热点10统计与概率（热点专练）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点10 统计与概率 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 统计图表的综合分析（条形图、扇形图、折线图） 题型02 统计量的计算（平均数、中位数、众数、方差） 题型03 概率的计算 题型04 统计与概率的实际应用 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：统计与概率是辽宁省中考数学基础核心模块，每年考查分值约 15-20 分，覆盖选择、填空、解答全题型。核心考查统计图表的综合解读、平均数 / 中位数 / 众数 / 方差的计算，以及古典概型概率计算，常结合生活实际情境（如抽奖、抽样调查、体育测试）命题。试题难度以基础和中档为主，解答题侧重数据提取与分析，强调 “用数据说话”。 预测2026年：该模块命题将更注重情境化与应用性，可能融入辽宁地方特色（如文旅调查、环保数据统计）。统计图表的联动分析、概率的实际应用仍为高频考点，需强化数据计算的准确性，避免因图表解读错误或概率计算疏漏丢分。 题型01 统计图表的综合分析 解｜题｜策｜略 1、 多图表联动：从条形图找频数，扇形图找百分比，通过 “总样本数 = 频数 ÷ 百分比” 建立联系。 2、补全图表：先求总样本数，再计算未知频数或百分比。 3、易错提醒：混淆 “频数” 与 “频率”，或扇形图角度计算错误。 例1．（2025·辽宁·中考真题）种下绿色希望，建设美丽辽宁．某学校学生积极参与春季义务植树活动，在活动结束后，该学校为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取的八年级学生植树棵数的人数扇形统计图 抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表 棵数/棵 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求的值； (2)求被抽取的八年级学生植树棵数的中位数； (3)本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“绿动先锋”，该学校八年级有320名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数． 【答案】(1) (2)3 (3)估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为人 【分析】本题考查统计图表，求中位数，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）先用植树棵数为2棵的人数除以所占的比例求出调查的人数，进而用总人数乘以植树棵数为3棵的人数所占的比例，求出的值，再用总数减去其它组的数量求出的值即可； （2）根据中位数的确定方法进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【详解】（1）解：（人）； ∴，； 故答案为：； （2）将数据排序后，位于第20个和第21个数据均为3， ∴中位数为3； （3）（人）； 答：估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为人. 【变式1】．（2025·广东·中考真题）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（   ）（单选） A．     B． C．     D． 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（   ）（可多选） E．球类    F．田径类 G．体操类    H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)求参与这次问卷调查的学生人数． (2)估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． (3)基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 【答案】(1)200人 (2)375人 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，统计表等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据条形统计图得到参加体育活动（合体育课）的时间人数，再相加即可； （2）用1000人乘以每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数占比即可； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：这次问卷调查的学生人数为：（人）， 答：参与这次问卷调查的学生人数有200人； （2）解：（人）， 答：每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为人； （3）解：从第二项活动可看出学生更加喜欢球类活动，建议：学校可以适当的增加有关球类活动的项目和设施．（答案不唯一） 题型02 统计量的计算 解｜题｜策｜略 1、 平均数：注意加权平均数中 “权重” 的应用（如人数、次数）。 2、 中位数：先排序，再根据数据个数奇偶性确定。 3、 众数：找出现次数最多的数据，可多个。 4、 方差：方差越小，数据波动越小，越稳定。 5、易错提醒：中位数未排序，或加权平均数权重计算错误。 例1．（2025九年级·辽宁·专题练习）晨光文具店为中考推出了一款“金榜题名”套装．为了解其在中学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个中学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现将从甲、乙两个中学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A，B，C，D四个等级：A．，B．， C．， D．）．下面给出了部分信息： 甲中学10名学生满意度得分数据：99，96，92，98，88，88，88，78，74，69； 乙中学10名学生B等级有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙中学抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 甲 88 a 乙 b 89 请根据以上信息解答： (1)求a，b，m的值； (2)你认为这款文具套装在哪个中学更受学生欢迎？请说明理由（写出一条即可）； (3)若甲、乙两校共有1800人参加此次满意度调查，请你估计喜爱这款文具套装（）的学生有多少人？ 【答案】(1)；； (2)这款文具套装在乙中学更受学生欢迎，理由见解析 (3)估计喜爱这款文具套装的学生有630人 【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图，正确读懂统计图和熟知中位数、众数的定义是解题的关键． （1）根据众数的定义可得a的值；求出乙中学A等级，D等级的人数，进而求出C等级的人数，再求出C等级的人数占比即可求出m的值，最后根据中位数的定义可求出b的值； （2）甲、乙两个中学的满意度得分的平均数相同，但乙中学的满意度得分的中位数和众数都高于甲中学的满意度得分的中位数和众数，据此可得答案； （3）用1800乘以样本中甲、乙两所中学满意度得分不低于90的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：甲中学10名学生满意度得分中，得分为88的人数最多， ∴甲中学的众数为88，即； 由扇形统计图可知，乙中学得分在A等级的人数为名， 乙中学得分在D等级的人数为名， ∴乙中学得分在C等级的人数为名， ∴， ∴； 把乙中学10名学生满意度得分按照从低到高的顺序排列，则乙中学的中位数为第5名的得分和第6名的得分的平均数， ∵， ∴乙中学10名学生满意度得分的中位数为，即； （2）解：这款文具套装在乙中学更受学生欢迎，理由如下： 甲、乙两个中学的满意度得分的平均数相同，但乙中学的满意度得分的中位数和众数都高于甲中学的满意度得分的中位数和众数，故这款文具套装在乙中学更受学生欢迎， （3）解：（人）． 答：估计喜爱这款文具套装的学生有630人． 【变式1】．（2025·辽宁沈阳·二模）近年来，越来越多的青少年逐渐戴上了“小眼镜”，给学习和生活带来不便，不良的用眼习惯正慢慢地损害着他们的视力健康．某校的生物学社团共人，分为小队，每小队人，开展主题为“认识眼球”的项目式学习活动，并以小队为单位开展知识竞赛、为了了解该社团的比赛情况，随机抽取了甲、乙两个小队的成绩（满分为分，单位：分）进行分析． 数据收集： 甲小队： 乙小队： 整理数据及分析： 将学生的成绩分为四组：A组为分到分，B组为分到分，C组为分到分，D组为分到分，整理成如下不完整的统计图表： 甲、乙两小队竞赛成绩统计量汇总表 统计量 平均数（分） 中位数（分） 方差 甲小队 乙小队 生物学社团所有成员竞赛成绩分布扇形统计图 根据以上数据和图表信息，回答下列问题： (1)表中的值为 ，的值为 ； (2)求扇形统计图中“”所对应的圆心角度数； (3)请从平均数和方差两方面评价甲、乙两小队的成绩； (4)社团准备选竞赛成绩前名成员参加眼球模型制作的实践活动，小明的成绩为分，小亮的成绩为分，判断他们能否参加实践活动并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)从平均数看，甲、乙两小队平均成绩相等；从方差看，甲小队成绩比乙小队稳定． (4)小亮能参加，小明不一定能参加． 【分析】本题考查统计相关知识，平均数、中位数的计算，扇形统计图圆心角计算，依据平均数和方差评价数据，熟练掌握平均数、中位数计算方法，能准确从图表获取信息是解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）用乘以对应百分比即可； （3）根据平均数、方差意义求解即可； （4）先判断出前名成绩所在范围，再根据实际成绩判断所在组别即可． 【详解】（1）甲组得平均成绩为： 乙组重新排列得： 故乙组得中位数为： 故得值为，的值为 （2）扇形统计图中所对应的圆心角度数： （3）从平均数看，甲乙两队的平均成绩相等，从方差来看，甲对的方差小于乙队，所以甲队成绩比乙队稳定． （4）因为组人数占比，组人数占比，所以第名落在组，因为小亮的成绩分，在组，可以参加；小明的成绩为分，在组，不能判断是否在前名，不确定能否参加． 题型03 概率的计算 解｜题｜策｜略 1、 用列表法或树状图列出所有等可能结果，避免遗漏或重复。 2、 明确事件对应的区域与总区域，计算长度或面积比。 3、易错提醒：放回与不放回抽样混淆。 例1．（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． （2）解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 【变式1】．（2025·云南·中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）画树状图，得到共有种等可能的结果； （2）根据树状图得到的结果有种，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意画树状图如下， 共有共种等可能的结果； （2）解：由树状图得，的结果有种， 组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 题型04 统计与概率的实际应用 解｜题｜策｜略 1、 用样本估计总体：样本中某类数据比例 × 总体总量。 2、 游戏公平性：计算双方获胜概率，相等则公平，否则不公平。 3、易错提醒：样本不具有代表性，或概率计算错误导致决策失误。 例1．（2025·辽宁鞍山·二模）每年4月23日为“世界读书日”.某学校图书馆在当天接受了2000册图书的社会捐赠.管理员将图书分类如下表： 类别 数量（单位：本） 占捐赠图书百分比 第一大类（哲学类） 125 第二大类（社会科学类） 500 第三大类（自然科学类） 第四大类（综合类） 275 (1)完成上述表格； (2)图书馆原有图书约30000本，其中社会科学类约占，请计算：接受捐赠后，学校社会科学类图书大约有多少本？ (3)学生上阅读课时，需要通过抽签任选一类图书去专用图书室阅读，小明和小华想选择同一类图书，请通过树状图或表格求出他们抽到同一类图书的概率． 【答案】(1)见解析 (2)本 (3) 【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算，利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据题意直接利用有理数的混合运算求解即可； （2）用总数乘以相应比例加上捐赠图书的数量即可； （3）将四大类图书设为A、B、C、D，然后利用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：第三大类的数量为：本， 第二大类占捐赠图书的百分比为：， 补全表格如下： 类别 数量（单位：本） 占捐赠图书百分比 第一大类（哲学类） 125 第二大类（社会科学类） 500 第三大类（自然科学类） 1100 第四大类（综合类） 275 （2）本； （3）将四大类图书设为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能结果，其中小明和小华想选择同一类图书的结果有4种， ∴他们抽到同一类图书的概率为． 【变式1】．每年4月23日为“世界读书日”.某学校图书馆在当天接受了2000册图书的社会捐赠.管理员将图书分类如下表： 类别 数量（单位：本） 占捐赠图书百分比 第一大类（哲学类） 125 第二大类（社会科学类） 500 第三大类（自然科学类） 第四大类（综合类） 275 (1)完成上述表格； (2)图书馆原有图书约30000本，其中社会科学类约占，请计算：接受捐赠后，学校社会科学类图书大约有多少本？ (3)学生上阅读课时，需要通过抽签任选一类图书去专用图书室阅读，小明和小华想选择同一类图书，请通过树状图或表格求出他们抽到同一类图书的概率． 【答案】(1)见解析 (2)本 (3) 【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算，利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据题意直接利用有理数的混合运算求解即可； （2）用总数乘以相应比例加上捐赠图书的数量即可； （3）将四大类图书设为A、B、C、D，然后利用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：第三大类的数量为：本， 第二大类占捐赠图书的百分比为：， 补全表格如下： 类别 数量（单位：本） 占捐赠图书百分比 第一大类（哲学类） 125 第二大类（社会科学类） 500 第三大类（自然科学类） 1100 第四大类（综合类） 275 （2）本； （3）将四大类图书设为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能结果，其中小明和小华想选择同一类图书的结果有4种， ∴他们抽到同一类图书的概率为． （30分钟限时练） 1. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 2．菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则对这组数据下列说法正确的是（   ） A．平均数是30岁 B．众数是29岁 C．中位数是31岁 D．方差是4 【答案】C 【分析】本题考查了众数、中位数、方差和平均数，根据众数、中位数、方差和平均数定义即可求解，掌握众数、中位数、方差和平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：在数据31，29，31，29，31，32中， 首先将数据从小到大排列：29，29，31，31，31，32． 中位数计算：由于有6个数据，中位数是第3和第4个数的平均值，即．选项C说法正确，符合题意； 众数计算：出现次数最多的数是31，出现了3次．选项B说法错误，不合题意； 平均数计算：平均数为，选项A说法错误，不符合题意； 方差计算：．选项D说法错误，不合题意． 故选：C． 3．随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画树状图求概率，设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，画出树状图，共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种，，然后用概率公式求解即可，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用表示， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种， ∴她们恰好选中一个主题的概率为， 故选：． 4．我国体育健儿在最近五届的奥运会上获得的奖牌如图，则增长最快的一届是（   ） A．第28届 B．第29届 C．第30届 D．第31届 【答案】B 【分析】先计算增长数量，后比较解答即可． 本题考查了有理数的减法，有理数的大小比较，熟练掌握运算法则，正确比较大小是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得；，，， 故第29届增长最快， 故选：B． 5．五一期间某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“洗洁精”区域的次数 88 100 136 345 546 701 落在“洗洁精”区域的频率 假如你去转动该转盘一次，你估计获得洗洁精的概率约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性原理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．理解用频率估计概率是解题的关键，根据利用频率估计概率即可求解． 【详解】解：由表格可知：获得洗洁精的概率约是； 故选：B． 6．某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是____． 【答案】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到种花的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把植树、种花、除草三个劳动项目分别记为、、， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到种花的结果有1种， 这两个班级恰好都抽到种花的概率是， 故答案为：． 7．小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉这4位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家刘徽的概率是______． 【答案】 【分析】此题考查概率公式，熟知如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率是解题的关键． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：因为总共有4人， 所以从中任选一个，恰好是数学家刘徽的概率是， 故答案为：． 8．某校的生物学兴趣小组在相同条件下进行了黄豆发芽试验，并记录了如下结果： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 则估计黄豆发芽的概率是______（结果精确到0.01）． 【答案】0.95 【分析】本题考查了由频率估计概率，由表格可得，当足够大时，发芽的频率逐渐稳定于，由此即可得解． 【详解】解：由表格可得，当足够大时，发芽的频率逐渐稳定于， ∴估计黄豆发芽的概率是， 故答案为：． 9．为鼓励学生探索用解决身边的问题，某校开展了设计智能图书借阅模型竞赛活动．学校对参赛模型作品进行了评比，评比结果分为四个等级（A：高等级，B：中等级，C：进阶级，D：基础级）．学校随机调查了部分参赛模型作品所获等级情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)求本次调查的模型作品共有多少个； (2)求扇形统计图中“C：进阶级”所对应的扇形圆心角的度数； (3)在本次活动中，该校共收集到420个模型作品，请估计获得“B：中等级”的模型作品有多少个． 【答案】(1)60个 (2) (3)105个 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角，由样本所占百分比估计总体的数量，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由“A：高等级”模型作品个数及占总作品个数的百分比即可得到作品总数； （2）根据（1）中所得作品总数和“C：进阶级”作品数可求得其所占百分比，再用乘以所占百分比可得对应扇形圆心角的度数； （3）先求得本次调查中“B：中等级”的模型作品数，得到其所占百分比，再用该校总作品数乘以所占百分比即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图中信息，“A：高等级”模型作品有9个，占总作品个数的， 因此本次调查的模型作品共有（个）， 答：本次调查的模型作品共有60个． （2）解：根据图中信息，“C：进阶级”模型作品有24个；由（1）可知本次调查的模型作品共有60个， 答：扇形统计图中“C：进阶级”所对应的扇形圆心角的度数为． （3）解：根据图中信息，本次调查中“B：中等级”的模型作品有（个）， （个） 答：该校估计获得“B：中等级”的模型作品有105个． 10．人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科技素养，某校举行人工智能通讯竞赛，并对测试成绩（单位：分），进行了统计分析： 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． （1）下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：______．（只填写序号） ①分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩 ②随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩 ③随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩 ④随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均大于60分）．如表： 组别 A B C D 成绩分） 人数（人） 57 45 27 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 生竞赛成绩的条形统计图                    学生竞赛成绩的扇形统计图    【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （2）补全条形统计图（写出计算过程）； （3）若竞赛成绩超过80分为优秀，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1）①；（2）图见解析；（3）参加竞赛的3000名学生中成绩为优秀的人数大约是人 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （1）根据样本具代表性，避免偏差．即可得出答案， （2）根据组人数及其百分比求出抽取的学生人数，进而可求竞赛总人数，再求出A组人数，完成统计图即可； （3）用乘以分以上(含分)的人数占比即可求解； 【详解】解：（1）正确的抽样方法应该是能够代表整个学校的情况，避免偏差． ①分别从各年级的每个班随机抽取学生，样本具有代表性； ②只抽一个班，可能这个班的成绩不能代表全校； ③则分层抽样，每个年级每个班都抽，这样样本更具代表性； ④一个年级同理只抽女生，明显存在性别偏差． 所以最合适的方法是：①分别从各年级的每个班随机抽取学生，样本具有代表性； 故答案为：①； （2）B组人数为57，占总体的百分比为， 总样本数为人， 因此，A组人数=总样本数组人数，补全条形统计图．    （3）全校优秀人数估计为人． 答：估计该参加竞赛的3000名学生中成绩为优秀的人数大约是人． 11．某校科技小组制作了一个小球发射器，使用该发射器可以从地面竖直向上发射小球．在一次发射过程中，小组成员记录了小球离地面的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：）之间的部分对应数据如下表： 小球的运动时间 0 0.4 1 1.4 2.6 3 3.6 4 小球离地面的高度 0 7.2 15 18.2 18.2 15 7.2 0 小组成员在直角坐标系中，根据表中各对数值描点，发现h与t满足我们学过的二次函数关系，且． (1)画出函数图象，并求h与t之间的函数关系式； (2)小球的高度能否达到？若能，求出运动时间t；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)小球的高度无法达到，见解析 【分析】本题考查了画函数图象、二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）描点连线即可画出相关图象，设h与t之间的函数关系式为，再利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质求出小球能达到的最大高度，比较即可得解． 【详解】（1）解：图象如图所示． 因为图象经过点， 所以设h与t之间的函数关系式为． 根据题意，得， 解这个方程组，得， ∴h与t之间的函数关系式为． （2）解：小球的高度不能达到．理由如下： 由（1）可知，． ∵， ∴当时，h有最大值，最大值为20． ∵， ∴小球的高度无法达到． 12．为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组： ），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80． ②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表： 分组 A B C D E 频数 14 b 27 13 6 ③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 79.5 82 八年级 81.3 c 83 ④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)_________，_______，______； (2)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） (3)该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 【答案】(1)10，40，80.5 (2)八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大 (3)724 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）在扇形统计图中，先求出“B组”所占的百分比，再求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数的定义求出c的值； （2）从中位数、众数的大小比较得出答案； （3）求出七年级、八年级一周运动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可． 【详解】（1）解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为， 所以“A组”所占的百分比为， 即； ； 八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为， 即； 故答案为：10，40，80.5； （2）八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大； （3）（人）， 答：七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点10 统计与概率 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 统计图表的综合分析（条形图、扇形图、折线图） 题型02 统计量的计算（平均数、中位数、众数、方差） 题型03 概率的计算 题型04 统计与概率的实际应用 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：统计与概率是辽宁省中考数学基础核心模块，每年考查分值约 15-20 分，覆盖选择、填空、解答全题型。核心考查统计图表的综合解读、平均数 / 中位数 / 众数 / 方差的计算，以及古典概型概率计算，常结合生活实际情境（如抽奖、抽样调查、体育测试）命题。试题难度以基础和中档为主，解答题侧重数据提取与分析，强调 “用数据说话”。 预测2026年：该模块命题将更注重情境化与应用性，可能融入辽宁地方特色（如文旅调查、环保数据统计）。统计图表的联动分析、概率的实际应用仍为高频考点，需强化数据计算的准确性，避免因图表解读错误或概率计算疏漏丢分。 题型01 统计图表的综合分析 解｜题｜策｜略 1、 多图表联动：从条形图找频数，扇形图找百分比，通过 “总样本数 = 频数 ÷ 百分比” 建立联系。2、补全图表：先求总样本数，再计算未知频数或百分比。 3、易错提醒：混淆 “频数” 与 “频率”，或扇形图角度计算错误。 例1．（2025·辽宁·中考真题）种下绿色希望，建设美丽辽宁．某学校学生积极参与春季义务植树活动，在活动结束后，该学校为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取的八年级学生植树棵数的人数扇形统计图 抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表 棵数/棵 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求的值； (2)求被抽取的八年级学生植树棵数的中位数； (3)本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“绿动先锋”，该学校八年级有320名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数． 【变式1】．（2025·广东·中考真题）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（   ）（单选） A．     B． C．     D． 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（   ）（可多选） E．球类    F．田径类 G．体操类    H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)求参与这次问卷调查的学生人数． (2)估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． (3)基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 题型02 统计量的计算 解｜题｜策｜略 1、 平均数：注意加权平均数中 “权重” 的应用（如人数、次数）。 2、 中位数：先排序，再根据数据个数奇偶性确定。 3、 众数：找出现次数最多的数据，可多个。 4、 方差：方差越小，数据波动越小，越稳定。 5、易错提醒：中位数未排序，或加权平均数权重计算错误。 例1．（2025九年级·辽宁·专题练习）晨光文具店为中考推出了一款“金榜题名”套装．为了解其在中学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个中学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现将从甲、乙两个中学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A，B，C，D四个等级：A．，B．， C．， D．）．下面给出了部分信息： 甲中学10名学生满意度得分数据：99，96，92，98，88，88，88，78，74，69； 乙中学10名学生B等级有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙中学抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 甲 88 a 乙 b 89 请根据以上信息解答： (1)求a，b，m的值； (2)你认为这款文具套装在哪个中学更受学生欢迎？请说明理由（写出一条即可）； (3)若甲、乙两校共有1800人参加此次满意度调查，请你估计喜爱这款文具套装（）的学生有多少人？ 【变式1】．（2025·辽宁沈阳·二模）近年来，越来越多的青少年逐渐戴上了“小眼镜”，给学习和生活带来不便，不良的用眼习惯正慢慢地损害着他们的视力健康．某校的生物学社团共人，分为小队，每小队人，开展主题为“认识眼球”的项目式学习活动，并以小队为单位开展知识竞赛、为了了解该社团的比赛情况，随机抽取了甲、乙两个小队的成绩（满分为分，单位：分）进行分析． 数据收集： 甲小队： 乙小队： 整理数据及分析： 将学生的成绩分为四组：A组为分到分，B组为分到分，C组为分到分，D组为分到分，整理成如下不完整的统计图表： 甲、乙两小队竞赛成绩统计量汇总表 统计量 平均数（分） 中位数（分） 方差 甲小队 乙小队 生物学社团所有成员竞赛成绩分布扇形统计图 根据以上数据和图表信息，回答下列问题： (1)表中的值为 ，的值为 ； (2)求扇形统计图中“”所对应的圆心角度数； (3)请从平均数和方差两方面评价甲、乙两小队的成绩； (4)社团准备选竞赛成绩前名成员参加眼球模型制作的实践活动，小明的成绩为分，小亮的成绩为分，判断他们能否参加实践活动并说明理由． 题型03 概率的计算 解｜题｜策｜略 1、 用列表法或树状图列出所有等可能结果，避免遗漏或重复。 2、 明确事件对应的区域与总区域，计算长度或面积比。 3、易错提醒：放回与不放回抽样混淆。 例1．（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【变式1】．（2025·云南·中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 题型04 统计与概率的实际应用 解｜题｜策｜略 1、 用样本估计总体：样本中某类数据比例 × 总体总量。 2、 游戏公平性：计算双方获胜概率，相等则公平，否则不公平。 3、易错提醒：样本不具有代表性，或概率计算错误导致决策失误。 例1．（2025·辽宁鞍山·二模）每年4月23日为“世界读书日”.某学校图书馆在当天接受了2000册图书的社会捐赠.管理员将图书分类如下表： 类别 数量（单位：本） 占捐赠图书百分比 第一大类（哲学类） 125 第二大类（社会科学类） 500 第三大类（自然科学类） 第四大类（综合类） 275 (1)完成上述表格； (2)图书馆原有图书约30000本，其中社会科学类约占，请计算：接受捐赠后，学校社会科学类图书大约有多少本？ (3)学生上阅读课时，需要通过抽签任选一类图书去专用图书室阅读，小明和小华想选择同一类图书，请通过树状图或表格求出他们抽到同一类图书的概率． 【变式1】．每年4月23日为“世界读书日”.某学校图书馆在当天接受了2000册图书的社会捐赠.管理员将图书分类如下表： 类别 数量（单位：本） 占捐赠图书百分比 第一大类（哲学类） 125 第二大类（社会科学类） 500 第三大类（自然科学类） 第四大类（综合类） 275 (1)完成上述表格； (2)图书馆原有图书约30000本，其中社会科学类约占，请计算：接受捐赠后，学校社会科学类图书大约有多少本？ (3)学生上阅读课时，需要通过抽签任选一类图书去专用图书室阅读，小明和小华想选择同一类图书，请通过树状图或表格求出他们抽到同一类图书的概率． （30分钟限时练） 1. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 2．菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则对这组数据下列说法正确的是（   ） A．平均数是30岁 B．众数是29岁 C．中位数是31岁 D．方差是4 3．随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（   ） A． B． C． D． 4．我国体育健儿在最近五届的奥运会上获得的奖牌如图，则增长最快的一届是（   ） A．第28届 B．第29届 C．第30届 D．第31届 5．五一期间某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“洗洁精”区域的次数 88 100 136 345 546 701 落在“洗洁精”区域的频率 假如你去转动该转盘一次，你估计获得洗洁精的概率约是（   ） A． B． C． D． 6．某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是____． 7．小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉这4位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家刘徽的概率是______． 8．某校的生物学兴趣小组在相同条件下进行了黄豆发芽试验，并记录了如下结果： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 则估计黄豆发芽的概率是______（结果精确到0.01）． 9．为鼓励学生探索用解决身边的问题，某校开展了设计智能图书借阅模型竞赛活动．学校对参赛模型作品进行了评比，评比结果分为四个等级（A：高等级，B：中等级，C：进阶级，D：基础级）．学校随机调查了部分参赛模型作品所获等级情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)求本次调查的模型作品共有多少个； (2)求扇形统计图中“C：进阶级”所对应的扇形圆心角的度数； (3)在本次活动中，该校共收集到420个模型作品，请估计获得“B：中等级”的模型作品有多少个． 10．人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科技素养，某校举行人工智能通讯竞赛，并对测试成绩（单位：分），进行了统计分析： 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． （1）下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：______．（只填写序号） ①分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩 ②随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩 ③随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩 ④随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均大于60分）．如表： 组别 A B C D 成绩分） 人数（人） 57 45 27 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 生竞赛成绩的条形统计图                    学生竞赛成绩的扇形统计图    【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （2）补全条形统计图（写出计算过程）； （3）若竞赛成绩超过80分为优秀，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中成绩为优秀的人数． 11．某校科技小组制作了一个小球发射器，使用该发射器可以从地面竖直向上发射小球．在一次发射过程中，小组成员记录了小球离地面的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：）之间的部分对应数据如下表： 小球的运动时间 0 0.4 1 1.4 2.6 3 3.6 4 小球离地面的高度 0 7.2 15 18.2 18.2 15 7.2 0 小组成员在直角坐标系中，根据表中各对数值描点，发现h与t满足我们学过的二次函数关系，且． (1)画出函数图象，并求h与t之间的函数关系式； (2)小球的高度能否达到？若能，求出运动时间t；若不能，请说明理由． 12．为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组： ），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80． ②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表： 分组 A B C D E 频数 14 b 27 13 6 ③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 79.5 82 八年级 81.3 c 83 ④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)_________，_______，______； (2)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） (3)该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $