高一数学下学期期中模拟卷（上海专用，沪教版必修二第6～7章：三角、三角函数）

2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学·考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修二第6~7章三角、三角函数。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 2．在中，角、、所对的边分别为，若，则_______． 3．已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 4．化简：__________． 5．若，，则________. 6．函数的定义域是________. 7．已知为第三象限角，，则________. 8．已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 9．已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 10．定义在上的函数（，，），其图象与水平直线的交点从左往右分别记为，，…．若，则的最大值是_____． 11．某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 12．如图，已知，D，E为边BC上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（）是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 14．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 15．关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 18．（14分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 19．（14分）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 20．（18分）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 21．（18分）对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修二第6~7章三角、三角函数。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 2．在中，角、、所对的边分别为，若，则_______． 【答案】 【详解】由正弦定理可得，则. 3．已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 【答案】 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，即为弧度， 且半径，所以扇形的弧长为. 故答案为：. 4．化简：__________． 【答案】 【详解】 . 故答案为： 5．若，，则________. 【答案】 【详解】因为正切函数的周期为，所以,且. 根据反正切函数的定义：反正切函数的值域为，满足， 因为,且,所以,即. 6．函数的定义域是________. 【答案】 【详解】由于，解得：，则, 解得： 则函数的定义域是 7．已知为第三象限角，，则________. 【答案】 【详解】因为是第三象限角，所以. 由，解得： 所以. 8．已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 【答案】. 【详解】由图可知，， 当时，函数取得最大值2， 故， 所以，又， 所以， 故答案为：. 9．已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 10．定义在上的函数（，，），其图象与水平直线的交点从左往右分别记为，，…．若，则的最大值是_____． 【答案】 【详解】 由题意，振幅仅是保证与有交点， 且它们的交点不可能为正弦型函数的最值点或零点，否则， 故且， 又的变化仅改变函数的周期(长度)，与线段长度的比无关， 要使，第一与第二个交点距离大于半个周期长，而第二与第三个交点距离小于半个周期长， 不妨令，，作出(注意代换且)的图象， 如图： 由，且，， 所以，由图象得：，或，结合， 所以的取值范围为：. 所以的最大值是 故答案为： 11．某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 【答案】 【详解】延长交于点，设（为锐角）， 由题意，所以， 因为，故， 所以. 12．如图，已知，D，E为边BC上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于________. 【答案】 【详解】 如图，设， 则①，②. 由①，②两式左右分别相乘，可得：，即. 设，则. 在中，由余弦定理得， 因，则，当且仅当时，即时等号成立，故； 又，在上单调递减，故 时角最大， 此时，. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（）是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【详解】当（）时,, 当时，有（）或（）， 故（）是的充分非必要条件， 故选：A 14．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 15．关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【答案】D 【详解】， 则振幅为，值域为， 当，即时，函数单调递减， 则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调， 故在上是单调增函数，在区间上不单调， 故选：D． 16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1），；……（6分） （2）都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，.……（14分） 18．（14分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故……（7分） （2）， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以.……（14分） 19．（14分）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理，，解得，.……（6分） （2）在中，，，由正弦定理， ，所以， 当，即时，.……（14分） 20．（18分）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以.……（6分） （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是.……（12分） （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以.……（18分） 21．（18分）对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由已知得存在实数， 使得. 所以.……（6分） （2）若，则，此时， 则对任意，令，即， 显然是此方程的解，所以对任意实数，为‘跃点’函数”； 反之，若对任意，为‘跃点’函数”， 即对任意，都有解， 即. 取，得，从而， 因此“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件.……（12分） （3）假设存在，由， 得，， ，令， 即方程，有个根. ①当，即，有个根，不符合； ②当，即，有个根，不符合； ③当，即，有个根，所以； ④当，即，有个根，所以. 综上，存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”， 符合条件的和的值为或.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学·考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修二第6~7章三角、三角函数。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知函数（其中）的最小正周期为2，则的值为________. 2．在中，角、、所对的边分别为，若，则_______． 3．已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 4．化简：__________． 5．若，，则________. 6．函数的定义域是________. 7．已知为第三象限角，，则________. 8．已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 9．已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 10．定义在上的函数（，，），其图象与水平直线的交点从左往右分别记为，，…．若，则的最大值是_____． 11．某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 12．如图，已知，D，E为边BC上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（）是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 14．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 15．关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知都是锐角，且，， (1)求的值； (2)求的值. 18．（14分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 19．（14分）某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小. 20．（18分）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 21．（18分）对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A C D B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1），；……（6分） （2）都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故……（7分） （2）， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）在中，， 由余弦定理，，解得，.……（6分） （2）在中，，，由正弦定理， ，所以， 当，即时，.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以.……（6分） （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是.……（12分） （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）由已知得存在实数， 使得. 所以.……（6分） （2）若，则，此时， 则对任意，令，即， 显然是此方程的解，所以对任意实数，为‘跃点’函数”； 反之，若对任意，为‘跃点’函数”， 即对任意，都有解， 即. 取，得，从而， 因此“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件.……（12分） （3）假设存在，由， 得，， ，令， 即方程，有个根. ①当，即，有个根，不符合； ②当，即，有个根，不符合； ③当，即，有个根，所以； ④当，即，有个根，所以. 综上，存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”， 符合条件的和的值为或.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $