精品解析：广西钦州市浦北中学2026年春季学期第一次阶段性检测八年级数学试卷

2026年春季学期第一次阶段性检测八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，是一组勾股数，则的数为（　　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 估算的结果在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 6. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（ ） A. 8 B. 14 C. 20 D. 25 7. 如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A. B. C. D. 8. 下列各式中，能与合并的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点在数轴上，则可以近似表示的运算结果的点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 若，则（） A. B. C. D. 11. 两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（     ） A. 南偏东 B. 北偏西 C. 南偏东或北偏西 D. 无法确定 12. 如图，在中，，，，则的值为（ ）． A. 24 B. C. D. 25 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 要使代数式有意义，则的取值范围是_________． 14. 如图所示， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是 _____． 15. 定义新运算“”，规定，则的运算结果为_____． 16. 已知，，则_________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知中，，为直角边，为斜边． （1）若，求； （2）若，求． 19. 已知，． （1）求的值； （2）若的小数部分是的小数部分是，求的值． 20. 如图，在五边形中，，，，，，，，连接、． （1）求和的长； （2）求五边形的面积． 21. 代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答； ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： （1）计算 ______； （2）若 ，求值． 22. 观察与思考： ①；②；③；… （1）根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； （2）试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 23. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期第一次阶段性检测八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，需根据二次根式的化简、乘方、加减、乘法法则逐一判断选项． 【详解】解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵与是不同的最简二次根式，不能合并为，∴C选项错误． ∵，∴D选项正确． 2. 若，，是一组勾股数，则的数为（　　） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义． 分“”为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可． 【详解】解：当为直角边时，，是正整数，符合题意， 当为斜边时，，不是正整数，不符合题意， 故选：B． 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，依次对选项判断即可． 【详解】解：∵选项A中，，被开方数4含有能开得尽方的因数， ∴A不属于最简二次根式； ∵选项B中，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件， ∴B属于最简二次根式； ∵选项C中，，被开方数含分母， ∴C不属于最简二次根式； ∵选项D中，的被开方数含分母， ∴D不属于最简二次根式． 4. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得： 故选：A． 5. 估算的结果在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（ ） A. 8 B. 14 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理得：，解得即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， ∵正方形A、B、C的面积依次为5、9、6， ∴， ∴正方形D的面积是20． 故选：C 7. 如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 8. 下列各式中，能与合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化为最简，再将各选项的二次根式化为最简即可得出答案； 本题考查最简二次根式的知识，注意将各项化为最简后再判断是解题的关键． 【详解】解：， ， , ， , ∴能和合并的是 故选：C． 9. 如图，点在数轴上，则可以近似表示的运算结果的点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、估算无理数的大小、实数与数轴，先根据二次根式混合运算的法则得出，再估算出的大小，结合数轴即可得出答案． 【详解】解：， ， ，即， ， 由数轴可得：点在到之间， 故选：C． 10. 若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 11. 两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（     ） A. 南偏东 B. 北偏西 C. 南偏东或北偏西 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，海里，海里，， ∵，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴乙船的航向为南偏东或北偏西， 故选：． 12. 如图，在中，，，，则的值为（ ）． A. 24 B. C. D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，过点作于点，先求出，进而求得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交延长线于点， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 要使代数式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故答案为：且． 14. 如图所示， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长．求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点C的横坐标是， 故答案为：． 15. 定义新运算“”，规定，则的运算结果为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题目给出的新运算法则代入计算即可． 【详解】解：根据新运算定义，将，代入得： ． 16. 已知，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先利用有理数的性质得到，，则利用二次根式的性质化简得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）运用乘法公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知中，，为直角边，为斜边． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【小问1详解】 解：∵为直角边，为斜边，， ∴； 【小问2详解】 解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 19. 已知，． （1）求的值； （2）若的小数部分是的小数部分是，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出与的值，再利用完全平方公式的变形，代入计算即可． （2）先估算的大小，确定、的整数部分，进而得到它们的小数部分、，再代入计算的值． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 解：， ，， 的小数部分是，的小数部分是， ， ． 20. 如图，在五边形中，，，，，，，，连接、． （1）求和的长； （2）求五边形的面积． 【答案】（1）； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由，，可得，，根据勾股定理可得，； （2）再由勾股定理的逆定理证明，继而根据五边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ，， ，，，， ，， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 五边形的面积为： ． 21. 代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答； ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： （1）计算 ______； （2）若 ，求值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，利用平方差公式进行分母有理化，代数求值，解题的关键是掌握二次根式的化简法则． （1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）先对二次根式进行化简，再变形代数求值即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ∴ ， ，即， ∴， ∴． 22. 观察与思考： ①；②；③；… （1）根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； （2）试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【答案】（1） （2）（的整数）， 证明如下： ． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）由题干找出规律求解即可； （2）先找出规律，再由二次根式的性质化简证明． 【小问1详解】 解：∵①； ②； ③；… ∴写出第④个等式为：； 【小问2详解】 解： （的整数） 23. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1）绳子的总长度为 （2）此时物体C升高了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $