程在切线一侧（凸函数≥切线，凹函数≤切线），通过切线的一次函数替代复杂函数，实现化繁为简，用于不等式证明、最值求解。 核心结论：函数在处的切线为，若为凸函数，则切线方程；若为凹函数，则切线方程（等号仅在处成立）。 二、通用解题思路（三步法，核心：定切点→求切线→套放缩） 1. 定切点，找特殊点 优先选等号成立点、定义域特殊点、极值点（如、）作为切点，此类点能让放缩后等号成立，保证放缩精度（无额外条件时，、为高频切点）。 1. 求切线，写放缩式 对原函数求导得，代入切点，求切线斜率和切点函数值，代入切线公式得切线方程，进而写出切线放缩核心式（≤切线一次函数）。 【经典模型】直接套用，无需重复求导： · （在处的切线放缩）； · （在处的切线放缩）； · （）、（在处的切线放缩）。 1. 套放缩，证结论/求最值 将切线放缩式代入题干不等式/函数式，替换复杂函数为一次函数，通过代数化简、不等式叠加/变形，证明目标不等式；或通过放缩将复杂函数转化为一次函数，求最值/值域（注意验证等号成立条件）。 三、利用导数证明不等式的重要技巧：对数均值不等式 一、核心原理 对数均值不等式是正数的算术、几何、对数均值的大小关系，是解决含指对的双变量不等式的核心工具，可绕开复杂的导数多次求导/隐零点，直接实现双变量降维。 核心公式：对任意不相等的正数，有 （几何均值<对数均值<算术均值），等号仅在时成立； 变形拓展：（）、（），可直接适配不同不等式结构。 二、通用解题思路（三步法，核心：构双变→套公式→化简证） 步骤1：构造对数均值形式，统一双变量 针对含和的双变量问题（如证、等）， 通过移项、变形将题干不等式整理为含的形式（对数均值核心式）， 令、（），将问题转化为对数均值不等式的直接应用。 步骤2：匹配公式方向，套用对数均值不等式 根据题干不等号方向和式子结构，选择核心公式或变形公式直接套用： - 证和/积型不等式（如、）：用核心式或，交叉相乘消去对数； - 证分式型对数不等式（如）：直接套用变形公式，无需额外整理。 步骤3：代数化简，推导最终结论 将对数均值不等式代入后，通过交叉相乘、移项、因式分解等代数运算消去对数和分式， 化简为题干要求的双变量关系（如和、积、差的不等式），完成证明/求解； 若含参数，化简后结合参数范围进一步推导即可。 题型01 单变量不等式的证明 1．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 2．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)讨论方程实数根的个数. (4)求证：. 3．已知函数． (1)讨论的单调性． (2)若恒成立，求的取值范围； (3)当时，求证： 4．已知函数． (1)求证：函数的图象恒过定点； (2)若对任意,不等式恒成立， ①求实数的值； ②求证：． 5．已知函数，． (1)令，求在点处的切线方程： (2)讨论在上的单调性； (3)证明：（i）当时， （ii）． 一、解题技巧（三步标准化，核心：最值法） 1. 构造最简函数：将不等式所有项移到一侧，构造差函数，原不等式等价于（或）恒成立； 2. 求导分析单调性与最值：求，判断在定义域内的单调性，找到极值点（最值点）； 3. 验证最值符号：证明在内的最小值≥0（或最大值≤0），即可证原不等式成立。 ### 常见拓展情况 - 若符号不易判断，二次求导：求，通过的符号确定的单调性，再找的零点（隐零点），分析的最值； - 若定义域为开区间，验证端点极限：如/时的极限≥0（或≤0）。 二、注意事项 构造差函数时避免冗余，直接移项即可，无需复杂变形，防止求导难度增加。 题型02 双变量不等式的证明 1．已知函数． (1)证明：． (2)对于任意的，求解下列问题． （ⅰ）已知函数，证明：有两个不同的实数根：； （ⅱ）若，证明：． 2．已知函数. (1)若函数在定义域上单调，求的最大值； (2)若函数存在两个极值点. （i）求a 的取值范围； （ii）证明:. 3．已知函数，其中a为正实数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若时，. （i）求的取值范围； （ii）当取最大值时，若为正实数，且，证明：. 4．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程在上只有一个解，求的取值范围； (3)若和是的两个零点，证明：. 5．函数，. (1)若在上单调递减，求a的取值范围； (2)若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 一、解题技巧（两大核心方法，按需选用，核心：转化为单变量） 方法1：对称化构造（最常用，适配/型） 1. 设参定大小：不妨设，由确定的取值范围； 2. 构造单变量函数：令（或），将双变量转化为单变量t；或令（适配，极值点偏移模型）； 3. 求导证明单调性：求构造后函数的导数，判断其单调性，结合端点值证明函数值恒正/恒负，推导出双变量不等式。 方法2：消元法（适配任意双变量型，通用性强） 1.由条件消参：根据，解出一个变量用另一个变量表示（如）； 2.转化为单变量不等式：将原双变量不等式替换为仅含的单变量不等式； 3.按单变量题型证明：构造差函数，求导分析最值，验证符号。 二、注意事项 设参时明确变量范围，转化单变量后需保证新变量的定义域清晰，避免求导后符号判断出错。 题型03 求和型不等式的证明 1．设函数为自然对数的底数. (1)讨论的单调性； (2)设，记，证明： ①；（注：） ②. 2．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)设，证明：． 3．已知函数. (1)求函数的最小值； (2)设，求证：. 4．已知函数 (1)判断是否为周期函数，并说明理由； (2)求的最大值和最小值； (3)设证明： 5．已知，其中． (1)求证：当时，； (2)讨论取不同值的时候，函数的零点个数； (3)证明：，其中． 核心逻辑：单顶放缩为可求和形式，求和后验证不等关系 1.先放缩：通项单向放缩（方向匹配不等式），化为裂项/等比/等差可求和型，首项常保留、从放缩，把控适度性； 2.再求和：对放缩后的通项求和化简，消去中间项/用公式得界； 3.兜底法：放缩思路不明时，直接用数学归纳法，验证基例+递推成立； 4.导数背景：先证单变量不等式，替换得通项放缩式，再求和。 题型04 构造函数法证明不等式 1．已知函数，. (1)在处的切线的斜率为，求的值； (2)若函数有两个极值点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 2．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）若，证明：. 3．已知函数． (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)若函数有三个零点，，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 4．已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：当时，. 5．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，，且，证明：. 一、解题技巧（三类常见构造思路，直接套用） 思路1：直接构造（适配单变量移项后可直接求导型） - 操作：不等式移项→构造左-右→求导求最值→证最值≥0/≤0（同题型01）； - 例：证明（）→构造→求导得→证毕。 思路2：变形后构造（适配直接构造求导复杂型，如含对数/分式） · 操作：对不等式同乘/同除正函数（如/），简化后再构造函数； · 例：证明（）→分拆为和，分别构造两个简单函数。 思路3：构造辅助函数（适配含抽象函数/导数关系型） · 操作：根据已知导数条件（如），构造乘积型辅助函数（如）、商型辅助函数（如）； 二、核心结论： ✅ →构造（，递增）； ✅ →构造（，递增）； ✅ →构造（，递增）。 题型05 利用切线放缩证明不等式 1． “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可通过构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，下列命题中正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 2．利用曲线的切线进行放缩：设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，等号当且仅当时成立，设是在点处的切线 (1)求的解析式 (2)求证： (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 3．已知，当时，若关于的方程有两个实数根，求证：． 4．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求证：． 5．已知函数，函数（）. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. （3）证明：当时，. 一、解题技巧（四步标准化，核心：找切点+写切线+证放缩关系） 1. 确定核心函数与切点：锁定不等式中的复杂函数（如/），选择特殊切点（通常为/，此时函数值/导数值为整数，切线方程简单）； 2. 求切线方程：对核心函数求导，计算切点处的函数值和导数值，切线方程为； 3. 证明放缩关系：构造函数切线方程，求导证明（或），即切线（或切线）； 4. 放缩证明原不等式：将原不等式中的复杂函数用切线方程替换，化简后证明简单不等式（一次/二次）成立。 二、 必记经典切线放缩结论（直接用，节省时间） ✅ （切点，当且仅当时取等）； ✅ （切点，当且仅当时取等）； ✅ （，切点）； ✅ （切点，当且仅当时取等）。 三、注意事项 放缩时注意等号成立条件，若原不等式需严格不等，需验证等号取不到；同时注意放缩方向，避免放缩后与原不等式方向相反。 题型06 利用对数平均不等式证明不等式 1．对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： （ⅰ）不妨设，则等价于， 即证：，令，即证：对一切恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （ⅰ）若有两个极值点，求a的取值范围； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下证明：． 2．设，是不同的正数，我们称为，的对数平均值，且，该不等式称为“对数平均不等式”. (1)任意选择“对数平均不等式”的一边给出证明.（注：如果两边都给出证明，按第一个证明计分） (2)已知函数有两个极值点，，且. （i）求的取值范围； （ii）利用“对数平均不等式”证明：. 3．对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式.人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明：不妨设，则等价于，即证：，令，即证：对一切恒成立.记，则，所以在上单调递增，从而有证毕. (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）若，证明：. 4．已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数． (1)求函数的极值； (2)若方程有两个不相等的实数根，． ①证明：； ②证明：． 5．已知函数 (1)若，讨论的单调性; (2)若有两个极值点，求实数a 的取值范围； (3)当时，设函数 为的导函数.证明：对任意的，有 一、对数平均不等式（核心结论，必记） 对于正实数，有：算术平均 > 对数平均 > 几何平均 当且仅当时，等号成立； 变形形式： ✅ （）； ✅ （）。 二、解题技巧（三步标准化，核心：凑对数平均形式） 1.化指数为对数：若不等式含指数/，令，，转化为含/的形式； 2.凑对数平均结构：将原双变量不等式变形，凑出的对数平均核心形式； 3.放缩证明：直接套用对数平均不等式，结合变形后的式子，化简证明原不等式成立。 三、适用场景（精准匹配，避免误用） ✅ 双变量不等式含或（可凑对数平均）； ✅ 极值点偏移模型（如，证明/）； ✅ 含的双变量不等式（可通过换元转化为对数形式）。 1．已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．给出下列两个不等式：①；②，则（    ） A．①②都错误 B．①正确，②错误 C．①②都正确 D．①错误，②正确 5．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 7．已知，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 8．已知，，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数且，给出下列结论： ① ② ③ ④当时， 以上四个结论中不正确的序号为_________________ 10．下列不等式错误的序号是______． ① ② ③ ④ 11．已知函数． (1)证明：仅有一个极值点； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 12．已知函数（，且）. (1)当时，在处的切线斜率为0，求b的值； (2)若对任意的，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； (3)当，时，若函数有两个不相等的零点，，证明：. 13．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 14．已知函数． (1)当时，判断函数在上的单调性. (2)设函数存在两个极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 15．已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)设． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数证明不等式：构造函数与放缩策略 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 单变量不等式的证明 题型02 双变量不等式的证明 题型03 求和型不等式的证明 题型04 构造函数法证明不等式 题型05 利用切线放缩证明不等式 题型06 利用对数平均不等式证明不等式 模块三、综合实战演练 一、利用导数证明不等式的优先策略： 策略1：先等价变形化简，再构造（最优先，必做步骤） 对原不等式恒等变形，消去复杂项、统一结构，减少构造函数的求导难度，是所有策略的前提，优先用以下变形方式： 1. 移项作差，使一边为0：将不等式化为（或）形式，目标转化为证或（最基础变形）； 2. 消去常数/简单项：如证，可两边除以（）化为，构造函数更简单； 3. 对数/指数恒等变形：利用、消去指对混合项，如证，无需变形，直接构造；证，取对数化为，大幅简化； 4. 放缩预处理：对复杂项先做简单放缩（如，），缩小证明范围，再构造。 关键：变形需保证等价性（注意定义域、不等号方向，如乘除负数要变号）。 策略2：单变量不等式——优先“直接构造+求最值”（基础题首选） 适用于不含参数的单变量不等式（如时，），变形为后直接构造函数，步骤简单、易操作： 1. 构造不等号左边右边，确定定义域； 2. 求导，分析在上的单调性、极值点（找导函数的零点，判断极值点类型）； 3. 求的最值（若极值点唯一，即为最值点；若定义域为开区间，求端点极限）； 4. 验证或，即可得证。 适用场景：构造的函数求导后为初等函数（如多项式、简单指对函数），易找零点、分析单调性。 策略3：双变量不等式——优先“换元化单+构造”（核心策略） 适用于含两个变量的不等式（如，，证），先通过换元将双变量化为单变量，再按单变量策略证明，优先换元方式： 1. 比值换元：令（且），将代入不等式，消去一个变量； 2. 差值换元：令（），将代入，转化为关于和的函数，再分析单调性； 3. 对称换元：若涉及极值点，令，构造对称函数，证（或）。 关键：换元后需确定单变量的取值范围，再构造函数证明。 二、利用导数证明不等式的重要技巧：切线放缩 一、核心原理 利用函数在某点的切线方程对原函数进行单向放缩，核心依据：凸/凹函数在切点处与切线相切，且函数图像全程在切线一侧（凸函数≥切线，凹函数≤切线），通过切线的一次函数替代复杂函数，实现化繁为简，用于不等式证明、最值求解。 核心结论：函数在处的切线为，若为凸函数，则切线方程；若为凹函数，则切线方程（等号仅在处成立）。 二、通用解题思路（三步法，核心：定切点→求切线→套放缩） 1. 定切点，找特殊点 优先选等号成立点、定义域特殊点、极值点（如、）作为切点，此类点能让放缩后等号成立，保证放缩精度（无额外条件时，、为高频切点）。 1. 求切线，写放缩式 对原函数求导得，代入切点，求切线斜率和切点函数值，代入切线公式得切线方程，进而写出切线放缩核心式（≤切线一次函数）。 【经典模型】直接套用，无需重复求导： · （在处的切线放缩）； · （在处的切线放缩）； · （）、（在处的切线放缩）。 1. 套放缩，证结论/求最值 将切线放缩式代入题干不等式/函数式，替换复杂函数为一次函数，通过代数化简、不等式叠加/变形，证明目标不等式；或通过放缩将复杂函数转化为一次函数，求最值/值域（注意验证等号成立条件）。 三、利用导数证明不等式的重要技巧：对数均值不等式 一、核心原理 对数均值不等式是正数的算术、几何、对数均值的大小关系，是解决含指对的双变量不等式的核心工具，可绕开复杂的导数多次求导/隐零点，直接实现双变量降维。 核心公式：对任意不相等的正数，有 （几何均值<对数均值<算术均值），等号仅在时成立； 变形拓展：（）、（），可直接适配不同不等式结构。 二、通用解题思路（三步法，核心：构双变→套公式→化简证） 步骤1：构造对数均值形式，统一双变量 针对含和的双变量问题（如证、等）， 通过移项、变形将题干不等式整理为含的形式（对数均值核心式）， 令、（），将问题转化为对数均值不等式的直接应用。 步骤2：匹配公式方向，套用对数均值不等式 根据题干不等号方向和式子结构，选择核心公式或变形公式直接套用： - 证和/积型不等式（如、）：用核心式或，交叉相乘消去对数； - 证分式型对数不等式（如）：直接套用变形公式，无需额外整理。 步骤3：代数化简，推导最终结论 将对数均值不等式代入后，通过交叉相乘、移项、因式分解等代数运算消去对数和分式， 化简为题干要求的双变量关系（如和、积、差的不等式），完成证明/求解； 若含参数，化简后结合参数范围进一步推导即可。 题型01 单变量不等式的证明 1．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导并令导数为，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符号确定函数单调性，进而求出极小值与极大值； （2）构造函数并求导，将问题转化为分析导函数的最小值，结合已知的范围判断恒正，从而推出单调性，最终证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为， ,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. （2）令，则 ， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得： ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即： 得证. 2．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)讨论方程实数根的个数. (4)求证：. 【答案】(1)； (2)极大值为，无极小值； (3)当时，方程无实根；当或时，方程有一个实根； 当时，方程有两个实根； (4)证明见详解. 【分析】（1）先对函数求导，根据导数几何意义，可求得切线斜率，再结合点斜式方程，即可求得切线方程； （2）通过求导，判断函数的单调性，结合函数极值的概念，即可求解； （3）由（2）可得函数的单调性，进而可求得函数最值，通过对参数的取值进行讨论，即可求得方程的根个数； （4）由题意，不等式等价于，构造新函数，求导判断其单调性，求得最值，不等式可证. 【详解】（1）根据题意，函数的定义域为，， 所以切点为， 又， 所以， 则曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由（1）得，， 令，解得， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以为函数的极大值点，极大值为，无极小值； （3）由（2）得，函数在上单调递增，在上单调递减，且极大值为，同时也为函数的最大值， 当时，，所以， 当时，，但增长速度慢于的增速，所以， 方程实数根的个数即函数与的交点个数， 所以当时，函数与无交点，即方程无实根， 所以当时，函数与有一个交点，即方程有一个实根， 所以当时，函数与有两个交点，即方程有两个实根， 所以当时，函数与有一个交点，即方程有一个实根， 综上所述，当时，方程无实根， 当或时，方程有一个实根， 当时，方程有两个实根； （4）由函数，所以不等式，即， 因为，所以不等式等价于， 即， 令函数，即证恒成立， 则， 令，即，解得或（舍）， 所以当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也为最大值， 所以， 所以当时，恒成立， 即，即， 又，所以恒成立，即，得证. 3．已知函数． (1)讨论的单调性． (2)若恒成立，求的取值范围； (3)当时，求证： 【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分和，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）结合（1）的结论，求函数的最大值，由最大值不大于0可求的取值范围. （3）由（2）可知，再设，分析函数的最值，可得，进而可得结论. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得单调递增， 令，解得单调递减， 所以，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，不合题意，舍去， 当时，，不合题意，舍去， 当时，由（1）知的最大值为， 由已知解得. 所以. （3）由（2）可得，当时，， 所以（当且仅当取等号）. 设，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以（当且仅当取等号）. （）， . 4．已知函数． (1)求证：函数的图象恒过定点； (2)若对任意,不等式恒成立， ①求实数的值； ②求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先变形得，令，再证其存在唯一零点，进而可得函数过定点； （2）①，即，令，再分和讨论函数单调性，进而得到的值；②由①知，再令，利用导数可证，即，最后结合两次取等条件不一致可得． 【详解】（1），，， 因在上单调递增，且时，，当时，， 所以存在唯一的，满足， 此时， 即函数的图象恒过定点； （2）①由（1）知， 则，由，可得 令，则， （i）当时，，则在上单调递增， 又，所以当时，，与矛盾，故不符合题意； （ii）当时，由解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，则当，即时，在单调递减， 即当时，，不符合题意， 同理可知，即时也不符合题意， 当，即时，，此时恒成立， 即，， 故； ②由①知，即，当且仅当时取等， ， 又， 令，则由，解得， 则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故，即，当且仅当时取等， 则有，即，当且仅当时取等， 又，当时取等， 取等条件不一致，等号不成立，故． 5．已知函数，． (1)令，求在点处的切线方程： (2)讨论在上的单调性； (3)证明：（i）当时， （ii）． 【答案】(1) (2)在单调递增． (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）根据复合函数求导得，进而二阶求导，根据函数的单调性可判断单调递减，进而可得单调递减，即可求解, （3）构造函数，即可求导得函数的单调性求证（i），根据（i）的结论可证明，即可结合求证（ii）. 【详解】（1），则，，， 所以在点处的切线方程为，即． （2），则 ， 记， 故 设，则 当时，，单调递减，所以，即，所以单调递减， 所以，故在单调递增． （3）证明：（i）令，则， 所以在上单调递增，所以，即当时， 所以当时，； （ii）由（i）可知当时，，故， 由于,则，故， 由（2）可知在单调递增，在单调递减，故在单调递减，即在单调递减， 故，所以． 一、解题技巧（三步标准化，核心：最值法） 1. 构造最简函数：将不等式所有项移到一侧，构造差函数，原不等式等价于（或）恒成立； 2. 求导分析单调性与最值：求，判断在定义域内的单调性，找到极值点（最值点）； 3. 验证最值符号：证明在内的最小值≥0（或最大值≤0），即可证原不等式成立。 ### 常见拓展情况 - 若符号不易判断，二次求导：求，通过的符号确定的单调性，再找的零点（隐零点），分析的最值； - 若定义域为开区间，验证端点极限：如/时的极限≥0（或≤0）。 二、注意事项 构造差函数时避免冗余，直接移项即可，无需复杂变形，防止求导难度增加。 题型02 双变量不等式的证明 1．已知函数． (1)证明：． (2)对于任意的，求解下列问题． （ⅰ）已知函数，证明：有两个不同的实数根：； （ⅱ）若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导，研究导函数的正负，从而得到原函数的单调性，得到最大值. （2）（ⅰ）求导，利用导函数研究原函数单调性，根据零点存在定理，判断零点个数； （ⅱ）根据（1）中的结论将放缩，从而得到关于的一元二次不等式，求解出范围，利用不等式的运算得证. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，，故是减函数， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 故． （2）（ⅰ）， 在上，，所以单调递增. 在上，，所以单调递减. ，时，时，， 根据零点存在定理，在区间与上，各有一个零点， 故有两个不同的实数根：． （ⅱ）由（1）可知 所以，化为， 解此一元二次不等式得 ， 同理，． 故得证． 2．已知函数. (1)若函数在定义域上单调，求的最大值； (2)若函数存在两个极值点. （i）求a 的取值范围； （ii）证明:. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定单调确定恒成立的不等式求出的范围，再利用导数求出函数的最大值. （2）（i）由有两个不等的正根列式求出的范围； （ii）化简不等式的左边，利用分析法、换元并构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由函数在上单调，得，恒成立， 或，恒成立，而当时，， 因此对不可能恒成立，则，， 而，当且仅当时取等号，则， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以的最大值为. （2）（i）由（1）知，有两个不等的正根，则，解得， 所以a的取值范围是. （ii）由（i）得， 要证，即证， 令，即证，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 因此，即成立， 所以. 3．已知函数，其中a为正实数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若时，. （i）求的取值范围； （ii）当取最大值时，若为正实数，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程； （2）（i）求出，设，则可转化为，设，分别按照和 讨论，借助单调性及恒成立的不等式求出的取值范围；（ii）由（i）确定在上单调性，由结合单调性推理得证. 【详解】（1），，， ，切点为， ， ，， 曲线在点处的切线方程为， 即； （2）（i）， ， 设，，，， 可转化为， 设，， 当时，即时，，， ，在上是单调递增函数； ，满足条件； 当时，即时， 的两个根为，且， 则当时，，， ，在上是单调递减函数； ，不满足条件； 综上可知，的取值范围是； （ii）的取值范围是，的最大值为， ，， 在上是单调递增函数， ， ， ，， 不妨设，则，则， ，，， ，， ， . 4．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程在上只有一个解，求的取值范围； (3)若和是的两个零点，证明：. 【答案】(1)当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类求解的单调区间. （2）构造函数，由在上恒成立求出的范围即可. （3）根据给定条件可得，令，结合分析法将问题转化为证明，再构造函数，利用导数探讨函数单调性即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）方程，令， 依题意，函数在上只有一个零点，而，则函数在上无零点， 又当趋近于正无穷大时，，于是当时，恒成立， 当时，，令， 求导得，，， 函数在上单调递增，，因此； 当时，，求导得， 当时，，函数在上单调递增，，因此； 当时，，而函数的图象在上连续不断， 则存在，使得当时，，函数在上单调递减， 于是当时，与在时，恒成立矛盾， 所以的取值范围是. （3）方程在上有两个不等实根和，不妨设， 则，即，于是， 令，则，，即，因此， ，要证，即证，需证， 即证，令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， ，即，函数在上单调递增，， 因此恒成立，所以. 5．函数，. (1)若在上单调递减，求a的取值范围； (2)若曲线与在处有相同的切线， （i）求a的值； （ⅱ）若，证明：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）求出的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解. （2）（i）利用与在处的导数值相等求出；（ⅱ）按分段讨论，结合极值点的偏移方法推理得证. 【详解】（1）函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. （2）（i）由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线，得，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，而，不符合题意； 当时，，则，，因此，符合题意； 当，的取值集合为，而在的取值集合为， 在的取值集合为，因此能成立， 当时，； 当时，，， 令，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此，而，则，又函数在上单调递增， 于是，即， 所以. 一、解题技巧（两大核心方法，按需选用，核心：转化为单变量） 方法1：对称化构造（最常用，适配/型） 1. 设参定大小：不妨设，由确定的取值范围； 2. 构造单变量函数：令（或），将双变量转化为单变量t；或令（适配，极值点偏移模型）； 3. 求导证明单调性：求构造后函数的导数，判断其单调性，结合端点值证明函数值恒正/恒负，推导出双变量不等式。 方法2：消元法（适配任意双变量型，通用性强） 1.由条件消参：根据，解出一个变量用另一个变量表示（如）； 2.转化为单变量不等式：将原双变量不等式替换为仅含的单变量不等式； 3.按单变量题型证明：构造差函数，求导分析最值，验证符号。 二、注意事项 设参时明确变量范围，转化单变量后需保证新变量的定义域清晰，避免求导后符号判断出错。 题型03 求和型不等式的证明 1．设函数为自然对数的底数. (1)讨论的单调性； (2)设，记，证明： ①；（注：） ②. 【答案】(1)当时， 在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）求出导函数，然后按照和分类讨论，由导函数的符号确定单调性； （2）①由（1）知，令，可得，结合对数运算性质及阶乘的定义，利用累加法即可证明； ②令，可得，结合对数运算性质，利用累加法即可证明. 【详解】（1）由，得， 易知，当且仅当，即时取等号， 故当时，，此时在上单调递增； 当时，令， 解得，易知， 当或时，，当时，， 故此时在和上单调递增， 在上单调递减. （2）由（1）知，当时，在上单调递增， 故当时，，即有. ①令，则有，即，即， 赋值代入，可得， 累加可得： ②令，则有， 即，化简得， 当时，由， 累加可得： ， 即. 即有，而当时， 故有. 2．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）等价变形给定不等式，构造函数的导数，按分类讨论确定函数的单调性求出范围. （3）由（2）的信息可得当时，，取并变形不等式，利用不等式的性质推理得证. 【详解】（1）当时，函数，求导得， 则，而，所以曲线在处的切线方程为. （2），令函数， 因此，求导得， 令，， 当时，，恒有，即成立， 则函数在上单调递增，，符合题意，因此； 当时，，函数图象对称轴，且， 即成立，则函数在上单调递增，，符合题意，因此； 当时，，且，函数的图象连续不断， 则存在，使得当时，，即， 则函数在单调递减，当时，，不符合题意， 所以a的取值范围是. （3）由（2）知，当，时，恒成立， 令，，则 ， 当时， ，而当时，不等式成立， 所以. 3．已知函数. (1)求函数的最小值； (2)设，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，进而求出单调区间即得最小值. （2）由（1）的结论可得，取并变形不等式，再借助裂项法求和及不等式性质推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. （2）由（1）得， 则当时，，当时，取， 可得， 即， 则 ， 所以. 4．已知函数 (1)判断是否为周期函数，并说明理由； (2)求的最大值和最小值； (3)设证明： 【答案】(1)是周期函数，利用周期函数定义判断； (2)最大值为​​​，最小值为； (3)证明见解析. 【分析】（1）由周期函数的概念结合正弦函数的周期性即可判断； （2）由（1）确定函数在一个周期上的单调性，即可求解； （3）由（2）令，得： ，​​通过累加即可求证； 【详解】（1）是周期函数， 理由如下： 由三角函数周期性知：，， 因此： ， 即是的一个周期，故是周期函数； （2）由（1）可知求在上的最值即可. 对求导得： ， 令，得​或， 在一个周期内，当时，， 当时，，当时，， 故在，单调递增，在单调递减， 又，， ，， 所以的最大值为​​​，最小值为； （3）记， 由（2）知对任意实数，都有， 对，令，得： ，​​ 将上述个不等式累加，左边整理得： 右边为​​， 因此：， 整理得：， 由，，得， 因此：，得证. 5．已知，其中． (1)求证：当时，； (2)讨论取不同值的时候，函数的零点个数； (3)证明：，其中． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有且仅有1个零点；当时，有且仅有2个零点 (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数求导后，利用导数定义判断即可得； （2）分及进行讨论，利用导数可研究函数单调性，再利用函数单调性与零点存在性定理判断即可得； （3）令，可得，再累加求和即可得证. 【详解】（1）， 令，则， 而且，所以， 即在上单调递增，， 所以，即在上单调递增， 所以； （2）①时，，， 所以在上单调递增，又， 则此时有且仅有1个零点； ②时，在上小于0，在上大于0， 即在上单调递减，在上单调递增， 又且，则存在唯一的， 即在和上大于0，在上小于0， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又时，， 则在上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点， 此时函数有且仅有2个零点； 综上所述，当时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点； （3）令，且时，得，再令， 代入化简可得， 则 ， 则. 核心逻辑：单顶放缩为可求和形式，求和后验证不等关系 1.先放缩：通项单向放缩（方向匹配不等式），化为裂项/等比/等差可求和型，首项常保留、从放缩，把控适度性； 2.再求和：对放缩后的通项求和化简，消去中间项/用公式得界； 3.兜底法：放缩思路不明时，直接用数学归纳法，验证基例+递推成立； 4.导数背景：先证单变量不等式，替换得通项放缩式，再求和。 题型04 构造函数法证明不等式 1．已知函数，. (1)在处的切线的斜率为，求的值； (2)若函数有两个极值点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i） （ii）证明见解析 【分析】（1）对求导，然后代入，计算即可； （2）（i）对求导，化简后根据有两个正解来求的取值范围； （ii）代入化简，构造新的函数，找出隐零点，然后利用导函数求解最值，证明小于0. 【详解】（1）对求导： ， 因为在处切线斜率为，所以， 所以， 解得； （2）（i）函数的定义域为，极值点满足， 即， 整理得， 该方程在有两个不同正根，， 所以判别式，解得， 两根之和，两根之积， 综上； （ii）由（i）知，， 先计算： ， 代入，， 且， 所以， 要证， 即证， 整理得， 令，， 求导， 因为，， 由零点存在定理，存在唯一的隐零点， 使得， 即， 当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减， 因此 在处取得最大值 ， 将代入： ， 令， 由对勾函数性质知 在上单调递增， ， 因此， 即， 故. 2．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）若，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求，按照，，讨论求解； （2）（i）当时，函数有三个零点需要满足极大值且极小值，联立不等式组求解实数的取值范围. （ii）由，不妨设. 要证即，构造函数，求构造函数，求，求出在区间上单调性，由，得到在区间上单调性，得到，故得到在区间上单调性，得到，即，得证. 【详解】（1）， ，， ，或， 当时，，的解为或， 的解为， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时，，的解为或， 的解为， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时，，的增区间为. 综上可知， 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间； 当时， 的单调递增区间为. （2）（i）当时，，的解为或， 的解为， 的增区间为，减区间； 函数有三个不同的零点， ，， 解不等式，整理得， ，，，， 在上是单调递增函数， ，在上恒成立， 在上恒成立，无解， 即不等式组 无解； 当时，，的解为或， 的解为， 的增区间为，减区间； ，， 解不等式，整理得， ，，， 当时，，当时，， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， ，在上恒成立， 的解为且； 解不等式，整理得，解得； 综上可知，不等式的解为且， 所以实数的取值范围为； 当时，，的增区间为， 不满足函数有三个不同的零点. 综上可知，实数的取值范围为. （ii）因为，不妨设. 已知， 要证， 只需证，只要证， 即 令， 则， 令， 则， 且，，， ， 故在区间上单调递减，所以， 故在区间上单调递减， 所以，故在区间上单调递减， 因此，即，得证. 所以. 3．已知函数． (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)若函数有三个零点，，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)(ⅰ) ;(ⅱ)见解析 【分析】（1）首先分和两种情况去绝对值，再根据导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）首先将方程转化为，转移为与的图象交点个数求的取值范围，去绝对值后利用导数分析的单调性和图象，即可求解； （ⅱ）利用分析法将所证明不等式转化为证明，根据函数零点的方程转化为证明，再根据，转化证明，再通过构造，换元，则，，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式. 【详解】（1）当时，，，， 当时，，，， 由条件可知，. （2），得， 设， ，，所以在区间上单调递减， 当时，，当时，， ，，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，取得极大值，当时，， 画出函数的图象， 与的图象有3个交点，则； (ⅱ)由（ⅰ）可知，， 要证明，只需证明， 又，，即证，所以上式等价于证明， 由，，得，即， 所以只需证明， 即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即. 4．已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解； （2）构造函数，，利用导数证得，再利用函数单调性及不等式性质推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，依题意，恒成立，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 于是，所以实数的取值范围是. （2）当时，令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，因此，， 令，，求导得，即函数在上单调递增， ，即，于是， 所以. 5．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，利用到数的几何意义，即可求得答案； （2）设，，，原不等式即为，利用的单调性，继而转化为，继而再构造函数，利用函数的单调性证明结论. 【详解】（1）由，得， 则，，. 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）证明：由，，且，不妨设，，， 则证明等价于证明，， 即证，从而构造函数，利用其调性证明结论. 令，则，当时，，在单调递减， 故，，即，， 则 ， 要证， 只需证. 令，则， 令，得. 令，，则， 令，，则在上恒成立， 则，则在上恒成立，则在上单调递增. 当时，，则， 则，在单调递减， 当时，，则， 则，在单调递增. 因为，所以，即在上恒成立， 从而. 一、解题技巧（三类常见构造思路，直接套用） 思路1：直接构造（适配单变量移项后可直接求导型） - 操作：不等式移项→构造左-右→求导求最值→证最值≥0/≤0（同题型01）； - 例：证明（）→构造→求导得→证毕。 思路2：变形后构造（适配直接构造求导复杂型，如含对数/分式） · 操作：对不等式同乘/同除正函数（如/），简化后再构造函数； · 例：证明（）→分拆为和，分别构造两个简单函数。 思路3：构造辅助函数（适配含抽象函数/导数关系型） · 操作：根据已知导数条件（如），构造乘积型辅助函数（如）、商型辅助函数（如）； 二、核心结论： ✅ →构造（，递增）； ✅ →构造（，递增）； ✅ →构造（，递增）。 题型05 利用切线放缩证明不等式 1． “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可通过构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，下列命题中正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】利用已知不等式，可变形得到，然后再进行赋值代入证明各选项，即可. 【详解】对于①，对，由于恒成立，可得，当时，两边取自然对数得， 所以有，即，故①正确； 对于②，对，由于恒成立，可得，即，故②正确； 对于③，对，由于恒成立，可得，因为， 所以有，即，故③正确； 对于④，对，由于恒成立，可得， 当时，两边取自然对数得， 把用代得：， 又因为，所以有，故④正确； 故选：D. 2．利用曲线的切线进行放缩：设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，等号当且仅当时成立，设是在点处的切线 (1)求的解析式 (2)求证： (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求得，可求切线方程； （2），求导可得，可证结论； （3），结合（1）可得，分和两种情况讨论可求的取值范围. 【详解】（1）由，得，则， 故在点处的切线方程为， 即，即的解析式为； （2）令， 满足且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 故； （3）的定义域是，且， ①当时，由（2）得，则， 故在上单调递增，则恒成立，符合题意， ②当时，令，的导数， 则在区间上单调递增， 因为，所以存在，使得， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 此时不可能恒成立，不符合题意， 综上所述，的取值范围是. 3．已知，当时，若关于的方程有两个实数根，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】当时，，所以. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以. 因为方程有两个不相等的实根，所以. 且，（，）. 作函数在处的切线： ，，所以切线方程为，即. 设， 则，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以恒成立. 所以恒成立，所以. 再设. 则，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以恒成立，即恒成立， 所以. 所以. 4．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数，则， ， 故函数在处的切线斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. （2）依题意，恒成立， 则恒成立. 令， 则， 所以，当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以， 所以. （3）函数，定义域为， ，解得，解得. 函数在上递减，在上递增， 故. 所要证的不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点与及的连线，即与. 设两割线与直线交点的横坐标分别为. 解方程可得，， 当时，，； 当时，， 令，， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 而，所以，． ， 根据单调性，可得， 所以，不等式左侧证明完毕. 不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是和时的两条切线， 由（1）可知，曲线在处的切线方程为， 时，， 曲线在处的切线斜率为1，切点坐标为，切线方程为， 切线和与的交点分别为． 同理可得， 综上可知，． 5．已知函数，函数（）. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. （3）证明：当时，. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【详解】（1）解：的定义域为，， 当，时，，则在上单调递增； 当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增； 当，时，，则在上单调递减； 当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：设函数，则. 因为，所以，， 则，从而在上单调递减， 所以，即. （3）证明：当时，. 由（1）知，，所以， 即. 当时，，， 则， 即， 又， 所以， 即. 一、解题技巧（四步标准化，核心：找切点+写切线+证放缩关系） 1. 确定核心函数与切点：锁定不等式中的复杂函数（如/），选择特殊切点（通常为/，此时函数值/导数值为整数，切线方程简单）； 2. 求切线方程：对核心函数求导，计算切点处的函数值和导数值，切线方程为； 3. 证明放缩关系：构造函数切线方程，求导证明（或），即切线（或切线）； 4. 放缩证明原不等式：将原不等式中的复杂函数用切线方程替换，化简后证明简单不等式（一次/二次）成立。 二、 必记经典切线放缩结论（直接用，节省时间） ✅ （切点，当且仅当时取等）； ✅ （切点，当且仅当时取等）； ✅ （，切点）； ✅ （切点，当且仅当时取等）。 三、注意事项 放缩时注意等号成立条件，若原不等式需严格不等，需验证等号取不到；同时注意放缩方向，避免放缩后与原不等式方向相反。 题型06 利用对数平均不等式证明不等式 1．对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： （ⅰ）不妨设，则等价于， 即证：，令，即证：对一切恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （ⅰ）若有两个极值点，求a的取值范围； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）不妨设，将所证不等式转化为，令，， 构造，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）（ⅰ）由题意知有两个相异正根，转化为有两个相异正根，根据二次方程根的分布，列不等式组求解即可； （ⅱ）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立． 【详解】（1）不妨设，则等价于， 即，令，，即证， 令，则，所以函数在上单调递减， 所以，所以，即成立； （2）（ⅰ）由得，， 因为函数有两个极值点，所以有两个相异正根， 即有两个相异正根， 则，解得，即a的取值范围为； （ⅱ）由（ⅰ）知：，满足，所以， 不妨设，则， 所以， 则证，即证， 即证，也即证成立， 设函数，则， 所以在单调递减，又， 所以当时，， 所以，即，得证． 2．设，是不同的正数，我们称为，的对数平均值，且，该不等式称为“对数平均不等式”. (1)任意选择“对数平均不等式”的一边给出证明.（注：如果两边都给出证明，按第一个证明计分） (2)已知函数有两个极值点，，且. （i）求的取值范围； （ii）利用“对数平均不等式”证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）证明左边不等式：，将不等式变形为，令，，即证，设，然后利用导数研究单调性求解最值即可证明； 证明右边不等式：，将不等式变形为，令，，即证，设，然后利用导数研究单调性求解最值即可证明； （2）（i）由题意有两个异号零点，令，按照和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合极值和零点个数即可求解； （ii）由（i）知，利用比例性质得，由对数平均不等式可得，结合对数运算即可证明. 【详解】（1）证明左边不等式：. 不妨设，则该不等式等价于，即. 令，，即证. 设，则，所以在上单调递减， 所以当时，，故原不等式成立. 证明右边不等式：. 不妨设，则该不等式等价于，即. 令，，即证. 设，则，所以在上单调递增. 所以当时，，故原不等式成立. （2）（i）的定义域为，， 因为有两个极值点，所以有两个异号零点. 令，则，. 若，,则在上单调递增，此时即不可能有两个零点，不符合题意. 若，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以， 且当时，，当时，， 要使有两个零点，只需，得，经检验符合题意， 因此，的取值范围是. （ii）由（i）知，是的两个根，所以， 从而. 由对数平均不等式可得， 故，且，即， 所以. 3．对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式.人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明：不妨设，则等价于，即证：，令，即证：对一切恒成立.记，则，所以在上单调递增，从而有证毕. (1)请参照以上方法证明：； (2)已知函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）若，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）答案见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）不妨设，将所证不等式转化为，令，， 构造，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）（i）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（ii）由（i）求出，把所证不等式分成两部分分别作等价变形，构造函数，利用导数探讨函数的单调性推理作答. 【详解】（1）不妨设，则等价于， 即，令，，即证， 令，，则，所以函数在上单调递减， 所以，所以，即成立； （2）（i）函数的定义域为，又， 当时恒成立，所以在单调递增； 当时，则当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增； 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （ⅱ）因为，由（i）知，且，解得， 设，则，要证，即证，即证， 即证，设， 则，即在上单调递减，有， 即，则成立，因此成立， 要证，即证，即证，即证，即证， 而，即证， 令，则， 设，求导得，即在上单调递增， 则有，即，在上单调递减，而，当时， ，则当时，成立，故有成立， 所以. 4．已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数． (1)求函数的极值； (2)若方程有两个不相等的实数根，． ①证明：； ②证明：． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用导数求单调区间，由单调区间即可求出极值； （2）由和可得，由已知条件所给的不等式即可证得①； 由①可得，则，令，构造函数，利用二次求导根据单调性即可证得②. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 则当时，；时，． 即在上递增，上递减， 故的极大值为，无极小值． （2）结合（1）由，；，，可得， ①由题意可得，从而， 即， 结合参考的公式可得：， 故， 且，即，从而有． ②由①可得，令，则， 所以， 则， 则，∴递减， 又∵，∴， 故递增，∴， 即， 即． 5．已知函数 (1)若，讨论的单调性; (2)若有两个极值点，求实数a 的取值范围； (3)当时，设函数 为的导函数.证明：对任意的，有 【答案】(1)答案见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性计算即可； （2）问题化为导函数有两个变号零点，分离参数构造新函数研究其单调性，最值，数形结合计算即可； （3）通过作差化简不等式，令，把问题化为证明，构造函数利用导数研究其单调性及最值即可. 【详解】（1）当，，所以， 显然或时，，即此时单调递增； 时，，即此时单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减； （2）易知， 若有两个极值点，等价于有两个不同的变号零点， 令，即有两个不同的变号零点， 则， 易知时，，或时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 在时，取得极小值也是最小值， 在时，取得极大值， 又时，， ， 作出大致图象如下： 要使得有两个不同根，需有两个不同交点， 由题意可知， 注意到时，此时在零点的左右附近， 均有，即，不符合题意，舍去； 所以； （3）易知， 所以， ， 要证，即证， 不妨设，即证， 设，即证 令， 易知，即单调递增， 所以，证毕. 一、对数平均不等式（核心结论，必记） 对于正实数，有：算术平均 > 对数平均 > 几何平均 当且仅当时，等号成立； 变形形式： ✅ （）； ✅ （）。 二、解题技巧（三步标准化，核心：凑对数平均形式） 1.化指数为对数：若不等式含指数/，令，，转化为含/的形式； 2.凑对数平均结构：将原双变量不等式变形，凑出的对数平均核心形式； 3.放缩证明：直接套用对数平均不等式，结合变形后的式子，化简证明原不等式成立。 三、适用场景（精准匹配，避免误用） ✅ 双变量不等式含或（可凑对数平均）； ✅ 极值点偏移模型（如，证明/）； ✅ 含的双变量不等式（可通过换元转化为对数形式）。 1．已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】A.由时，，的值域判断；BC. 由时，令，用导数法判断；D.由时，令，用导数法判断. 【详解】当时，，，所以，，故A错误； 时，令，则， 令，则，所以在上递增， 又，，所以，有， 即，当时，，递减；当时，，递增； 又，则，即，，故C正确；B错误； 时，令，则，易知在上递增，则，则在上递增，所以，即恒成立，故D错误. 2．已知，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件整理可得，.对于A：整理可得，令，结合导数分析判断即可；对于B：整理可得等价于，令，结合导数分析判断即可；对于C：整理可得等价于，令，，结合导数分析判断即可；对于D：令，，整理可得等价于，令，结合导数分析判断即可. 【详解】因为，则，可得， 由，则，解得. 对于选项A：由题意可得：，则， 令，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故A正确； 对于选项B：因为，则等价于， 由题意可得：，则， 令，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故B正确； 对于选项C：因为，则等价于，即， 令，，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故C错误； 对于选项D：令，，则，即， 可得，，则等价于， 令，则， 令，则， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则， 即，所以，故D正确. 故选：C. 3．已知，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A：构造，，利用导数判断其单调性即可；对于B：构造，，利用导数判断其单调性即可；对于C：举反例说明即可；对于D：构造，，利用导数判断其单调性即可. 【详解】对于选项A：构造，， 则，可知在内单调递增， 因为，则， 即，所以，故A错误； 对于选项B：构造，， 则，可知在内单调递减， 因为，则， 即，所以，故B错误， 对于选项C：因为， 令，因为， 所以，故C错误； 对于选项D：构造，， 则， 由选项B可知：在内单调递减，则，即， 则，可知在内单调递减， 因为，则，即， 所以，故D正确； 故选：D. 4．给出下列两个不等式：①；②，则（    ） A．①②都错误 B．①正确，②错误 C．①②都正确 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】构造函数设根据函数的单调性得出再代入计算判断①，结合裂项相消计算判断②. 【详解】设，则，所以在上单调递减， 所以时，即，所以， 取得，所以，①正确； 由， 得，②正确， 故选：C. 5．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对条件等式进行化简，并对进行分类讨论，通过构造函数并考虑其单调性进行大小比较. 【详解】当时，，即； 当时，，即. 故当时，，，四个选项均成立. 当，时， 化简得 . 先考虑函数，. 则，故在上单调递增. 因为，所以.因为，所以，即. 若，，则，根据的单调性，可知. 故此情况下，，.可排除B、D选项. 若，，则，根据的单调性，可知. 故此情况下，，.可排除A选项. 综上，当满足题目条件时，恒成立. 故选：D 6．已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合； 当且时，，故． 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，所以，所以， 所以，故A正确； 令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误； 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即，即， 所以，即，故C正确； 令，， 则， 令，，则，即在上单调递增， 所以，，在上单调递增， 所以，即，故D正确． 故选：ACD． 7．已知，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A，构造函数，求导分析单调性，进而推导不等式即可；对于选项B，结合特殊值判断；对于选项C，构造函数，求导分析单调性与最值即可；对于选项D，由构造函数，利用导数分析函数单调性判断即可. 【详解】A项，令，则，令，解得， 所以函数在上单调递增．所以当时，，即，A正确； B项，令，则，于是，但，B错误； C项，令，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故在时，取得最小值， 所以在上恒成立， 故在上恒成立，C正确； D项，令，因为，则，构造函数， 在上恒成立， 即在上单调递增，又，即在上恒成立， 则有，化简得， 将代入不等式可得：， 化简得：，D正确． 8．已知，，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由两角和差的余弦公式化简得A；由A对B选项进行等价变形，构造函数即可判断；结合A，B的过程，即可判断C，D； 【详解】A，，正确； B，由A得，， 由于，则，， 所以等价于， 设，，则， 所以在上单调递增，，则， 当且仅当取等号，则，错误； C，由A、B得，， 则，正确； D，由A、B得，，则，则， 则，正确； 故选：ACD 9．已知函数且，给出下列结论： ① ② ③ ④当时， 以上四个结论中不正确的序号为_________________ 【答案】②③ 【分析】对于①：构建，结合单调性分析判断；对于②：构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析判断；对于③④：利用导数判断的单调性，结合单调性分析判断． 【详解】对于①，令，则在上单调递增， 由，可得，即， 所以，故①正确； 对于②，令，， 由可得；由可得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，即，故②错误； 对于③，因为， 在上，，单调递减； 故当时，， 所以，故③错误； 对于④，因为时，，所以单调递增， 由①可知，， 即，故④正确． 故答案为：②③. 10．下列不等式错误的序号是______． ① ② ③ ④ 【答案】③ 【分析】先证明，将替换为，则，令可判断①；取结合，可判断②；先证明，再通过（），得到，即，利用累加法推出即可判断③；利用放缩法可判断④. 【详解】令，， 当可得，当可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以（当且仅当时等号成立）， 对于①，将替换为，则，所以， 令得， 即，所以①正确； 对于②，将替换为，则，所以， 可得，故，又由题设得， 故，即，故②正确； 对于③，先证，. 令，，则，故在单调递增， 所以，，， 则得， 又因为， 令，则，故，因此， 则， 则，，故③错误. 对于④，由可得， 则， 即证：，令， ，令， ，所以在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递减， 所以，所以， 所以，故④正确. 故答案为：③. 11．已知函数． (1)证明：仅有一个极值点； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （2）求导，分、两种情况，结合极值点的定义求解即可； （3）转化任意的恒成立为恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而得到，设，可得，设，利用导数分析其单调性，进而求证即可. 【详解】（1）由，得， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，， 则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则仅有一个极值点. （2）由，，得， 设，则， 当时，，则函数在上单调递减， 则最多只有1个根，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，时，， 要使有两个极值点，需使， 又，则得，即. 综上所述，的取值范围为. （3）由题意，对任意的恒成立， 即，设，则， 因为，由（2）知，函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 又，时，， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 即，所以， 设，则，即，， 所以，设， 则， 令，得， 由（1）知该方程当且仅当，即时等号成立，即， 则有唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则. 12．已知函数（，且）. (1)当时，在处的切线斜率为0，求b的值； (2)若对任意的，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； (3)当，时，若函数有两个不相等的零点，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）确定表达式，对其求导，再根据的切线斜率为0求出的值. （2）对函数求导，根据题意判断单调性，求出极值点，再由有两个零点等价于，结合的值推出的取值范围. （3）方法一：通过构造函数，利用函数单调性和零点关系推导；方法二：先由得出的表达式，再通过换元法构造函数证明不等式. 【详解】（1）由可知，， 则，由题可得：， 故. （2）因为，则， 因为，， 所以是单调递减函数， 令，得唯一极值点， 在递增，递减， 所以有两个零点等价于， 则，，得： ，约去正数， 得， 当时，， 因此 ，即，得出 ， 故，又，故. （3）方法一： 当时，， 时， 令，则有， 即， 则在单减，在单增， 不妨设， 构造， ， ， ， ， ， 令，则在上单减， ，故， 故在单减，故， 又，， 又，， 又，且在单增， 故，故得证. 方法二：已知， 即，两式相减得：， 即：， 故， 不妨设，则，， 下证：， 令，则， 即证，即证， 令，， 则， 故在上单增，故， 所以，故得证. 13．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何性质求出斜率，进而求出切线方程； （2）（ⅰ）求导，利用导数讨论极值点及单调性，进而求解的取值范围； （ⅱ）利用函数单调性转化不等式，再通过构造函数，求导，利用导数讨论函数单调性，进而证明结论． 【详解】（1）时，，则， 求导得，则， 切线方程为，即． （2）（ⅰ）由于有两个极值点，， 故有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解； 设，则，令，，则， 令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，且， ，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得，． ， 欲证，只需证， 构造，，则， 令，则，当时，， 即在上单调递增，且， 在时恒成立， ， 当时，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，故， 设方程的两根为，，不妨， 则由得， 由韦达定理得， ， ，且是方程的两根，是的两根， 则， ， ，命题得证． 14．已知函数． (1)当时，判断函数在上的单调性. (2)设函数存在两个极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)在上单调递增 (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数法求函数的单调性； （2）（ⅰ）由存在两个极值点得到在上有两个解，即．令，则有两个不等实根．构造函数，利用导数法求出单调性，求出，当时，，当时，，且当时，，从而得到的取值范围．（ⅱ）令，，要证，需证，构造函数，，求出．构造函数，利用导数法求出的单调性，利用单调性得到，从而得到，再利用在上单调性可证得结论． 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为． 当时，，， 因为和在上单调递增， 所以在上单调递增. 又因为， 所以当时，函数在上单调递增． （2）（ⅰ）由题意得. 因为存在两个极值点，所以在上有两个解， 所以，即． 令，则，即方程有两个不等实根． 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减， ，当时，，当时，，且当时，， 所以，解得，即的取值范围为． （ⅱ）由题意得，，是方程的两个不等实根，由（ⅰ）可知，，，是方程的两个不等实根，同样令，由，可得1． 要证，需证，令，， 则． 令， 则． 所以在上单调递增，则， 所以，从而， 所以． 因为在上单调递减，且，，所以， 即，所以． 15．已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)设． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增. (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据函数单调性和函数导数之间的关系，求出函数导数，根据参数的范围，判断导函数的正负，进而判断函数单调区间； （2）（i）根据函数单调性，构造不等式，再对参数的范围进行分类讨论，进而通过不等式说明命题成立即可； （ii）通过不等式，以及累加法和错位相减求和法，证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为，对函数求导得 情形一：当时，令，解得 ，单调递减，，单调递增； 情形二：当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在单调递增. （2）（ⅰ）由（1）可知：当时， 得到， 整理可得  ① 情形一：当中有一个大于或等于1， 此时显然成立； 情形二：当时， 由①式可知，令， 则有，再代入①式可得， 同理可得，则有， 综上所述：. （ⅱ）由（1）的结论可知：，变形为②， 令，代入②式得：， 则有 ， 当时，有 ， 于是 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $