专题08 统计与概率9大题型（题型专练）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 统计与概率 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 统计量的计算与决策应用 题型02 事件的分类与概率的意义理解 题型03 统计图表的信息关联与综合计算 题型04 用样本估计总体的实际应用 题型05 一步概率的公式法计算 题型06 两步及以上概率的列表法/树状图法计算 题型07 已知概率求数量的方程应用 题型08 统计与概率的综合应用 题型09 圆与三角形的综合计算与证明 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 统计量的计算与决策应用 典例引领 【典例01】（2024·上海·中考真题）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 【答案】B 【知识点】利用平均数做决策、根据方差判断稳定性、运用方差做决策 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B． 【典例02】已知一组数据：13，11，8，10，10，这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．10，9 B．10，10．4 C．10，8 D．10，10 【答案】D 【知识点】求中位数、求众数 【分析】本题主要考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义解题即可． 【详解】解：从小到大排列为：8，10，10，11，13， 其中出现最多次数的为：10， ∴众数为10， 一共5个数，中位数为第3个数， ∴中位数为：10， 故选：D． 方法透视 考向解读 本考点是统计模块的核心基础，是上海中考选择、填空题的高频必考考点，难度系数0.65-0.94，对应文档核心知识点为求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差、利用平均数/中位数/众数/方差做决策，核心考查四个核心统计量的基础计算、结合实际场景的决策分析，是统计模块所有计算的基础，每年中考固定1道小题考查，属于必拿分考点。 方法技能 1.核心统计量定义与计算： 平均数：一组数据的总和除以数据个数，反映数据的整体平均水平；加权平均数需结合权重计算，是上海中考高频考查形式。 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排序后，奇数个数据取中间位置的数，偶数个数据取中间两个数的平均数，反映数据的中等水平，不受极端值影响。 众数：一组数据中出现次数最多的数，可多个，反映数据的集中趋势。 方差：，反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定。 2.决策应用核心原则： 比较整体水平：优先看平均数，平均数越高/越低（依场景而定），整体表现越好； 比较稳定性：优先看方差，方差越小，数据波动越小，表现越稳定； 反映大众水平：优先看中位数、众数，不受极端值影响。 3.解题核心技巧：计算中位数必须先对数据排序，避免直接取原数据中间位置的数导致错误；方差计算需先求准平均数，再依次计算离差平方和的平均值。 4.易错点：计算中位数时未对数据排序，直接取原数据中间值，导致结果错误；误认为方差越大，数据越稳定，颠倒方差的实际意义；一组数据的众数可能不止一个，忽略多个众数的情况。 变式演练 【变式01】（2025·上海·中考真题）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85 【答案】D 【知识点】求中位数、求众数 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确； 故选：D． 【变式02】（2025·上海闵行·二模）为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取名学生的中长跑成绩（满分分）绘制成表： 成绩分 人数人 关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 【答案】A 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】此题主要考查了中位数、众数的运用，正确的理解题目意思是解题关键． 由题目已知可得，据此可以判断一定不随的变化而变化的是众数，中位数． 【详解】解：由题目已知，随机抽取的是名学生的中长跑成绩，根据图表可知： ， ， 一定不随的变化而变化的是众数，中位数， 故选A． 【变式03】（2025·上海闵行·二模）某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下面的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（    ）． 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A．平均数和中位数 B．平均数和方差 C．众数和中位数 D．众数和方差 【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】通过总人数计算14岁和15岁人数之和为10，众数和中位数固定，平均数和方差随未统计人数变化，无法确定. 本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握定义是解题的关键. 【详解】解：∵总人数30人，已知12岁7人、13岁11人、16岁2人， ∴14岁和15岁人数之和为人. ∵13岁人数11人，为最多， ∴众数为13岁. ∵数据排序后，累计到13岁为18人，第15和16个数据均在13岁组， ∴中位数为13岁. 平均年龄为，化简为，随a变化； 方差依赖平均数，故均不确定. ∴能确定的统计量是众数和中位数， 故选：C. 【变式04】（2025·上海奉贤·三模）在一次射击比赛选拔赛中，甲、乙、丙、丁四人的射击成绩如表所示，那么在这次比赛中，成绩又好且又稳定的选手是（   ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩（环） 9 9 8.5 8.5 标准差（环） 1.2 1.5 1.2 1.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【知识点】利用平均数做决策、根据方差判断稳定性、运用方差做决策 【分析】本题考查了标准差以及算术平均数，标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之标准差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据平均数和标准差的意义判断即可． 【详解】解：根据平均成绩可得甲和乙要比丙和丁好，又因为甲的标准差比乙小， 所以成绩又好且又稳定的选手是甲． 故选：A． 【变式05】（2025·上海嘉定·二模）某校在“阅读之星”的评选活动中，5位评委给小王同学的综合表现打分，分别是：、、、、．如果每位评委的打分都提高，那么比较前后两组数据，统计量一定不会发生改变的是（   ）． A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数 【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题主要考查方差，中位数，众数，平均数，解题的关键是掌握方差的意义． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：根据题意可知， 每位评委的打分都提高，那么这组数据分别为、、、、， 那么平均数随之发生变化提高了；众数由原来的变成了；中位数由原来的变成了；根据方差公式或方差的意义可知，只有方差不会发生改变． 故选：C． 题●型●破●译 题型02 事件的分类与概率的意义理解 典例引领 【典例01】（2025·上海徐汇·二模）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是必然事件 B．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式 【答案】C 【知识点】判断全面调查与抽样调查、事件的分类、概率的意义理解 【分析】本题考查了事件的分类，判断全面调查与抽样调查，概率的意义理解，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是随机事件，本选项说法不正确，不符合题意； B、“明天降雨的概率为”，表示明天有一半的可能性降雨，本选项说法不正确，不符合题意； C、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，本选项说法正确，符合题意； D、了解某型号电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式，本选项说法不正确，不符合题意． 故选：C． 【典例02】（2025·上海宝山·二模）“任意画一个三角形，它的内角和为”属于（    ） A．必然事件； B．随机事件 C．不可能事件 D．以上都不是 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、事件的分类 【分析】本题考查随机事件、三角形内角和定理，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵任意画一个三角形，它的内角和为， ∴“任意画一个三角形，它的内角和为”属于不可能事件． 故选：C． 方法透视 考向解读 本考点是概率模块的入门必考点，是上海中考选择题的高频基础考点，难度系数0.85-0.94，对应文档核心知识点为事件的分类、概率的意义理解、判断全面调查与抽样调查，核心考查必然事件、不可能事件、随机事件的区分，概率的实际意义，全面调查与抽样调查的适用场景，每年中考大概率会出1道选择题，属于必拿分的基础考点。 方法技能 1.事件的核心分类： 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，发生概率为1； 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，发生概率为0； 随机事件：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，发生概率在0到1之间。 2.概率的核心意义：概率表示随机事件发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性越高，但不代表事件一定会发生；概率越小，事件发生的可能性越低，不代表事件一定不会发生。 3.调查方式的选择： 全面调查（普查）：适用于调查范围小、无破坏性、数据要求精准的场景； 抽样调查：适用于调查范围大、具有破坏性、无法全面调查的场景。 4.易错点：误认为概率为50%的事件，一定会发生一半的次数，误解概率的可能性意义；混淆必然事件和随机事件，将“大概率发生的事件”当作必然事件；对具有破坏性的调查场景，误用全面调查，忽略抽样调查的适用条件。 变式演练 【变式01】（2025·上海崇明·二模）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【详解】解：∵随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率在附近波动（精确到）， ∴估计“针尖朝上”的概率接近于，故C选项符合． 【变式02】（2025·上海杨浦·二模）小王为了统计某一试验结果出现的频率，利用计算机进行模拟试验，并绘制出如图所示的统计图，那么符合这一试验结果的可能是（） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率 C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点朝上的概率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点朝上的概率 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：图中，符合该结果的频率在和之间 A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率约为，不合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率为，不合题意； C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点（2，3，5）朝上的概率为，不符合题意； D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点（4，6）朝上的概率约为； 故选：D． 题●型●破●译 题型03 统计图表的信息关联与综合计算 典例引领 【典例01】（2025·上海普陀·三模）2021年1月1日起《中华人民共和国民法典》正式施行．某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在4000名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：A．十分清楚；B．清楚；C．不太清楚；D．不清楚．图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图． (1)求此次接受随机抽样调查的人数； (2)由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有________人． 【答案】(1)200人 (2)2500 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求条形统计图的相关数据、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据A的人数和所占的百分比即可得出答案； （2）用总的居民乘以“十分清楚”和“清楚”的人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：此次接受随机抽样调查的人数是：（人）； （2）解：根据题意得：（人）， 答：该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有2500人； 故答案为：2500． 【典例02】（2025·上海浦东新·三模）为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前六个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05、0.035、0.025，由此可估计全区初中毕业生的体重在50到55千克的学生人数约为__________人． 【答案】1000 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图 【分析】本题考查直方图，利用样本估计总体，从直方图获取信息，利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】解：由图可知：体重在50到55千克的学生的频率为， （人）； 故答案为：1000． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的必考核心考点，难度系数0.65-0.85，对应文档核心知识点为条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数分布直方图的信息关联与计算，核心考查双统计图的信息互补、频数/频率/总量的换算，每年中考固定1道解答题考查，分值10分左右，是统计模块的核心得分点。 方法技能 1.核心统计图换算公式： 扇形统计图：某项数量=总量×该项所占百分比；某项百分比=该项数量÷总量×100%；所有项百分比之和为1；圆心角度数=360°×该项所占百分比。 条形统计图：能直接得到各项的具体数量，总量=各项数量之和。 频数分布直方图：频率=频数÷总数；频数=总数×频率；小长方形面积=频率；小长方形高=频率÷组距；所有小长方形面积之和为1。 折线统计图：能反映数据的变化趋势，相邻两点的差值为变化量。 2.双统计图解题核心步骤： 第一步：找到两个统计图中都已知的项（既有具体数量，又有百分比），计算抽样调查的总数量； 第二步：根据总量，分别计算各项的未知数量、未知百分比，补全统计图； 第三步：结合问题，完成频数、频率、百分比、圆心角度数的相关计算。 3.易错点：频数分布直方图中，误将小长方形的高当作频率，忽略组距的换算，导致频率计算错误；扇形统计图中，误将百分比直接当作具体数量，未结合总量计算；补全统计图时，总量计算错误，导致后续所有数据偏差。 变式演练 【变式01】（2025·上海·二模）五种不发生反应的化合物Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、V在一个密封的容器中，经过物质检验，得到如下两张图．如果条形图中每个横线刻度间的距离相等，那么化合物Ⅱ的质量是___________． 【答案】72 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了统计图．熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性质，是解题的关键．根据化合物Ⅲ、Ⅴ的质量相差，与化合物Ⅲ、Ⅴ所占总质量的百分比，求出总质量，再求出化合物Ⅰ、Ⅱ的质量和，设化合物Ⅱ的质量为,列方程解答即可． 【详解】解：五种化合物的总质量， 化合物Ⅴ的质量， 化合物Ⅲ的质量， 化合物Ⅰ、Ⅱ的总质量， 设化合物Ⅱ的质量为， ∵条形图中每个横线刻度间的距离相等， ∴， 解得． 故答案为：72． 【变式02】（2025·上海普陀·三模）电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军．为了解大家对电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于8分（电影评分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)求出C组数据的中位数和众数； (2)补全条形统计图； (3)若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是多少？ 【答案】(1)9.3分，9.3分 (2)见解析 (3)估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是560人． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求中位数、求众数 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体等知识，解题的关键是： （1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）用B组人数除以其所占百分比求出被调查的总人数，然后求出A组和D组人数，最后补图即可； （3）利用800乘以的人数所占百分比即可． 【详解】（1）解：∵C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． 最中间的数是9.3，9.3； 出现次数最多的数是9.3， ∴C组中位数：分； 众数：9.3分； （2）解∶总人数为人， A组的人数为人， D组人数为人， 补图如下∶ ； （3）解：， 即估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是560人． 【变式03】（2025·上海青浦·二模）某学校对学生课余时间经常参加的四种球类运动情况做了调查，并将调查数据整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图．如果参加篮球运动的人数为80人，那么该校参加各种球类运动的学生共有_______人． 【答案】320 【知识点】求扇形统计图的某项数目 【分析】用参加篮球运动的人数除以扇形统计图中篮球的百分比可得答案． 本题考查扇形统计图，能够读懂统计图是解答本题的关键． 【详解】解：（人）． ∴该校参加各种球类运动的学生共有320人． 故答案为：320． 【变式04】（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 【答案】(1)3月份各种型号计算器的销售总量为300个 (2)A型计算器销售量为120个，图形见解析 (3)y关于x的函数关系式为 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了统计图和一次函数，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题． （1）根据条形统计图B型的销售量和扇形统计图B型计算器所占百分比求出3月份各种型号计算器的销售总量； （2）根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量，即可补充条形图； （3）根据设购进A型计算器x只，B型计算器y只，则C型计算器为只，根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，得到，整理即可． 【详解】（1）解：（个）， ∴3月份各种型号计算器的销售总量为300个； （2）解：A型计算器销售量为：（个）， 条形统计图如图： （3）解：∵设购进A型计算器x只，B型计算器y只， ∴C型计算器为只， 根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元， ∴， 整理得：， ∴y关于x的函数关系式为． 【变式05】（2025·上海金山·二模）某企业10月份的产值的分配，画成不完整的扇形图和条形图如图所示．那么该企业的税前利润是_______万元． 【答案】20 【知识点】求扇形统计图的某项数目、由扇形统计图求总量、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．先求出总数和税前利润的百分比，然后求出税前利润的总额． 【详解】解：10月份的产值的总额为： （万元）， 税前利润所占的百分比为：， 税前利润为：（万元）． 故答案为：20． 题●型●破●译 题型04 用样本估计总体的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海·中考真题）为了解乘客到达高铁站后离开的方式．某地开展问卷调查，共收到有效答复2000张，调查结果如图所示．如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人，那么当地每天乘坐出租车离开的人数大约为_____． 【答案】1800人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、由扇形统计图求某项的百分比 【分析】本题考查利用样本估计总体，扇形统计图，根据扇形统计图求出样本中当地每天乘坐出租车离开的人数所占的比例，再用总人数乘以这个比例，进行计算即可． 【详解】解：（万人）（人）； 故答案为：1800人． 【典例02】（2024·上海·中考真题）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有__________人．    【答案】 【知识点】用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、由条形统计图推断结论 【分析】本题考查条形统计图及用样本的某种“率”估计总体的某种“率”，正确得出需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比是解题关键．先求出需求讲解的人数占有效问卷的百分比，再根据条形统计图求出需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比，进而可得答案． 【详解】解：∵共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人有需求讲解， ∴需求讲解的人数占有效问卷的百分比为， 由条形统计图可知：需要增强讲解的人数为人， ∴需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比为， ∴在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有（人）， 故答案为： 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空、解答题的高频必考考点，难度系数0.85-0.94，是统计模块的核心应用考点，几乎每道统计大题都会涉及该知识点，对应文档核心知识点为由样本所占百分比估计总体的数量、用样本的某种“率”估计总体相应的“率”，核心考查通过样本的频率、占比、“率”来估计总体的对应数量，考查形式灵活，可单独成小题，也可融入统计大题考查，属于基础得分考点。 方法技能 1.核心公式： 总体中对应项的数量=总体总数量×样本中该项的频率（占比）； 样本中该项的频率（占比）=样本中该项的数量÷样本总数量。 2.解题核心步骤： 第一步：确定样本总数量和样本中目标项的数量，计算目标项的频率/占比； 第二步：明确总体的总数量； 第三步：用总体总数量乘以样本频率，得到总体中目标项的估计数量。 3.核心应用场景：通过样本合格率估计总体合格人数；通过样本喜好占比估计总体对应喜好的人数；通过样本的平均数估计总体的平均数。 4易错点：样本中目标项的数量统计错误，导致占比计算偏差；总体数量的单位换算错误，如“万”和“个”的换算，导致结果数量级错误；误将样本的频数直接当作总体的频数，忽略占比换算。 变式演练 【变式01】（2025·上海·二模）为了解同学们对数学考卷难度的看法，桃李中学数学教研组进行了调研活动．学校随机对若干名学生进行了调查，绘制出了下表，部分内容不慎被墨水涂黑．已知认为二次函数较难的同学占，如果全校共有1500个学生，那么估计认为动点问题较难的学生有_____个． 类别 动点问题 二次函数 相似三角形 翻折旋转问题 认为较难人数 【答案】660 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题主要考查统计图表，用样本估计总体的思想．设抽取学生调查中认为二次函数较难的有人，根据认为二次函数较难的同学占，求出，再得到认为动点问题较难的同学得占比，最后进行估算即可． 【详解】解：设抽取学生调查中认为二次函数较难的有人， 则，解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以认为动点问题较难的同学占， （个）． 故答案为：660． 【变式02】（2025·上海奉贤·三模）某校为满足学生午餐的多样性，将学生午餐分成了A、B、C三类供学生自主选择．在前期的调研中，从全校1500人中随机抽取了100人进行问卷调查，并将问卷的结果整理后绘制成图．根据该数据，估计全校约有________人会选择C类午餐． 【答案】630 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求条形统计图的相关数据 【分析】本题考查样本估计总体，先根据统计图求得选择C午餐的人数，再用全校人数乘以样本中选择C午餐所占的比例求解即可． 【详解】解：由统计图，样本中，选择C类午餐的人数为（人）， ∴估计全校选择C类午餐的人数约为（人）． 故答案为：630． 【变式03】（2025·上海宝山·二模）为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示．已知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的人数是______． 成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100 人数 1 1 4 5 6 5 【答案】450 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握方法是解答本题的关键．按照方法计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：450． 【变式04】（2025·上海松江·二模）某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有__人． 【答案】360 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、由样本所占百分比估计总体的数量、由扇形统计图求总量 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表．先求出样本容量，得到的值，再利用样本估计总体即可求出答案． 【详解】解：由题意得，样本容量为：， 故， （人， 即该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有360人． 故答案为：360 【变式05】（2025·上海杨浦·二模）某中学为了了解全校600名学生平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校50名学生一月内平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，结果如下表： 时间（分） 40 45 50 55 60 65 70 人数 10 10 8 6 5 6 5 请估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有______人． 【答案】192 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】此题考查了样本估计总体，用600乘以样本中不少于60分钟的学生人数所占的百分比求解即可． 【详解】解：（人）． ∴估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有192人． 故答案为：192． 题●型●破●译 题型05 一步概率的公式法计算 典例引领 【典例01】四个相同的烧杯中，分别装有氢氧化钠溶液、稀硫酸溶液、氢氧化钙溶液及蒸馏水，从中任选一个烧杯滴入几滴酚酞溶液，则该烧杯的溶液变成红色的概率是___________． 【答案】/0.5 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查的知识点是概率的计算以及酸碱溶液与酚酞的显色反应．解题的关键在于明确概率公式的应用，准确判断出能使酚酞变红（即碱性）的溶液种类，从而确定和的值代入公式求解．根据概率的计算公式求解，需要先确定总的情况数以及溶液能使酚酞变红的情况数，再代入公式计算． 【详解】解：∵有四个相同的烧杯，分别装有不同的液体，从中任选一个烧杯， ∴总的选法有种，即总的情况数． 酚酞溶液遇碱性溶液变红，氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液呈碱性，稀硫酸溶液呈酸性，蒸馏水呈中性． ∴能使酚酞溶液变红的是氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液，共种情况，即溶液能使酚酞变红的情况数． ∴． 故答案为： 【典例02】（2025·上海崇明·三模）从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到K的概率是_____． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.一副52张（没有大小王）的扑克牌中A有4张，利用概率计算公式能求出抽到的这张牌是A的概率． 【详解】解：一副52张(没有大小王)的扑克牌中任意抽取一张，基本事件总数， 一副52张(没有大小王)的扑克牌中有4四张A，抽到的这张牌是A的基本事件个数， ∴抽到的这张牌是A的概率p=== 故答案为 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、选择题的必考基础考点，难度系数0.85-0.94，是概率模块的核心基础，每年中考固定1道小题考查，对应文档核心知识点为根据概率公式计算概率，核心考查概率公式的基础应用，结合代数、几何、化学等跨学科场景，考查一步随机事件的概率计算，属于必拿分考点。 方法技能 1.概率核心公式：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。 2.解题核心步骤： 第一步：确定试验的所有等可能的结果总数n； 第二步：确定事件A包含的符合条件的结果数m； 第三步：代入公式，化简得到最终概率。 3.核心技巧：计算结果数时，确保所有结果是等可能的，避免结果权重不同导致错误；最终概率结果需化为最简分数，也可表示为小数（依题目要求而定）。 4.易错点：总结果数或符合条件的结果数统计错误，导致概率计算偏差；忽略“等可能结果”的前提，对非等可能的结果直接套用公式，导致错误；概率结果未化为最简分数，不符合答题规范。 变式演练 【变式01】（2025·上海徐汇·二模）小徐在端午节煮了20个粽子，其中10个鲜肉粽，6个红枣粽，剩下的是赤豆粽，这些粽子除馅料不同外其它都相同．小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是__________． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率计算，根据题目信息，计算出赤豆棕的数量，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵20个粽子中有个赤豆粽， ∴小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是， 故答案为：． 【变式02】（2025·上海崇明·二模）一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是_______． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率公式的运用，准确计算是解题的关键． 用白球的个数除以总个数即可得解． 【详解】共有9个球在盒子中，其中4个白球， 从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是； 故答案是． 【变式03】（2025·上海浦东新·二模）有一枚质地均匀的正方体骰子，它的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6六个数字，掷这枚骰子，向上的一面出现合数的概率是________． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、质数与合数 【分析】本题考查了概率公式．由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为1、2、3、4、5、6，共有6种可能，合数为4，6，共2种，则根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有6种可能，合数为4，6，共2种， 所以这个骰子向上一面的数字是合数概率是． 故答案为：． 【变式04】（2025·上海·二模）布袋里有2个红球、3个黄球、4个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋里摸出一个球恰好为红球的概率是______． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查概率的计算，理解并掌握随机事件概率的计算公式是解题的关键． 根据概率的计算即可求解． 【详解】解：摸出一个球恰好为红球的概率是， 故答案为：． 【变式05】（2025·上海虹口·二模）某学校的一个小品节目入选区艺术节汇演．参与该小品表演的全体成员中，六年级学生有4名，七年级学生有6名，八年级学生有5名，九年级学生有3名．如果随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，那么选到九年级学生的概率是___________． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用九年级学生人数除以学生总数即可得到答案． 【详解】解；∵一共有名学生，其中九年级有3名学生，且每个学生被选到的概率相同， ∴随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，选到九年级学生的概率， 故答案为：． 题●型●破●译 题型06 两步及以上概率的列表法/树状图法计算 典例引领 【典例01】（2025·上海嘉定·二模）在一个不透明的口袋中装有个球，分别标记为，，，，它们除数字外无其他差别，小明从口袋中随机摸出一个球后不放回，再由小红从剩余的球中随机摸出一个球，则摸到的数字小红比小明大的概率是______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中摸到的数字小红比小明大的结果有：，，，，，，共种， 摸到的数字小红比小明大的概率为． 故答案为：． 【典例02】（2025·上海·二模）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，掷3次骰子，3次掷出的点数全是素数的概率是___________． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查树状图法求概率，画出树状图，利用概率公式进行计算即可，正确的画出树状图，是解题的关键． 【详解】解：每次掷骰子有 6 种等可能结果，其中点数为 “素数” 的有 3 种，“非素数” 的有 3 种，点数为 “素数” 和点数为 “非素数”等可能出现， 用 S 代表素数结果，N代表非素数结果，画出树状图如图： 由图，共有8种等可能的结果，其中3次掷到的点数全是素数的结果只有1种， 故； 故答案为：． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答题的高频核心考点，难度系数0.65-0.85，是概率模块的核心拉分点，每年中考大概率会出1道小题或1道解答题，对应文档核心知识点为列表法或树状图法求概率，核心考查不放回/放回试验的两步及以上概率计算，结合游戏、生活场景命题，是概率模块的重点考查内容。 方法技能 1.核心方法： 列表法：适用于两步试验，能清晰列出所有等可能的结果，横向、纵向分别表示两步试验的结果； 树状图法：适用于两步及以上试验，能清晰展示试验的步骤和所有结果，尤其适合三步及以上的概率计算。 2.解题核心步骤： 第一步：明确试验是“放回”还是“不放回”，确定每一步的结果数； 第二步：用列表法或树状图法列出所有等可能的结果，统计总结果数n； 第三步：找出符合条件的结果，统计数量m； 第四步：代入概率公式，化简得到最终结果。 3.核心区别： 放回试验：第一步和第二步的总结果数相同，如抽牌后放回再抽，总结果数为n×n； 不放回试验：第二步的总结果数比第一步少1，如抽牌后不放回再抽，总结果数为n×(n-1)。 4.易错点：混淆“放回”和“不放回”试验，导致总结果数统计错误；列表或画树状图时，遗漏部分结果，导致符合条件的结果数统计偏差；对“至少”“至多”“恰好”等关键词理解错误，导致符合条件的结果数统计错误。 变式演练 【变式01】（2025·上海·中考真题）小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里有2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为_____． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用小杰手中卡牌上的数字与小明手中卡牌上的数字相同的卡牌数除以小杰的卡牌总数即可得到答案． 【详解】解：∵小杰一共有4种卡牌，其中有2张卡牌上的数字与小明手中卡片的数字相同， ∴小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为， 故答案为：． 【变式02】（2024·江苏徐州·一模）如图，某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键；先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人从相邻闸机检票进站的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设三个闸口分别用A、B、C表示，列表格如下： A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的结果有4种， 甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率为， 故答案为：． 【变式03】（2025·上海嘉定·二模）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取张，那么乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是__． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握列表法或画树状图法求概率的方法． 画树状图得到共有种等可能的结果，其中乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果有种， 乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是， 故答案为：． 【变式04】（2025·上海宝山·二模）从2，3，5三个数中，随机选取两个不同的数，其积是偶数的概率是______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：根据题意列表如下， 2 3 5 2 3 5 共有6种等可能的结果，其中积是偶数的结果有，，，共4种， ∴其积是偶数的概率是：， 故答案为： 【变式05】（2024·上海徐汇·三模）某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是________． 【答案】/0.6 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 先画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有20种等可能的情况数，选出的2位同学恰好为一男一女的有12种， 则主持人是一男一女的概率为． 故答案为：． 题●型●破●译 题型07 已知概率求数量的方程应用 典例引领 【典例01】（2025·上海奉贤·三模）布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是________． 【答案】4 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题考查了概率的概念：所有等可能的结果有n个，其中某事件占m个，则这个事件的概率．根据概率的概念建立等量关系，解方程即可． 【详解】解：设布袋中有n个白球， 根据题意，得， 解得：， 则布袋中白球有4个； 故答案为：4． 【典例02】（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有___________个绿球． 【答案】3 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、已知概率求数量 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有个，则根据概率计算公式得到球的总数为个，则白球的数量为个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可． 【详解】解：设袋子中绿球有个， ∵摸到绿球的概率是， ∴球的总数为个， ∴白球的数量为个， ∵每种球的个数为正整数， ∴，且x为正整数， ∴，且x为正整数， ∴x的最小值为1， ∴绿球的个数的最小值为3， ∴袋子中至少有3个绿球， 故答案为：3． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、选择题的高频考点，难度系数0.85-0.94，是概率与方程结合的核心考点，每年中考大概率会出1道小题，对应文档核心知识点为已知概率求数量、分式方程的实际应用，核心考查根据概率公式列方程（或不等式），求解未知数量，考查形式灵活，可直接求数值，也可求符合条件的数值范围，属于基础得分考点。 方法技能 1.解题核心步骤： 第一步：设未知数，通常设未知数量为x； 第二步：根据概率公式，列出关于x的方程（或不等式）； 第三步：解方程（或不等式），得到未知数的取值； 第四步：检验结果是否符合实际意义（如球的个数必须为正整数），确定最终答案。 2.核心公式变形：由，可得，，其中n为总数量，m为事件A包含的数量。 3.核心技巧：对于不等式类问题，先解出未知数的取值范围，再结合实际场景（正整数），写出符合条件的数值。 4易错点：列方程时，总数量忘记加上未知数，导致分母错误，方程列错；解分式方程时，忘记检验，导致出现增根；忽略实际意义，解出的未知数为负数、小数，不符合物品数量为正整数的要求。 变式演练 【变式01】一个不透明的口袋中有2个红球，1个黄球，个白球（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，摸出白球的概率大于，写出一个符合条件的的值为__________． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题考查了概率公式计算概率，解题关键是熟练运用概率公式计算．根据概率公式得出不等式，求出的范围即可． 【详解】解：由题意可得：，是正整数， 解得：， 则取； 故答案为：4（答案不唯一）． 【变式02】（2025·上海闵行·二模）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入______个红球． 【答案】2 【知识点】根据概率公式计算概率、分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了概率的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、根据概率公式列出分式方程是解题的关键． 设需往布袋里加入个红球．再根据题意列分式方程期间即可． 【详解】解：设需往布袋里加入个红球． 由题意可得：，解得：． 经检验，是分式方程的解． 答：需往布袋里加入2个红球． 故答案为2． 【变式03】（2025·上海普陀·二模）在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是________． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率公式，根据题意和题目中的数据，可以计算出任意摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】解：由题意可得， 任意摸出一个球恰好为红球的概率， 故答案为：． 题●型●破●译 题型08 统计与概率的综合应用 典例引领 【典例01】（2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 【答案】(1) (2)夫妇基因型均为，概率为 (3) (4) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据题意，两人无法生出基因为的孩子，即可得出结果； （2）根据单眼皮为隐性，双眼皮为显性，进而得到夫妇的基因为，列表法求出概率即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可； （4）根据题意，得到男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为，再求出男方的基因型为时，生出一个直发、单眼皮孩子的概率，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为， ∴无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子， ∴； （2）解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子， ∴孩子的基因型为， ∴夫妇的基因型均为， 列表如下： A a A a 共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种， ∴； （3）解：由题意，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种， ∴； （4）解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为， ∴男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为， 当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发， 当男方的基因型为时，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种， ∴， 又∵男方的基因型为的概率为， ∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的必考核心考点，难度系数0.65-0.85，每年中考固定1道解答题考查，分值10分左右，是统计与概率模块的综合核心考点，通常第一问考查统计图表的计算，第二问考查概率的计算，将统计与概率两大模块结合命题，是中考的中档拉分点。 方法技能 1.解题核心逻辑： 第一步：结合统计图表的关联数据，计算抽样总人数，补全各项未知数据； 第二步：根据问题要求，完成频数、频率、圆心角度数的相关计算； 第三步：明确概率试验的规则，用列表法或树状图法列出所有等可能的结果； 第四步：统计符合条件的结果数，代入概率公式计算最终结果。 2.核心技巧：统计部分的计算是概率部分的基础，需确保总人数、各项人数计算准确，避免后续概率计算出错；概率部分的试验多为不放回抽取，需注意树状图的绘制规范，避免结果遗漏。 3.易错点：统计部分的总人数计算错误，导致后续各项数据全部偏差；扇形统计图的圆心角度数计算时，误将人数直接乘以360°，忽略占比换算；概率部分的树状图/列表绘制时，混淆放回与不放回试验，导致总结果数错误。 变式演练 【变式01】（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、求加权平均数 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 题●型●破●译 题型09 圆与三角形的综合计算与证明 典例引领 【典例01】（2025·上海·二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，概率公式，掌握相关知识点是解题关键． 先逐一判断每个图形，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：菱形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 平行四边形：仅为中心对称图形，不是轴对称图形； 矩形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 等腰梯形：仅为轴对称图形，不是中心对称图形； 正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 直角梯形：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； 符合条件的图形有菱形、矩形、正方形，共3个， 将“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”记为：“A，B，C，D，E，F”， 从六张卡片中任选两张卡片，列表如下： A B C D E F A B C D E F 由表可知，共30种情况，符合条件的有6种， ∴概率为， 故选A． 【典例02】（2025·上海静安·二模）同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是______． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率以及一元二次方程的性质．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果和得到的方程有两个相等的实数根的结果数，再用概率公式可得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∴共可以得到36个不同形式的一元二次方程，其中得到的方程有两个相等的实数根的有：共2种， ∴得到的方程有两个相等的实数根的概率为， 故答案为：． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的高频创新考点，难度系数0.65-0.85，是概率模块与几何、代数知识结合的综合考点，每年中考大概率会出1道小题，对应文档核心知识点为轴对称图形的识别、中心对称图形的识别、根据判别式判断一元二次方程根的情况、列表法或树状图法求概率，核心考查结合几何图形性质、代数知识，先筛选符合条件的结果，再计算概率，是中考的中档拉分考点。 方法技能 1.解题核心步骤： 第一步：结合几何图形的定义与性质、代数知识（根的判别式、函数性质等），筛选出符合条件的结果； 第二步：确定试验的所有等可能的结果总数n； 第三步：统计符合条件的结果数m； 第四步：代入概率公式，化简得到最终结果。 2.核心高频结合点： 概率与轴对称/中心对称图形的识别结合； 概率与三角形、四边形的性质结合； 概率与一元二次方程根的判别式结合； 概率与函数图像性质结合。 3.易错点：几何图形的性质、代数知识掌握不牢，导致符合条件的结果数筛选错误；总结果数统计错误，尤其是不放回试验的结果数计算；一元二次方程根的判别式公式记错，导致符合条件的数值筛选错误。 变式演练 【变式01】（2025·上海松江·二模）一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是______． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据题意找到事件中的部分和整体，利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是：， 故答案为：． 【变式02】（2025·上海金山·二模）如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格（此方格无地雷）相邻的方格记为相邻区域（框线内部），数字3表示在此区域有3颗地雷．那么小王点击此区域的任一方格，遇到地雷的概率是_________． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率求解公式，解题的关键是根据题意得出相邻区域的方格数量和地雷的数量． 根据题意得到与标号3的方格相邻的方格数量和地雷的数量，再根据概率公式求解，即可解题． 【详解】解：与标号3的方格（此方格无地雷）相邻的方格有个，其中有3颗地雷， 那么小王点击此区域的任一方格，遇到地雷的概率是； 故答案为：． 【变式03】（2025·上海黄浦·二模）木盒中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球只是颜色不同．从木盒中任意摸出1个球，下列事件发生的概率最小的是（   ） A．摸出一个红球 B．摸出一个黄球 C．摸出一个白球 D．摸出一个黄球或白球 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】此题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比． 求得所有球的总数，分别找到每种情况的个数，然后利用概率公式直接求解即可． 【详解】解：A. 摸出一个红球的概率为； B. 摸出一个黄球的概率为； C. 摸出一个白球的概率为； D. 摸出一个黄球或白球的概率为； ∴摸出一个白球的概率最小， 故选：C． 【变式04】（2024·上海杨浦·二模）布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．求出事件全部结果数及摸出的小球所标数字是合数的全部结果数，由概率计算公式即可求得答案． 【详解】解：∵共五个数，合数为4，共1个， ∴从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是合数的概率为， 故答案为：． 题●型●训●练 1．如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得 【详解】画树状图得：    ∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况， ∴这个两位数是素数的概率为：=． 故选A 【点睛】本题考核知识点：概率.解题关键点：根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况. 2．（2025·上海静安·二模）甲、乙两家酒店规模相当，去年月的月盈利折线统计图如图所示．下列说法中，不正确的是（    ） A．甲酒店每月盈利呈现不断增长的趋势 B．乙酒店经营状况有可能很快超过甲酒店 C．甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数 D．甲酒店月盈利的方差小于乙酒店月盈利的方差 【答案】D 【知识点】折线统计图、求一组数据的平均数、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查了折线统计图、方差、平均数等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据折线统计图、方差、平均数逐项分析计算即可解答． 【详解】解：A．观察甲酒店折线统计图，从2月到7月，其盈利数值依次为1，2，3，3，4，5（单位：十万元） ，呈现不断增长的趋势，该选项正确，不符合题意； B．乙酒店在7月盈利为4（十万元），且之前盈利有波动变化，若后续经营策略调整得当，盈利持续增长，是有可能很快超过甲酒店的，该选项正确，不符合题意； C．甲酒店月盈利平均数为；乙酒店月盈利平均数为；由，则甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数，该选项正确，不符合题意； D．甲酒店月盈利方差为，乙酒店月盈利方差为；由，则甲酒店月盈利的方差大于乙酒店月盈利的方差，该选项错误，符合题意． 故选D． 3．（2025·上海·二模）下列是一组数据：2，2，2，3，4，7，9，9，114514，可以较好反映这组数据平均水平的关于此数据的值是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【知识点】利用平均数做决策、运用中位数做决策、运用众数做决策、运用方差做决策 【分析】本题考查利用中位数作决策，掌握中位数的意义是解决本题的关键． 根据平均数，众数，中位数和方差表示的意义和影响因素进行判断即可． 【详解】解：2，2，2，3，4，7，9，9，114514， 众数为2，数值过小，不能很好地反映这组数据平均水平， 方差表示波动情况，它和平均数一样受极端值的影响大，不能很好地表示平均水平， ∴中位数不受极端值影响，能较好地代表中间位置， 故选D． 4．（2025·上海松江·二模）某商店在一周内卖出某品牌运动鞋的尺寸记录如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【知识点】运用中位数做决策、运用众数做决策、运用方差做决策 【分析】本题主要考查统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数以及方差．根据题意，商店老板最应关注的销售数据是众数． 【详解】解：如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的众数． 故选：B． 5．（2025·上海虹口·二模）小明对学校戏剧社20名成员进行年龄调查，结果如表所示，其中有部分数据被墨迹遮挡，那么关于这20名成员年龄的统计量中，能够分析得出的是（　　） 年龄（岁） 人数（名） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差． 【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，13、14岁的人数和为（人）， 则这组数据的中位数为（岁）， 故选：C． 6．（2026·上海杨浦·二模）有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【知识点】概率的其他应用 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 7．（2025·上海崇明·二模）已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是，那么第六组的频数是______． 【答案】8 【知识点】根据数据描述求频数、根据数据描述求频率 【分析】本题主要考查了对频率、频数灵活运用，注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1，比较简单．首先根据频率频数总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算． 【详解】解：根据题意得：第一组到第四组的频率和是： ， 又∵第五组的频率是， ∴第六组的频率为， ∴第六组的频数为：． 故答案为：8． 8．（2025·上海嘉定·二模）一组数据，，，，，若添加一个数据，则下列统计量中，没有发生变化的是（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题主要考查众数、中位数、方差、平均数，分别根据平均数，中位数，众数和方差的定义计算出添加数据前后的平均数，中位数，众数和方差即可得到答案． 【详解】解：A、原平均数是： ， 添加一个数据后的平均数是： ， 平均数发生变化，故此选项不符合题意； B、原众数是和；添加一个数据后的众数是：； 众数发生变化，故此选项不符合题意； C、原中位数是 ，添加一个数据后的中位数是； 中位数不发生变化，故此选项符合题意； D、原方差是： ， 添加一个数据后的方差是： ， 方差发生了变化，故此选项不符合题意． 故选：C． 9．（2025·上海浦东新·二模）小明乔迁的新居使用的是分时电表，按平时段（~）和谷时段（~次日）分别计费．为了解年月新居的平时段用电量，小明连续天，每天记录了电表平时段的读数，如下表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 日 平时段的读数 （单位：千瓦时） 根据表格提供的信息，解答下列问题： (1)小明家这几天中，平时段单日用电量最大的那天的用电量是________千瓦时； (2)计算小明家月份平时段用电总量约是多少千瓦时？ (3)小明计算出这几天平时段单日用电量的中位数和众数都是千瓦时，你认为正确吗？请简要说明理由． 【答案】(1) (2)月份平时段用电总量约为千瓦时． (3)小明的说法不正确，理由见解析． 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、求中位数、求众数 【分析】（1）分别计算每日平时段用电量，比较后即可得到平时段单日用电量最大的那天的用电量； （2）计算出这几天的用电总量，再结合月的总天数进行计算即可； （3）将数据从小到大排列后，根据中位数和众数的定义即可得解． 【详解】（1）解：分别计算每日平时段用电量： 周日：； 周一：； 周二：； 周三：； 周四：； 周五：； 周六：， 比较可得用电量最大的是周五，为千瓦时． 故答案为：． （2）解：这天平时段用电总量：千瓦时， 月份有天，则月份平时段用电总量约为千瓦时． 答：月份平时段用电总量约为千瓦时． （3）解：这几天平时段日用电量，从小到大排序为、、、、、、， 中位数：数据个数为，是奇数个，中位数取最中间的数据，即千瓦时； 出现的次数最多，则众数是千瓦时． 所以小明的说法不正确． 【点睛】本题考查的知识点是有理数的运算法则、中位数定义、众数定义，解题关键是熟练掌握中位数和众数的定义． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 统计与概率 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 统计量的计算与决策应用 题型02 事件的分类与概率的意义理解 题型03 统计图表的信息关联与综合计算 题型04 用样本估计总体的实际应用 题型05 一步概率的公式法计算 题型06 两步及以上概率的列表法/树状图法计算 题型07 已知概率求数量的方程应用 题型08 统计与概率的综合应用 题型09 圆与三角形的综合计算与证明 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 统计量的计算与决策应用 典例引领 【典例01】（2024·上海·中考真题）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 【典例02】已知一组数据：13，11，8，10，10，这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．10，9 B．10，10．4 C．10，8 D．10，10 方法透视 考向解读 本考点是统计模块的核心基础，是上海中考选择、填空题的高频必考考点，难度系数0.65-0.94，对应文档核心知识点为求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差、利用平均数/中位数/众数/方差做决策，核心考查四个核心统计量的基础计算、结合实际场景的决策分析，是统计模块所有计算的基础，每年中考固定1道小题考查，属于必拿分考点。 方法技能 1.核心统计量定义与计算： 平均数：一组数据的总和除以数据个数，反映数据的整体平均水平；加权平均数需结合权重计算，是上海中考高频考查形式。 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排序后，奇数个数据取中间位置的数，偶数个数据取中间两个数的平均数，反映数据的中等水平，不受极端值影响。 众数：一组数据中出现次数最多的数，可多个，反映数据的集中趋势。 方差：，反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定。 2.决策应用核心原则： 比较整体水平：优先看平均数，平均数越高/越低（依场景而定），整体表现越好； 比较稳定性：优先看方差，方差越小，数据波动越小，表现越稳定； 反映大众水平：优先看中位数、众数，不受极端值影响。 3.解题核心技巧：计算中位数必须先对数据排序，避免直接取原数据中间位置的数导致错误；方差计算需先求准平均数，再依次计算离差平方和的平均值。 4.易错点：计算中位数时未对数据排序，直接取原数据中间值，导致结果错误；误认为方差越大，数据越稳定，颠倒方差的实际意义；一组数据的众数可能不止一个，忽略多个众数的情况。 变式演练 【变式01】（2025·上海·中考真题）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85 【变式02】（2025·上海闵行·二模）为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取名学生的中长跑成绩（满分分）绘制成表： 成绩分 人数人 关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（ ） A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数 【变式03】（2025·上海闵行·二模）某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下面的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（    ）． 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A．平均数和中位数 B．平均数和方差 C．众数和中位数 D．众数和方差 【变式04】（2025·上海奉贤·三模）在一次射击比赛选拔赛中，甲、乙、丙、丁四人的射击成绩如表所示，那么在这次比赛中，成绩又好且又稳定的选手是（   ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩（环） 9 9 8.5 8.5 标准差（环） 1.2 1.5 1.2 1.5 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式05】（2025·上海嘉定·二模）某校在“阅读之星”的评选活动中，5位评委给小王同学的综合表现打分，分别是：、、、、．如果每位评委的打分都提高，那么比较前后两组数据，统计量一定不会发生改变的是（   ）． A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数 题●型●破●译 题型02 事件的分类与概率的意义理解 典例引领 【典例01】（2025·上海徐汇·二模）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是必然事件 B．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式 【典例02】（2025·上海宝山·二模）“任意画一个三角形，它的内角和为”属于（    ） A．必然事件； B．随机事件 C．不可能事件 D．以上都不是 方法透视 考向解读 本考点是概率模块的入门必考点，是上海中考选择题的高频基础考点，难度系数0.85-0.94，对应文档核心知识点为事件的分类、概率的意义理解、判断全面调查与抽样调查，核心考查必然事件、不可能事件、随机事件的区分，概率的实际意义，全面调查与抽样调查的适用场景，每年中考大概率会出1道选择题，属于必拿分的基础考点。 方法技能 1.事件的核心分类： 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，发生概率为1； 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，发生概率为0； 随机事件：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，发生概率在0到1之间。 2.概率的核心意义：概率表示随机事件发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性越高，但不代表事件一定会发生；概率越小，事件发生的可能性越低，不代表事件一定不会发生。 3.调查方式的选择： 全面调查（普查）：适用于调查范围小、无破坏性、数据要求精准的场景； 抽样调查：适用于调查范围大、具有破坏性、无法全面调查的场景。 4.易错点：误认为概率为50%的事件，一定会发生一半的次数，误解概率的可能性意义；混淆必然事件和随机事件，将“大概率发生的事件”当作必然事件；对具有破坏性的调查场景，误用全面调查，忽略抽样调查的适用条件。 变式演练 【变式01】（2025·上海崇明·二模）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 【变式02】（2025·上海杨浦·二模）小王为了统计某一试验结果出现的频率，利用计算机进行模拟试验，并绘制出如图所示的统计图，那么符合这一试验结果的可能是（） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率 C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点朝上的概率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点朝上的概率 题●型●破●译 题型03 统计图表的信息关联与综合计算 典例引领 【典例01】（2025·上海普陀·三模）2021年1月1日起《中华人民共和国民法典》正式施行．某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在4000名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：A．十分清楚；B．清楚；C．不太清楚；D．不清楚．图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图． (1)求此次接受随机抽样调查的人数； (2)由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有________人． 【典例02】（2025·上海浦东新·三模）为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前六个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05、0.035、0.025，由此可估计全区初中毕业生的体重在50到55千克的学生人数约为__________人． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的必考核心考点，难度系数0.65-0.85，对应文档核心知识点为条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数分布直方图的信息关联与计算，核心考查双统计图的信息互补、频数/频率/总量的换算，每年中考固定1道解答题考查，分值10分左右，是统计模块的核心得分点。 方法技能 1.核心统计图换算公式： 扇形统计图：某项数量=总量×该项所占百分比；某项百分比=该项数量÷总量×100%；所有项百分比之和为1；圆心角度数=360°×该项所占百分比。 条形统计图：能直接得到各项的具体数量，总量=各项数量之和。 频数分布直方图：频率=频数÷总数；频数=总数×频率；小长方形面积=频率；小长方形高=频率÷组距；所有小长方形面积之和为1。 折线统计图：能反映数据的变化趋势，相邻两点的差值为变化量。 2.双统计图解题核心步骤： 第一步：找到两个统计图中都已知的项（既有具体数量，又有百分比），计算抽样调查的总数量； 第二步：根据总量，分别计算各项的未知数量、未知百分比，补全统计图； 第三步：结合问题，完成频数、频率、百分比、圆心角度数的相关计算。 3.易错点：频数分布直方图中，误将小长方形的高当作频率，忽略组距的换算，导致频率计算错误；扇形统计图中，误将百分比直接当作具体数量，未结合总量计算；补全统计图时，总量计算错误，导致后续所有数据偏差。 变式演练 【变式01】（2025·上海·二模）五种不发生反应的化合物Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、V在一个密封的容器中，经过物质检验，得到如下两张图．如果条形图中每个横线刻度间的距离相等，那么化合物Ⅱ的质量是___________． 【变式02】（2025·上海普陀·三模）电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军．为了解大家对电影的评价情况，小舟同学从某电影院观影后的观众中，随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于8分（电影评分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)求出C组数据的中位数和众数； (2)补全条形统计图； (3)若共有800名观众参加了此次评分调查，估计此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数是多少？ 【变式03】（2025·上海青浦·二模）某学校对学生课余时间经常参加的四种球类运动情况做了调查，并将调查数据整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图．如果参加篮球运动的人数为80人，那么该校参加各种球类运动的学生共有_______人． 【变式04】（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 【变式05】（2025·上海金山·二模）某企业10月份的产值的分配，画成不完整的扇形图和条形图如图所示．那么该企业的税前利润是_______万元． 题●型●破●译 题型04 用样本估计总体的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海·中考真题）为了解乘客到达高铁站后离开的方式．某地开展问卷调查，共收到有效答复2000张，调查结果如图所示．如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人，那么当地每天乘坐出租车离开的人数大约为_____． 【典例02】（2024·上海·中考真题）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有__________人．    方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空、解答题的高频必考考点，难度系数0.85-0.94，是统计模块的核心应用考点，几乎每道统计大题都会涉及该知识点，对应文档核心知识点为由样本所占百分比估计总体的数量、用样本的某种“率”估计总体相应的“率”，核心考查通过样本的频率、占比、“率”来估计总体的对应数量，考查形式灵活，可单独成小题，也可融入统计大题考查，属于基础得分考点。 方法技能 1.核心公式： 总体中对应项的数量=总体总数量×样本中该项的频率（占比）； 样本中该项的频率（占比）=样本中该项的数量÷样本总数量。 2.解题核心步骤： 第一步：确定样本总数量和样本中目标项的数量，计算目标项的频率/占比； 第二步：明确总体的总数量； 第三步：用总体总数量乘以样本频率，得到总体中目标项的估计数量。 3.核心应用场景：通过样本合格率估计总体合格人数；通过样本喜好占比估计总体对应喜好的人数；通过样本的平均数估计总体的平均数。 4易错点：样本中目标项的数量统计错误，导致占比计算偏差；总体数量的单位换算错误，如“万”和“个”的换算，导致结果数量级错误；误将样本的频数直接当作总体的频数，忽略占比换算。 变式演练 【变式01】（2025·上海·二模）为了解同学们对数学考卷难度的看法，桃李中学数学教研组进行了调研活动．学校随机对若干名学生进行了调查，绘制出了下表，部分内容不慎被墨水涂黑．已知认为二次函数较难的同学占，如果全校共有1500个学生，那么估计认为动点问题较难的学生有_____个． 类别 动点问题 二次函数 相似三角形 翻折旋转问题 认为较难人数 【变式02】（2025·上海奉贤·三模）某校为满足学生午餐的多样性，将学生午餐分成了A、B、C三类供学生自主选择．在前期的调研中，从全校1500人中随机抽取了100人进行问卷调查，并将问卷的结果整理后绘制成图．根据该数据，估计全校约有________人会选择C类午餐． 【变式03】（2025·上海宝山·二模）为了解学生的消防安全意识，学校随机抽取了22名学生进行相关知识测试，测试成绩如表所示．已知全校共有900名学生，如果成绩不低于95分为“优秀”，请估计该校学生中消防安全意识水平为“优秀”的人数是______． 成绩（单位：分） 75 80 85 90 95 100 人数 1 1 4 5 6 5 【变式04】（2025·上海松江·二模）某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有_______人． 【变式05】（2025·上海杨浦·二模）某中学为了了解全校600名学生平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校50名学生一月内平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，结果如下表： 时间（分） 40 45 50 55 60 65 70 人数 10 10 8 6 5 6 5 请估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有______人． 题●型●破●译 题型05 一步概率的公式法计算 典例引领 【典例01】四个相同的烧杯中，分别装有氢氧化钠溶液、稀硫酸溶液、氢氧化钙溶液及蒸馏水，从中任选一个烧杯滴入几滴酚酞溶液，则该烧杯的溶液变成红色的概率是___________． 【典例02】（2025·上海崇明·三模）从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到K的概率是_____． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、选择题的必考基础考点，难度系数0.85-0.94，是概率模块的核心基础，每年中考固定1道小题考查，对应文档核心知识点为根据概率公式计算概率，核心考查概率公式的基础应用，结合代数、几何、化学等跨学科场景，考查一步随机事件的概率计算，属于必拿分考点。 方法技能 1.概率核心公式：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。 2.解题核心步骤： 第一步：确定试验的所有等可能的结果总数n； 第二步：确定事件A包含的符合条件的结果数m； 第三步：代入公式，化简得到最终概率。 3.核心技巧：计算结果数时，确保所有结果是等可能的，避免结果权重不同导致错误；最终概率结果需化为最简分数，也可表示为小数（依题目要求而定）。 4.易错点：总结果数或符合条件的结果数统计错误，导致概率计算偏差；忽略“等可能结果”的前提，对非等可能的结果直接套用公式，导致错误；概率结果未化为最简分数，不符合答题规范。 变式演练 【变式01】（2025·上海徐汇·二模）小徐在端午节煮了20个粽子，其中10个鲜肉粽，6个红枣粽，剩下的是赤豆粽，这些粽子除馅料不同外其它都相同．小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是__________． 【变式02】（2025·上海崇明·二模）一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是_______． 【变式03】（2025·上海浦东新·二模）有一枚质地均匀的正方体骰子，它的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6六个数字，掷这枚骰子，向上的一面出现合数的概率是________． 【变式04】（2025·上海·二模）布袋里有2个红球、3个黄球、4个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋里摸出一个球恰好为红球的概率是______． 【变式05】（2025·上海虹口·二模）某学校的一个小品节目入选区艺术节汇演．参与该小品表演的全体成员中，六年级学生有4名，七年级学生有6名，八年级学生有5名，九年级学生有3名．如果随机选取参加该小品表演的1位成员接受采访，那么选到九年级学生的概率是___________． 题●型●破●译 题型06 两步及以上概率的列表法/树状图法计算 典例引领 【典例01】（2025·上海嘉定·二模）在一个不透明的口袋中装有个球，分别标记为，，，，它们除数字外无其他差别，小明从口袋中随机摸出一个球后不放回，再由小红从剩余的球中随机摸出一个球，则摸到的数字小红比小明大的概率是______． 【典例02】（2025·上海·二模）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，掷3次骰子，3次掷出的点数全是素数的概率是___________． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答题的高频核心考点，难度系数0.65-0.85，是概率模块的核心拉分点，每年中考大概率会出1道小题或1道解答题，对应文档核心知识点为列表法或树状图法求概率，核心考查不放回/放回试验的两步及以上概率计算，结合游戏、生活场景命题，是概率模块的重点考查内容。 方法技能 1.核心方法： 列表法：适用于两步试验，能清晰列出所有等可能的结果，横向、纵向分别表示两步试验的结果； 树状图法：适用于两步及以上试验，能清晰展示试验的步骤和所有结果，尤其适合三步及以上的概率计算。 2.解题核心步骤： 第一步：明确试验是“放回”还是“不放回”，确定每一步的结果数； 第二步：用列表法或树状图法列出所有等可能的结果，统计总结果数n； 第三步：找出符合条件的结果，统计数量m； 第四步：代入概率公式，化简得到最终结果。 3.核心区别： 放回试验：第一步和第二步的总结果数相同，如抽牌后放回再抽，总结果数为n×n； 不放回试验：第二步的总结果数比第一步少1，如抽牌后不放回再抽，总结果数为n×(n-1)。 4.易错点：混淆“放回”和“不放回”试验，导致总结果数统计错误；列表或画树状图时，遗漏部分结果，导致符合条件的结果数统计偏差；对“至少”“至多”“恰好”等关键词理解错误，导致符合条件的结果数统计错误。 变式演练 【变式01】（2025·上海·中考真题）小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里有2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为_____． 【变式02】（2024·江苏徐州·一模）如图，某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是______． 【变式03】（2025·上海嘉定·二模）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取张，那么乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是________． 【变式04】（2025·上海宝山·二模）从2，3，5三个数中，随机选取两个不同的数，其积是偶数的概率是______． 【变式05】（2024·上海徐汇·三模）某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是________． 题●型●破●译 题型07 已知概率求数量的方程应用 典例引领 【典例01】（2025·上海奉贤·三模）布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是________． 【典例02】（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有___________个绿球． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、选择题的高频考点，难度系数0.85-0.94，是概率与方程结合的核心考点，每年中考大概率会出1道小题，对应文档核心知识点为已知概率求数量、分式方程的实际应用，核心考查根据概率公式列方程（或不等式），求解未知数量，考查形式灵活，可直接求数值，也可求符合条件的数值范围，属于基础得分考点。 方法技能 1.解题核心步骤： 第一步：设未知数，通常设未知数量为x； 第二步：根据概率公式，列出关于x的方程（或不等式）； 第三步：解方程（或不等式），得到未知数的取值； 第四步：检验结果是否符合实际意义（如球的个数必须为正整数），确定最终答案。 2.核心公式变形：由，可得，，其中n为总数量，m为事件A包含的数量。 3.核心技巧：对于不等式类问题，先解出未知数的取值范围，再结合实际场景（正整数），写出符合条件的数值。 4易错点：列方程时，总数量忘记加上未知数，导致分母错误，方程列错；解分式方程时，忘记检验，导致出现增根；忽略实际意义，解出的未知数为负数、小数，不符合物品数量为正整数的要求。 变式演练 【变式01】一个不透明的口袋中有2个红球，1个黄球，个白球（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，摸出白球的概率大于，写出一个符合条件的的值为__________． 【变式02】（2025·上海闵行·二模）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入______个红球． 【变式03】（2025·上海普陀·二模）在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是________． 题●型●破●译 题型08 统计与概率的综合应用 典例引领 【典例01】（2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的必考核心考点，难度系数0.65-0.85，每年中考固定1道解答题考查，分值10分左右，是统计与概率模块的综合核心考点，通常第一问考查统计图表的计算，第二问考查概率的计算，将统计与概率两大模块结合命题，是中考的中档拉分点。 方法技能 1.解题核心逻辑： 第一步：结合统计图表的关联数据，计算抽样总人数，补全各项未知数据； 第二步：根据问题要求，完成频数、频率、圆心角度数的相关计算； 第三步：明确概率试验的规则，用列表法或树状图法列出所有等可能的结果； 第四步：统计符合条件的结果数，代入概率公式计算最终结果。 2.核心技巧：统计部分的计算是概率部分的基础，需确保总人数、各项人数计算准确，避免后续概率计算出错；概率部分的试验多为不放回抽取，需注意树状图的绘制规范，避免结果遗漏。 3.易错点：统计部分的总人数计算错误，导致后续各项数据全部偏差；扇形统计图的圆心角度数计算时，误将人数直接乘以360°，忽略占比换算；概率部分的树状图/列表绘制时，混淆放回与不放回试验，导致总结果数错误。 变式演练 【变式01】（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 题●型●破●译 题型09 圆与三角形的综合计算与证明 典例引领 【典例01】（2025·上海·二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·上海静安·二模）同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是______． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的高频创新考点，难度系数0.65-0.85，是概率模块与几何、代数知识结合的综合考点，每年中考大概率会出1道小题，对应文档核心知识点为轴对称图形的识别、中心对称图形的识别、根据判别式判断一元二次方程根的情况、列表法或树状图法求概率，核心考查结合几何图形性质、代数知识，先筛选符合条件的结果，再计算概率，是中考的中档拉分考点。 方法技能 1.解题核心步骤： 第一步：结合几何图形的定义与性质、代数知识（根的判别式、函数性质等），筛选出符合条件的结果； 第二步：确定试验的所有等可能的结果总数n； 第三步：统计符合条件的结果数m； 第四步：代入概率公式，化简得到最终结果。 2.核心高频结合点： 概率与轴对称/中心对称图形的识别结合； 概率与三角形、四边形的性质结合； 概率与一元二次方程根的判别式结合； 概率与函数图像性质结合。 3.易错点：几何图形的性质、代数知识掌握不牢，导致符合条件的结果数筛选错误；总结果数统计错误，尤其是不放回试验的结果数计算；一元二次方程根的判别式公式记错，导致符合条件的数值筛选错误。 变式演练 【变式01】（2025·上海松江·二模）一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是______． 【变式02】（2025·上海金山·二模）如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格（此方格无地雷）相邻的方格记为相邻区域（框线内部），数字3表示在此区域有3颗地雷．那么小王点击此区域的任一方格，遇到地雷的概率是_________． 【变式03】（2025·上海黄浦·二模）木盒中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球只是颜色不同．从木盒中任意摸出1个球，下列事件发生的概率最小的是（   ） A．摸出一个红球 B．摸出一个黄球 C．摸出一个白球 D．摸出一个黄球或白球 【变式04】（2024·上海杨浦·二模）布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______． 题●型●训●练 1．如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（       ） A． B． C． D． 2．（2025·上海静安·二模）甲、乙两家酒店规模相当，去年月的月盈利折线统计图如图所示．下列说法中，不正确的是（    ） A．甲酒店每月盈利呈现不断增长的趋势 B．乙酒店经营状况有可能很快超过甲酒店 C．甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数 D．甲酒店月盈利的方差小于乙酒店月盈利的方差 3．（2025·上海·二模）下列是一组数据：2，2，2，3，4，7，9，9，114514，可以较好反映这组数据平均水平的关于此数据的值是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 4．（2025·上海松江·二模）某商店在一周内卖出某品牌运动鞋的尺寸记录如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 5．（2025·上海虹口·二模）小明对学校戏剧社20名成员进行年龄调查，结果如表所示，其中有部分数据被墨迹遮挡，那么关于这20名成员年龄的统计量中，能够分析得出的是（　　） 年龄（岁） 人数（名） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差． 6．（2026·上海杨浦·二模）有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 7．（2025·上海崇明·二模）已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是，那么第六组的频数是______． 8．（2025·上海嘉定·二模）一组数据，，，，，若添加一个数据，则下列统计量中，没有发生变化的是（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 9．（2025·上海浦东新·二模）小明乔迁的新居使用的是分时电表，按平时段（~）和谷时段（~次日）分别计费．为了解年月新居的平时段用电量，小明连续天，每天记录了电表平时段的读数，如下表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 日 平时段的读数 （单位：千瓦时） 根据表格提供的信息，解答下列问题： (1)小明家这几天中，平时段单日用电量最大的那天的用电量是________千瓦时； (2)计算小明家月份平时段用电总量约是多少千瓦时？ (3)小明计算出这几天平时段单日用电量的中位数和众数都是千瓦时，你认为正确吗？请简要说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $