精品解析：重庆市大足中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

重庆市大足中学高2027届高二第四期第一次月考 数 学 试 题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. 9 B. 18 C. 28 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数公式计算出正确答案. 【详解】. 故选：B 2. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象利用导数的几何意义以及割线斜率即可判断. 【详解】表示两点所在直线的斜率， 而分别表示在处的切线斜率， 由图可知，. 故选：B 3. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 4. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】对求导代入求出得到，代入0可得答案. 【详解】根据题意,， 则其导数， 令可得：，解可得， 则有， 故. 故选：B. 5. 、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（ ） A. 24种 B. 12种 C. 48种 D. 23种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法求解相邻问题． 【详解】由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法， 故选：B． 6. 如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（ ） A. 124 B. 185 C. 220 D. 330 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知问题转化为 根据组合数性质计算即可. 【详解】根据题意可知：这些数分别为 ， 则由 逐步应用得： ， 所以这些数和为 330. 故选：D. 7. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 8. 已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设 ，则 ,由条件可得在上单调递增，进一步可得在上单调递增，将可化为，即，由单调性可得答案. 【详解】设 ，则 当时，有成立，此时 所以在上单调递增. 又为奇函数，则，则为奇函数，又 则在上单调递增，所以在上单调递增. 当，恒有 可化为，即， 由在上单调递增，所以 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数，求出的导函数，由条件得到的单调性，将可化为，根据的单调性解出不等式，属于中档题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 如图是导函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图像与性质关系可得答案. 【详解】对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确； 对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误； 对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确． 故选：ABD 10. 下列求导结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的四则运算一一计算即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值. 【详解】对于A：，由得，又函数在连续， 所以的单调递减区间是，A正确； 对于B：当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，取得最大值，又时，； 时，，所以的图象大致如图： 当时，函数与函数图象有两个交点， 即方程有两个不等的实根，B错误； 对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 设点，则，解得，此时， 点到直线的距离，C正确； 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________； 【答案】243 【解析】 【分析】根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法， 所以5名同学共有种选择方法. 故答案为：. 13. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】因为，则， 因此，. 故答案为：. 14. 已知函数，，若， ，使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】将题意转化为，再根据的单调性分别求解最小值即可. 【详解】当时，由得，， ∴在单调递减， ∴是函数的最小值， ∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2）， 可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值， 即∃x∈[2，3]，使成立，即∃x∈[2，3]，使成立，故. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 16. 用0，1，2，3，4，5可组成多少个： （1）没有重复数字的四位数？ （2）没有重复数字且被5整除的四位数？ （3）比2000大且没有重复数字的自然数？ 【答案】（1）300；（2）108；（3）1440 【解析】 【分析】（1）先考虑千位，再考虑剩余的百位，十位和个位；（2）考虑个位是0或5两种情况，再用分类加法原理计算；（3）从四位数，五位数和六位数考虑，再用分类加法原理计算. 【详解】（1）千位可以从1，2，3，4，5中任选一个，有种，剩余的百位，十位和个位，可以从剩余的5个数中任意选择，所以有种，所以没有重复数字的四位数共有种 （2）没有重复数字且被5整除的四位数，分两种情况： 个位数字为0时，有种；个位数字为5时，千位可以从从1，2，3，4种任选一个，有4种，剩下的百位和十位可以从剩余的四个数种选择两个的排列，有，则有种，利用分类加法原理可得：共有种. （3）比2000大的自然数，当是四位数时，首先从2，3，4，5中选一个有4种选法，再从剩下的元素中选3个，有种，共有种；当是五位数时，共有种选法；当是六位数时，共有种选法；故共有240+600+600=1440种，所以比2000大的自然数共有1440种. 17. 已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 【答案】（1）；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案； （2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】（1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， 所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是 （2）由题意知.因为，所以. 由，得， 所以的单调递减区间为， 又已知的单调递减区间为， 所以， 所以，即. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在内单调递增；当时，在内单调递增；在内单调递减； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间； （2）运用转化法，结合导数的性质和数形结合思想进行求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，. ①当时，由，知函数在内单调递增； ②当时，由，即得； 由，即得. 所以，函数在内单调递增，在内单调递减. 因此，当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增；在内单调递减； 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 因为函数有两个极值点， 所以方程有两个不相等的正实数根， 即，设函数， 当时，单调递减，当时，单调递增， 即函数的最大值为：， 由，由， 因此函数的图象如下图所示： 要想方程有两个不相等的正实数根， 只需函数的图象有两个交点，即， 实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：函数的极值个数可以转化为函数导函数零点个数问题，进而转化为两个函数图象的交点个数问题，利用导数和数形结合思想进行求解即可. 19. 定义运算：，已知函数． （1）当时，①求在处的切线方程； ②证明：在内存在唯一的极小值点，且； （2）若对任意（），都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）①； ②证明：设， 则， 和在上均单调递增， 在上均单调递增， 存在唯一零点，使得， 当时，单调递减，即在上单调递减； 当时，单调递增，即在上单调递增， 是函数在内唯一的极小值点， . . （2） 【解析】 【分析】（1）确定函数解析式：①求导得，求切点纵坐标，由点斜式得切线方程；②设，求确定函数的单调性，从而得函数的零点性质，即可得的极值点，从而证得结论； （2）原不等式等价于，设，则，由函数单调可得恒成立，孤立参数求解最值即可得数的取值范围． 【小问1详解】 ， 当时，， ， ①由题意得， 则在处的切线方程为， 即； ②略 【小问2详解】 不妨设，原不等式等价于， 即， 设，则， 由的任意性，可知在上单调递增， 在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则， 在上单调递增， ， 实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题中双变量结构相同的不等式，集中变量转化为，构造函数得含参不等式恒成立问题，对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)恒成立； (2)恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市大足中学高2027届高二第四期第一次月考 数 学 试 题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. 9 B. 18 C. 28 D. 36 2. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（   ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 4. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 5. 、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（ ） A. 24种 B. 12种 C. 48种 D. 23种 6. 如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（ ） A. 124 B. 185 C. 220 D. 330 7. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 8. 已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 如图是导函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 下列求导结果正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________； 13. 已知函数，则______. 14. 已知函数，，若， ，使得，则实数的取值范围是____． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 用0，1，2，3，4，5可组成多少个： （1）没有重复数字的四位数？ （2）没有重复数字且被5整除的四位数？ （3）比2000大且没有重复数字的自然数？ 17. 已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围. 19. 定义运算：，已知函数． （1）当时，①求在处的切线方程； ②证明：在内存在唯一的极小值点，且； （2）若对任意（），都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $