第六单元 长方体和正方体 A卷 母子题培优专项卷（二）-【王朝霞培优100分】2025-2026学年五年级数学下册同步单元卷（苏教版）

培优100分数学五年级下册SJ版 第六单元长方体和正方体 A卷 母子题培优专项卷（二） 本单元长方体和正方体在小学数学试卷占16分左右，常考考点中，高的变化引起表面积和体积的变化、 用抓不变量法解决实际问题、切割拼接问题、水未溢出的浸没问题等是试卷中的重难点，也是最容易失分的 地方。在日常学习中，紧抓重难失分点，是期末冲满分、进阶培优的关键。请同学们先做母题，学习答题方 法或策略，再完成对应的子题。加油吧！ 威 ≈重难点1高的变化引起表面积和体积的变化 雪 母题教材第102页带？题变式一个长方体，如果高增加3厘米， 就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长 弥 方体的体积是多少立方厘米？ 封 一培优攻略 要 一个长方体的高增加或减 题 少后，上面和下面的面积 没有变化，增加或减少的 宝 子题1一个长方体，如果长减少2分米，剩下的部分正好是一个 表面积等于侧面4个小长 正方体。这时表面积比原来减少40平方分米。求原来长方体的体 方形的面积之和。求出这 积是多少立方分米？ 些小长方形的长和宽，就 能进一步求出原长方体的 长、宽、高。 子题2一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为3厘米和 2厘米的长方体，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米。 阁 原来长方体的体积是多少立方厘米？ ≈重难点2用抓不变量法解决实际问题 母题〔南京市期末〕有一个完全封闭的长方体容器，内壁的长是 20厘米，宽是16厘米，高是10厘米（厚度不计），平放时水面高7厘米 (如图1)。如果把这个容器竖起来放（如图2），水面高多少厘米？ 解决此类问题的关键是抓 20 cm 10cm 住不变量。如本题中，长方 20 cm 16 cm 16 cm 10cm 体容器无论如何放置，水的 图1 图2 体积是不会变的。根据水 的体积不变，结合长方体的 子题1一个密封的长方体水箱长25厘米，宽16厘米，高10厘米 体积公式和实际情况求出 (厚度不计)，里面水深是4厘米。如果将水箱的右侧面作为底面进 水面高度即可。 行放置，那么现在水深是多少厘米？ 25 cm 10 cm 4 cm L 16 cm 25 cm 16 cm 10 cm 子题2小华放学回家，看见桌上放着两个玻璃鱼缸，爸爸在留言 条上写着：“小华，你回家后，把A鱼缸的水倒入B鱼缸一些，使两个 鱼缸中的水一样深。”小华按留言倒水后，这两个鱼缸现在的水深是 多少厘米？ 24 cm B 24 cm 50 cm 50 cm 20cm 40 cm 子题3如图，两个长方体容器底部有一管道相连。管道关闭时， “培优小贴士一 两个容器中水的深度分别是8分米和6分米。打开管道让水自由流 打开管道让水自由流动后， 动，两个容器中水的深度相同时，水深是多少分米？ 可以将水看成一个底面积 是两个容器底面积之和的 长方体。 8 dm 6 dm K 5 dm 5 dm 2 dm 3 dm 培优100分数学五年级下册SJ版 31 ≈重难点3切割拼接问题 母题〔武汉市期末〕一个长14分米、高6分米的长方体。如果按 下图所示把它切成两个小长方体，那么表面积增加108平方分米。 求原来长方体的体积。 把一个长（正）方体截成2段、 3段、4段n段，表面积分 别增加了2个、4个、6个… (n-1)×2个截面的面积。 子题1〔杭州市期末〕如图，用三个完全相同的长方体积木拼成一 个长是4.5分米的大长方体，表面积比原来三个积木的表面积总和 减少了0.32平方分米。原来每个积木的体积是多少立方分米？ 4.5dm 子题2一个长方体，前后两个面都是边长为4.5厘米的正方形（如 图)，切成四块后表面积增加了440.5平方厘米。求原长方体的体积。 ≈重难点4水未溢出的浸没问题 母题教材第103页第2题变式安安为了测量一块不规则石头的 体积，进行了以下操作。 ①准备一个长方体透明容器，从里面量得长18厘米，宽12厘米，高 40厘米。 ②倒入适量的水，水面高度为20厘米。 把一块石头浸没在一个长 ③将石头浸没在水中，量出水面高度为28厘米。 方体透明容器中，水面由20 这块石头的体积是多少立方厘米？ 厘米升高到28厘米，上升 了(28-20)厘米，那么水上 升部分的体积就是这块石 头的体积。 32 培优100分数学五年级下册SJ版 子题1一个长方体鱼缸的底面是一个边长6分米的正方形，深 1米。小明往里面倒人72升的水，又放入一些彩石（彩石全部没入 水中)，水面上升至5分米。放人彩石的体积是多少立方分米？ 弥 子题2〔长沙市期末〕聪聪想测量家中一个土豆的体积。他拿出一 培优小贴士” 个长方体玻璃容器，并注入水（如图①），这时水面高度只有3厘米， 用竖起来的长方体玻璃容 无法淹没土豆。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来（没有漏 器底面积×现在水的高度， 水)，这时土豆浸没于水中，水面高度为14厘米（如图②）。该土豆 求出水和土豆的体积，再减 封 去原来水的体积就是土豆 的体积是多少立方分米？ 的体积。 10 cm 线 10 cm 110 cm 30 cm 10cm 图① 图② ≈重难点5有水溢出的浸没问题 内 母题〔成都市期末〕一个内部长1.5分米、宽1.2分米、高0.9分米 的长方体水箱，水面高度是0.7分米，将一块石头浸没在水中后，溢 出了250毫升水。这块石头的体积是多少立方分米？ 不 解题关键在于弄清“石头 的体积=水面上升部分的 子题1一个长方体玻璃缸，内部长9分米，宽8分米，高5.5分米，水 体积+溢出的水的体积”。 要 深4.5分米。如果向玻璃缸中放入一块棱长5分米的正方体铁块， 玻璃缸里的水会溢出吗？如果溢出，溢出多少升？ 答 子题2〔西安市期末〕一个长方体容器，底面是边长8厘米的正方 形，高16厘米，往容器中倒入一定量的水，使水面距离容器口2厘 题 米。现把一块鹅卵石放人容器中，会有部分水溢出。当把鹅卵石取 出后，水面下降5厘米。溢出的水的体积是多少？第六单元A卷母子题培优专项卷（二） ≈重难点1 cm 母题84÷4÷3=7（厘米） 50 cm 7×7×(7-3)=196(立方厘米) 20 cm 40 cm 答：原来长方体的体积是196立方厘米。 思路二：因为40÷20=2，且两个鱼缸的宽相等，所以 【解析】一个长方体的高增加后，上面和下面的面积 B鱼缸的底面积是A鱼缸底面积的2倍。将A鱼缸 没有变化，增加的面积就是侧面4个小长方形的面 中的水平均分成2+1=3（份），A鱼缸中的水占其中 的一份，因此现在的水深为24÷3=8（厘米）。 积和。长方体的高增加3厘米后变成正方体，说明 子题32×5×8+3×5×6=170（立方分米） 长方体的长和宽相等，即4个小长方形的面积全部 相等，每个小长方形的面积=84÷4=21（平方厘 170÷(2×5+3×5)=6.8(分米) 米)，每个小长方形的长=21÷3=7（厘米）。也即长 答：水深是6.8分米。 【解析】将两个容器并排放置，总底面积为2×5十 方体的长和宽均是7厘米，高是7一3=4（厘米），由 3×5=25(平方分米)。将水的部分看成是一个底面积为 此可以求出原来长方体的体积。 25平方分米的长方体，水的总体积为2×5×8+3×5× 子题140÷4÷2=5（分米） 6=170(立方分米)，则水深为170÷25=6.8（分米）。 (5+2)×5×5=175(立方分米) ≈重难点3 答：原来长方体的体积是175立方分米。 母题 108÷2=54(平方分米) 子题2120÷4÷(3+2)=6（厘米） 54×14=756(立方分米) 6×6×(6+3+2)=396(立方厘米) 答：原来长方体的体积是756立方分米。 答：原来长方体的体积是396立方厘米。 【解析】一个长方体切成两个小长方体，表面积增加 了两个横截面的面积，即横截面面积=108÷2=54 ≈重难点2 (平方分米)。大长方体的底面积是54平方分米，高 母题 20×16×7=2240(立方厘米) 是14分米，最后根据体积公式计算即可。 2240÷(16×10)=14(厘米) 子题10.32÷4=0.08（平方分米） 答：水面高14厘米。 0.08×4.5÷3=0.12(立方分米) 【解析】长方体容器平放和竖放时，容器内水的体积 答：原来每个积木的体积是0.12立方分米。 不变。图1平放时，水的体积=长×宽×高=20× 子题2 (440.5-4.5×4.5×2)÷2×4.5=900(立 16×7=2240(立方厘米)；图2竖放时的底面积= 方厘米) 16×10=160(平方厘米)，水的体积不变，水的高度 答：原长方体的体积是900立方厘米。 =水的体积÷底面积=2240÷160=14（厘米）。 【解析】如图，切成四块后，表面积增加的是两个 子题125×16×4÷(16×10)=10（厘米） B面和两个A面。已知两个A面面积和=4.5×4.5× 答：现在水深是10厘米。 2=40.5(平方厘米)，所以一个B面面积=(440.5- 40.5)÷2=200(平方厘米)。长方体体积=底面 子题2方法一：20×50×24=24000（立方厘米） 积×高=200×4.5=900（立方厘米）。 (20+40)×50=3000(平方厘米) 24000÷3000=8(厘米) 方法二：24÷[(40÷20)+1]=8（厘米） 答：这两个鱼缸现在的水深是8厘米。 ≈重难点4 【解析】思路一：不管怎么倒水，水的体积不变。可 母题18×12×(28-20)=1728（立方厘米） 以将两个鱼缸并排放在一起，水的部分看成一个底 答：这块石头的体积是1728立方厘米。 面长60厘米、宽50厘米的长方体（如图）。由“长方 【解析】根据题意，把一块石头浸没在一个长方体透 体的体积=底面积义高”，可知“长方体的高=体 明容器中，水面由20厘米升高到28厘米，上升了 积÷底面积”，从而计算出现在的水深。 (28一20)厘米，那么水上升部分的体积就是这块石 头的体积；根据长方体的体积=长×宽×高，代入数 第六单元B卷培优验收综合卷 据即可求出这块石头的体积是18×12×(28-20)= -、1.B2.B3.C4.D 1728(立方厘米)。 5.B【解析】通过观察可知，给出的四个面为两 子题172升=72立方分米 组相对的面，可以看出长方体的长、宽、高分别 72÷(6×6)=2(分米) 为6厘米、2厘米、5厘米，因此剩下两个面的长 6×6×(5-2)=108(立方分米) 和宽分别为6厘米和5厘米，面积和为6×5×2 答：放入彩石的体积是108立方分米。 =60(平方厘米)。 子题230×10×3=900（立方厘米） 6.B 10×10×14-900=500(立方厘米)=0.5 7.B【解析】由题意得，新长方体的长增加3米， (立方分米) 答：该土豆的体积是0.5立方分米。 宽和高都不变，画图表示为6，求新 a 3 ≈重难点5 长方体的体积比原来增加了多少。观察图可 母题 250毫升=0.25升=0.25立方分米 知，新长方体可以看成是原来长方体和另一个 1.5×1.2×(0.9-0.7)+0.25=0.61(立方分米) 长方体拼成的，另一个长方体的长、宽、高分 答：这块石头的体积是0.61立方分米。 别是3米、b米、c米，它的体积就是所求的增 【解析】石头的体积=水面上升部分的体积十溢出 加的体积，也就是3bc立方米。 的水的体积。水面上升部分可看作长1.5分米、宽 8.C【解析】由“将一个长方体侧面展开正好是 1.2分米、高0.9-0.7=0.2（分米）的长方体，根据长 一个正方形”可知，长方体底面周长与高相等。 方体体积公式计算出水面上升部分的体积，然后加 又知底面边长是2厘米，则高是2×4=8（厘 上溢出的水的体积即可。 米)，代入长方体体积公式可得体积是2×2×8 子题15×5×5=125（立方分米） =32(立方厘米)。 9×8×(5.5-4.5)=72(立方分米) 9.D 125>72会溢出 ≈大人辅导延展 125-72=53(立方分米) 53立方分米=53升 如果用n表示把大正方体的棱平均分的份 数，涂色情况如下： 答：玻璃缸里的水会溢出；溢出53升。 1.3面涂色的小正方体都在大正方体的顶点 【解析】由题可知，玻璃缸内无水部分可以看成长 处，是8个； 9分米、宽8分米、高5.5-4.5=1（分米）的长方体，其 2.2面涂色的小正方体都在大正方体的棱上，每 体积=9×8×1=72（立方分米）。正方体铁块的体 条棱上2面涂色的小正方体的个数总是比大正方 积=5×5×5=125（立方分米），125>72，玻璃缸里 体的棱平均分的份数少2，一共是12(n-2)个； 的水会溢出，溢出部分的体积=125一72=53（立方 3.1面涂色的小正方体都在大正方体面的中 部，每个大正方体面上1面涂色的小正方体的 分米)=53（升）。 个数等于大正方体的棱平均分成的份数减2的 子题28×8×(5-2)=192（立方厘米） 差的平方，一共是6(n一2)}个。 答：溢出的水的体积是192立方厘米。 二、1.3.60.165205.8 【解析】要求溢出的水的体积，就是求水减少的体 2.升300立方厘米（横线上方的答案合理即可） 积，拿出鹅卵石后，与刚开始相比，水面高度下降5一 3.86001000【解析】要用小正方体拼成 2=3(厘米)，如下图所示。涂色部分的体积为水减 个较大的正方体，那么较大的正方体的棱长至 少的体积，即8×8×3=192（立方厘米）。 少是小正方体棱长的2倍，最少要用2×2×2 2 cm 5 cm =8(个)小正方体。拼成的较大的正方体的棱 长是5×2=10（厘米），表面积是10×10×6= 600(平方厘米)，体积是10×10×10=1000（立 方厘米)。 8cm 8 cm 4.5648.8 培优100分 数学五年级 下册SJ版 63